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選擇性必修二《5.1導數(shù)的概念及其意義》同步練習一、單選題1.已知曲線在處的切線方程為,則函數(shù)圖象的對稱軸方程為()A. B. C. D.2.設點P是函數(shù)圖象上的任意一點,點P處切線的傾斜角為,則角的取值范圍是()A. B.C. D.3.若實數(shù)滿足,則的最小值為()A. B. C. D.4.直線是曲線和曲線的公切線,則()A. B. C. D.5.將曲線繞著點逆時針方向旋轉后與軸相切,則的最小正值是()A. B. C. D.6.若存在過點的直線與曲線和都相切,則的值為()A.或 B.或 C.或 D.或二、多選題7.為滿足人民對美好生活的向往,環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理,排放未達標的企業(yè)要限期整改、設企業(yè)的污水排放量W與時間t的關系為,用的大小評價在這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱,已知整改期內(nèi),甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關系如下圖所示.給出下列四個結論,其中正確結論為()A.在這段時間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;B.在時刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;C.在時刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標;D.甲企業(yè)在這三段時間中,在的污水治理能力最強.8.已知函數(shù)的圖象如圖所示,令,則下列關于函數(shù)的說法中正確的是()A.函數(shù)圖象的對稱軸方程為B.函數(shù)的最大值為C.函數(shù)的圖象上存在點P,使得在P點處的切線與直線l:平行D.方程的兩個不同的解分別為,,則最小值為9.在直角坐標系內(nèi),由,,,四點所確定的“型函數(shù)”指的是三次函數(shù),其圖象過,兩點,且的圖像在點處的切線經(jīng)過點,在點處的切線經(jīng)過點.若將由,,,四點所確定的“型函數(shù)”記為,則下列選項正確的是()A.曲線在點處的切線方程為B.C.曲線關于點對稱D.當時,三、填空題10.若,則=________.11.已知函數(shù)且,則曲線在點處的切線方程為________.12.若點在函數(shù)的圖象上,點在函數(shù)的圖象上,則的最小值為__________.四、解答題13.已知函數(shù),為函數(shù)圖象上一點,曲線在處的切線為.(1)若點坐標為,求切線的方程;(2)求當切線的斜率最小時點的坐標.14.泰興機械廠生產(chǎn)一種木材旋切機械,已知生產(chǎn)總利潤c元與生產(chǎn)量x臺之間的關系式為c(x)=-2x2+7000x+600.(1)求產(chǎn)量為1000臺的總利潤與平均利潤;(2)求產(chǎn)量由1000臺提高到1500臺時,總利潤的平均改變量;(3)求c′(1000)與c′(1500),并說明它們的實際意義.15.已知函數(shù)在點處的切線方程為.(1)求實數(shù),的值;(2)若過點可做曲線的三條切線,求實數(shù)的取值范圍.16.某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為,山區(qū)邊界曲線為C,計劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩個端點,測得點M到的距離分別為2千米和5千米,點N到的距離分別為4千米和2.5千米,以在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標系,假設曲線C符合函數(shù)(其中a,b為常數(shù))模型.(1)求a,b的值;(2)設公路l與曲線C相切于P點,P的橫坐標為t.①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式,并寫出其定義域;②當t為何值時,公路l的長度最短?求出最短長度.答案解析一、單選題1.已知曲線在處的切線方程為,則函數(shù)圖象的對稱軸方程為()A. B. C. D.【答案】A【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出的值,然后可得答案.【詳解】因為,曲線在處的切線方程為,所以,結合可得所以,解得所以圖象的對稱軸方程為故選:A【點睛】本題考查的是導數(shù)的幾何意義,屬于基礎題.2.設點P是函數(shù)圖象上的任意一點,點P處切線的傾斜角為,則角的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】B【分析】在中令后可求,再根據(jù)導數(shù)的取值范圍可得的范圍,從而可得的取值范圍.【詳解】,,,,,.點P是曲線上的任意一點,點P處切線的傾斜角為,.,.故選:B.【點睛】本題考查導數(shù)的運算以及導數(shù)的幾何意義,還考查了直線的斜率與傾斜角的關系,本題屬于基礎題.3.若實數(shù)滿足,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】D【分析】將題意轉化為求函數(shù)與直線上任意兩點之間距離的最小值的平方的問題,利用導數(shù)的幾何意義,即可容易求得結果.【詳解】因為,故可得,,故點可理解為函數(shù)上的任意兩點.又,令,故可得,即函數(shù)在處的切線與平行,又切線方程為:,則函數(shù)在處的切線方程與直線之間的距離,故的最小值即為.故選:.【點睛】本題考查利用導數(shù)的幾何意義求切線方程,注意本題對目標式的轉化才是本題的關鍵,屬綜合中檔題.4.直線是曲線和曲線的公切線,則()A. B. C. D.【答案】C【分析】由可求得直線與曲線的切點的坐標,由可求得直線與曲線的切點坐標,再將兩個切點坐標代入直線的方程,可得出關于、的方程組,進而可求得實數(shù)的值.【詳解】設直線與曲線相切于點,直線與曲線相切于點,,則,由,可得,則,即點,將點的坐標代入直線的方程可得,可得,①,則,由,可得,,即點,將點的坐標代入直線的方程可得,,②聯(lián)立①②可得,.故選:C.【點睛】本題考查利用兩曲線的公切線求參數(shù),要結合切點以及切線的斜率列方程組求解,考查計算能力,屬于中等題.5.將曲線繞著點逆時針方向旋轉后與軸相切,則的最小正值是()A. B. C. D.【答案】B【分析】首先根據(jù)導數(shù)的幾何意義,求出過點與曲線相切的切線的切點,并求直線的斜率和傾斜角,再根據(jù)題意得出的最小正值.【詳解】由題意得,設過點的直線與曲線相切于點,則,解得,所以直線的斜率,故的最小正值是.故選:B.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,重點考查直觀想象,計算能力,屬于中檔題型.6.若存在過點的直線與曲線和都相切,則的值為()A.或 B.或 C.或 D.或【答案】A【分析】設切點坐標為,利用導數(shù)求出曲線在點處的切線方程,將點的坐標代入切線方程,求出的方程,可得出切線方程,再將切線方程與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立,由可求得實數(shù)的值.【詳解】對于函數(shù),,則曲線在點的切線斜率為,所以,曲線在點處的切線方程為,即,由于直線過點,可得,解得或.當時,切線為軸,對于函數(shù),則,解得;當時,切線方程為,聯(lián)立,整理得,,由題意可得,解得.綜上所述,或.故選:A.【點睛】本題考查過點與曲線相切的切線方程的求解,考查計算能力,屬于中等題.二、多選題7.為滿足人民對美好生活的向往,環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理,排放未達標的企業(yè)要限期整改、設企業(yè)的污水排放量W與時間t的關系為,用的大小評價在這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱,已知整改期內(nèi),甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關系如下圖所示.給出下列四個結論,其中正確結論為()A.在這段時間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;B.在時刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;C.在時刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標;D.甲企業(yè)在這三段時間中,在的污水治理能力最強.【答案】ABC【分析】根據(jù)定義逐一判斷,即可得到結果.【詳解】表示區(qū)間端點連線斜率的負數(shù),在這段時間內(nèi),甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大,因此甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;A正確;甲企業(yè)在這三段時間中,甲企業(yè)在這段時間內(nèi),甲的斜率最小,其相反數(shù)最大,即在的污水治理能力最強.D錯誤;在時刻,甲切線的斜率比乙的小,所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強;B正確;在時刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標排放量以下,所以都已達標;C正確;故選:ABC.【點睛】本題考查切線斜率應用、函數(shù)圖象應用,考查基本分析識別能力,屬??碱}型.8.已知函數(shù)的圖象如圖所示,令,則下列關于函數(shù)的說法中正確的是()A.函數(shù)圖象的對稱軸方程為B.函數(shù)的最大值為C.函數(shù)的圖象上存在點P,使得在P點處的切線與直線l:平行D.方程的兩個不同的解分別為,,則最小值為【答案】ABD【分析】由題意可得,由函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得函數(shù)的對稱軸方程為,函數(shù)取得最大值,由導數(shù)的幾何意義可得使得在P點處的切線與直線l:平行,,解得,由方程解得最小值為,從而可得正確答案.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象知,,,,,根據(jù)五點法畫圖知,當時,,,,,;令,,解得,,函數(shù)的對稱軸方程為,,A正確;當,時,函數(shù)取得最大值,B正確;,假設函數(shù)的圖象上存在點,使得在P點處的切線與直線l:平行,則,解得,顯然不成立,所以假設錯誤,即C錯誤;方程,則,,,或,,方程的兩個不同的解分別為,,則,其最小值為,故D正確.故選:ABD.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查了導數(shù)的幾何意義,考查了輔助角公式的應用,屬于中檔題.9.在直角坐標系內(nèi),由,,,四點所確定的“型函數(shù)”指的是三次函數(shù),其圖象過,兩點,且的圖像在點處的切線經(jīng)過點,在點處的切線經(jīng)過點.若將由,,,四點所確定的“型函數(shù)”記為,則下列選項正確的是()A.曲線在點處的切線方程為B.C.曲線關于點對稱D.當時,【答案】ABC【分析】A.根據(jù)函數(shù)在點處的切線經(jīng)過點,利用點斜式求解判斷;B.根據(jù)的圖象過點及,設(其中),然后再利用,求解判斷;C.由B得到判斷;D.由B結合,有,判斷.【詳解】因為直線的斜率為,所以的方程為,即,所以A正確.因為的圖象過點及,所以有兩個零點0,4,故可設(其中),則,由,,得,,所以,故B正確.由選項B可知,,所以曲線關于點對稱,故C正確.當時,有,,所以,故D不正確.故答案為:ABC.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的性質(zhì),還考查了運算求解能力,屬于中檔題.三、填空題10.若,則=________.【答案】【詳解】由極限的定義可得:,.故答案為:11.已知函數(shù)且,則曲線在點處的切線方程為________.【答案】【分析】先根據(jù)條件求值,再求導利用導數(shù)幾何意義得到切線斜率,求切點,根據(jù)點斜式寫方程即可.【詳解】因為,所以.因為當時,,所以.又,所以所求切線方程為,即,即.故答案為:【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義與分段函數(shù)求值,考查運算求解能力,屬于基礎題.12.若點在函數(shù)的圖象上,點在函數(shù)的圖象上,則的最小值為__________.【答案】【解析】設直線與曲線相切于,由函數(shù),可得,令,又,解得,即有,可得切點,代入,解得,可得與直線平行且與曲線相切的直線,而兩條平行線與的距離,

即有的最小值為,故答案為.點睛:本題考查了導數(shù)的幾何意義、切線的方程、兩條平行線之間的距離、最小值的轉化問題等基礎知識與基本技能方法,屬于中檔題;設出切點,求得函數(shù)的導數(shù),可得切線的斜率,解方程可得切點,求出與直線平行且與曲線相切的直線,再求出此兩條平行線之間的距離,即可得出.四、解答題13.已知函數(shù),為函數(shù)圖象上一點,曲線在處的切線為.(1)若點坐標為,求切線的方程;(2)求當切線的斜率最小時點的坐標.【答案】(1);(2).【分析】(1)先對函數(shù)求導,根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線斜率,再由直線的點斜式方程,即可得出結果;(2)先對函數(shù)求導,求導數(shù)的最小值,得出此時的,即可得出切點橫坐標,從而可求出切點.【詳解】(1)因為,所以,又點坐標為,所以,因此在處的切線為;(2)因為,當且僅當時,取最小值,根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知,此時切線斜率最小,又時,,所以.【點睛】本題主要考查求曲線在某點的切線方程,以及求切點坐標,熟記導數(shù)的幾何意義即可,屬于常考題型.14.泰興機械廠生產(chǎn)一種木材旋切機械,已知生產(chǎn)總利潤c元與生產(chǎn)量x臺之間的關系式為c(x)=-2x2+7000x+600.(1)求產(chǎn)量為1000臺的總利潤與平均利潤;(2)求產(chǎn)量由1000臺提高到1500臺時,總利潤的平均改變量;(3)求c′(1000)與c′(1500),并說明它們的實際意義.【答案】(1)5000.6(元);(2)2000(元);(3)見解析.【解析】【分析】(1)將x=1000代入函數(shù)可得總利潤,總利潤除以總數(shù)1000可得平均利潤;(2)計算即可得解;(3)求導得c′(x),再分別計算c′(1000)和c′(1500),利用導數(shù)代表瞬時變化率可知為實際意義為生產(chǎn)一臺多獲利的錢數(shù).【詳解】(1)產(chǎn)量為1000臺時的總利潤為c(1000)=-2×10002+7000×1000+600=5000600(元),平均利潤為=5000.6(元).(2)當產(chǎn)量由1000臺提高到1500臺時,總利潤的平均改變量為==2000(元).(3)∵c′(x)=(-2x2+7000x+600)′=-4x+7000,∴c′(1000)=-4×1000+7000=3000(元),c′(1500)=-4×1500+7000=1000(元),它們指的是當產(chǎn)量為1000臺時,生產(chǎn)一臺機械可多獲利3000元;.而當產(chǎn)量為1500臺時,生產(chǎn)一臺機械可多獲利1000元.【點睛】本題考查了導數(shù)概念的實際應用,考查了導數(shù)的運算,關鍵是理解導數(shù)概念的實際意義.15.已知函數(shù)在點處的切線方程為.(1)求實數(shù),的值;(2)若過點可做曲線的三條切線,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)a=1,b=3;(2).【分析】(1)根據(jù)題設條件可得關于的方程組,從而可求的值.(2)設切點為,則可得關于的方程有3個不同的實數(shù)解,利用導數(shù)討論的極值的正負,從而可得的取值范圍.【詳解】解:(1),由在點處的切線方程為,得,,故,故,(2)由(1)得,過點向曲線做切線,設切點為,則切線方程為.因為切線過,故,整理得到:,∵過點可做曲線的三條切線,故方程有3個不同的解.記,.∴當時,有極大值,當時,有極小值.故當,即

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