《8.1　成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性》教案與分層同步練習(xí)

《8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性》教案（第一課時變量的相關(guān)關(guān)系）課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.結(jié)合實例，體會兩個變量間的相關(guān)關(guān)系.2.掌握相關(guān)關(guān)系的判斷，能根據(jù)散點圖對線性相關(guān)關(guān)系進行判斷.通過對兩個變量相關(guān)關(guān)系的學(xué)習(xí)，提升直觀想象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).【課前預(yù)習(xí)】新知探究俗話說“莊稼一枝花，全靠肥當(dāng)家”，這說明施肥的多少對糧食的產(chǎn)量影響很大，那么糧食的產(chǎn)量還受其他因素的影響嗎？施肥量和糧食的產(chǎn)量是確定的函數(shù)關(guān)系嗎？兩個變量間的關(guān)系除了可能是函數(shù)關(guān)系外，還可能是其他關(guān)系嗎？為了搞清這些問題，我們需要學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容．問題上述情境中施肥量與糧食產(chǎn)量之間到底具有怎樣的關(guān)系？提示上述兩變量間確實存在關(guān)系，但又不具備確定性，即當(dāng)自變量取值一定時，因變量取值帶有隨機性的兩個變量的關(guān)系，就稱為變量間的相關(guān)關(guān)系．1．相關(guān)關(guān)系兩個變量間的關(guān)系有函數(shù)關(guān)系，相關(guān)關(guān)系和不相關(guān)關(guān)系兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．2．正相關(guān)、負(fù)相關(guān)從整體上看，當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關(guān)；如果一個變量值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這個兩個變量負(fù)相關(guān)．3．線性相關(guān)一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點落在一條線附近，我們就稱這兩個變量線性相關(guān)．一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．拓展深化[微判斷]1．統(tǒng)計活動中，分析數(shù)據(jù)時通常用統(tǒng)計圖表計算數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)特征．(√)2．在一定范圍內(nèi)，農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系．(√)3．對于給定的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，都可以作出散點圖．(√)[微訓(xùn)練]1．(多選題)下列說法正確的是()A．任何兩個變量都具有相關(guān)關(guān)系B．圓的周長與該圓的半徑具有相關(guān)關(guān)系C．某商品的需求量與該商品的價格是一種非確定性關(guān)系D．根據(jù)散點圖可判斷兩變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系解析A顯然不對，B是函數(shù)關(guān)系，CD正確．答案CD2．對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散點圖圖1；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散點圖圖2.由這兩個散點圖可以判斷()A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)解析由這兩個散點圖可以判斷，變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)．答案C[微思考]相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別和聯(lián)系是什么？提示相同點：兩者均是指兩個變量的關(guān)系；不同點：(1)函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系．如勻速直線運動中時間t與路程s的關(guān)系；相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系．如一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系．事實上，函數(shù)關(guān)系是兩個非隨機變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量的關(guān)系．(2)函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．例如，有人發(fā)現(xiàn)，對于在校兒童，鞋的大小與閱讀能力有很強的相關(guān)關(guān)系，然而學(xué)會新詞并不能使腳變大，而是涉及第三個因素——年齡，當(dāng)兒童長大一些，他們的閱讀能力會提高，而且他們的腳也變大.【課堂互動】題型一相關(guān)關(guān)系的理解【例1】判斷以下兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系？(1)正方形的面積與其周長之間的關(guān)系；(2)父母的身高與子女的身高之間的關(guān)系；(3)學(xué)生的學(xué)號與身高；(4)汽車勻速行駛時的路程與時間的關(guān)系．解(1)設(shè)正方形的面積為S，周長為C，則S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,4)))2，即正方形的面積由其周長唯一確定，因此二者是函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系；(2)子女身高除了與父母的身高有一定關(guān)系外，還與其他因素有關(guān)，即子女的身高并不是由其父母的身高唯一確定的，因此二者之間具有相關(guān)關(guān)系；(3)學(xué)生的學(xué)號與身高之間沒有任何關(guān)系，不具有相關(guān)關(guān)系；(4)若汽車勻速行駛時的速度為v，行駛的路程為s，時間為t，則有s＝vt，因此當(dāng)速度一定時，路程由時間唯一確定，二者之間具有函數(shù)關(guān)系，而不是相關(guān)關(guān)系．規(guī)律方法函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量的關(guān)系．函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．【訓(xùn)練1】(多選題)下列說法正確的是()A．闖紅燈與交通事故發(fā)生率的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系B．同一物體的加速度與作用力是函數(shù)關(guān)系C．產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系D．廣告費用與銷售量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系解析闖紅燈與發(fā)生交通事故之間不是因果關(guān)系，但具有相關(guān)性，是相關(guān)關(guān)系，所以A正確；物體的加速度與作用力的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，B正確；產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量之間是相關(guān)關(guān)系，C錯誤；廣告費用與銷售量之間是相關(guān)關(guān)系，D正確．答案ABD題型二散點圖與相關(guān)性【例2】某種木材體積與樹木的樹齡之間有如下的對應(yīng)關(guān)系：樹齡2345678體積30344060556270(1)請作出這些數(shù)據(jù)的散點圖；(2)你能由散點圖發(fā)現(xiàn)木材體積與樹木的樹齡近似成什么關(guān)系嗎？解(1)以x軸表示樹木的樹齡，y軸表示樹木的體積，可得相應(yīng)的散點圖如圖所示：(2)由散點圖發(fā)現(xiàn)木材體積隨著樹齡的增加而呈增加的趨勢，且散點落在一條直線附近，所以木材的體積與樹齡成線性相關(guān)關(guān)系．【遷移1】(變條件，變問法)若近似成線性相關(guān)關(guān)系，請畫出一條直線來近似地表示這種線性相關(guān)關(guān)系．解近似擬合直線如圖所示：【遷移2】(變條件，變問法)若該種木材每單位體積的價值是80元，作出木材的價值與樹齡之間關(guān)系的散點圖．解木材的價值與樹齡之間的關(guān)系如表所示：樹齡2345678體積30344060556270價值2400272032004800440049605600以x軸表示樹木的樹齡，y軸表示樹木的價值，可得相應(yīng)的散點圖如圖所示：規(guī)律方法判斷兩個變量x和y間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，常用的簡便方法就是繪制散點圖，如果發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個別點的位置的影響．【訓(xùn)練2】5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(單位：分)如下：學(xué)生成績ABCDE數(shù)學(xué)成績8075706560物理成績7066686462判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系．解以x軸表示數(shù)學(xué)成績，y軸表示物理成績，得相應(yīng)的散點圖如圖所示．由散點圖可知，各點分布在一條直線附近，故兩者之間具有線性相關(guān)關(guān)系．題型三散點圖及其應(yīng)用【例3】下面是水稻產(chǎn)量與施化肥量的一組觀測數(shù)據(jù)：施化肥量15202530354045水稻產(chǎn)量320330360410460470480(1)將上述數(shù)據(jù)制成散點圖；(2)你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產(chǎn)量近似成什么關(guān)系嗎？水稻產(chǎn)量會一直隨施化肥量的增加而增加嗎？解(1)散點圖如下：(2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)施化肥量由小到大變化時，水稻產(chǎn)量也由小變大，圖中的數(shù)據(jù)點大致分布在一條直線的附近，因此施化肥量和水稻產(chǎn)量近似成線性相關(guān)關(guān)系，但水稻產(chǎn)量只是在一定范圍內(nèi)隨著化肥施用量的增加而增加，不會一直隨施化肥量的增加而增加．規(guī)律方法1.畫散點圖時應(yīng)注意合理選擇單位長度，避免圖形過大或偏小，或者是點的坐標(biāo)在坐標(biāo)系中畫不準(zhǔn)，使圖形失真，導(dǎo)致得出錯誤結(jié)論．2．在這里利用散點圖直觀感知事物的形態(tài)與變化，理解事物間的關(guān)聯(lián)及變化規(guī)律，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)直觀想象的具體體現(xiàn)．【訓(xùn)練3】(多選題)某中學(xué)的興趣小組在某座山測得海拔高度、氣壓和沸點的六組數(shù)據(jù)繪制成散點圖如圖所示，則下列說法正確的是()A．沸點與海拔高度呈正相關(guān)B．沸點與氣壓呈正相關(guān)C．沸點與海拔高度呈負(fù)相關(guān)D．沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關(guān)性都很強解析由左圖知氣壓隨海拔高度的增加而減小，由右圖知沸點隨氣壓的升高而升高，所以沸點與氣壓呈正相關(guān)，沸點與海拔高度呈負(fù)相關(guān)；由于兩個散點圖中的點都成線性分布，所以沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關(guān)性都很強，故B，C，D正確，A錯誤．答案BCD【素養(yǎng)達成】一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進一步提升直觀想象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．判斷變量之間有無相關(guān)關(guān)系，一種簡便可行的方法就是繪制散點圖．根據(jù)散點圖，可以很容易看出兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系，是不是線性相關(guān)．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．下列每組的兩個變量之間具有相關(guān)關(guān)系的是()A．烏鴉叫，災(zāi)難到B．圓心角的大小與半徑C．物體的質(zhì)量一定，其密度與體積之間的關(guān)系D．兒童的年齡與身高解析A，B中的兩個變量之間沒有關(guān)系，C中的兩個變量之間是函數(shù)關(guān)系，D中的兩個變量之間是相關(guān)關(guān)系．答案D2．下列語句所表示的事件中的因素不具有相關(guān)關(guān)系的是()A．瑞雪兆豐年 B．名師出高徒C．吸煙有害健康 D．喜鵲叫喜解析瑞雪對農(nóng)作物有好處，可能使得農(nóng)作物豐收，所以瑞雪兆豐年具有相關(guān)關(guān)系，名師出高徒也具有相關(guān)關(guān)系，吸煙有害健康也具有相關(guān)關(guān)系，而喜鵲叫喜，沒有必然的關(guān)系，故選D.答案D3．觀察下列散點圖，具有相關(guān)關(guān)系的是()A．①② B．①③C．②④ D．②③解析①是函數(shù)關(guān)系，④不具有相關(guān)關(guān)系，②③具有相關(guān)關(guān)系．答案D4．(多選題)對于給定的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，下列說法不正確的是()A．都可以分析出兩個變量之間的關(guān)系B．都可以用一條直線近似地表示兩者的關(guān)系C．都可以作出散點圖D．都可以用確定的表達式表示兩者的關(guān)系解析給出一組樣本數(shù)據(jù)，不一定能分析出兩個變量的關(guān)系，更不一定符合線性相關(guān)，不一定用一條直線近似地表示，故A、B不正確；但總可以作出相應(yīng)的散點圖，C正確；兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)不一定有函數(shù)關(guān)系，故D不正確．答案ABD5．(多選題)下列關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是()A．角度和它的余弦值B．某商場搞促銷活動與銷售量之間的關(guān)系C．作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系D．底面積一定的三棱錐的體積與高之間的關(guān)系解析A，D中兩個變量之間的關(guān)系是一種確定性關(guān)系，而B，C中的兩個變量之間的關(guān)系是不確定的，所以它們具有相關(guān)關(guān)系．故選BC.答案BC【課后作業(yè)】基礎(chǔ)達標(biāo)一、選擇題1．下列語句所表示的事件中的因素不具有相關(guān)關(guān)系的是()A．正方體的棱長與體積B．讀書破萬卷，下筆如有神C．?dāng)?shù)學(xué)成績與物理成績D．光照時間與水稻的單位產(chǎn)量解析A具有函數(shù)關(guān)系．答案A2．下列說法正確的是()A．y＝2x2＋1中的x，y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量B．正四面體的體積與棱長具有相關(guān)關(guān)系C．電腦的銷售量與電腦的價格之間是一種確定性的關(guān)系D．傳染病醫(yī)院感染傳染病的醫(yī)務(wù)人員數(shù)與醫(yī)院收治的傳染病病人數(shù)是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量解析A，B均為函數(shù)關(guān)系，C，D為相關(guān)關(guān)系．答案D3．下列圖形中具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量是()解析A和B符合函數(shù)關(guān)系，即對x的每一個值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)；從C，D散點圖來看，D的散點都在某一條直線附近波動，因此兩變量具有相關(guān)關(guān)系．答案D4．(多選題)有下列關(guān)系：①人的年齡與他(她)擁有的財富之間的關(guān)系；②曲線上的點與該點的坐標(biāo)之間的關(guān)系；③森林中同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關(guān)系．其中，具有相關(guān)關(guān)系的是()A．① B．②C．③ D．均不正確解析①，③具有相關(guān)關(guān)系，②具有確定的關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系．答案AC5．下列說法正確的是()A．任何兩個變量之間都有相關(guān)關(guān)系B．根據(jù)身高和體重的相關(guān)關(guān)系可以確定身高對應(yīng)的體重值C．相關(guān)關(guān)系是一種不確定的關(guān)系D．以上答案都不對解析變量之間的相關(guān)關(guān)系是一種不確定的關(guān)系，它也能反映變量之間的某種依賴關(guān)系．利用相關(guān)關(guān)系可以估計某些相關(guān)數(shù)據(jù)，但是不能確定準(zhǔn)確的數(shù)值．答案C二、填空題6．下列兩個變量之間的關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系的有__________(填序號)．①球的體積和它的半徑；②人的身高和體重；③底面積為定值的長方體的體積和高；④城鎮(zhèn)居民的消費水平和平均工資．解析球的體積公式為V＝eq\f(4,3)πr3，長方體的體積V＝S·h，都是確定的關(guān)系，因此①③中兩個變量為函數(shù)關(guān)系，而②④中的兩個變量，不是函數(shù)關(guān)系而是相關(guān)關(guān)系．答案①③7．下面是四個散點圖中的點的分布狀態(tài)，直觀上判斷兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系的是__________(填序號)．解析散點圖①中的點無規(guī)律的分布，范圍很廣，表明兩個變量之間的相關(guān)程度很小；②中所有的點都在同一條直線上，是函數(shù)關(guān)系；③中點的分布在一條帶狀區(qū)域上，即點分布在一條直線的附近，是線性相關(guān)關(guān)系；④中的點也分布在一條帶狀區(qū)域內(nèi)，但不是線性的，而是一條曲線附近，所以不是線性相關(guān)關(guān)系，故填③.答案③8．某市煤氣消耗量與使用煤氣戶數(shù)的歷史記錄資料如下表所示.i(年)12345x(戶數(shù)：萬戶)11.21.61.82y(煤氣消耗量：百萬立方米)679.81212.1i(年)678910x(戶數(shù)：萬戶)2.53.244.24.5y(煤氣消耗量：百萬立方米)14.5202425.427.5其散點圖如圖所示．從散點圖可知，煤氣消耗量與使用煤氣戶數(shù)__________(填“線性相關(guān)”或“線性不相關(guān)”)；若兩者關(guān)系可近似為直線y＝6.057x＋0.082，則當(dāng)煤氣用戶擴大到5萬戶時，該市煤氣消耗量估計是__________百萬立方米．解析由散點圖發(fā)現(xiàn)圖中各點在一條直線附近，所以煤氣消耗量與使用煤氣戶數(shù)是線性相關(guān)關(guān)系．給出近似直線方程，只需將x＝5代入即可．此時6.057×5＋0.082＝30.367百萬立方米．答案線性相關(guān)30.367三、解答題9．下表是某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：氣溫(℃)2518121040杯數(shù)183037355054(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖；(2)你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱茶杯數(shù)近似成什么關(guān)系嗎？解(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的散點圖，如圖．(2)從散點圖中可以看出氣溫與賣出的熱茶杯數(shù)近似地成線性相關(guān)關(guān)系，且當(dāng)氣溫越高時，所賣出的熱茶的杯數(shù)就越少．10．在7塊并排的、形狀大小相同的試驗田上進行施化肥量對水稻產(chǎn)量影響的試驗，得到如下表所示的一組數(shù)據(jù)(單位：kg)：施化肥量15202530354045水稻產(chǎn)量330345365405445450455(1)畫出散點圖；(2)判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系．解(1)以施化肥量為橫坐標(biāo)，其對應(yīng)的水稻產(chǎn)量為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描點，得散點圖．(2)觀察散點圖，知散點圖中的點分布在一條直線附近，則水稻產(chǎn)量與施化肥量之間具有線性相關(guān)關(guān)系．能力提升11．如圖所示，有5組(x，y)的數(shù)據(jù)，去掉__________組數(shù)據(jù)后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最大．解析顯然去掉D組數(shù)據(jù)后，x，y的線性相關(guān)性最大．答案D12．有人收集了10年中某城市居民年收入(即此城市所有居民在一年內(nèi)的收入的總和)與某種商品的銷售額的有關(guān)數(shù)據(jù)：(單位：億元)第n年12345678910年收入32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0銷售額25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0(1)畫出散點圖．你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)居民年收入與該種商品銷售額之間的近似關(guān)系嗎？(2)如果它們之間近似成線性關(guān)系，請畫出一條直線來近似表示這種關(guān)系．解(1)散點圖如圖所示：從散點圖中可以看出年收入與銷售額之間的總體趨勢成一條直線，也就是說它們之間是線性相關(guān)關(guān)系．(2)所畫直線如圖所示．創(chuàng)新猜想13．(多選題)下列關(guān)系中，是相關(guān)關(guān)系的為()A．學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系B．教師的教學(xué)水平與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系C．學(xué)生的身高與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系D．家庭的經(jīng)濟條件與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系解析A中學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)成績之間不是因果關(guān)系，但具有相關(guān)性，是相關(guān)關(guān)系；B中教師的教學(xué)水平與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系；CD都不具備相關(guān)關(guān)系．答案AB14．(多選題)從統(tǒng)計學(xué)的角度看，下列關(guān)于變量間的關(guān)系說法不正確的是()A．人體的脂肪含量與年齡之間沒有相關(guān)關(guān)系B．汽車的重量和汽車每消耗1L汽油所行駛的平均路程之間有相關(guān)關(guān)系C．吸煙量與健康水平之間沒有相關(guān)關(guān)系D．氣溫與熱飲銷售好不好之間沒有相關(guān)關(guān)系解析從統(tǒng)計學(xué)的角度看，在一定年齡段內(nèi)，人體的脂肪含量與年齡之間有相關(guān)關(guān)系，∴A錯誤；汽車的重量和汽車每消耗1L汽油所行駛的平均路程之間有相關(guān)關(guān)系，∴B正確；吸煙量與健康水平之間有相關(guān)關(guān)系，∴C錯誤；氣溫與熱飲銷售好不好之間有相關(guān)關(guān)系，∴D錯誤．答案ACD8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性（第二課時樣本相關(guān)系數(shù)）課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.結(jié)合實例，會通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性.2.了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.通過學(xué)習(xí)樣本相關(guān)系數(shù)，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).【課前預(yù)習(xí)】新知探究散點圖可以說明變量間有無線性相關(guān)關(guān)系，但無法量化兩個變量之間的相關(guān)程度的大小，更不能精確地說明成對樣本數(shù)據(jù)之間關(guān)系的密切程度，那么我們?nèi)绾尾拍軐ふ业竭@樣一個合適的量來對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進行定量分析呢？問題若樣本系數(shù)r＝0.97，則成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度如何？提示r＝0.97，表明成對樣本數(shù)據(jù)正線性相關(guān)程度很強．1．相關(guān)系數(shù)r的計算注意：相關(guān)系數(shù)是研究變量之間線性相關(guān)程度的量假設(shè)兩個隨機變量的數(shù)據(jù)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，對數(shù)據(jù)作進一步的“標(biāo)準(zhǔn)化處理”處理，用sx＝eq\r(\f(1,n)\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，sy＝eq\r(\f(1,n)\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)分別除xi－eq\o(x,\s\up6(－))和yi－eq\o(y,\s\up6(－))(i＝1，2，…，n，eq\o(x,\s\up6(－))和eq\o(y,\s\up6(－))分別為x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1－\o(x,\s\up6(－)),sx)，\f(y1－\o(y,\s\up6(－)),sy)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2－\o(x,\s\up6(－)),sx)，\f(y2－\o(y,\s\up6(－)),sy)))，…，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xn－\o(x,\s\up6(－)),sx)，\f(yn－\o(y,\s\up6(－)),sy)))，為簡單起見，把上述“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對數(shù)據(jù)分別記為(x1′，y1′)，(x2′，y2′)，…，(xn′，yn′)，則變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計算公式如下：r＝eq\f(1,n)(x1′y1′＋x2′y2′＋…＋xn′yn′)＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)).2．相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)(1)當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時，成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)r＝0時，成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系．(2)樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1，1]．當(dāng)|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；當(dāng)|r|越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．3．樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系r＝eq\f(1,n)x′·y′＝eq\f(1,n)|x′||y′|cosθ＝cosθ(其中x′＝(x1′，x2′，…，xn′)，y′＝(y1′，y2′，…，yn′)，|x′|＝|y′|＝eq\r(n)，θ為向量x′和向量y′的夾角)．拓展深化[微判斷]1．回歸分析中，若r＝±1說明x，y之間具有完全的線性關(guān)系．(√)2．若r＝0，則說明成對樣本數(shù)據(jù)間是函數(shù)關(guān)系．(×)提示若r＝0，則說明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系．3．樣本相關(guān)系數(shù)r的范圍是r∈(－∞，＋∞)．(×)提示樣本相關(guān)系數(shù)的范圍是[－1，1]．[微訓(xùn)練]1．下面對相關(guān)系數(shù)r描述正確的是()A．r>0表明兩個變量負(fù)相關(guān)B．r>1表明兩個變量正相關(guān)C．r只能大于零D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越接近于0，兩個變量相關(guān)關(guān)系越弱解析因r＞0表明兩個變量正相關(guān)，故A錯誤；又因r∈[－1，1]，故B，C錯誤；兩個變量之間的相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強，r的絕對值越接近于0，表示兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)，故D正確．答案D2．(多選題)下面的各圖中，散點圖與相關(guān)系數(shù)r符合的是()解析因為相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近1，線性相關(guān)程度越高，且r＞0時正相關(guān)，r＜0時負(fù)相關(guān)，故觀察各選項，易知B不符合，A，C，D均符合．故選ACD.答案ACD[微思考]當(dāng)r＝1或－1時，兩個變量的相關(guān)性如何？提示當(dāng)r＝1時，兩個變量完全正相關(guān)；當(dāng)r＝－1時，兩個變量完全負(fù)相關(guān).【課堂互動】題型一線性相關(guān)性的檢驗【例1】現(xiàn)隨機抽取了某中學(xué)高一10名在校學(xué)生，他們?nèi)雽W(xué)時的數(shù)學(xué)成績x(分)與入學(xué)后第一次考試的數(shù)學(xué)成績y(分)如下：學(xué)生號12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請問：這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績是否具有線性相關(guān)關(guān)系？解eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(84＋64＋…＋57＋71)＝68，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝842＋642＋…＋572＋712＝47384，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73796.所以相關(guān)系數(shù)為r＝eq\f(73796－10×107.8×68,\r(（116584－10×107.82）（47384－10×682）))≈0.7506.由此可看出這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績具有線性相關(guān)關(guān)系．規(guī)律方法利用相關(guān)系數(shù)r判斷線性相關(guān)關(guān)系，需要應(yīng)用公式計算出r的值，由于數(shù)據(jù)較大，需要借助計算器．【訓(xùn)練1】假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限x(年)與所支出的維修費用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0已知eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝90，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝140.78，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝112.3.(1)求eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))；(2)對x，y進行線性相關(guān)性檢驗．解(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4.eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5.(2)eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5eq\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－)))＝112.3－5×4×5＝12.3，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5eq\o(x,\s\up6(－))2＝90－5×42＝10，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5eq\o(y,\s\up6(－))2＝140.78－125＝15.78，所以r＝eq\f(12.3,\r(10×15.78))≈0.979.所以x與y之間具有很強的線性相關(guān)關(guān)系．題型二判斷線性相關(guān)的強弱【例2】維尼綸纖維的耐熱水性能的好壞可以用指標(biāo)“縮醛化度”y來衡量，這個指標(biāo)越高，耐水性能也越好，而甲醛濃度是影響縮醛化度的重要因素，在生產(chǎn)中常用甲醛濃度x(克/升)去控制這一指標(biāo)，為此必須找出它們之間的關(guān)系，現(xiàn)安排一批實驗，獲得如下數(shù)據(jù)．甲醛濃度x18202224262830縮醛化度(y)26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36求樣本相關(guān)系數(shù)r并判斷它們的相關(guān)程度．解列表如下ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi11826.86324721.4596483.4822028.35400803.722556732228.75484826.5625632.542428.87576833.4769692.8852629.75676885.0625773.562830.0078490084073030.36900921.7296910.80∑168202.9441445892.01364900.16eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(168,7)＝24，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(202.94,7)，r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))xiyi－7\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－7\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)－7\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(4900.16－7×24×\f(202.94,7),\r(4144－7×242)\r(5892.0136－7×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(202.94,7)))\s\up12(2)))≈0.96.由此可知，甲醛濃度與縮醛化度之間有很強的正線性相關(guān)關(guān)系．規(guī)律方法當(dāng)相關(guān)系數(shù)|r|越接近1時，兩個變量的相關(guān)關(guān)系越強，當(dāng)相關(guān)系數(shù)|r|越接近0時，兩個變量的相關(guān)關(guān)系越弱．【訓(xùn)練2】以下是收集到的新房屋的銷售價格y(萬元)和房屋的大小x(m2)的數(shù)據(jù)．房屋大小x/m211511080135105銷售價格y/萬元24.821.618.429.222(1)畫出數(shù)據(jù)的散點圖；(2)求相關(guān)系數(shù)r，并作出評價．解(1)圖略．(2)列表如下：ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi111524.813225615.042852211021.612100466.56237638018.46400338.561472413529.218225852.643942510522110254842310∑545116609752756.812952eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(545,5)＝109，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(116,5)＝23.2，r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(12952－5×109×23.2,\r(60975－5×1092)\r(2756.8－5×23.22))＝eq\f(308,\r(1570)×\r(65.6))≈0.96，由此可知，新房屋的銷售價格和房屋的大小之間有很強的正線性相關(guān)關(guān)系.【素養(yǎng)達成】一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．判斷變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，一般用散點圖，但在作圖中，由于存在誤差，有時很難判斷這些點是否分布在一條直線的附近，從而就很難判斷兩個變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，此時就可利用線性相關(guān)系數(shù)來判斷．3．|r|越接近1，它們的散點圖越接近一條直線，兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系越強．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．兩個變量之間的相關(guān)程度越低，則其線性相關(guān)系數(shù)的數(shù)值()A．越小 B．越接近1C．越接近0 D．越接近－1解析由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)知選C.答案C2．給定y與x的一組樣本數(shù)據(jù)，求得相關(guān)系數(shù)r＝－0.690，則()A．y與x線性不相關(guān) B．y與x正線性相關(guān)C．y與x負(fù)線性相關(guān) D．以上都不對解析因為r＝－0.690<0，所以y與x負(fù)線性相關(guān)．答案C3．(多選題)下列說法正確的是()A．變量間的關(guān)系是非確定性關(guān)系，因此因變量不能由自變量唯一確定B．線性相關(guān)系數(shù)可以是正的或負(fù)的C．如果r＝±1，說明x與y之間完全線性相關(guān)D．線性相關(guān)系數(shù)r∈(－1，1)解析∵相關(guān)系數(shù)|r|≤1，∴D錯誤．答案ABC4．某研究機構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356已知記憶力x和判斷力y是線性相關(guān)的，求相關(guān)系數(shù)r.解列表如下ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi16236412283649243105100255041261443672∑361634474158eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(36,4)＝9，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(16,4)＝4，∴r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(4),\s\do10(i＝1))xiyi－4\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up10(4),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up10(4),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)－4\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(158－4×9×4,\r(344－4×81)\r(74－4×16))≈0.99.【課后作業(yè)】基礎(chǔ)達標(biāo)一、選擇題1．已知某產(chǎn)品產(chǎn)量與產(chǎn)品單位成本之間的線性相關(guān)系數(shù)為－0.97，這說明二者之間存在著()A．高度相關(guān) B．中度相關(guān)C．弱度相關(guān) D．極弱相關(guān)解析由|－0.97|比較接近1知選A.答案A2．關(guān)于兩個變量x，y與其線性相關(guān)系數(shù)r，有下列說法：①若r>0，則x增大時，y也相應(yīng)增大；②若|r|越趨近于1，則x與y的線性相關(guān)程度越強；③若r＝1或r＝－1，則x與y的關(guān)系完全對應(yīng)(有函數(shù)關(guān)系)，在散點圖上各個散點均在一條直線上．其中正確的有()A．①② B．②③C．①③ D．①②③解析根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，變量之間的相關(guān)關(guān)系可利用相關(guān)系數(shù)r進行判斷：當(dāng)r為正數(shù)時，表示變量x，y正相關(guān)；當(dāng)r為負(fù)數(shù)時，表示兩個變量x，y負(fù)相關(guān)；|r|越接近于1，相關(guān)程度越強；|r|越接近于0，相關(guān)程度越弱．故可知①②③正確．答案D3．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A，B兩變量進行線性相關(guān)試驗，并分別求得相關(guān)系數(shù)r如表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85則這四位同學(xué)的試驗結(jié)果能體現(xiàn)出A，B兩變量有更強的線性相關(guān)性的是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析由相關(guān)系數(shù)的意義可知，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，相關(guān)性越強，結(jié)合題意可知，丁的線性相關(guān)性最強，故選D.答案D4．對于相關(guān)系數(shù)r，下列結(jié)論正確的個數(shù)為()①r∈[－1，－0.75]時，兩變量負(fù)相關(guān)很強②r∈[0.75，1]時，兩變量正相關(guān)很強③r∈(－0.75，－0.3]或[0.3，0.75)時，兩變量相關(guān)性一般④r＝0.1時，兩變量相關(guān)性很弱A．1 B．2C．3 D．4解析由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可知4個結(jié)論都正確．答案D5．對四對變量y和x進行線性相關(guān)檢驗，已知n是觀測值組數(shù)，r是相關(guān)系數(shù)，且已知：①n＝7，r＝0.9533；②n＝15，r＝0.3012；③n＝17，r＝0.4991；④n＝13，r＝0.9950.則變量y和x線性相關(guān)程度最高的兩組是()A．①② B．①④C．②④ D．③④解析相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1，變量x，y的線性相關(guān)程度越高．答案B二、填空題6．已知某個樣本點中的變量x，y線性相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r>0，平移坐標(biāo)系，則在以(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))為坐標(biāo)原點的坐標(biāo)系下的散點圖中，大多數(shù)的點都落在第__________象限．解析因為r>0，所以大多數(shù)的點都落在第一、三象限．答案一、三7．若已知eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2是eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2的4倍，eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))是eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2的1.5倍，則相關(guān)系數(shù)r的值為__________．解析由r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，得r＝eq\f(3,4).答案eq\f(3,4)8．部門所屬的10個工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)性固定資產(chǎn)價值x與工業(yè)增加值y資料如下表(單位：百萬元)：固定資產(chǎn)價值33566789910工業(yè)增加值15172528303637424045根據(jù)上表資料計算的相關(guān)系數(shù)為__________．解析eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3＋3＋5＋6＋6＋7＋8＋9＋9＋10,10)＝6.6.eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(15＋17＋25＋28＋30＋36＋37＋42＋40＋45,10)＝31.5.∴r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(10),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(10),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\o(∑,\s\up10(10),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))≈0.9918.答案0.9918三、解答題9．5個學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)绫恚簩W(xué)生學(xué)科ABCDE數(shù)學(xué)8075706560物理7066686462試用散點圖和相關(guān)系數(shù)r判斷它們是否有線性相關(guān)關(guān)系，若有，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？解散點圖法：涉及兩個變量：數(shù)學(xué)成績與物理成績，可以以數(shù)學(xué)成績?yōu)樽宰兞?，考察因變量物理成績的變化趨勢．以x軸表示數(shù)學(xué)成績，y軸表示物理成績，可得相應(yīng)的散點圖．由散點圖可見，兩者之間具有線性相關(guān)關(guān)系且是正相關(guān)．(相關(guān)系數(shù)r法)列表：ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi1807064004900560027566562543564950370684900462447604656442254096416056062360038443720∑350330247502182023190∴r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up6(－))2))))＝eq\f(23190－23100,\r(250×40))＝0.9＞0.∴兩變量具有相關(guān)關(guān)系且正相關(guān)．10．某火鍋店為了了解營業(yè)額y(百元)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計并制作了某6天當(dāng)天營業(yè)額與當(dāng)天氣溫的對比表．氣溫/℃261813104－1營業(yè)額/百元202434385064畫出散點圖并判斷營業(yè)額與氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系．解畫出散點圖如圖所示．eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(26＋18＋13＋10＋4－1)≈11.7，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈38.3，eq\o(∑,\s\up10(6),\s\do10(i＝1))xiyi＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1910，eq\o(∑,\s\up10(6),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝262＋182＋132＋102＋42＋(－1)2＝1286，eq\o(∑,\s\up10(6),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10172，由r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(6),\s\do10(i＝1))xiyi－6\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up10(6),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up10(6),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)－6\o(y,\s\up6(－))2))，可得r≈－0.98.由于|r|的值較接近1，所以x與y具有很強的線性相關(guān)關(guān)系．能力提升11．為考察兩個變量x，y的相關(guān)性，搜集數(shù)據(jù)如下表，則兩個變量的線性相關(guān)程度()x510152025y103105110111114A.很強 B．很弱C．無相關(guān) D．不確定解析eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xi＝75，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))y＝543，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝1375，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xiyi＝8285，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝59051，eq\o(x,\s\up6(－))＝15，eq\o(y,\s\up6(－))＝108.6，r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xiyi－5\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\r(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)\r(\o(∑,\s\up10(5),\s\do10(i＝1))yeq\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(8285－5×15×108.6,\r(1375－5×152)×\r(59051－5×108.62))≈0.9826，故相關(guān)程度很強．答案A12．下圖是我國2012年至2018年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2012～2018.由折線圖看出，y與t有線性相關(guān)關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明．附注：參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))yi＝9.32，eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))tiyi＝40.17，eq\r(\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（ti－\o(t,\s\up6(－))）2\o(∑,\s\up10(n),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)).解由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得eq\o(t,\s\up6(－))＝4，eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))2＝28，eq\r(\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)＝0.55.eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))tiyi－eq\o(t,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up10(7),\s\do10(i＝1))yi＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈eq\f(2.89,0.55×2×2.646)≈0.99.因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，所以y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高．創(chuàng)新猜想13．(多選題)對于線性相關(guān)系數(shù)r，以下說法錯誤的是()A．r只能是正值，不能為負(fù)值B.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))≤1，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越接近于1，相關(guān)程度越大；相反則越小C.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))≤1，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越接近于1，相關(guān)程度越??；相反則越大D．r<0時表示兩個變量無相關(guān)解析由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)知B正確，其余均錯誤．答案ACD《8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性》分層同步練習(xí)【基礎(chǔ)達標(biāo)練】1.在下列散點圖中,變量x,y不具有相關(guān)關(guān)系的是()解析由相關(guān)關(guān)系的定義,如果散點大部分分布在一條曲線附近,那么就說這兩個變量具有相關(guān)關(guān)系,可知選項D的散點沒有這一特征,不具有相關(guān)關(guān)系.故選D.答案D2.為了研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下,隨時間變化的繁殖情況,得到如下實驗數(shù)據(jù),并分析可得經(jīng)驗回歸方程為y^天數(shù)x/天34567繁殖個數(shù)y/千個2.5344.5cA.5 B.6C.7 D.8解析∵x=3+4+5+6+75=5,且(x,y)在經(jīng)驗回歸直線上,∴(2.5+3+4+4.5+c)=4×5=20,解得c=6.故選B.答案B3.對變量x,y進行回歸分析時,依據(jù)得到的4個不同的模型畫出殘差圖,則下列模型擬合精度最高的是()解析用殘差圖判斷模型的擬合效果,殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說明這樣的模型比較合適.若帶狀區(qū)域的寬度越窄,則說明模型的擬合精度越高.答案A4.某咖啡廳為了了解熱飲的銷售量y(單位:杯)與氣溫x(單位:℃)之間的關(guān)系,隨機統(tǒng)計了某4天的銷售量與氣溫,并制作了對照表:氣溫/℃181310-1銷售量/杯24343864由表中數(shù)據(jù)分析,可得經(jīng)驗回歸方程y^=-2x+a.當(dāng)氣溫為-4℃A.68杯 B.66杯 C.72杯 D.77杯解析∵x=18+13+10-14∴y=-2x+a,即a=40+2×10=60.∴經(jīng)驗回歸方程為y^∴當(dāng)x=-4時,y^答案A5.某相關(guān)變量x,y的散點圖如圖所示,現(xiàn)對這兩個變量進行回歸分析,方案一,根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)分析,可得到經(jīng)驗回歸方程y^=b1x+a1,樣本相關(guān)系數(shù)為r1;方案二,剔除點(10,32),根據(jù)剩下數(shù)據(jù)分析,可得到經(jīng)驗回歸方程y^=b2x+a2,樣本相關(guān)系數(shù)為r2.則A.0<r1<r2<1 B.0<r2<r1<1C.-1<r1<r2<0 D.-1<r2<r1<0解析由題中散點圖可知,變量x和y成正相關(guān),故0<r1<1,0<r2<1,在剔除點(10,32)之后,可看出經(jīng)驗回歸直線y^=b2x+a2的線性相關(guān)程度更強,故r1<r2所以0<r1<r2<1.故選A.答案A6.關(guān)于殘差圖的描述錯誤的是()A.殘差圖的橫坐標(biāo)可以是樣本編號B.殘差圖的橫坐標(biāo)也可以是解釋變量或響應(yīng)變量C.殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄R2越小D.殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小解析殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄,說明模型擬合精度越高,則殘差平方和越小,此時R2的值越大,故描述錯誤的是選項C.答案C7.由一組觀測數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),經(jīng)分析可得經(jīng)驗回歸方程為y^=3x+a^,若x=1.5,y=2,則a^解析因為x=1.5,y=2,經(jīng)驗回歸方程為y^=3x+a^,所以2=3×1.5+a^答案-2.58.某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動,一組同學(xué)獲得了下面的一組試驗數(shù)據(jù):x1.99345.18y0.991.582.012.353.00現(xiàn)有如下5個模擬函數(shù):①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8;④y=log2x;⑤y=12請從中選擇一個模擬函數(shù),使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,應(yīng)選.(填序號)解析畫出散點圖如圖所示.由圖可知上述散點大體分布在函數(shù)y=log2x的圖象的附近,故選擇y=log2x可以近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律.故填④.答案④9.某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷,得到如下數(shù)據(jù):單價x/元88.28.48.68.89銷量y/件908483807568(1)求銷量y關(guān)于單價x的經(jīng)驗回歸方程y^=b^x+a^(2)預(yù)計在今后的銷售中,銷量與單價仍然服從(1)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元?(利潤=銷售收入-成本)解(1)因為x=16所以a^=y(2)設(shè)工廠獲得的利潤為L(單位:元),依題意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1000=-20x-當(dāng)且僅當(dāng)x=334故當(dāng)單價定為8.25元時,工廠可獲得最大利潤.10.在一段時間內(nèi),某網(wǎng)店一種商品的銷售價格x(單位:元)和日銷售量y(單位:件)之間的一組數(shù)據(jù)如下表:價格x/元2220181614日銷售量y/件3741435056求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程,并用R2說明擬合效果.參考數(shù)據(jù):∑i=15xiyi=3992,解作出散點圖(圖略),觀察散點圖可知這些點散布在一條直線的附近,故可知x與y線性相關(guān).因為x=y=所以b^a^所以經(jīng)驗回歸方程為y^yi-y^i與yi-yi-y10.3-2.4-0.11.2yi-y-8.4-4.4-2.44.610.6計算得∑i=15(yi-y^∑i=15(yi-y)所以R2=1-8.因為0.964很接近于1,所以該模型的擬合效果比較好.【能力提升練】1.如圖,若去掉D(3,10)后,則下列說法錯誤的是()A.樣本相關(guān)系數(shù)r變大B.殘差平方和變大C.R2變大D.解釋變量x與響應(yīng)變量y的相關(guān)性變強解析由題中散點圖,可知去掉點D后,x與y的相關(guān)性變強,且為正相關(guān),所以r變大,即R2變大,殘差平方和變小.答案B2.已知(x,y)的一組數(shù)據(jù)為(1,2),(3,5),(6,8),(x0,y0),且y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y^=x+2,則x0-y0A.-3 B.-5 C.-2 D.-1解析x=14(10+x0),y∵經(jīng)驗回歸方程為y^∴14(15+y0)=14(10+x解得x0-y0=-3.故選A.答案A3.某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位:℃)的關(guān)系,在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗,由實驗數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散點圖:由此散點圖,在10℃至40℃之間,下面四個函數(shù)模型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的經(jīng)驗回歸方程模型的是()A.y=a+bx B.y=a+bx2C.y=a+bex D.y=a+blnx解析結(jié)合題中散點圖,由圖象的大致走向判斷,此函數(shù)應(yīng)該是對數(shù)函數(shù)模型,故應(yīng)該選用的函數(shù)模型為y=a+blnx.答案D4.某工廠為研究某種產(chǎn)品產(chǎn)量x(單位:噸)與所需某種原材料y(單位:噸)的相關(guān)關(guān)系,在生產(chǎn)過程中收集了4組對應(yīng)數(shù)據(jù)(x,y)如下表所示:x3456y2.534m根據(jù)表中數(shù)據(jù),得出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y^=0.7x+a.據(jù)此計算出在樣本(4,3)處的殘差為-0.15,則表中m的值為解析由在樣本(4,3)處的殘差為-0.15,可得y^由題意可知產(chǎn)量x的平均值為x=因為經(jīng)驗回歸直線過點(x,所以y=0.7x+0.35=0.7×4.5+0.35=3.5.又因為y=所以m=4.5.答案4.55.某品牌服裝專賣店為了解保暖襯衣的銷售量y(單位:件)與平均氣溫x(單位:℃)之間的關(guān)系,隨機統(tǒng)計了連續(xù)四旬的銷售量與當(dāng)旬平均氣溫,其數(shù)據(jù)如下表:時間二月上旬二月中旬二月下旬三月上旬旬平均氣溫x/℃381217旬銷售量y/件55m3324由表中數(shù)據(jù)算出經(jīng)驗回歸方程y^=b^x+a^中的b(1)表中數(shù)據(jù)m=.(2)氣象部門預(yù)測三月中旬的平均氣溫約為22℃,據(jù)此估計,該品牌的保暖襯衣在三月中旬的銷售量約為件.解析(1)由y=(2)由a^=y故y^當(dāng)x=22時,y^故三月中旬的銷售量約為14件.答案(1)40(2)146.流行性感冒(簡稱流感)是流感病毒引起的急性呼吸道感染,是一種傳染性強、傳播速度快的疾病.其主要通過空氣中的飛沫、人與人之間的接觸或與被污染物品的接觸傳播.流感每年在世界各地均有傳播,在我國北方通常呈冬春季流行,南方有冬春季和夏季兩個流行高峰.某幼兒園將去年春季該園患流感小朋友按照年齡與人數(shù)統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù):年齡x23456患病人數(shù)y2222171410(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程;(2)計算樣本相關(guān)系數(shù)r(計算結(jié)果精確到0.01),并回答是否可以認(rèn)為該幼兒園去年春季患流感人數(shù)與年齡負(fù)相關(guān)很強?(若|r|∈[0.75,1],則x,y相關(guān)性很強;若|r|∈[0.3,0.75),則x,y相關(guān)性一般;若|r|∈[0,0.25],則x,y相關(guān)性較弱.)參考數(shù)據(jù):30≈5.477.參考公式:b^樣本相關(guān)系數(shù)r=∑i=1解(1)由題意可得x=2+3+4+5+65b^(-2a^故y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y^(2)r=∑i=1-32由r<0,可知x,y負(fù)相關(guān).又因為|r|∈[0.75,1],所以x,y相關(guān)性很強.因此,可以認(rèn)為該幼兒園去年春季患流感人數(shù)與年齡負(fù)相關(guān)很強.7.為了防控疫情,某醫(yī)療科研團隊攻堅克難研發(fā)出一種新型防疫產(chǎn)品,該產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成,每件產(chǎn)品的非原料成本y(單位:元)與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x(單位:千件)有關(guān),根據(jù)已經(jīng)生產(chǎn)的統(tǒng)計數(shù)據(jù),繪制了如右的散點圖:觀察散點圖,兩個變量不具有線性相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)考慮用函數(shù)y=a+bx對兩個變量的關(guān)系進行擬合.參考數(shù)據(jù)如下其中ui=1xiuu∑∑i=16∑∑i=16ui00.410.16811.49230620858.44173.850.39(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程,并求y關(guān)于u的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);(2)該產(chǎn)品采取訂單生