《5.1導數(shù)的概念及其意義》同步練習與答案解析

選擇性必修二《5.1導數(shù)的概念及其意義》同步練習一、單選題1．已知曲線在處的切線方程為，則函數(shù)圖象的對稱軸方程為（）A． B． C． D．2．設點P是函數(shù)圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（）A． B．C． D．3．若實數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．4．直線是曲線和曲線的公切線，則（）A． B． C． D．5．將曲線繞著點逆時針方向旋轉后與軸相切，則的最小正值是（）A． B． C． D．6．若存在過點的直線與曲線和都相切，則的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或二、多選題7．為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改、設企業(yè)的污水排放量W與時間t的關系為，用的大小評價在這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關系如下圖所示.給出下列四個結論，其中正確結論為（）A．在這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；B．在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；C．在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；D．甲企業(yè)在這三段時間中，在的污水治理能力最強．8．已知函數(shù)的圖象如圖所示，令，則下列關于函數(shù)的說法中正確的是（）A．函數(shù)圖象的對稱軸方程為B．函數(shù)的最大值為C．函數(shù)的圖象上存在點P，使得在P點處的切線與直線l：平行D．方程的兩個不同的解分別為，，則最小值為9．在直角坐標系內(nèi)，由，，，四點所確定的“型函數(shù)”指的是三次函數(shù)，其圖象過，兩點，且的圖像在點處的切線經(jīng)過點，在點處的切線經(jīng)過點.若將由，，，四點所確定的“型函數(shù)”記為，則下列選項正確的是（）A．曲線在點處的切線方程為B．C．曲線關于點對稱D．當時，三、填空題10．若，則=________.11．已知函數(shù)且，則曲線在點處的切線方程為________.12．若點在函數(shù)的圖象上，點在函數(shù)的圖象上，則的最小值為__________．四、解答題13．已知函數(shù)，為函數(shù)圖象上一點，曲線在處的切線為.（1）若點坐標為，求切線的方程；（2）求當切線的斜率最小時點的坐標.14．泰興機械廠生產(chǎn)一種木材旋切機械，已知生產(chǎn)總利潤c元與生產(chǎn)量x臺之間的關系式為c(x)＝－2x2＋7000x＋600.(1)求產(chǎn)量為1000臺的總利潤與平均利潤；(2)求產(chǎn)量由1000臺提高到1500臺時，總利潤的平均改變量；(3)求c′(1000)與c′(1500)，并說明它們的實際意義．15．已知函數(shù)在點處的切線方程為．（1）求實數(shù)，的值；（2）若過點可做曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍．16．某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊界曲線為C，計劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個端點，測得點M到的距離分別為2千米和5千米，點N到的距離分別為4千米和2.5千米，以在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系，假設曲線C符合函數(shù)（其中a，b為常數(shù)）模型．（1）求a，b的值；（2）設公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t．①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度．答案解析一、單選題1．已知曲線在處的切線方程為，則函數(shù)圖象的對稱軸方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出的值，然后可得答案.【詳解】因為，曲線在處的切線方程為，所以，結合可得所以，解得所以圖象的對稱軸方程為故選：A【點睛】本題考查的是導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.2．設點P是函數(shù)圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】在中令后可求，再根據(jù)導數(shù)的取值范圍可得的范圍，從而可得的取值范圍.【詳解】，，，，，.點P是曲線上的任意一點，點P處切線的傾斜角為，.，.故選：B.【點睛】本題考查導數(shù)的運算以及導數(shù)的幾何意義，還考查了直線的斜率與傾斜角的關系，本題屬于基礎題.3．若實數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將題意轉化為求函數(shù)與直線上任意兩點之間距離的最小值的平方的問題，利用導數(shù)的幾何意義，即可容易求得結果.【詳解】因為，故可得，，故點可理解為函數(shù)上的任意兩點.又，令，故可得，即函數(shù)在處的切線與平行，又切線方程為：，則函數(shù)在處的切線方程與直線之間的距離，故的最小值即為.故選：.【點睛】本題考查利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，注意本題對目標式的轉化才是本題的關鍵，屬綜合中檔題.4．直線是曲線和曲線的公切線，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可求得直線與曲線的切點的坐標，由可求得直線與曲線的切點坐標，再將兩個切點坐標代入直線的方程，可得出關于、的方程組，進而可求得實數(shù)的值.【詳解】設直線與曲線相切于點，直線與曲線相切于點，，則，由，可得，則，即點，將點的坐標代入直線的方程可得，可得，①，則，由，可得，，即點，將點的坐標代入直線的方程可得，，②聯(lián)立①②可得，.故選：C.【點睛】本題考查利用兩曲線的公切線求參數(shù)，要結合切點以及切線的斜率列方程組求解，考查計算能力，屬于中等題.5．將曲線繞著點逆時針方向旋轉后與軸相切，則的最小正值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求出過點與曲線相切的切線的切點，并求直線的斜率和傾斜角，再根據(jù)題意得出的最小正值.【詳解】由題意得，設過點的直線與曲線相切于點，則，解得，所以直線的斜率，故的最小正值是．故選：B．【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，重點考查直觀想象，計算能力，屬于中檔題型.6．若存在過點的直線與曲線和都相切，則的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】設切點坐標為，利用導數(shù)求出曲線在點處的切線方程，將點的坐標代入切線方程，求出的方程，可得出切線方程，再將切線方程與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立，由可求得實數(shù)的值.【詳解】對于函數(shù)，，則曲線在點的切線斜率為，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由于直線過點，可得，解得或.當時，切線為軸，對于函數(shù)，則，解得；當時，切線方程為，聯(lián)立，整理得，，由題意可得，解得.綜上所述，或.故選：A.【點睛】本題考查過點與曲線相切的切線方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.二、多選題7．為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改、設企業(yè)的污水排放量W與時間t的關系為，用的大小評價在這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關系如下圖所示.給出下列四個結論，其中正確結論為（）A．在這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；B．在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；C．在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；D．甲企業(yè)在這三段時間中，在的污水治理能力最強．【答案】ABC【分析】根據(jù)定義逐一判斷，即可得到結果.【詳解】表示區(qū)間端點連線斜率的負數(shù)，在這段時間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；A正確；甲企業(yè)在這三段時間中，甲企業(yè)在這段時間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即在的污水治理能力最強．D錯誤；在時刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；B正確；在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標排放量以下，所以都已達標；C正確；故選：ABC.【點睛】本題考查切線斜率應用、函數(shù)圖象應用，考查基本分析識別能力，屬?？碱}型.8．已知函數(shù)的圖象如圖所示，令，則下列關于函數(shù)的說法中正確的是（）A．函數(shù)圖象的對稱軸方程為B．函數(shù)的最大值為C．函數(shù)的圖象上存在點P，使得在P點處的切線與直線l：平行D．方程的兩個不同的解分別為，，則最小值為【答案】ABD【分析】由題意可得，由函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得函數(shù)的對稱軸方程為，函數(shù)取得最大值，由導數(shù)的幾何意義可得使得在P點處的切線與直線l：平行，，解得，由方程解得最小值為，從而可得正確答案.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象知，，，，，根據(jù)五點法畫圖知，當時，，，，，；令，，解得，，函數(shù)的對稱軸方程為，，A正確；當，時，函數(shù)取得最大值，B正確；，假設函數(shù)的圖象上存在點，使得在P點處的切線與直線l：平行，則，解得，顯然不成立，所以假設錯誤，即C錯誤；方程，則，，，或，，方程的兩個不同的解分別為，，則，其最小值為，故D正確.故選：ABD．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了導數(shù)的幾何意義，考查了輔助角公式的應用，屬于中檔題.9．在直角坐標系內(nèi)，由，，，四點所確定的“型函數(shù)”指的是三次函數(shù)，其圖象過，兩點，且的圖像在點處的切線經(jīng)過點，在點處的切線經(jīng)過點.若將由，，，四點所確定的“型函數(shù)”記為，則下列選項正確的是（）A．曲線在點處的切線方程為B．C．曲線關于點對稱D．當時，【答案】ABC【分析】A.根據(jù)函數(shù)在點處的切線經(jīng)過點，利用點斜式求解判斷；B.根據(jù)的圖象過點及，設(其中)，然后再利用，求解判斷；C.由B得到判斷；D.由B結合，有，判斷.【詳解】因為直線的斜率為，所以的方程為，即，所以A正確.因為的圖象過點及，所以有兩個零點0，4，故可設(其中)，則，由，，得，，所以，故B正確.由選項B可知，，所以曲線關于點對稱，故C正確.當時，有，，所以，故D不正確.故答案為：ABC.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運算求解能力，屬于中檔題.三、填空題10．若，則=________.【答案】【詳解】由極限的定義可得：，.故答案為：11．已知函數(shù)且，則曲線在點處的切線方程為________.【答案】【分析】先根據(jù)條件求值，再求導利用導數(shù)幾何意義得到切線斜率，求切點，根據(jù)點斜式寫方程即可.【詳解】因為，所以.因為當時，，所以.又，所以所求切線方程為，即，即.故答案為：【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義與分段函數(shù)求值，考查運算求解能力，屬于基礎題.12．若點在函數(shù)的圖象上，點在函數(shù)的圖象上，則的最小值為__________．【答案】【解析】設直線與曲線相切于，由函數(shù)，可得，令，又，解得，即有，可得切點，代入，解得，可得與直線平行且與曲線相切的直線，而兩條平行線與的距離，

即有的最小值為，故答案為.點睛：本題考查了導數(shù)的幾何意義、切線的方程、兩條平行線之間的距離、最小值的轉化問題等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題；設出切點，求得函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，解方程可得切點，求出與直線平行且與曲線相切的直線，再求出此兩條平行線之間的距離，即可得出.四、解答題13．已知函數(shù)，為函數(shù)圖象上一點，曲線在處的切線為.（1）若點坐標為，求切線的方程；（2）求當切線的斜率最小時點的坐標.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，再由直線的點斜式方程，即可得出結果；（2）先對函數(shù)求導，求導數(shù)的最小值，得出此時的，即可得出切點橫坐標，從而可求出切點.【詳解】（1）因為，所以，又點坐標為，所以，因此在處的切線為；（2）因為，當且僅當時，取最小值，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知，此時切線斜率最小，又時，，所以.【點睛】本題主要考查求曲線在某點的切線方程，以及求切點坐標，熟記導數(shù)的幾何意義即可，屬于常考題型.14．泰興機械廠生產(chǎn)一種木材旋切機械，已知生產(chǎn)總利潤c元與生產(chǎn)量x臺之間的關系式為c(x)＝－2x2＋7000x＋600.(1)求產(chǎn)量為1000臺的總利潤與平均利潤；(2)求產(chǎn)量由1000臺提高到1500臺時，總利潤的平均改變量；(3)求c′(1000)與c′(1500)，并說明它們的實際意義．【答案】（1）5000.6(元)；（2）2000(元)；（3）見解析.【解析】【分析】（1）將x=1000代入函數(shù)可得總利潤，總利潤除以總數(shù)1000可得平均利潤；（2）計算即可得解；（3）求導得c′(x)，再分別計算c′(1000)和c′(1500)，利用導數(shù)代表瞬時變化率可知為實際意義為生產(chǎn)一臺多獲利的錢數(shù).【詳解】(1)產(chǎn)量為1000臺時的總利潤為c(1000)＝－2×10002＋7000×1000＋600＝5000600(元)，平均利潤為＝5000.6(元)．(2)當產(chǎn)量由1000臺提高到1500臺時，總利潤的平均改變量為＝＝2000(元)．(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7000x＋600)′＝－4x＋7000，∴c′(1000)＝－4×1000＋7000＝3000(元)，c′(1500)＝－4×1500＋7000＝1000(元)，它們指的是當產(chǎn)量為1000臺時，生產(chǎn)一臺機械可多獲利3000元；.而當產(chǎn)量為1500臺時，生產(chǎn)一臺機械可多獲利1000元．【點睛】本題考查了導數(shù)概念的實際應用，考查了導數(shù)的運算，關鍵是理解導數(shù)概念的實際意義.15．已知函數(shù)在點處的切線方程為．（1）求實數(shù)，的值；（2）若過點可做曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）a=1，b=3；（2）．【分析】（1）根據(jù)題設條件可得關于的方程組，從而可求的值.（2）設切點為，則可得關于的方程有3個不同的實數(shù)解，利用導數(shù)討論的極值的正負，從而可得的取值范圍.【詳解】解：（1），由在點處的切線方程為，得，，故，故，（2）由（1）得，過點向曲線做切線，設切點為，則切線方程為．因為切線過，故，整理得到：，∵過點可做曲線的三條切線，故方程有3個不同的解.記，．∴當時，有極大值，當時，有極小值．故當，即