2022年中考數學壓軸題選講

2022年中考數學壓軸題選講

-、選擇題(本大題共6小題)

1.已知M,N兩點關于y軸對稱，且點例在反比例函數丫=-!■的圖象上，點N在一

2x

次函數y=x+3的圖象上，設點M的坐標為(a,b),則二次函數y="x2+(a+8)x

()

A.有最小值，且最小值是2

2

B.有最大值，且最大值是-2

2

c.有最大值，且最大值是2

2

D.有最小值，且最小值是-2

2

2.二次函y=or2+公+c的圖象如圖所示，則一次函數y=加+。與反比例函數

3.二次函數尸/+/ZT+C的圖象如圖所示,則反比例函數y=g與一次函數y=bx+c

x

在同一坐標系中的大致圖象是()

4.二次函數）=以2+法+。的圖象如圖所示，則一次函數y=fex-ac與反比例函數

》=竺比在同一坐標系內的圖象大致為（）

cD

5.如圖①，正方形力靦中，AC,劭相交于點0,后是勿的中點.動點尸從點￡出

發(fā)，沿著EfAB—A的路徑以每秒1個單位長度的速度運動到點A,在此過程

中線段4〃的長度y隨著運動時間x的函數關系如圖②所示,則的長為（）

6?如圖，正方形ABCD中，AC、BD相交于點0,P是BC邊上的一點，且PC=2PB,連

接AP、OP、DP,線段AP、DP分別交對角線BD、AC于點E、F.過點E作EQ±

AP,交CB的延長線于Q.下列結論中：

@ZPAO+APDO+ZAPD=90°；②AE=EQ；③sinNP4C=§；④S正方形ABCD=1°端邊脛0RPF

其中正確的結論有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題(本大題共5小題)

7.已知二次函數wd+fer+c交X軸于A,3兩點，交y軸于C點，且△A3C是等腰

三角形，請寫出一個符合要求的二次函數的解析式.

8.閱讀下列內容后，解答下列各題：

幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定.

例如：考查代數式(x-l)(x-2)的值與0的大小

當x<1口寸，%—1<0,X—2<0>..(x-l)(x-2)>0

當1cx<2時，x-l>0,x-2<0,/.(x-l)(x-2)<0

當x>2時，x-l>0,x-2>0,(x-l)(x-2)>0

綜上：當1cx<2時，(x-l)(x-2)<0;當x<l或x>2時，(x-l)(x-2)>0

(1)由以上知識可知，當x滿足時，(x+2)(x+l)(x-3)(x-4)<0;

(2)運用你發(fā)現的規(guī)律，直接寫出當x滿足時，(x-7)(x+8)(x-9)<0.

9.如圖，4?是。。的直徑，弦C￡>_LAB,垂足為E,P是A4延長線上的點，連結尸C

交。O于F,如I果PF=7,尸C=13,且必:AE:E3=2:4:1,那么CD的長是

10.二次函數y=/+6x+c，的圖象的頂點為。，與x軸正方向從左至右依次交于A,B

兩點，與y軸正方向交于C點，若△9和△O8C均為等腰直角三角形(。為

坐標原點)，則b+2c=.

11.如圖，已知在菱形ABCD,BC=9,ZABC=60。，點E在BC上，且BE=6,

將MBE沿AE折疊得到\AB'E,其中交CD于點F,則CF=

三、解答題（本大題共20小題）

12.已知：如圖，C為。。上一點，交。。于B,連結AC、BC,S.ZDCB=ZCAB.求

證：（1）DC為。。的切線；（2）CD2=ADBD.

13.已知關于x的一元二次方程（加+2）/-2》-1=0.

（1）若此一元二次方程有實數根，求面的取值范圍；

（2）若關于x的二次函數必=（機+2）/-2*一1和%=（%+2）太2+wx+/n+l的圖象

都經過x軸上的點（力0）,求.勿的值；

（3）在（2）的條件下，將二次函數%=（相+2]-2了-1的圖象先沿x軸翻折,

再向下平移3個單位，得到一個新的二次函數為的圖象.請你直接寫出二次函

數X的解析式，并結合函數的圖象回答：當x取何值時，這個新的二次函數內的

值大于二次函數%的值.

14.已知拋物線C:丫=*2-(加+1)》+1的頂點在坐標軸上.

(1)求機的值；

(2)加>0時，拋物線c向下平移〃(〃>o)個單位后與拋物線G：片加+法+c關

于y軸對稱，且G過點5,3)，求G的函數關系式；

15.已知二次函數圖象的頂點坐標為"(2,0),直線廣加2與該二次函數的圖象交

于/、8兩點，其中點力在y軸上(如圖示)

(1)求該二次函數的解析式；

(2)尸為線段46上一動點(/、6兩端點除外)，過P作x軸的垂線與二次函數

的圖象交于點Q,設線段尸0的長為1,點尸的橫坐標為x,求出1與x之間的函

數關系式，并求出自變量x的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，線段四上是否存在一點只使四邊形故園為梯形.若

存在，求出點夕的坐標，并求出梯形的面積；若不存在，請說明理由.

16.如圖所示，在平面直角坐標系中，矩形450c的邊80在x軸的負半軸上，邊。？在

y軸的正半軸上，且4?=1,08=6,矩形ABOC繞點。按順時針方向旋轉60

后得到矩形EF8.點A的對應點為點￡,點8的對應點為點尸，點C的對應

點為點。，拋物線丫=加+法+0過點A,E,D.

(1)判斷點E是否在y軸上，并說明理由；

(2)求拋物線的函數表達式；

(3)在x軸的上方是否存在點P,點Q,使以點O,8,P,Q為頂點的平行四邊

形的面積是矩形他OC面積的2倍，且點P在拋物線上，若存在，請求出點P,

點。的坐標；若不存在，請說明理由.

17.已知二次函數y=；V+fev+c的圖象經過點A(-3,6)并且與x軸相交于點8(-1,0)

和點C,頂點為P

(1)求二次函數的解析式；

(2)設。為線段OC上一點，滿足ZDPC=N8AC,求點。的坐標

18.如圖，已知二次函數圖象的頂點為原點，直線y=；x+4的圖象與該二次函數的圖

象交于A點(8,8),直線與x軸的交點為C,與y軸的交點為B.

(1)求B點的坐標與這個二次函數的解析式；

(2)P為線段4?上的一個動點(點P與A、3不重合)，過P點作x軸的垂線

與這個二次函數的圖象交于。點，與x軸交于點E.設該線段叨的長為/?,點尸

的橫坐標為「，求人與，之間的函數解析式，并寫出自變量『的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，在線段相上是否存在點P,使得以點P、D、B為頂

點的三角形與△BOC相似？若存在，請求出產點的坐標；若不存在，請說明理

由.

19.如圖，拋物線y=-/+bx+c與x軸交與A(l,0),8(-3,0)兩點.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)設(1)中的拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,

使得△QAC的周長最小？若存在，求出。點的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P,使4PBC的面積最大？，

若存在，求出點P的坐標及△P8C的面積最大值.若沒有，請說明理由.

20.已知關于x函數y=(2/)x?-2x+)l

(1)若此函數的圖像與坐標軸只有2個交點，求出的值.

(2)求證：關于x的一元二次方程(2/)f-2x+&=0必有一個根是1.

21.己知：如圖，AABC內接于?O,4?為直徑，NCB4的平分線交AC干點尸，交QO

于點。，。尸于點E,且交AC于點P,連接4).

(1)求證：NDAC=NDBA

(2)求證：點尸是線段AF的中點

⑶若OO的半徑為5,AF=^,求的值.

D

22.已知：關于x的一元一次方程"=x+2①的根為正實數，二次函數尸

(cWO)的圖象與x軸一個交點的橫坐標為1.

(1)若方程①的根為正整數，求整數A的值；

(2)求代數式儂)=從+岫的值;

(3)求證：關于x的一元二次方程a。-。戶②必有兩個不相等的實數根.

23.已知：關于x的一元二次方程皿2_(3〃7_2)1+2m-2=0.

(1)若方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，求證：無論“取何值，拋物線丫=皿2_(3〃?_2)》+2,〃-2總

過x軸上的一個固定點；

(3)若加為正整數，且關于x的一元二次方程"￡-(3,〃-2)x+2%-2=0有兩個不

相等的整數根，把拋物線片病-(3吁2口+2吁2向右平移4個單位長度，求平

移后的拋物線的解析式.

24.如圖，二次函數尸aV+6x的圖象與一次函數產矛+2的圖象交于/、△兩點，點4

的橫坐標是-1,點6的橫坐標是2.

(1)求二次函數的表達式；

(2)設點。在二次函數圖象的如段上，求四邊形如a'面積的最大值.

25.如圖，在△ABC中，AB-AC,以4?為直徑的0。交AC與E,交BC與D.

求證：（1）。是BC的中點；（2）△BECsaADC；（3）BC1=2ABCE.

26.如圖，拋物線產；/+云-2與x軸交于兩點，與y軸交于C點，且4（-1,0）.

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論；

（3）點M（%,0）是x軸上的一個動點，當MC+MD的值最小時，求加的值.

27.如圖，點。是坐標原點，點A（〃，0）是x軸上一動點（〃<0）.以40為一邊作矩形

AQ8C,點C在第二象限，且03=204.矩形AOBC繞點A逆時針旋轉90。得矩

形AG￡>E.過點A的直線y="+機（4工0）交y軸于點F,FB=FA.拋物線

>=江+法+c過點￡、F、G且和直線AF交于點”，過點〃作軸，垂

足為點M.

(1)求Z的值；

(2)點A位置改變時，ZVVWW的面積和矩形AO3C的面積的比值是否改變？說

明你的理由.

28.已知A、。是一段圓弧上的兩點，且在直線/的同側，分別過這兩點作/的垂線,

垂足為8、C，E是BC上一動點，連結4入&DE,且ZAED=90。.

⑴如圖(1),如果A8=6,BC=16,且8￡:C￡=1:3,求4)的長；

⑵如圖⑵，若點E恰為這段圓弧的圓心，則線段AB、BC8之間有怎樣的等量

關系？請寫出你的結論并予以證明.再探究：當4。分別在直線/兩側且

AB手CD，而其余條件不變時，線段AB、BC、8之間又有怎樣的等量關系？請

直接寫出結論，不必證明.

圖⑴

29.如圖1,OO中43是直徑，C是OO上一點，ZABC=45。，等腰直角三角形。CE中

ZDCE是直角，點。在線段AC上.

(1)證明：8、C、E三點共線;

(2)若M是線段BE的中點，N是線段4)的中點，證明：MN=y/2OM;

(3)將繞點C逆時針旋轉a(0。＜。＜90。)后，記為△〃(7可(圖2)，若必

是線段8月的中點，乂是線段AQ的中點，是否成立？若是，請證

明；若不是，說明理由.

圖1圖2

30.如圖,已知拋物線y=a(x-l)2+3由("0)經過點4(-2,0),拋物線的頂點為。,

過。作射線O"〃AZ).過頂點。平行于x軸的直線交射線于點C,8在x軸

正半軸上，連結BC.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若動點P從點O出發(fā)，以每秒1個長度單位的速度沿射線OM運動，設點P

運動的時間為心).問當，為何值時，四邊形ZMQP分別為平行四邊形？直角梯

形？等腰梯形？

(3)若OC=OB，動點P和動點。分別從點。和點8同時出發(fā)，分別以每秒1

個長度單位和2個長度單位的速度沿OC和BO運動，當其中一個點停止運動時

另一個點也隨之停止運動.設它們的運動的時間為r(s),連接PQ,當/為何值

時，四邊形8CPQ的面積最小？并求出最小值及此時的長.

31.如圖，已知拋物線G：)，=a(x+2)2-5的頂點為尸，與x軸相交于4、6兩點(點”

在點8的左邊)，點8的橫坐標是1.

(1)求P點坐標及。的值；

(2)如圖(1),拋物線G與拋物線G關于x軸對稱，將拋物線G向右平移，平

移后的拋物線記為圓G的頂點為憶當點只"關于點6成中心對稱時，求G

的解析式；

（3）如圖（2）,點0是x軸正半軸上一點，將拋物線G繞點0旋轉180°后得

到拋物線C.拋物線G的頂點為"與x軸相交于反尸兩點（點￡在點尸的左

邊），當以點只從尸為頂點的三角形是直角三角形時，求點0的坐標.

中考數學壓軸題選講答案解析

—,、選擇題

1.D；先用待定系數法求出二次函數的解析式，再根據二次函數圖象上點的坐標特點

求出其最值即可

2.D

3.D；先根據二次函數的圖象開口向下可知“<0,再由函數圖象經過原點可知c=0,

利用排除法即可得出正確答案

4.B

5.A;解:如圖，連接花

圖①

???四邊形/發(fā)力是正方形，

：.ACVBD,OA=OC=OD=OB,

由題意DE=0E,設DE=0E=x,則0A=0D=2x,

■:AE=2爬,

：.x+(2x)2=(2A/5)2,

解得x=2或-2(不合題意舍棄)，

：.OA=OD=\,

:.AB=AD=AM，

6.B

二、填空題

7>=公-2等(答案不唯一)；，.,二次函數>=加+bx+c,交x軸于A,8兩點，交y軸

于C點，且A/WC是等腰三角形.?.當AO=8O時，C點坐標為只要不為0即可.

8-(1)-2<x<-l或3Vx<4；(2)x<-8或7Vx<9.

94M.

10.2；由已知，得C(O，c)、/上1三，o］、8卜嗎一，0、、

7

（h"4c）

I24J

過。作￡）E_LAB于點￡,則2DE=AB,

B|J2x-———=y]b2-4c,得：b2-4c=2y1b2-4c,

4

?\揚-4。=0或"2-4C=2.

又IT-4C>0,/.-4c=2.

又，：OC=OB,即：c=3，「竺,得：h+2c=^h2-4c=2.

故答案為:2.

【解析】二次函數綜合題.此題主要考查了二次函數與坐標軸交點的表示方法,

以及等腰直角三角形的性質等知識，得出2DE=45,是解決問題的關鍵.

9

5

掃.、解答題

12.(1)連結OC并延長交。。于E,連結3E.

可知CE是。。的直徑，/.ACBE=90°,/.AE+ABCE=9QP

'：NCAB=NE,ZDCB=ZCAB,/.ZDCB=ZE,

,ZDCB+ZBCE=90°

?.?慮是直徑，,8是。。的切線..

(2)YNOCB=NC4B,ND是公共角，

:.ABDC^ACDA,

?CDBD

??----=-----,即AMCD7=AD-BD.

ADDC

c

D

點評：不是所有證明切線的問題只要連半徑就都能解決，例如此題，遇到圓周

角的關系，只連半徑就不太好用了，就要變半徑為直徑.“弦切角”已經從初中

課本中刪除，作為預習課我們這里也不作介紹，如果學生水平較高，這里老師

也可以稍微提一下.

13.(1)根據題意,得夕”20解得

A=(一2)*-4(m+2)x(-l)>0.[m>-3.

Am的取值范圍是m2—3且m#—2.

(2)關于x的二次函數y=0+2)/一21-1和%=(〃?+2)/+如+機+1的圖象

都經過x軸上的點(n,0),

/.(m+2)n2-2〃-1=(〃？+2)n2+mn+加+1.

解得n二一1.

當n=—1時，m+2+2—1=0,

解得m=—3.

2

(3)y3=x+2x-2\

當x的取值范圍是%＞?；驘o〈-1時，二次函數內的值大于二次函數為的值.

14.當拋物線。的頂點在冗軸上時

△=[一(加+1)]2-4=0

解得加=1或相=-3

當拋物線C的頂點在)，軸上時

_("7+1)=0

?'m——\

綜上加=±1或〃？=-3.

(2)當加＞0時，m=l

拋物線。為y=f—2x+l.

向卜平移個單位后得到y(tǒng)=x2-2x4-1-/?

拋物線)，=Y—2x+1-〃與拋物線G：尸加+云+c,關于y軸對稱

??a=l9b=29c=1—n

，拋物線G：y=x2+2x+l-n

?.'G過點(〃,3)

**?n~+In+1—〃=3,BP/?2+/j—2=0

解得〃i=l,%=-2(由題意”>0,舍去)，〃=1

，拋物線G：y=x2+2x

15.(1)依題意，設二次函數的解析式為y=a(x-2)2,

由于直線y=x+2與y軸交于(0,2),

x=0,y=2

滿足y=a(x-2):于是求得a=—,

2

二次函數的解析式為產,(x-2)2；

2

(2)依題意得，PQ-\=(x+2)-i(x-2)2=-ix2+3x,

y=x+2

由lz、2,求得點8的坐標為(6,8),.-.0<^<6；

(3)由(2)知夕的橫坐標為0VxV6時，必有對應的點0在拋物線上；

反之，Q的橫坐標為0<x<6時，在線段AB上必有一點P與之對應.

假設存在符合條件的點P，由題意得AM與PQ不會平行，

因此梯形的兩底只能是AP與MQ,

?.?過點必(2,0)且平行48的直線方程為尸x-2,

y=x-2

由1,"，解得尸2或年4

產井-2)-

過M點的直線與拋物線的另一交點為(4,2),

???此交點橫坐標4,落在0VxV6范圍內，

二0的坐標為(4,2)時，P(4,6)符合條件，

即存在符合條件的點尸，其坐標為(4,6),

設直線AB與x軸交于N,由條件可知，4ANM是等腰直角三角形，即AM=AN=20,

AP=PN-AN=6夜-2忘=4夜，MQ=2上,

AM為梯形PQMA的高，

?e?S梯彩=—(2V2+4^/2)X2^/2=12.

2

【解析】本題考查了二次函數解析式的確定、圖形的面積求法、函數圖象交點、

梯形的判定等知識及綜合應用知識、解決問題的能力.

16.(1)點E在y軸上

理由如下：連接AO,如圖所示，在用AABO中，

VAB=\,BO=G,/.AO=2,：.smAAOB=-,：.AAOB=30

2

由題意可知：ZAOE=60

/.ABOE=ZAOB+ZAOE=30+60=90.

?.?點8在x軸上，.?.點￡在y軸上.

(2)過點。作。W_Lx軸于點用

?；OD=1,ZDOM=30

1R

，在RfADO歷中，DM=—，OM=—

22

?.?點。在第一象限，.?.點。的坐標為［三■，：

由(1)知EO=AO=2,點E在y軸的正半軸上

...點E的坐標為(。,2),點A的坐標為卜g,l)

?拋物線丫=加+以+。經過點E,；.c=2

//r.\3a-\［3b+2=1

由題意，將A(—j3,1),￡)—，-代入y=/+6x+2中得，，30［，解

I，)—〃+——8+2=一

1422

8

a=—

得\

9

...所求拋物線表達式為：丫=一§/-9X+2

99

（3）存在符合條件的點2，點Q.

理由如下：

,/矩形ABOC的面積=ABBO=C

...以。、B、P、Q為頂點的平行四邊形面積為26.

由題意可知03為此平行四邊形一邊，

又?.?08=75,...08邊上的高為2.

依題意設點P的坐標為（〃?，2）

???點P在拋物線y=一述x+2上

99

?..一§/一述a+2=2

99

解得町=0,/n,=~~^，

?.?以。、B、P、。為頂點的四邊形是平行四邊形,

,PQ//OB,PQ=OB=拒,

二當點6的坐標為（0,2）時，

點Q的坐標分別為Q1百,2）,°?便，2）,

當點？的坐標為卜挈，2）時，

點Q的坐標分別為。3[-為回，2

【解析】本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形旋轉變換、平行

四邊形的性質等知識點，綜合性強，能力要求較高.考查學生數形結合的數學

思想方法.

2

17.(1)y=lx-x--；(2)[-,0

■2213

【解析】(1)函數圖象經過點A(-3,6),B(T,0),

1

6=—x(―3)92—3h+c,

<2,解得卜=—1,c=—o

0=lx(-l)2-&+cI2

2

???二次函數解析式為—J

22

(2)y=-x2-x--=—(x-\)2-2f?,?頂點P的坐標為(1,一2)。

222

1O

由方程—f-x-，=0,得玉=3,x,=-1。.?.點C的坐標為(3,0)。

22

過點4,尸分別作A￡,PF垂直于x軸，垂足分別為E,F(如圖所示)

那么AE=|XJ=6,EC=EO+OC=3+3=6,

:.AE=CE,

即A/正C是等腰直角三角形，

/.ZACf=45°,同理可得APFC是等腰直角三角形，，ZPCF=45°.

設點。的坐標為(a,0),那么￡>C=OC-8=3-a,

NPCD=ZACB,ZDPC=ABAC,/.ADPCsABAC,

?噗喑即WI，解得嗎|.

.??點D的坐標為(I,0).

18.(1)令x=0,代入y=；x+4,/.y=4,：.4).

設y=/,把(8,8)代入得:82-a=8,：.a=-,：.y=-x2.

88

⑵???點P的橫坐標為...公》+4；DE：%,.

2

,PD=PE-DE=-t+4--t2,/?=-1/+1f+4(0<r<8)

28

(3)存在,

①當NPD3=ZBOC=90。時,

,?BD//CE,/.ZPBD=ZBCO.：./\PDB^/\BOC,—

BOCO

1,T，.TR.

令y=—x+4=0,得x=—8,/?C（-8>0）,CO=8.?\---------------=—.

248

化簡得：*=32.解得：乙=4及；/2=-4>/2<0（不合題意，舍去）.

把“4夜代入y=；x+4,得y=20+4.

.?.點P的坐標為（4夜，2夜+4）.

②當NP3D=NBOC=90。時，

PD//BO,/.ZDPB=Z.CBO././\PBD^/\BOC.

過點。作OF_L08,

,?ZDPB+APDB=90°,ZBDF+APDB=90°,

:.ZBDF=ZDPB=NCBO.

iDFRF

??/BFD=/COB,/\DFB^/\BOC.丁BF=BO—OF=4一一r,二-----—,?二

8BOCO

4--t2

L=8

48,

化簡得：*+16f-32=0.

解得：解得：tt=-8+4x/6;r2=-8-4>/6<0（不合題意，舍去）

把4=-8+46代入y=；x+4,得：y=2指,

P點的坐標為卜8+4的，2㈣,

.,.當P點的坐標為18+4指,2a）或（4&,2a+4）時，以點P、。、8為頂點的

三角形與刈。。相似.

【解析】二次函數綜合題。此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的判定等

知識，熟練應用相似三角形的判定與性質是解決問題的關鍵.

-1+b+c=0.ib=-2

19?⑴將4(1,0),8(-3,0)代y=-x2+bx+c中得,

-9-38+c=0'"|c=3

???拋物線解析式為：），=-f_2x+3

（2）存在

理由如下：由題知4、B兩點關于拋物線的對稱軸x=T對稱.

???直線8C與x=T的交點即為。點，此時△QAC周長最小

Vy=-x2-2x+3；.C的坐標為：（0,3）

???直線8c解析式為：y=x+3.

fjy——]=一|

，Q點坐標即為一「的解，，"

[y=x+3[y=29

Q（T，2）

（3）存在.

理由如下：設尸點（x，-丁-2犬+3）且（-3。＜0）

9什4

?$4BPC=S四邊形8PCO—S&BOC=S四邊形BPCO一/，右S四邊形方也）有最大值，貝（J^^BPC就取大.

??S四邊形BPCO-S心△8/>￡+S自角梯形PE0C=；BEPE+；OE(PE+OC)

=^(X+3)(-X2-2X+3)+^(-X)(-X2-2X+3+3)

丫

=一3一/元+3—+9—+2——7

212)28

3927.$_927_9_27

當％時,S四邊形BPCO最大值—+一??J/kBPC最大值一耳十耳一§一后~

28

715

當工=_：時，_/_2無+3=寧

315

???點P坐標為，

24

【解析】二次函數與三角形綜合，軸對稱與線段和差最值問題，坐標與面積

2。.⑴分情況討論:

(i)4一1=0時，得Z=1.

此時y=4x+l與坐標軸有兩個交點，符合題意.

(ii)-0時,得到一個二次函數.

①拋物線與x軸只有一個交點，

△=ft2-4?c=(-2)2-4A:(2-A:)=4(jt-l)2

解得女=1(舍去)

②拋物線與x軸有兩個交點，其中一個交點是(0,0)

把(0,0)帶入函數解析式，易得k=O

(2)設關于x的一元二次方程(2-%)x2-2x+A=0的兩個實數根分別為不，9

._-/>±4b'-4ac_2±2(/:-1)

?，x一2^-2(2-k)

二必有一個根是1

21.(1)?.?加>平分NCR4,

:.NCBD=ZDBA,

,：ZDAC與NCBD都是8所對的圓周角,

:.ZDAC=NCBD,

:.ZDAC=ZDBA；

(2)AB為直徑，，ZADB=9O°,

「DE上AB于E,

/DEB=90。,

?\ZADE+NEDB=ZABD+NEDB=90。,

，ZADE=ZABD=ZDAP，

：.PD=PA，

VZDE4+ZZMC=ZADE+ZPDF=90°,且ZADB=90。，

，ZPDF=ZPFD,

/.PD=PF，

:.PA=PF，

即：P是AF的中點；

(3)VZDAF=ADBA,ZADB=ZFDA=90°,

/\FDA^^ADB,

?ADAF

??----=----9

DBAB

153

J在他△ARD中，tanZABO=—+10=-,

24

3

即：tanZABF=-.

4

【解析】(1)根據圓周角定理得出ZZMC=NC8。，以及NCBD=NDBA得出答案

即可;

(2)首先得出ZAZ)3=90。，ZDFA+ZDAC=ZADE+ZPDF=90°,且

NAZ)8=90。得出

APDF=APFD,從而得出d=P尸；

(3)利用相似三角形的判定得出即可得出答案.

【點評】此題主要考查了相似三角形的判定以及圓周角定理和等腰三角形的性

質，根據證明產。=%以及叨=所，得出答案是解決問題的關鍵.

22.(1)解：由辰=x+2,得(&-l)x=2.

依題意

.2

??x=---

k-l

?.?方程的根為正整數，A為整數，

**?左一1=1或左一1=2k]=2k2=3

(2)依題意，二次函數尸aV-6戶Ac的圖象經過點(1,0),

/.O=a—b+kc,kc=b-a?

.(fa)2-b2+ab_(b-a)2-b2+ab_b2-laba1-b1ab

akca(b—d)ab-a2

_a2-ab

(3)證明：方程②的判別式為A=(-Z?)2-4ac=b2-44c.

由"0,cwO,得。。工0.

(i)若改<0,則4zc>0.故△=/-44>0.此時方程②有兩個不相等的實數

根.

(ii)證法—b:若ac>0,由⑵知a-b+Ac=0,故/?=々+h.

△=b2-4ac=(a+kc)~-4ac=a2+2kac+(女。)?-4ac=a2-2kac+(fa?)2+4kac-4ac

二(a-

二(kAc)2+4ac(hl).

?方程丘=x+2的根為正實數，

???方程(&-1)冗=2的根為正實數.

由x>0,2>0,得女-1>0

:.4ac(^-l)>0

?/(〃-Zc)~..0,

/.△=(a-Ar)2+4〃c(A-l)>0A=(a-^c)~+4ac(A-l)>0.此時方程②有兩個不相等

的實數根.

23.(1)*/關于x的一元二次方程的之_(3加_2)工+2加-2=0有兩個不相等的實數根

A=[-(3/n-2)]2—4加(2〃2—2)=m2—4m+4=(/n—2)2>0

二?awO且加W2

(2)證明：令y=0得，znx?-⑶勿+-2)工+2加-2=0

=9=&匕.?.拋物線與x軸的交點坐標為(LO),(如2,o)

mm

.,?無論m取何值,拋物線y=/nr2-⑶〃-2)x+2"?-2總過X軸上的定點(1,0)

(3)???x=l是整數.?.只需即吐=2-2是整數.

mm

in是正整數,且相。0,/%。2

/71=1

當機=1時，拋物線為y=x2-x

把它的圖象向右平移4個單位長度，得到的拋物線解析式為

y=x2-9x4-20

24.⑴把產-1和2分別代入尸x+2,得到y(tǒng)的值分別是1、4,因而4、8的坐標

分別是(-1,1),(2,4).根據題意得到：[m，解得

[4a-2b=4[b=0

因而二次函數的解析式是y=M

(2)過點A,8作軸，曲CLx軸，分別交于KN.過點。作CP工BN與P.

設戶的坐標是（x,y）.

S樹形^B=g（AM+8N>MN=；（l+4>3=￡;

Saa，=gcP8P=；（2-x）（4-y）=；（2-x）（4-x2）；

鼠邊E=*P+ON），N=g［（2-x）+21y=g（4-x）.x2.

x

,,S四邊形0^=5梯形AMWB-SMOM.-XBCP~S四邊形c/wo=~+2x+3

當年1時，函數6-*+2矛+3有最大值是4.

【解析】本題主要考查了待定系數法求函數的解析式，求面積的最值問題一般

要轉化為函數的最值問題，依據函數的性質解決.

25.⑴?.?45是。。的直徑，

ZADB=90。,

即AD是底邊BC上的高，

又：AB^AC,

.?.△ABC是等腰三角形，

。是3c的中點；

(2)；NCBE與NC4D是同弧所對的圓周角，

:.NCBE=NCAD,

又，:ZBCE=ZACD,

ABECSAADC；

(3)由△BEC'sZsADC,知=

CEBC

即CDBC^ACCE,

,/。是8C的中點，

:.CD=-BC,

2

又：A8=AC,

/.CDBC=ACCE=-BCBC=ABCE,

2

即BC2=2ABCE.

【解析】(1)要證。是BC的中點，已知4?=AC,即證相>J_3c即可，根據圓周

角定理，M是直徑，所以")8=90。，即可得證.

(2)欲證△BECSAADC,通過觀察發(fā)現兩個三角形已經具備一組角對應相等，

即/4￡3=/4￡心=90。，此時，再求另一角對應相等即可.

(3)由△BECS/XADC可證CZ>3C=ACCE,又。是BC的中點，AB^AC,即可

Xm.BC2=2ABCE.

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質.識別兩三角形相似，除了要掌握

定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應邊成比例、對應角相等.

26.(1)?.?點&-1,0)在拋物線y=+法一2上，

.1,,3

??-X(-1)2+/JX(-1)-2=0?/?=--.

.??拋物線的解析式為y=；x2_|x—2.

???頂點O的坐標為

(2)當x=0時，y=-2,C(0,-2),OC=2.

i3

當y=0時，-x2--x-2=o,.,.玉=-1,4=4,-*?B(4,o).

***OA=1,OB=4,AB=5.

VAB2=25,AC2=0A"+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,

：.AC2+BC2=AB2.AABC是直角三角形。

(3)作出點C關于x軸的對稱點C,則<7(0,2),OC'=2.

連接C力交x軸于點M,

根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+M。的值最小.

解法一：設拋物線的對稱軸交x軸于點E.

我也￡￡>〃y軸，/.ZOCM=ZEDM,ZC'OM=ADEM.

/.^C'OMs^DEM.，=—?

EMED

解法二：設直線an的解析式為y=+

n=2

則.3?5,解得〃=一2,k=-—?

±k+n=--12

[28

??y=---x+2?

12

???當y=0時,--X+2=O?x=--

1241

?24

??77T=?

41

27.(1)根據題意得到：E(3n,0),G(n,-ri)

當％=0時，y=kx-3t-m=m,?,?點/坐標為(0,6)

?IRtAAOF中，AF2=m2+川,

,:FB=AF,

m2+〃2=(—2/7—/n)2,

化簡得：m=-0.75n,

對于y=Ax+〃?，當x=〃時，y=0,

.?.0=fo?-0.75n,

...A:=0.75

(2)???拋物線y=0^+法+。過點后、F、G,

0=+3nb+c

二?(一〃=〃2。+泌+c

一0.75〃=。

解得：a=—h=--,c=-O.75n

4n92

**?拋物線為y=—x2-L-0.75〃

4n2

121

A刀t—工口Zany=-x~—x—0.757?

解方程組：『4〃2

)=0.75x-0.75〃

得：%=5"，y=3〃；%2=0,y2=-0.75n

，〃坐標是：(5”，3”)，HM=—3/2,AM=n—5n=-An,

ZVU陽的面積=0.5XMWXAM=6〃2；

而矩形AO8C的面積=2/,A4A用的面積：矩形AO8C的面積=3：1，不隨著

點A的位置的改變而改變.

ABBEAE

28.(1)AABE^AECD,

ECCD15E

VBC=16,BE:CE=l:3,:.BE=4,CE=12,

?ABBE_AE

EC-CD-DE-2

在RtAAB石中，AE=\lAB2+BE2=2A/13,

?，?DE=2AE=4屆,

在RtAAE。中，ZAED=9QP,

AD=y/AE2+DE2=2765.

(2)⑴猜想AB+CQ=3C.

???石是AD的圓心，:?AE=DE,

*/ZAED=90°,，ZAE5+NCE￡>=90。,

VCDLBC,AZCE)E+ZC￡E>=90°,

/.ZAEB=NCDE,

AB1BC,/.AABE^AECD,

，AB=CE,BE=CD,

：.AB+CD=CE+BE=BC.

(ii)BC=\AB-CD\

29(1)證明：?.?他是直徑，

ZBC4=90°,

而等腰直角三角形DCE中"C￡是直角，

：.ZBCA+ZDCE=900+90°=\80°,

二B、C、E三點共線；

(2)連接3D,AE,ON,延長3D交A石于/，如圖，

■:CB=CA,CD=CE

：.Rt/\BCD冬RtAACE,

/.BD=AE,ZEBD=ZCAE,

：.ZCAE+ZADF=ACBD+ZBDC=90°,即BDLAE,

又：M是線段BE的中點，N是線段4）的中點，而。為4｝的中點，

/.ON=-BD,OM=-AE,ON//BD,AE//OM；

22

ON=OM,ONLOM,即為等腰直角三