河南省南陽市重點(diǎn)學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)試題（含答案）

年秋期高二年級(jí)期末質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．若直線：與直線：平行，則的值為（

）A．3 B． C．3或 D．或42．隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則下列說法一定正確的是（

）A． B. C． D．3．已知定點(diǎn)和直線：，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．4．中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為的雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則它的漸近線方程為（

）A． B． C．D.5．一動(dòng)圓過定點(diǎn)，且與已知圓：相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（

）A．B．C． D．6．已知雙曲線：的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則的方程為（

）A．B．C． D．7．書包中裝有大小相同的2本數(shù)學(xué)書和2本語文書，若每次從中隨機(jī)取出一本書且不放回，則在第二次取出的是數(shù)學(xué)書的條件下，第一次取出的是語文書的概率為（

）A． B． C． D．8．在新型冠狀病毒肺炎疫情聯(lián)防聯(lián)控期間，社區(qū)有5名醫(yī)務(wù)人員到某學(xué)校的高一、高二、高三3個(gè)年級(jí)協(xié)助防控和宣傳工作.若每個(gè)年級(jí)至少分配1名醫(yī)務(wù)人員，每位醫(yī)務(wù)人員只能分配到一個(gè)社區(qū)工作.則不同的分配方法有（）A．25種

B．50種

C．150種

D．300種9．如圖，直三棱柱的底面為正三角形，M，N分別為AC，的中點(diǎn)，若，則異面直線與MN所成角的大小為（

）A．30° B．45°C．60°D．90°10．已知的展開式中的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C．D．211．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使且，則橢圓的離心率為（

）A． B．C．D．12．四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，體積為，若PA⊥平面ABCD，且PA＝2，則四棱錐P﹣ABCD的外接球體積的最小值是（）A．πB．πC．125πD．πⅡ卷非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填寫在答題卡的橫線上.）13．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，(為常數(shù)，，，，)，則______．14．由6位專家組成的團(tuán)隊(duì)前往某地進(jìn)行考察后站成一排拍照留念，已知專家甲和乙不相鄰，則不同的站法有_________種.15．的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.16．若，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)，為橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為_________．三、解答題（本大題共6小題，滿分70分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.）17．已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，．(1)求的值；(2)求系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng).18．有甲、乙、丙三個(gè)廠家生產(chǎn)同種規(guī)格的產(chǎn)品，甲、乙、丙三個(gè)廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率分別為、、，已知甲、乙、丙三個(gè)廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)所占比例為，將三個(gè)廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品混放在一起，從混合產(chǎn)品中任取件．(1)求這件產(chǎn)品為合格品的概率；(2)已知取到的產(chǎn)品是合格品，問它是哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性最大？19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓及點(diǎn).(1)若直線過點(diǎn)，與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線l的方程；(2)圓上是否存在點(diǎn)，使得成立？若存在，求點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.20．如圖所示，在四棱錐中，底面，底面是菱形，且，，是的中點(diǎn)，是棱上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值.21．某校為減輕暑假家長的負(fù)擔(dān)，開展暑期托管，每天下午開設(shè)一節(jié)投籃趣味比賽．比賽規(guī)則如下：在A，B兩個(gè)不同的地點(diǎn)投籃．先在A處投籃一次，投中得2分，沒投中得0分；再在B處投籃兩次，如果連續(xù)兩次投中得3分，僅投中一次得1分，兩次均沒有投中得0分．小明同學(xué)準(zhǔn)備參賽，他目前的水平是在A處投籃投中的概率為p，在B處投籃投中的概率為．假設(shè)小明同學(xué)每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立．(1)若小明同學(xué)完成一次比賽，恰好投中2次的概率為，求p；(2)若，記小明同學(xué)一次比賽結(jié)束時(shí)的得分為X，求X的分布列及數(shù)列期望．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（c，0），離心率e＝．若P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，證明P到F的距離與P到直線x＝的距離之比為定值，并求出該定值；設(shè)c＝1，過定點(diǎn)（0，c）且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得y軸始終平分∠MQN？若存在，出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．期末質(zhì)量評(píng)估參考答案：1．A【詳解】因?yàn)?，直線：與直線：平行，所以，解得：或，當(dāng)時(shí)，：，：，，符合題意；當(dāng)時(shí)，：，：，均可化為，即，重合，舍去.故.故選：A.2．B【詳解】因?yàn)?，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可得，故選：B．3．C【詳解】直線，整理得，由，解得，故直線過定點(diǎn)故點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故選：C4．D【詳解】由已知可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由已知可得，所以，則，所以.所以，雙曲線的漸近線方程為.故選：D.5．C【詳解】解：已知圓：圓心，半徑為4，動(dòng)圓圓心為，半徑為，當(dāng)兩圓外切時(shí)：，所以；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)：，所以；即，表示動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)4，符合雙曲線的定義，所以P在以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線上，且，，，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為：，故選：C.6．D【詳解】解：橢圓的焦點(diǎn)為，又雙曲線：的一條漸近線方程為，所以，解得，所以雙曲線方程為.故選：D7．A【分析】根據(jù)條件概率公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)事件：第一次取出的是語文書，事件：第二次取出的是數(shù)學(xué)書，則.故選：A8．C【分析】首先分析將5個(gè)人分為三小組且每小組至少有一人，則可能分法有：兩種情況，每種情況利用分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算情況數(shù)，最后相加即可.【詳解】當(dāng)5個(gè)人分為2，2，1三小組，分別來自3個(gè)年級(jí)，共有種；②當(dāng)5個(gè)人分為3，1，1三小組時(shí)，分別來自3個(gè)年級(jí)，共有種.綜上，選法共有.故選:C.9．C【分析】解法一，解法二：設(shè)直三棱柱的底面邊長為2，，利用勾股定理求出m的值，再作輔助線，找到異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，解三角形即可得解；解法三：設(shè)高為h，利用空間向量和列方程得到，然后利用空間向量的方法求異面直線所成角即可.【詳解】解法一：如圖，設(shè)直三棱柱的底面邊長為2，，連接，則，，，因?yàn)?，所以在中，由勾股定理可得，?連接，交于點(diǎn)P，取的中點(diǎn)Q，連接PQ，AQ，則，，所以為異面直線與MN所成的角或其補(bǔ)角.易知，故為等邊三角形，，所以異面直線與MN所成角的大小為60°.解法二：設(shè)直三棱柱的底面邊長為2，，連接，則，，，因?yàn)?，所以在中，由勾股定理可得，?如圖，把三棱柱補(bǔ)成一個(gè)四棱柱，連接，，則，，故為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.連接AD，易知，故為等邊三角形，，所以異面直線與所成角的大小為60°.解法三

由題可以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，所在直線為y，z軸，在平面ABC上過點(diǎn)A作與AB垂直的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直三棱柱的底面邊長為2，高為h，則，，，，所以，，，由可得，所以，得，所以，，則，因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍為，所以異面直線與MN所成角的大小為60°.故選：C10．A【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，，∵，∴，解得，故選：A.11．B【詳解】由橢圓的定義可知：，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理可得：，化簡整理可得：，所以，故選：B.12.D【解答】解：底面為矩形的四棱錐P﹣ABCD的體積為，若PA⊥平面ABCD，且PA＝2，可得底面面積為：8，設(shè)AB＝a，BC＝b，則ab＝8，四棱錐的外接球就是擴(kuò)展的長方體的外接球，PC就是外接球的直徑，可得：2R＝≥＝＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2，取等號(hào)，R．外接球的體積的最小值為：×（）3＝．故選：D．13．【詳解】由題意知：隨機(jī)變量的所有可能取值的概率和為1，即，則，所以，得.故答案為：14．480【詳解】先除去甲乙，另外4位專家排成一排，站法共有種，4位專家排成一排后形成5個(gè)空，將甲乙插入這五個(gè)空中，共有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得種，即不同的站法有480種，故答案為：48015．【詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)因式取時(shí)，則二項(xiàng)式取，此時(shí)系數(shù)為;當(dāng)因式取時(shí)，則二項(xiàng)式取，此時(shí)系數(shù)為;故的展開式中的系數(shù)為，故答案為：.16．8【分析】根據(jù)橢圓對(duì)稱性及矩形的性質(zhì)知四邊形為矩形，進(jìn)而有，再根據(jù)橢圓定義、勾股定理求即可.【詳解】由已知及對(duì)稱性得：四邊形為矩形，即，所以，由橢圓定義與勾股定理知：，可得．所以四邊形的面積為8.故答案為：817．(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和求出，然后利用換元后進(jìn)行處理；（2）先表示出系數(shù)絕對(duì)值的表達(dá)式，通過研究該表達(dá)式的單調(diào)性進(jìn)行處理；【詳解】（1）由二項(xiàng)展開式的系數(shù)和為，于是，解得，設(shè)，于是，根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，為求，令，則（2）展開式中第項(xiàng)的絕對(duì)值為，記，，令，解得，即時(shí)，；令，解得，即時(shí)，.于是，且，即最大，故原式中最大，最大項(xiàng)為18．(1)(2)這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可能性最大【詳解】（1）解：設(shè)事件表示取到的產(chǎn)品為合格品，、、分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)．則，且、、兩兩互斥，由已知，，，，，，由全概率公式得.（2）解：由貝葉斯公式得，．．所以，，故這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可能性最大．19．(1)或(2)存在，兩個(gè)【分析】(1)根據(jù)垂徑定理可得圓心到直線的距離為1，然后利用點(diǎn)到直線的距離即可求解；(2)假設(shè)圓上存在點(diǎn)，設(shè)，則，利用題干條件得到點(diǎn)也滿足，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】（1）圓可化為，圓心為，若的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)符合要求.

當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的斜率為，則令，因?yàn)椋纱箯蕉ɡ砜傻?，圓心到直線的距離，

所以直線的方程為或.（2）假設(shè)圓上存在點(diǎn)，設(shè)，則，，

即，即，

，

與相交，則點(diǎn)有兩個(gè).20．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接.∵四邊形為菱形，且為的中點(diǎn).∴，∴為線段上靠近的三等分點(diǎn).在中，為三等分點(diǎn)，為三等分點(diǎn)，即，∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）如圖，取中點(diǎn)，連接.因?yàn)槭橇庑?，且，所以，又因?yàn)榍?，所以四邊形為矩形，則，又因?yàn)榈酌妫矫?，所以，也即、、兩兩垂直，以為原點(diǎn)，、、分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，∵，∴，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則.取平面的一個(gè)法向量，從而.∵二面角為銳二面角，∴其余弦值為.21．(1)(2)分布列見解析；【詳解】（1）設(shè)小明在處投籃為事件，在處投籃分別為已知小明同學(xué)恰好投中2次，分三種情況:中中不中；中不中中；不中中中；其概率為：，解得：.（2）由題意可得得分的可能取值分別為，，，，；；；；.綜上所述可得的分布列為5321022.【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則根據(jù)題意可得，∵F（c，0），∴|PF|＝＝＝a﹣，又∵點(diǎn)P到直線的距離為：，∴，即得點(diǎn)P到