十章拋物線及其性質

§10.3拋物線及其性質高考理數(shù)

(課標Ⅲ專用)五年高考A組

統(tǒng)一命題·課標卷題組考點一拋物線的定義與標準方程(2017課標全國Ⅱ,16,5分)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,M是C上一點,FM的延長線交y軸于點

N.若M為FN的中點,則|FN|=

.答案6解析如圖,過M、N分別作拋物線準線的垂線,垂足分別為M1、N1,設拋物線的準線與x軸的交點為F1,則|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因為M為FN的中點,所以|MM1|=3,由拋物線的定義知|FM|=|MM1|=3,從而|FN|=2|FM|=6.思路分析過M、N作準線的垂線,利用拋物線的定義和梯形的中位線求解.方法總結當直線過拋物線的焦點時,應充分利用拋物線的定義,同時也體現(xiàn)了拋物線的定義

在解題中的重要作用.考點二拋物線的幾何性質及應用1.(2016課標全國Ⅰ,10,5分)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩點,交C的準線于D,E兩

點.已知|AB|=4

,|DE|=2

,則C的焦點到準線的距離為

()A.2

B.4

C.6

D.8答案

B不妨設C:y2=2px(p>0),A(x1,2

),則x1=

=

,由題意可知|OA|=|OD|,得

+8=

+5,解得p=4.故選B.2.(2018課標全國Ⅲ,16,5分)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交

于A,B兩點.若∠AMB=90°,則k=

.答案2解析本題考查拋物線的幾何性質及應用.解法一:由題意可知C的焦點坐標為(1,0),所以過焦點(1,0),斜率為k的直線方程為x=

+1,設A

,B

,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立得

整理得y2-

y-4=0,從而得y1+y2=

,y1·y2=-4.∵M(-1,1),∠AMB=90°,∴

·

=0,即

·

+(y1-1)(y2-1)=0,即k2-4k+4=0,解得k=2.解法二:設A(x1,y1),B(x2,y2),則

②-①得

-

=4(x2-x1),從而k=

=

.設AB的中點為M',連接MM'.∵直線AB過拋物線y2=4x的焦點,∴以線段AB為直徑的☉M'與準線l:x=-1相切.∵M(-1,1),∠AMB=90°,∴點M在準線l:x=-1上,同時在☉M'上,∴準線l是☉M'的切線,切點為M,且M'M⊥l,即MM'與x軸平行,∴點M'的縱坐標為1,即

=1?y1+y2=2,故k=

=

=2.

疑難突破運用轉化思想,采用“設而不求”“點差法”的方法來解決直線與拋物線的相交

問題.3.(2018課標全國Ⅱ,19,12分)設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交

于A,B兩點,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程.解析(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k>0),設A(x1,y1),B(x2,y2).由

得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=

.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=

.由題設知

=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程為y=x-1.(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5.設所求圓的圓心坐標為(x0,y0),則

解得

或

因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法總結有關拋物線的焦點弦問題,常用拋物線的定義進行轉化求解,在求解過程中應注重

利用根與系數(shù)的關系進行整體運算.一般地,求直線和圓的方程時,利用待定系數(shù)法求解.B組

自主命題·省(區(qū)、市)卷題組1.(2016四川,8,5分)設O為坐標原點,P是以F為焦點的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點,M是線段

PF上的點,且|PM|=2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為

()A.

B.

C.

D.1答案

C設P(x,y),M(xM,yM),∴

=(xM-x,yM-y),

=

.∵|

|=2|

|,即

=2

,∴(xM-x,yM-y)=2

,∴

∴kOM=

=

,由題易知kOM最大時y>0,∴kOM=

=

≤

=

,當且僅當x=p時取等號.2.(2015浙江,5,5分)如圖,設拋物線y2=4x的焦點為F,不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的

點A,B,C,其中點A,B在拋物線上,點C在y軸上,則△BCF與△ACF的面積之比是

()

A.

B.

C.

D.

答案

A過A,B點分別作y軸的垂線,垂足分別為M,N,則|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1.可知

=

=

=

=

,故選A.3.(2015四川,10,5分)設直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點M,且

M為線段AB的中點.若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是

()A.(1,3)

B.(1,4)

C.(2,3)

D.(2,4)答案

D當直線AB的斜率不存在,且0<r<5時,有兩條滿足題意的直線l.當直線AB的斜率存在時,由拋物線與圓的對稱性知,kAB>0和kAB<0時各有一條滿足題意的直線l.設圓的圓心為C(5,0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),則x0=

,y0=

,∴kAB=

=

=

.∵kCM=

,且kABkCM=-1,∴x0=3.∴r2=(3-5)2+

>4(∵y0≠0),即r>2.另一方面,由AB的中點為M知B(6-x1,2y0-y1),∵點B,A在拋物線上,∴(2y0-y1)2=4(6-x1),①

=4x1,②由①②得

-2y0y1+2

-12=0,∵Δ=4

-4(2

-12)>0,∴

<12.∴r2=(3-5)2+

=4+

<16,∴r<4.綜上,r∈(2,4),故選D.4.(2016天津,14,5分)設拋物線

(t為參數(shù),p>0)的焦點為F,準線為l.過拋物線上一點A作l的垂線,垂足為B.設C

,AF與BC相交于點E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面積為3

,則p的值為

.答案

解析由已知得拋物線的方程為y2=2px(p>0),則|FC|=3p,∴|AF|=|AB|=

p,A(p,

p)(不妨設A在第一象限).易證△EFC∽△EAB,所以

=

=

=2,所以

=

,所以S△ACE=

S△AFC=

×

p×

p=

p2=3

,所以p=

.思路分析利用已知條件及拋物線的定義得|AF|=|AB|=

p,從而可取A(p,

p),問題即可迎刃而解.5.(2015陜西,14,5分)若拋物線y2=2px(p>0)的準線經(jīng)過雙曲線x2-y2=1的一個焦點,則p=

.答案2

解析拋物線y2=2px(p>0)的準線方程為x=-

(p>0),故直線x=-

過雙曲線x2-y2=1的左焦點(-

,0),從而-

=-

,得p=2

.6.(2019北京,18,14分)已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(2,-1).(1)求拋物線C的方程及其準線方程;(2)設O為原點,過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N,直線y=-1分別交

直線OM,ON于點A和點B.求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點.解析本題主要考查拋物線、直線和圓的基本概念,重點考查直線與拋物線的位置關系,考查

學生對數(shù)形結合思想的應用以及邏輯推理能力,通過直線與拋物線的位置關系考查了數(shù)學運

算的核心素養(yǎng).(1)由拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(2,-1),得p=2.所以拋物線C的方程為x2=-4y,其準線方程為y=1.(2)拋物線C的焦點為F(0,-1).設直線l的方程為y=kx-1(k≠0).由

得x2+4kx-4=0.設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1x2=-4,直線OM的方程為y=

x.令y=-1,得點A的橫坐標xA=-

.同理得點B的橫坐標xB=-

.設點D(0,n),則

=

,

=

,

·

=

+(n+1)2=

+(n+1)2=

+(n+1)2=-4+(n+1)2.令

·

=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.綜上,以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(0,1)和(0,-3).7.(2017北京,18,14分)已知拋物線C:y2=2px過點P(1,1).過點

作直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N,過點M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點A,B,其中O為原點.(1)求拋物線C的方程,并求其焦點坐標和準線方程;(2)求證:A為線段BM的中點.解析本題考查拋物線方程及性質,直線與拋物線的位置關系.(1)由拋物線C:y2=2px過點P(1,1),得p=

.所以拋物線C的方程為y2=x.拋物線C的焦點坐標為

,準線方程為x=-

.(2)證明:由題意,設直線l的方程為y=kx+

(k≠0),l與拋物線C的交點為M(x1,y1),N(x2,y2).由

得4k2x2+(4k-4)x+1=0.則x1+x2=

,x1x2=

.因為點P的坐標為(1,1),所以直線OP的方程為y=x,點A的坐標為(x1,x1).直線ON的方程為y=

x,點B的坐標為

.因為y1+

-2x1=

=

=

=

=0,所以y1+

=2x1.故A為線段BM的中點.方法總結在研究直線與圓錐曲線位置關系時,常涉及弦長、中點、面積等問題.一般是先聯(lián)

立方程,再根據(jù)根與系數(shù)關系,用設而不求,整體代入的技巧進行求解.易錯警示在設直線方程時,若要設成y=kx+m的形式,注意先討論斜率是否存在;若要設成x=ty

+n的形式,注意先討論斜率是不是0.C組

教師專用題組1.(2014大綱全國,21,12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線y=4與y軸的交點為P,與C

的交點為Q,且|QF|=

|PQ|.(1)求C的方程;(2)過F的直線l與C相交于A、B兩點,若AB的垂直平分線l'與C相交于M、N兩點,且A、M、B、

N四點在同一圓上,求l的方程.解析(1)設Q(x0,4),代入y2=2px得x0=

.所以|PQ|=

,|QF|=

+x0=

+

.由題設得

+

=

×

,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程為y2=4x.

(5分)(2)依題意知l與坐標軸不垂直,故可設l的方程為x=my+1(m≠0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中點為D(2m2+1,2m),|AB|=

|y1-y2|=4(m2+1).又l'的斜率為-m,所以l'的方程為x=-

y+2m2+3.將上式代入y2=4x,并整理得y2+

y-4(2m2+3)=0.設M(x3,y3),N(x4,y4),則y3+y4=-

,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中點為E

,|MN|=

|y3-y4|=

.

(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四點在同一圓上等價于|AE|=|BE|=

|MN|,從而

|AB|2+|DE|2=

|MN|2,即4(m2+1)2+

+

=

.化簡得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.

(12分)評析本題主要考查拋物線的幾何性質、直線與拋物線的位置關系、四點共圓等基礎知識.

考查解析幾何的基本思想方法,考查運算求解能力和綜合解題能力.第(2)問中將直線l的方程

設為x=my+1(m≠0),這樣可以避免討論斜率不存在的情形,使問題簡單化.2.(2014安徽,19,13分)如圖,已知兩條拋物線E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),過原點O的兩條

直線l1和l2,l1與E1,E2分別交于A1,A2兩點,l2與E1,E2分別交于B1,B2兩點.(1)證明:A1B1∥A2B2;(2)過O作直線l(異于l1,l2)與E1,E2分別交于C1,C2兩點.記△A1B1C1與△A2B2C2的面積分別為S1與S2,

求

的值.

解析(1)證明:設直線l1,l2的方程分別為y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),則由

得A1

,由

得A2

.同理可得B1

,B2

.所以

=

=2p1

,

=

=2p2

,故

=

,所以A1B1∥A2B2.(2)由(1)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2.所以△A1B1C1∽△A2B2C2.因此

=

.又由(1)中的

=

知

=

.故

=

.A組

2017—2019年高考模擬·考點基礎題組三年模擬考點一拋物線的定義與標準方程1.(2019課標Ⅲ卷地區(qū)大聯(lián)考,9)已知拋物線的頂點在原點,焦點在y軸上,△ABC三個頂點都在

拋物線上,且△ABC的重心為拋物線的焦點,若BC邊所在的直線方程為x+4y-20=0,則拋物線方

程為

()A.y2=16x

B.y2=8xC.x2=16y

D.x2=8y答案

C由題意,設拋物線的方程為x2=2py.由

得2x2+px-20p=0.由p2+160p>0,得p>0或p<-160.設B(x1,y1),C(x2,y2),則x1+x2=-

,∴y1+y2=

+

=10-

=10+

.設A(x3,y3),由△ABC的重心為F

,得

=0,

=

,∴x3=

,y3=

p-10.∵點A在拋物線上,∴

=2p

,解得p=8(p=0舍去).∴拋物線的方程為x2=16y.2.(2018貴州貴陽適應性考試,11)斜率為k(k>0)的直線經(jīng)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,與拋物線

交于A、B兩點,與拋物線的準線交于C點,當B為AC的中點時,k的值為

()A.

B.

C.2

D.3

答案

C不妨設直線AB的傾斜角為θ,則|AF|=

,|BF|=

,由BB1,AA1均垂直于準線,易知|BB1|=

|AA1|,結合拋物線定義得|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,∴

×

=

?cosθ=

,∴tanθ=2

.∴斜率k=2

,故選C.3.(2018廣西南寧二中3月月考,11)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,已知點A和B分別為拋物線上

的兩個動點,且滿足∠AFB=120°,過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN,垂足為N,則

的最大值為

()A.

B.

C.

D.

答案

D過A和B分別作準線的垂線,垂足分別為A1和B1,由拋物線定義知|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=2|MN|,故

=

,又在△ABF中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF||BF|cos120°=|AF|2+|BF|2+|AF||BF|,所以|AB|2=(|AF|+|BF|)2-|AF||BF|,而|AF||BF|≤

,則|AB|2≥

(|AF|+|BF|)2,即|AF|+|BF|≤

|AB|,因此

=

≤

,當且僅當|AF|=|BF|時取等號.考點二拋物線的性質及應用1.(2019廣西南寧二中4月月考,10)若直線l過拋物線的焦點并與拋物線交于A、B兩點,O是拋物

線的頂點,則△ABO的形狀是

()A.直角三角形

B.銳角三角形C.鈍角三角形

D.不確定答案

C不妨設此拋物線的方程為y2=2px(p>0),過焦點的直線l:x=my+

,代入拋物線方程得y2-2pmy-p2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2=-p2,x1x2=

·

=

.

·

=x1x2+y1y2=-

p2<0,所以∠AOB為鈍角.選C.2.(2019貴州貴陽第一次適應性考試,11)設P是拋物線C:y2=4x上的動點,Q是C的準線上的動點,

直線l過Q且與OQ(O為坐標原點)垂直,則P到l的距離的最小值的取值范圍是

()A.(0,1)

B.(0,1]

C.[0,1]

D.(0,2]答案

B可設Q的坐標為(-1,m)(m∈R),直線l過Q且與OQ垂直,易知直線l斜率不為0,則直線l

的方程為x=my-m2-1.易知,與直線l平行且與拋物線C相切的直線l1的方程為x=my-m2,所以直線l

與l1的距離為d=

,即點P到l的距離的最小值為d.顯然,d∈(0,1].評析本小題主要考查直線的方程、拋物線的方程及其幾何性質等基礎知識,考查運算求

解、邏輯推理能力和創(chuàng)新意識,考查化歸與轉化、數(shù)形結合等數(shù)學思想.3.(2019云南昆明第一次適應性考試,16)已知點P(1,-1)和拋物線C:y=

x2,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A、B兩點.若

·

=0,則k=

.答案

解析由題易得,拋物線焦點坐標為(0,1).設直線AB方程為y=kx+1,聯(lián)立

得x2-4kx-4=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k,x1·x2=-4.又

·

=0,即(x1-1,y1+1)·(x2-1,y2+1)=0把y1=kx1+1,y2=kx2+1代入,整理得,4k2-4k+1=0,解得k=

.B組

2017—2019年高考模擬·專題綜合題組時間:30分鐘分值:35分一、選擇題(每小題5分,共20分)1.(2019貴州貴陽質檢一,11)在直角坐標系xOy中,拋物線M:y2=2px(p>0)與圓C:x2+y2-2

y=0相交于兩點,且兩點間的距離為

,則拋物線M的焦點到其準線的距離為

()A.

B.

C.

D.

答案

A由題意可知,拋物線M與圓C的其中一個交點為O,圓心坐標為C(0,

),半徑為

.設另一個交點為A(x1,y1),因為|OA|=

,|OC|=

,|AC|=

,所以|OC|2+|AC|2=|OA|2,即OC⊥AC,所以點A坐標為(

,

),代入拋物線方程,解得p=

.所以拋物線M的焦點到其準線的距離為

.2.(2019廣西南寧第二次適應性考試,10)已知拋物線x2=2py(p>0)的準線方程為y=-1,△ABC的頂

點A在拋物線上,B,C兩點在直線y=2x-5上,若|

-

|=2

,則△ABC面積的最小值為

()A.5

B.4

C.

D.1答案

D依題意得拋物線方程為x2=4y,因為|

-

|=2

,所以|

|=2

.設與BC平行且與拋物線相切的直線方程為y=2x+b.將y=2x+b代入x2=4y得x2-8x-4b=0,由Δ=64+16b=0得b=-4.此時

拋物線的切線為y=2x-4,則兩條平行線之間的距離為d=

,即點A到直線y=2x-5的最小距離為

,故S△ABC最小值為

×|

|×d=1.3.(2018貴州遵義四中4月月考,11)已知拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(5,m)到焦點的距離為6,P、

Q分別為拋物線C與圓M:(x-6)2+y2=1上的動點,當|PQ|取得最小值時,向量

在x軸正方向上的投影為

()A.2-

B.2

-1

C.1-

D.

-1答案

A因為6=

+5,所以p=2,所以拋物線C的方程為y2=4x,易知圓M的圓心M的坐標為(6,0),設P(x,y),則|PM|=

=

=

,可知當x=4時,|PM|取得最小值,此時|PQ|也取得最小值,最小值為

-1=2

-1,此時不妨取P點的坐標為(4,-4),則直線PM的斜率為2,即tan∠PMO=2,所以cos∠PMO=

,故當|PQ|取得最小值時,向量

在x軸正方向上的投影為(2

-1)·cos∠PMO=2-

.4.(2017廣西師大一附中5月月考,11)已知拋物線C:y2=2px與點N(-2,2),過C的焦點且斜率為2的

直線與C交于A,B兩點,若NA⊥NB,則p=

()A.-2

B.2

C.-4

D.4答案

D由題意得直線方程為y=2

,與y2=2px聯(lián)立,消去x得y2-py-p2=0,則y1+y2=p,y1y2=-p2,設A

,B

,由NA⊥NB得,

+(y1-2)(y2-2)=0,所以

+

[(y1+y2)2-2y1y2]+4-p2-2p+4=0,即-

p2+p+8=0,解得p=4或p=-

(舍),故選D.思路分析設A

,B

,利用公式x1x2+y1y2=0轉化NA⊥NB,進而構造出關于p的方程-

p2+p+8=0,解方程即可.5.(2017四川綿陽二診,16)已知拋物線C:y2=4x,焦點為F,過點P(-1,0)作斜率為k(k>0)的直線l與拋

物線C交于A,B兩點,直線AF,BF分別交拋物線C于M,N兩點,若

+

=18,則k=

.

二、填空題(每小題5分,共5分)答案

解析設A(x1,y1),B(x2,y2),由A,B,P三點共線可得

=

,由焦半徑公式及圖形的對稱性得,|AF|=x1+1=|NF|,|BF|=x2+1=|MF|,∴

=

,

=

,∴

+

=

+

=18,所以(y1+y2)2=20y1y2,由

可得ky2-4y+4k=0,所以y1+y2=

,y1y2=4,所以

=80,因為k>0,所以k=

.6.(2019云南瑞麗質檢二,20)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F.(1)若斜率為-1的直線l過點F與拋物線C交于A,B兩點,求|AF|+|BF|的值;(2)過點M(m,0)(m>0)作直線l與拋物線C交于A,B兩點,且

·

<0,求m的取值范圍.三、解答題(共10分)解析(1)依題意得,F(1,0),則直線l:y=-x+1.設A(xA,yA),B(xB,yB).聯(lián)立

消去y得(-x+1)2=4x,則x2-6x+1=0,則xA+xB=6.由拋物線的定義可知,|AF|+|BF|=xA+xB+2=8.(2)由題易知直線l斜率不為0.設直線l的方程為x=ty+m(m>0),l與曲線C的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1=

,x2=

.將l的方程代入拋物線的方程,化簡得y2-4ty-4m=0,Δ=16