高中數(shù)學(xué)《7.3 離散型隨機變量的數(shù)字特征》課件與導(dǎo)學(xué)案

人教A版（2019）選擇性必修第三冊第一課時離散型隨機變量的均值7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解離散型隨機變量的均值的意義和性質(zhì)．(重點)2．會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值．(重點)3．會利用離散型隨機變量的均值解決一些相關(guān)的實際問題．(難點)問題導(dǎo)學(xué)

對于離散型隨機變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機變量相關(guān)事件的概率。但在實際問題中，有時我們更感興趣的是隨機變量的某些數(shù)字特征。例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測驗中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績是否“兩極分化”則需要考察這個班數(shù)學(xué)成績的方差。我們還常常希望直接通過數(shù)字來反映隨機變量的某個方面的特征，最常用的有期望與方差.探究1.甲乙兩名射箭運動員射中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)的分布列如下表所示：如何比較他們射箭水平的高低呢？環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2類似兩組數(shù)據(jù)的比較,首先比較擊中的平均環(huán)數(shù),如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性.假設(shè)甲射箭n次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為：甲n次射箭射中的平均環(huán)數(shù)問題探究當(dāng)n足夠大時，頻率穩(wěn)定于概率，所以x穩(wěn)定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9.即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值(理論平均值)為9,這個平均值的大小可以反映甲運動員的射箭水平.同理，乙射中環(huán)數(shù)的平均值為7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高.一、離散型隨機變量取值的平均值.一般地，若離散型隨機變量X的概率分布為：

為隨機變量X的均值(mean)或數(shù)學(xué)期望(mathematicalexpectation),數(shù)學(xué)期望簡稱期望.均值是隨機變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù),它綜合了隨機變量的取值和取值的概率,反映了隨機變量取值的平均水平.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn概念解析例1.在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分,如果某運動員罰球命中的概率為0.8,那么他罰球1次的得分X的均值是多少?分析:罰球有命中和不中兩種可能結(jié)果,命中時X=1,不中時X=0,因此隨機變量X服從兩點分布,X的均值反映了該運動員罰球1次的平均得分水平.解：因為P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，所以E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2

=0.8即該運動員罰球1次的得分X的均值是0.8.典例解析

X10Pp1-p概念解析例2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)為X,求X的均值.

分析:先求出X的分布列,再根據(jù)定義計算X的均值。典例解析

歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1.某地最近出臺一項機動車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機會，一旦某次考試通過，即可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止．如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)X的分布列和X的均值．問題探究

X……P……離散型隨機變量的均值的性質(zhì)若X,Y是兩個隨機變量,且Y=aX+b,則有E(Y)=aE(X)+b,即隨機變量X的線性函數(shù)的均值等于這個隨機變量的均值E(X)的同一線性函數(shù).特別地:(1)當(dāng)a=0時,E(b)=b,即常數(shù)的均值就是這個常數(shù)本身.(2)當(dāng)a=1時,E(X+b)=E(X)+b,即隨機變量X與常數(shù)之和的均值等于X的均值與這個常數(shù)的和.(3)當(dāng)b=0時,E(aX)=aE(X),即常數(shù)與隨機變量乘積的均值等于這個常數(shù)與隨機變量的均值的乘積.概念解析例3:猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對時獲得相應(yīng)的公益基金如下表所示：規(guī)則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.歌曲ABC猜對的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000典例解析X0100030006000P0.20.320.2880.192??的均值為??(??)=0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192=2336.

X0100040006000P0.20.480.1280.192

思考：如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個順序獲得的公益基金均值最大？按由易到難的順序來猜歌，獲得的公益基金的均值最大猜歌順序E(X)/元猜歌順序E(X)/元ABC2336BCA2112ACB2144CAB1904BAC2256CBA1872例4.根據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元。為保護設(shè)備，有以下三種方案：方案1：運走設(shè)備，搬運費為3800元。方案2：建保護圍墻，建設(shè)費為2000元，但圍墻只能擋住小洪水。方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水。工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢?典例解析分析:決策目標(biāo)為總損失(投入費用與設(shè)備損失之和)越小越好,根據(jù)題意,各種方案在不同狀態(tài)下的總損失如表所示：天氣狀況大洪水小洪水沒有洪水概率0.010.250.74總損失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000方案2和方案3的總損失都是隨機變量,可以采用期望總損失最小的方案。解:設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為X1,X2,X3.采用方案1,無論有無洪水,都損失3800元.因此,P(X1=3800)=1.采用方案2,遇到大洪水時,總損失為2000+6000=62000元;沒有大洪水時,總損失為2000元,因此,P(X2=62000)=0.01,P(X2=2000)=0.99.采用方案3,P(X3=60000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.于是,E(X1)=3800,E(X2)=62000×0.01+2000×0.99=2600,E(X3)=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100.因此,從期望損失最小的角度,應(yīng)采取方案2.值得注意的是,上述結(jié)論是通過比較“期望總損失”而得出的,一般地,我們可以這樣來理解“期望總損失”:如果問題中的天氣狀況多次發(fā)生,那么采用方案2將會使總損失減到最小,不過,因為洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機的,所以對于個別的一次決策,采用方案2也不一定是最好的.解題反思當(dāng)堂達標(biāo)解析:X的可能取值為3,2,1,0,P(X=3)=0.6;P(X=2)=0.4×0.6=0.24;P(X=1)=0.42×0.6=0.096;P(X=0)=0.43=0.064.所以E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376.答案:C2.某射手對靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,命中后的剩余子彈數(shù)目X的數(shù)學(xué)期望為(

)A.2.44 B.3.376

C.2.376 D.2.43.已知ξ的分布列如下表,若η=3ξ+2,則E(η)=

.

5.口袋里裝有大小相同的8張卡片,其中3張標(biāo)有數(shù)字1,3張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字3.第一次從口袋里任意抽取1張,放回口袋里后第二次再任意抽取1張,記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為ξ.求:(1)ξ為何值時,其發(fā)生的概率最大?并說明理由.(2)隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ).課堂小結(jié)《第一課時離散型隨機變量的均值》導(dǎo)學(xué)案7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過具體實例，理解離散型隨機變量的分布列及其數(shù)字特征.2.能計算簡單離散型隨機變量的均值.通過研究離散型隨機變量的分布列及其數(shù)字特征，進一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究問題上述情境中的計算是否合理，怎樣運算才更合理？提示此種計算顯然不合理，忽略了不同住房面積的居民所占的比例，造成了“被平均”現(xiàn)象，通過本課時的學(xué)習(xí)我們可以找到正確的計算方法．1．離散型隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望一般地，若離散型隨機變量X的分布列為正確地求出離散型隨機變量的分布列是求解期望的關(guān)鍵Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn2．兩點分布的期望

一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝____；3．離散型隨機變量的均值的性質(zhì)

設(shè)X的分布列為________________＝

pi，i＝1，2，…，n.

一般地，下面的結(jié)論成立：E(aX＋b)＝________________．pP(X＝xi)aE(X)＋b×√拓展深化[微判斷]1．隨機變量X的均值E(X)是個變量，其隨X的變化而變化． (

)

提示

隨機變量X的均值E(X)是個定值，不隨X的變化而變化．2．隨機變量的均值與樣本的平均值相同． (

)

提示隨機變量的均值與樣本的均值并非等價，因為樣本代表的是部分的情況，不能完全與整體等價．3．若隨機變量X的均值E(X)＝2，則E(2X)＝4. (

)×[微訓(xùn)練]1．已知離散型隨機變量X的分布列為2．口袋中有編號分別為1，2，3的三個大小和形狀相同的小球，從中任取2個，則取出的球的最大編號X的期望為__________．[微思考]

某商場要將單價分別為18元/kg、24元/kg、36元/kg的3種糖果按3∶2∶1的比例混合銷售，如何對混合糖果定價才合理？題型一利用定義求離散型隨機變量的均值【例1】袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機取出4只球，設(shè)取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分X的均值．

解取出4只球顏色及得分分布情況是：4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分，因此，故X的分布列如下：規(guī)律方法求隨機變量的均值關(guān)鍵是寫出分布列，一般分為四步：(1)確定X的可能取值；(2)計算出P(X＝k)；(3)寫出分布列；(4)利用E(X)的計算公式計算E(X)．∴X的分布列為題型二離散型隨機變量均值的性質(zhì)【例2】已知隨機變量X的分布列為：解析由隨機變量分布列的性質(zhì)，

得【遷移1】

(變設(shè)問)本例條件不變，若Y＝2X－3,求E(Y)．∴a＝15.規(guī)律方法離散型隨機變量性質(zhì)有關(guān)問題的解題思路若給出的隨機變量Y與X的關(guān)系為Y＝aX＋b，a，b為常數(shù)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．也可以利用X的分布列得到Y(jié)的分布列，關(guān)鍵是由X的取值計算Y的取值，對應(yīng)的概率相等，再由定義法求得E(Y)．【訓(xùn)練2】已知隨機變量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，則m的值為(

)解析因為Y＝12X＋7，則E(Y)＝12E(X)＋7，答案A題型三離散型隨機變量均值的應(yīng)用(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤為X萬元，則X的可能取值為0，100，120，220.故所求的分布列為規(guī)律方法解答實際問題時，(1)把實際問題概率模型化；(2)利用有關(guān)概率的知識去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相應(yīng)均值．解(1)X的所有取值為0，5，10，15，20，25，30.一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．求離散型隨機變量均值的步驟： (1)確定離散型隨機變量X的取值； (2)寫出分布列，并檢查分布列的正確與否； (3)根據(jù)公式寫出均值．3．若X，Y是兩個隨機變量，且Y＝aX＋b，則E(Y)＝aE(X)＋b；如果一個隨機變量服從兩點分布，可直接利用公式計算均值．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．袋中有10個大小相同的小球，其中記為0號的有4個，記為n號的有n個(n＝1，2，3)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取到球的標(biāo)號，則E(X)等于(

)解析由題意，可知X的所有可能取值為0，1，2，3.2．拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，則得分X的均值為(

)3．若p為非負實數(shù)，隨機變量X的分布列為答案A4．隨機拋擲一枚骰子，則所得骰子點數(shù)X的均值為______．解析拋擲一枚骰子所得點數(shù)X的分布列為5．袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n(n＝1，2，3，4)個．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號． (1)求X的分布列、均值； (2)若Y＝aX＋4，E(Y)＝1，求a的值．解(1)X的分布列為(2)E(Y)＝aE(X)＋4＝1，第二課時離散型隨機變量的方差7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實例,理解取有限個值的離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念和意義.2.會求離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差.3.會利用離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差解決一些實際問題.問題導(dǎo)學(xué)

隨機變量的均值是一個重要的數(shù)字特征，它反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”.因為隨機變量的取值圍繞其均值波動，而隨機變量的均值無法反映波動幅度的大小，所以我們還需要尋找反映隨機變量取值波動大小的數(shù)字特征.探究1：從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級參加射擊比賽。根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何評價這兩名同學(xué)的射擊水平？問題探究E(X)=8;E(Y)=8因為兩個均值相等，所以均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平。X678910P0.090.240.320.280.07X678910P0.070.220.380.30.03表1表2射擊水平除了要考慮擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度，圖一和圖二分別是X和Y的概率分布圖：發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)的射擊成績更集中于8環(huán)，即乙同學(xué)的設(shè)計成績更穩(wěn)定。探究2：怎樣定量到留離散型隨機變量取值的離散程度?我們知道,樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度,它是通過計算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實現(xiàn)的,一個自然的想法是,隨機變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量呢?問題探究問題1.某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？X1234P問題探究問題2.某人射擊10次,所得環(huán)數(shù)分別是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則這組數(shù)據(jù)的方差是多少？加權(quán)平均反映這組數(shù)據(jù)相對于平均值的集中程度的量問題探究一般地，若離散型隨機變量X的概率分布列為：則稱

Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn離散型隨機變量取值的方差概念解析隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機變量的取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機變量的取值越分散。因此，問題1中兩名同學(xué)射擊成績的方差和標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫它們成績的穩(wěn)定性。兩名同學(xué)射擊成績的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:因為D(Y)<D(X)(等價地，)，所以隨機變量Y的取值相對更集中，即乙同學(xué)的射擊成績相對更穩(wěn)定。問題探究問題3：方差的計算可以簡化嗎？

問題探究

問題4：離散型隨機變量X加上一個常數(shù)，方差會有怎樣變化？離散型隨機變量X乘以一個常數(shù)，方差又有怎樣的變化？它們和期望的性質(zhì)有什么不同？離散型隨機變量X加上一個常數(shù)b，僅僅使X的值產(chǎn)生一個平移，不改變X與其均值的離散程度，方差保持不變，即D(X+b)=

D(X)而離散型隨機變量X乘以一個常數(shù)a,其方差變?yōu)樵讲畹腶2倍，即D(aX)=a2D(X)因此，D(aX+b)=a2D(X).

問題探究例1：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)X的方差。

典例解析方差的計算方法方差的計算需要一定的運算能力,在隨機變量X2的均值比較好計算的情況下,運用關(guān)系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失為一種比較實用的方法.另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用,如D(aX+b)=a2D(X)(a≠0).歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練1

已知η的分布列為(1)求η的方差及標(biāo)準(zhǔn)差;(2)設(shè)Y=2η-E(η),求D(Y).跟蹤訓(xùn)練例2：投資A、B兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表二所示：收益X/元-102概率0.10.30.6收益X/元012概率0.30.40.3表1表2（1）投資哪種股票的期望收益大？（2）投資哪種股票的風(fēng)險較高？典例解析解：(1)股票A和股票B投資收益的期望分別為E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1.因為E(X)>E(Y),所以投資股票A的期望收益較大。（2)股票A和股票B投資收益的方差分別為D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29,D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.因為E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以資股票A比投資股票B的風(fēng)險高。利用均值和方差的意義解決實際問題的步驟1.比較均值.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,因此,在實際決策問題中,需先計算均值,看一下誰的平均水平高.2.在均值相等或接近的情況下計算方差.方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差,分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定.3.下結(jié)論.依據(jù)均值和方差做出結(jié)論.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練1．給出下列四個命題：①離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；②離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；④離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值偏離于均值的平均程度．則正確命題應(yīng)該是(

)A．①④ B．②③ C．①② D．③④D當(dāng)堂達標(biāo)2．把下面X的分布列填寫完整：并完成問題其中p∈(0,1)，則E(X)＝________，D(X)＝________.X01PP解析：而由已知分布列的性質(zhì)有p＋x＝1，x=1-p

E(X)＝0×(1-p)＋1×p＝p，∴D(X)＝(0－p)2(1-p)＋(1－p)2p＝p(1-p).答案：1-p；p；p(1-p)3.已知離散型隨機變量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,a=

,b=

.

4.甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境,且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等,而兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件次數(shù)的分布列分別如下,甲保護區(qū):乙保護區(qū):試評定這兩個保護區(qū)的管理水平.X0123P0.30.30.20.2Y012P0.10.50.4跟蹤訓(xùn)練解:甲保護區(qū)違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差為E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差為E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因為E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同,但甲保護區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動,乙保護區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更加集中和穩(wěn)定,所以乙保護區(qū)的管理水平比甲高.課堂小結(jié)《第二課時離散型隨機變量的方差》導(dǎo)學(xué)案7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過具體實例，理解離散型隨機變量的分布列及方差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題.通過研究離散型隨機變量的方差，進一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究甲、乙兩個工人生產(chǎn)同一產(chǎn)品，在相同的條件下，他們生產(chǎn)100件產(chǎn)品所出的不合格產(chǎn)品數(shù)分別用X，Y表示，X，Y的分布列如下：如何比較甲、乙兩人的技術(shù)？問題情境中的問題，我們可以分別求出甲、乙兩人不合格品數(shù)的均值，但是兩人的均值相等，我們應(yīng)如何更準(zhǔn)確地比較兩個工人的技術(shù)水平？提示我們知道，當(dāng)樣本平均值相差不大時，可以利用樣本方差考察樣本數(shù)據(jù)與樣本平均值的偏離程度．1．離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差正確求解隨機變量的方差的關(guān)鍵是正確求解分布列及其期望值設(shè)離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2

，…，(xn－E(X))2，因為X取每個值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度，我們稱2．幾個常見的結(jié)論 (1)D(aX＋b)＝______________． (2)若X服從兩點分布，則D(X)＝______________．a(chǎn)2D(X)p(1－p)拓展深化[微判斷]1．離散型隨機變量的方差越大，

隨機變量越穩(wěn)定．

(

)

提示隨機變量的方差越小，隨機變量越穩(wěn)定．2．若a是常數(shù)，

則D(a)＝0. (

)3．離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離于期望的平均程度．

(

)×√√[微訓(xùn)練]1．若隨機變量X服從兩點分布，

且成功的概率p＝0.5,則E(X)和D(X)分別為(

) A．0.5和0.25 B．0.5和0.75 C．1和0.25 D．1和0.75

解析E(X)＝p＝0.5，D(X)＝p(1－p)＝0.5×0.5＝0.25.

答案A2．設(shè)隨機變量X的方差D(X)＝1，則D(2X＋1)的值為(

) A．2 B．3 C．4 D．5

解析D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.

答案

C[微思考]

離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)定還是方差越小越穩(wěn)定？

提示

離散型隨機變量的方差越小隨機變量越穩(wěn)定.題型一求離散型隨機變量的方差角度1用定義求離散型隨機變量的方差【例1】設(shè)離散型隨機變量X的分布列為答案C角度2求兩點分布的方差【例2】若某運動員投籃命中率p＝0.8，則該運動員在一次投籃中命中次數(shù)X的方差為__________．

解析依題意知：X服從兩點分布，

所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.

答案0.16規(guī)律方法求離散型隨機變量的方差的類型及解決方法(1)已知分布列型(非兩點分布)：直接利用定義求解，先求均值，再求方差．(2)已知分布列是兩點分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解．(3)未知分布列型：求解時可先借助已知條件及概率知識求得分布列，然后轉(zhuǎn)化成(1)中的情況．【訓(xùn)練1】袋中有大小相同的四個球，編號分別為1，2，3，4，每次從袋中任取一個球，記下其編號．若所取球的編號為偶數(shù)，則把該球編號改為3后放回袋中繼續(xù)取球；若所取球的編號為奇數(shù)，則停止取球． (1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；

(2)若第一次取到偶數(shù)，記第二次和第一次取球的編號之和為X，求X的分布列和方差．解(1)記“第二次取球后才停止取球”為事件A.(2)若第一次取到2，則第二次取球時袋中有編號為1，3，3，4的四個球；若第一次取到4，則第二次取球時袋中有編號為1，2，3，3的四個球．所以X的可能取值為3，5，6，7，所以X的分布列為題型二方差的性質(zhì)的應(yīng)用【例3】已知隨機變量X的分布列為：規(guī)律方法求隨機變量Y＝aX＋b方差的方法求隨機變量Y＝aX＋b的方差，一種方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一種方法是應(yīng)用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．【訓(xùn)練2】設(shè)隨機變量X的分布列為答案D題型三均值與方差的綜合應(yīng)用【例4】有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強度如下：

XA110120125130135P0.10.20.40.10.2XB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，XA，XB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩(wěn)定程度(哪一個的穩(wěn)定性較好)．解E(XA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(XB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D(XA)＝0.1×(110－125)