北師大版七年級數(shù)學(xué)上冊 專題13 動點與角度計算45道經(jīng)典題型專訓(xùn)（7大題型）（原卷版+解析）

專題13動點與角度計算45道經(jīng)典題型專訓(xùn)（7大題型）【題型目錄】題型一與線段動點有關(guān)問題題型二動角有關(guān)問題題型三三角板中角度計算問題題型四幾何圖形中角度計算問題題型五實際問題中角度計算問題題型六角平分線的有關(guān)計算題型七角n等分線的有關(guān)計算【經(jīng)典題型一與線段動點有關(guān)問題】1．如圖，直線上有，，，四個點，，，．

(1)線段______(2)動點，分別從A點，點同時出發(fā)，點沿線段以3/秒的速度，向右運動，到達點后立即按原速向A點返回；點沿線段以1/秒的速度，向左運動；點再次到達A點時，兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為（單位：秒）①求，兩點第一次相遇時，運動時間的值；②求，兩點第二次相遇時，與點A的距離．2．如圖1，線段AB長為24個單位長度，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動，M為AP的中點，設(shè)P的運動時間為x秒．(1)P在線段AB上運動，當(dāng)時，求x的值．(2)當(dāng)P在線段AB上運動時，求的值．(3)如圖2，當(dāng)P在AB延長線上運動時，N為BP的中點，MN的長度是否發(fā)生變化?如不變，求出MN的長度．如變化，請說明理由．3．如圖，點，在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)分別為－5，7（單位長度為），是，間一點，，兩點分別從點，出發(fā)，以，的速度沿直線向左運動（點在線段上，點在線段上），運動的時間為．（1）______．（2）若點，運動到任一時刻時，總有，請求出的長．（3）在（2）的條件下，是數(shù)軸上一點，且，求的長．4．如圖，在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)是，點B在點A的右側(cè)，．（1）直接寫出點B表示的數(shù)_________；（2）點C在AB之間，，求點C表示的數(shù)，并在數(shù)軸上描出點C；（3）已知點P在數(shù)軸上①若，直接寫出點P所表示的數(shù)；②點P從線段AB的中點處出發(fā)，每次向左或向右移動一個單位，共移動了7次，恰好到達點B的位置，請直接寫出所有不同移動方法的種數(shù)．5．如圖①，已知線段，點C為線段AB上的一點，點D，E分別是AC和BC的中點．（1）若，則DE的長為_____________；（2）若，求DE的長；（3）如圖②，動點P，Q分別從A，B兩點同時出發(fā)，相向而行，點P以每秒3個單位長度的速度沿線段AB向右勻速運動，點Q以點P速度的兩倍沿線段AB向左勻速運動，設(shè)運動時間為t秒，問當(dāng)t為多少時，P，Q之間的距離為6？6．已知，C為線段上一點，D為的中點，E為的中點，F(xiàn)為的中點．

（1）如圖1，若，，求的長；（2）若，求的值；（3）若，，取的中點，的中點，的中點，則=______（用含a的代數(shù)式表示）．7．（1）如圖，已知點C在線段AB上，線段厘米，厘米，點M，N分別是AC，BC的中點．求線段MN的長度；（2）已知點C在線段BA的延長線上，點M，N分別是AC，BC的中點，設(shè)，請根據(jù)題意畫出圖形并求MN的長度；（3）在（1）的條件下，動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B，點Q以1cm/s的速度沿AB向左運動，終點為A，當(dāng)一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動，求運動多少秒時，C、P、Q三點有一點恰好是以另兩點為端點的線段的中點．8．如圖，數(shù)軸上有兩個點，為原點，，點所表示的數(shù)為．

⑴；⑵求點所表示的數(shù)；⑶動點分別自兩點同時出發(fā)，均以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，點為線段的中點，點為線段的中點，在運動過程中，線段的長度是否為定值？若是，請求出線段的長度；若不是，請說明理由．9．如圖，點是定長線段上一點，、兩點分別從點、出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直線向左運動（點在線段上，點在線段上）．（1）若點、運動到任一時刻時，總有，請說明點在線段上的位置；（2）在（1）的條件下，點是直線上一點，且，求的值；（3）在（1）的條件下，若點、運動5秒后，恰好有，此時點停止運動，點繼續(xù)運動（點在線段上），點、分別是、的中點，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變．可以說明，只有一個結(jié)論是正確的，請你找出正確的結(jié)論并求值．10．【探索新知】如圖1，點在線段上，圖中共有3條線段：、、和，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點是線段的“二倍點”.（1）一條線段的中點這條線段的“二倍點”；（填“是”或“不是”）【深入研究】如圖2，點表示數(shù)-10，點表示數(shù)20，若點從點，以每秒3的速度向點運動，當(dāng)點到達點時停止運動，設(shè)運動的時間為秒.（2）點在運動過程中表示的數(shù)為（用含的代數(shù)式表示）；（3）求為何值時，點是線段的“二倍點”；（4）同時點從點的位置開始，以每秒2的速度向點運動，并與點同時停止.請直接寫出點是線段的“二倍點”時的值.【經(jīng)典題型二動角有關(guān)問題】11．將一副直角三角板按圖擺放在直線上（直角三角板和直角三角板在同一平面內(nèi)，，，，），保持三角板不動，將三角板繞點以每秒的速度順時針轉(zhuǎn)動（即每一條邊都繞點以相同速度順時針轉(zhuǎn)動），轉(zhuǎn)動時間為秒．

(1)當(dāng)秒時，平分？如圖，此時；（直接寫答案）(2)繼續(xù)轉(zhuǎn)動三角板，如圖，使得、同時在直線的右側(cè)，猜想與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（數(shù)量關(guān)系中不含）(3)若在三角板開始轉(zhuǎn)動的同時，另一個三角板也繞點以每秒的速度順時針轉(zhuǎn)動，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至射線上時同時停止，（自行畫圖分析）當(dāng)為多少秒時，？在轉(zhuǎn)動過程中，請寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（數(shù)量關(guān)系中不含）12．已知、共頂點O，平分，平分．

(1)如圖1，當(dāng)與重合時，若，，求的度數(shù)；(2)將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角α至圖2所示位置，設(shè)，求的度數(shù)（用、表示）；(3)在（1）條件下，將從圖1所示位置逆時針以每秒2°的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)運動時間為秒（），當(dāng)時，的值為．（直接寫出答案）13．在同一平面內(nèi)，以點為公共頂點的和，滿足，則稱是的“二倍關(guān)聯(lián)角”．已知（本題所涉及的角均小于平角）．(1)如圖，若，在內(nèi)，且是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，則；(2)如圖，若射線、同時從射線出發(fā)繞點旋轉(zhuǎn)，射線以秒的速度繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，到達直線后立即改為順時針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，速度仍保持不變；射線以秒的速度繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，射線到達直線時，射線、同時停止運動，設(shè)運動時間秒，當(dāng)為何值時，是的“二倍關(guān)聯(lián)角”；(3)如圖，保持大小不變，在直線上方繞點旋轉(zhuǎn)，若是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，設(shè)，請直接用含的代數(shù)式表示的大小．14．已知，按如圖①所示擺放，將邊重合在直線上，邊在直線的兩側(cè)．(1)保持不動，將繞點O旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，則，；(2)若按每分鐘的速度繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，按每分鐘的速度也繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到射線上時都停止運動，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t分鐘．求的大小（用t的代數(shù)式表示）；(3)保持不動，將繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，若射線平分，射線平分，求的大小．15．定義：如圖1，線段是圓O的三條半徑，當(dāng)平分時，我們稱點P是弧的中點，半徑是扇形的“弧中線”．如圖2，線段是圓O的直徑，半徑分別從位置同時出發(fā)繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)30度，每秒旋轉(zhuǎn)60度，設(shè)運動時間為t秒（其中）．(1)當(dāng)，且半徑是扇形的“弧中線”時，求t的值；(2)當(dāng)時，是否存在t值使得半徑是扇形的“弧中線”？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．(3)若半徑是扇形的“弧中線”，半徑是扇形的“弧中線”，當(dāng)時，請直接寫出此時t的值．16．已知，射線均為內(nèi)的射線．

(1)如圖1，若為的三等分線，則＝；(2)如圖2，若，平分平分，求的大小(3)射線以每秒的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，射線以每秒的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，射線始終平分，兩條射線同時從圖1的位置出發(fā)，當(dāng)其中一條射線到達的位置時兩條射線同時停止運動．設(shè)運動的時間為t秒，當(dāng)t為何值時，.17．已知與互補，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)．(1)若①如圖1，當(dāng)時，；②將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至，求與的度數(shù)；(2)將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)是否隨之的改變而改變？若不改變，請求出這個度數(shù)；若改變，請說明理由．18．【新概念】如圖1，為內(nèi)一條射線，當(dāng)滿足時，我們把射線叫做射線、的m等個性線，記作．（其中m為正整數(shù)）【實際應(yīng)用】已知：O為直線上一點，過O點作射線．(1)如圖2，將一個三角板（含、）直角頂點D放在O處，另兩條邊分別為，，當(dāng)是時，___________．（填“是”或“不是”）．(2)如圖3，將三角板的頂點E放在O處，那么當(dāng)是時，是否也是？請先猜想結(jié)果，再說明理由．(3)將圖3中的射線繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖4，此時存在正整數(shù)m使是的同時，也是，則___________，___________．19．如圖1，把一副三角板拼在一起，邊與直線重合，其中，．此時易得．(1)如圖2，三角板固定不動，將三角板繞點以每秒的速度順時針開始旋轉(zhuǎn)，在轉(zhuǎn)動過程中，三角板一直在的內(nèi)部，設(shè)三角尺運動時間為秒．①當(dāng)時，；②求當(dāng)為何值時，使得；(2)如圖3，在（1）的條件下，若平分，平分．①當(dāng)時，；②請問在三角板的旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)是否會發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請敘述理由；如果不發(fā)生變化，請求出的度數(shù)．20．已知，如圖1，將一塊直角三角板的直角頂點放置于直線上，直角邊與直線重合，其中，然后將三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)，從點引射線和，平分，．(1)如圖2，填空：當(dāng)時，______．(2)如圖2，當(dāng)時，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)如圖3，當(dāng)時，請判斷的值是否為定值，若為定值，求出該定值，若不是定值，請說明理由．【經(jīng)典題型三三角板中角度計算問題】21．現(xiàn)有一副三角尺，將和重合于點放置，且，，．將三角尺繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周（旋轉(zhuǎn)過程中和均是指小于的角），分別作出、的平分線、(1)將三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時，點在上，直接寫出圖1中______度；(2)將三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖2位的置時，點在的延長線上，直接寫出圖2中______度(3)將三角尺旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時，若，①______．（用含的代數(shù)式表示）②請求出的度數(shù)．22．如圖1，某校七年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在課后綜合實踐活動中，把一個直角三角尺AOB的直角頂點O放在互相垂直的兩條直線、的垂足O處，并使兩條直角邊落在直線、上，將繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，若，則______，______；(2)若射線是的角平分線，且．①旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，______．（用含的代數(shù)式表示）②在旋轉(zhuǎn)過程中，若，則此時______．23．如圖1，點為直線上一點，過點作射線，使，將一直角的直角頂點放在點處，邊在射線上，另一邊在直線的下方，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，其中旋轉(zhuǎn)的角度為(1)將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得落在射線上，此時為度．(2)將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得在的內(nèi)部，試探究與之間滿足什么樣的等量關(guān)系，并說明理由．(3)若直角繞點按每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直角的直角邊所在直線恰好平分時，求此時直角繞點的運動時間的值．24．將一副直角三角板，，按如圖1放置，其中B與E重合，，．(1)如圖1，點F在線段的延長線上，求的度數(shù)；(2)將三角板從圖1位置開始繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，，分別為，的角平分線．①如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的內(nèi)部時，求的度數(shù)；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的外部時，直接寫出的度數(shù)．25．將一副直角三角板如圖1擺放在直線上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不動，將三角板繞點O以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中的大小保持不變）直至邊第一次重合在直線上，整個過程時間記為t秒．(1)從旋轉(zhuǎn)開始至結(jié)束，整個過程共持續(xù)了______秒；(2)如圖2，旋轉(zhuǎn)三角板，使得、在直線的異側(cè)，請直接寫出與數(shù)量關(guān)系；如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，使得、同時在直線的右側(cè)，請問上面的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，并說明理由；(3)若在三角板旋轉(zhuǎn)的同時，另一個三角板也繞點O以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中的大小保持不變），當(dāng)邊第一次重合在直線上時兩三角板同時停止．①試用字母t分別表示與；②在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)t為何值時平分．【經(jīng)典題型四幾何圖形中角度計算問題】26．如圖，點O在直線EF上，點A、B與點C、D分別在直線EF兩側(cè)，且，．

(1)如圖1，若平分，求的度數(shù)；(2)如圖2，在（1）的條件下，平分，過點O作射線，求的度數(shù)；(3)如圖3，若在內(nèi)部作一射線，若，，試判斷與的數(shù)量關(guān)系．27．如圖，已知．

(1)試說明：；(2)若平分，，，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，作射線，，當(dāng)，時，請正確畫出圖形，并直接寫出的度數(shù)．28．點為直線上一點，在直線同側(cè)任作射線，使得．

(1)如圖一，過點作射線，使為的角平分線，若時，則________，________；(2)如圖二，過點O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分．①若，求的度數(shù)（寫出推理過程）；②若，則的度數(shù)是________（直接填空）．(3)過點作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分，當(dāng)時，則的度數(shù)是________．（在稿紙上畫圖分析，直接填空）29．如圖，點在同一條直線上，從點引一條射線，且．

(1)求的度數(shù)．(2)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)（，且不是的整數(shù)倍）得到，在內(nèi)引射線，在內(nèi)引射線，且．．①若，求的度數(shù)；②若，請直接寫出的大小．30．已知和是直角．

(1)如圖，當(dāng)射線在內(nèi)部時，請?zhí)骄亢椭g的關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)射線，射線都在外部時，過點作線，射線，滿足，∠DOF＝，求的度數(shù)；(3)如圖，在(2)的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線，使得，若存在，請求出的度數(shù)；若不存在，請說明理由．【經(jīng)典題型五實際問題中角度計算問題】31．給出如下定義：如果，且（k為正整數(shù)），那么稱是的“倍銳角”．(1)下列三個條件中，能判斷是的“倍銳角”的是________（填寫序號）；①；②；③是的角平分線；(2)如圖，當(dāng)時，在圖中畫出的一個“倍銳角”；(3)如圖，當(dāng)時，射線繞點O旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)10°，可得它的“倍銳角”_____°；(4)當(dāng)且存在它的“倍銳角”時，則________°．32．如圖1，在∠AOB的內(nèi)部引一條射線OC，則圖中共有3個角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．(1)①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請用含α的代數(shù)式表示∠MPN；(2)如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．當(dāng)PQ與PN成110°時停止旋轉(zhuǎn)．同時射線PM繞點P以每秒6°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時停止．當(dāng)PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時，則t＝秒．33．如圖1，在表盤上12：00時，時針、分針都指向數(shù)字12，我們將這一位置稱為“標準位置”(圖中)．小文同學(xué)為研究12點分()時，時針與分針的指針位置，將時針記為，分針記為．如：12：30時，時針、分針的位置如圖2所示，試解決下列問題：（1）分針每分鐘轉(zhuǎn)動°；時針每分鐘轉(zhuǎn)動°；（2）當(dāng)與在同一直線上時，求的值；（3）當(dāng)、、兩兩所夾的三個角、、中有兩個角相等時，試求出所有符合條件的的值．(本小題中所有角的度數(shù)均不超過180°)34．借助一副三角板，可以得到一些平面圖形（1）如圖1，∠AOC＝度．由射線OA，OB，OC組成的所有小于平角的和是多少度？（2）如圖2，∠1的度數(shù)比∠2度數(shù)的3倍還多30°，求∠2的度數(shù)；（3）利用圖3，反向延長射線OA到M，OE平分∠BOM，OF平分∠COM，請按題意補全圖（3），并求出∠EOF的度數(shù)．35．分類討論是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，如果一道題提供的已知條件中包含幾種情況，我們可以分情況討論來求解．例如：若|x|=2，|y|=3求x+y的值．情況①?若x=2，y=3時，x+y=5情況②若x=2，y=﹣3時，x+y=﹣1情況③若x=﹣2，y=3時，x+y=1情況④若x=﹣2，y=﹣3時，x+y=﹣5所以，x+y的值為1，﹣1，5，﹣5．幾何的學(xué)習(xí)過程中也有類似的情況：問題（1）：已知點A，B，C在一條直線上，若AB=8，BC=3，則AC長為多少？通過分析我們發(fā)現(xiàn)，滿足題意的情況有兩種情況①?當(dāng)點C在點B的右側(cè)時，如圖1，此時，AC=情況②當(dāng)點C在點B的左側(cè)時，如圖2，此時，AC=通過以上問題，我們發(fā)現(xiàn)，借助畫圖可以幫助我們更好的進行分類．問題（2）：如圖3，數(shù)軸上點A和點B表示的數(shù)分別是﹣1和2，點C是數(shù)軸上一點，且BC=2AB，則點C表示的數(shù)是多少？仿照問題1，畫出圖形，結(jié)合圖形寫出分類方法和結(jié)果．問題（3）：點O是直線AB上一點，以O(shè)為端點作射線OC、OD，使∠AOC=60°，OCOD，求∠BOD的度數(shù)．畫出圖形，直接寫出結(jié)果．【經(jīng)典題型六角平分線的有關(guān)計算】36．定義：從的頂點P引一條射線（不與重合），若，則稱射線為關(guān)于邊的補線．

(1)下列說法：①一個角關(guān)于某邊的補線一定在這個角的外部；②一個角關(guān)于某邊的補線一定有2條；③一個角關(guān)于某邊的補線有1條或2條，其中正確的是；（填序號）(2)如圖，O是直線上一點，射線，在同側(cè)，是的平分線，則是關(guān)于邊的補線嗎？為什么？(3)已知射線為關(guān)于邊的補線，是的平分線．若，試用含α的式子表示（直接寫出結(jié)果）．37．如圖，點O在直線上，在同一平面內(nèi)，以O(shè)為頂點作直角．射線、射線分別平分、．(1)如圖1，當(dāng)時，________，________．(2)如圖1，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)直接寫出圖2和圖3中，與的數(shù)量關(guān)系．圖2：__________；圖3：__________．38．（1）【特例感知】如圖1，已知線段，，點C和點D分別是，的中點．若，則________cm；（2）【知識遷移】我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖2，已知∠AOB在∠MON內(nèi)部轉(zhuǎn)動，射線OC和射線OD分別平分∠AOM和∠BON；①若，，求∠COD的度數(shù)；②請你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三個角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）【類比探究】如圖3，∠AOB在∠MON內(nèi)部轉(zhuǎn)動，若，，，，求∠COD的度數(shù)．（用含有k的式子表示計算結(jié)果）．39．點O為直線上一點，在直線AB同側(cè)任作射線OC，OD，使得．(1)如圖1，過點O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分，則的度數(shù)是___________°；(2)如圖2，過點O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，求出與的數(shù)量關(guān)系；(3)過點O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分，若，求出的度數(shù)．40．在內(nèi)部作射線，，在的右側(cè)，且．(1)如圖1，若，平分，平分，求的度數(shù)；(2)如圖2，平分，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，請過點作射線，使平分，再作的角平分線．若，，請直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）．【經(jīng)典題型七角n等分線的有關(guān)計算】41．已知，以射線為起始邊，按順時針方向依次作射線、，使得，設(shè)，.(1)如圖1，當(dāng)時，若，求的度數(shù)；(2)備用圖①，當(dāng)時，試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)備用圖②，當(dāng)時，分別在內(nèi)部和內(nèi)部作射線，，使，，求的度數(shù).42．定義：從一個角的頂點出發(fā)把這個角分成的兩個角的射線叫做這個角的一條三等分線．例如，如圖①，，則是的一條三等分線．顯然，一個角的三等分線有兩條．(1)如圖②，已知，、是的兩條三等分線，則的度數(shù)為；(2)在（1）的條件下，若以點為旋轉(zhuǎn)中心將射線順時針旋轉(zhuǎn)得到射線．①當(dāng)恰好為的三等分線時，求的值；②在旋轉(zhuǎn)過程中，若，求的取值范圍．43．如圖①，已知，在內(nèi)部畫射線，得到三個角，分別為、、．若這三個角中有一個角是另外一個角的3倍，則稱射線為的“幸福線”．（本題中所研究的角都是大于而小于的角．）(1)角的三等分線________這個角的“幸福線”（填“是”或“不是”）；(2)如圖①，，射線為的“幸福線”，求的度數(shù)；(3)如圖②，已知，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，同時，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運動的時間為秒（）．若、、三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸福線”，求出所有可能的值．44．我們知道，從一個角的頂點出發(fā)把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線，類似的我們給出一些新的概念：從一個角的頂點出發(fā)把這個角分成度數(shù)為的兩個角的射線，叫做這個角的三分線；從一個角的頂點出發(fā)把這個角分成度數(shù)為的兩個角的射線，叫做這個角的四分線……顯然，一個角的三分線、四分線都有兩條．例如：如圖，若，則是的一條三分線；若，則是的另一條三分線．（1）如圖，是的三分線，，若，則；（2）如圖，，是的四分線，，過點作射線，當(dāng)剛好為三分線時，求的度數(shù)；（3）如圖，射線、是的兩條四分線，將繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線、、中恰好有一條射線是其它兩條射線組成夾角的四分線，請直接寫出的值．45．已知:和是直角．（1）如圖，當(dāng)射線在內(nèi)部時，請?zhí)骄亢椭g的關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)射線射線都在外部時，過點作射線，射線，滿足，，求的度數(shù)．（3）如圖3，在（2）的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線，使得，若不存在，請說明理由，若存在，求出的度數(shù)．

專題13動點與角度計算45道經(jīng)典題型專訓(xùn)（7大題型）【題型目錄】題型一與線段動點有關(guān)問題題型二動角有關(guān)問題題型三三角板中角度計算問題題型四幾何圖形中角度計算問題題型五實際問題中角度計算問題題型六角平分線的有關(guān)計算題型七角n等分線的有關(guān)計算【經(jīng)典題型一與線段動點有關(guān)問題】1．如圖，直線上有，，，四個點，，，．

(1)線段______(2)動點，分別從A點，點同時出發(fā)，點沿線段以3/秒的速度，向右運動，到達點后立即按原速向A點返回；點沿線段以1/秒的速度，向左運動；點再次到達A點時，兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為（單位：秒）①求，兩點第一次相遇時，運動時間的值；②求，兩點第二次相遇時，與點A的距離．【答案】(1)(2)8、20【分析】（1）根據(jù)，，算出，再根據(jù)即可解答；（2）①根據(jù)，兩點第一次相遇時，，兩點所走的路程之和是的長列方程即可求解；②根據(jù)，兩點第二次相遇時，點所走的路程與的差和所走的路程與的差相等列方程即可求解；【詳解】（1）故線段的長為．（2）①，兩點第一次相遇時根據(jù)題意可得：解得：秒故，兩點第一次相遇時，運動時間的值是8秒；②由（1）得當(dāng)，兩點第二次相遇時：解得：秒故，兩點第二次相遇時，與點A的距離是20【點睛】本題考查了兩點之間的距離，靈活運用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是解答該題的關(guān)鍵．2．如圖1，線段AB長為24個單位長度，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動，M為AP的中點，設(shè)P的運動時間為x秒．(1)P在線段AB上運動，當(dāng)時，求x的值．(2)當(dāng)P在線段AB上運動時，求的值．(3)如圖2，當(dāng)P在AB延長線上運動時，N為BP的中點，MN的長度是否發(fā)生變化?如不變，求出MN的長度．如變化，請說明理由．【答案】(1)；(2)為定值24；(3)．【分析】（1）根據(jù)PB=2AM建立關(guān)于x的方程，解方程即可；（2）將BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化簡即可得出結(jié)論；（3）利用，，，，再根據(jù)MN=PM-PN即可求解．【詳解】（1）解：∵M是線段AP的中點，∴，，∵，∴，解得．（2）解：∵，，，∴，即為定值24．（3）解：當(dāng)P在AB延長線上運動時，點P在B點的右側(cè)．∵，，，，∴，所以MN的長度無變化是定值．【點睛】本題是動點問題，考查了兩點間的距離，解答的關(guān)鍵是用含時間x的式子表示出各線段的長度．3．如圖，點，在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)分別為－5，7（單位長度為），是，間一點，，兩點分別從點，出發(fā)，以，的速度沿直線向左運動（點在線段上，點在線段上），運動的時間為．（1）______．（2）若點，運動到任一時刻時，總有，請求出的長．（3）在（2）的條件下，是數(shù)軸上一點，且，求的長．【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或【分析】（1）由兩點間的距離，即可求解；（2）由線段的和差關(guān)系可求解；（3）由題設(shè)畫出圖示，分兩種情況根據(jù)：當(dāng)點在線段上時，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，從而求得PQ與AB的關(guān)系，當(dāng)點在的延長線上時，可得．【詳解】解：（1）∵A、B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為-5，7，∴線段AB的長度為：7-（-5）=12；故答案為：12（2）根據(jù)點，的運動速度知．因為，所以，即，所以．（3）分兩種情況：如圖，當(dāng)點在線段上時，因為，所以．又因為，所以，所以；如圖，當(dāng)點在的延長線上時，，綜上所述，的長為或．【點睛】本題考查了數(shù)軸的運用和絕對值的運用，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點之間距離的表示方法，靈活運用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是十分關(guān)鍵的一點．4．如圖，在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)是，點B在點A的右側(cè)，．（1）直接寫出點B表示的數(shù)_________；（2）點C在AB之間，，求點C表示的數(shù)，并在數(shù)軸上描出點C；（3）已知點P在數(shù)軸上①若，直接寫出點P所表示的數(shù)；②點P從線段AB的中點處出發(fā)，每次向左或向右移動一個單位，共移動了7次，恰好到達點B的位置，請直接寫出所有不同移動方法的種數(shù)．【答案】（1）1；（2）圖見解析，點C表示的數(shù)為-0.5；（3）①、；②21【分析】（1）按照點B的位置和AB兩點之間的距離，得出B的表示的數(shù)，（2）點C在AB之間，AC=3BC，得出點C表示的數(shù)，在數(shù)軸上描出點C即可，（3）①設(shè)點P表示的數(shù)為a，分三種情況討論，當(dāng)a＜-5時，當(dāng)-5＜a＜1時，當(dāng)a≥1時，結(jié)合兩點之間的距離，分別求出a的值即可，②這小題比較繁瑣，抽象，屬難題，先求出AB的中點表示的數(shù)P，點P從線段AB的中點處出發(fā)，每次向左或向右移動一個單位，共移動了7次，7次P恰好到達點B的位置，可得7次移動中有2次向左，5次向右，可以求解．【詳解】（1）點B在點A的右側(cè)，AB=6，所以點B表示的數(shù)-5+6=1即點B表示的數(shù)為：1．（2）點C在AB之間，，∴，∴，∴點C表示的數(shù)為-0.5在數(shù)軸上正確描出點C，（3）①設(shè)點P表示的數(shù)為a∵PA+3PB=｜a-(-5)｜+3｜a-1｜=｜a+5｜+3｜a-1｜=12當(dāng)a＜-5時，即（-a-5)+3(1-a)=12，解得a=-3.5，不在范圍內(nèi)，當(dāng)-5＜a＜1時，即a+5+3(1-a)=12，解得a=-2，當(dāng)a≥1時，即(a+5)+3(a-1)=12，解得：a=2.5，∴點P表示的數(shù)為、②21種∵AB的中點表示的數(shù)為，，∴點P從線段AB的中點處出發(fā)，每次向左或向右移動一個單位，共移動了7次，7次P恰好到達點B的位置這7個單位，正負相消后，的1-(-2)=3且共移動了7個單位，又∵3=5+(-2)=(-2)+5由題意可得：7次移動中有2次向左，5次向右.設(shè)第1次和第2次向左其它都向右記為，則移動方法有，，，，，，，…，共21種移動方法.【點睛】本題考查了，線段的中點的定義，以及兩點之間的距離，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用中點的定義和兩點之間的距離，確定點的坐標．5．如圖①，已知線段，點C為線段AB上的一點，點D，E分別是AC和BC的中點．（1）若，則DE的長為_____________；（2）若，求DE的長；（3）如圖②，動點P，Q分別從A，B兩點同時出發(fā)，相向而行，點P以每秒3個單位長度的速度沿線段AB向右勻速運動，點Q以點P速度的兩倍沿線段AB向左勻速運動，設(shè)運動時間為t秒，問當(dāng)t為多少時，P，Q之間的距離為6？【答案】（1）6；（2）6；（3）或2【分析】(1)根據(jù)圖形，由AB=12，AC=4得出BC=8再根據(jù)點D，E分別時AC和BC中點，得出DC，EC，再根據(jù)線段的和求出DE，(2)根據(jù)圖形，由AB=12，BC=m得出AC=12-m再根據(jù)點D，E分別時AC和BC中點，得出DC，EC，再根據(jù)線段的和求出DE，(3)用含t的式子表示AP，BQ，再畫出兩種圖形，根據(jù)線段的和等于AB，得到兩個一元一次方程，即可求出．【詳解】解：如圖(1)∵AB=12，AC=4∴BC=8∵點D，E分別時AC和BC中點，∴DC=2，BC=EC=4∴DE=DC+CE=6(2)∵AB=12，BC=m∴AC=12-m∵點D，E分別時AC和BC中點∴DC=6-m，BC=EC=∴DE=DC+CE=6(3)由題意得，如圖所示，或AP=3t，BQ=6t∴AP+PQ+BQ=12或AP+BQ-PQ=12∴3t+6+6t=12或3t+6t-6=12解得t=或t=2故當(dāng)t=或t=2時，P，Q之間的距離為6.【點睛】本題考查了線段的中點，線段的和差倍分，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，得出線段之間的關(guān)系式．6．已知，C為線段上一點，D為的中點，E為的中點，F(xiàn)為的中點．

（1）如圖1，若，，求的長；（2）若，求的值；（3）若，，取的中點，的中點，的中點，則=______（用含a的代數(shù)式表示）．【答案】（1）；（2）的值為或；（3）【分析】（1）由D為AC的中點，E為BC的中點得到DC=AC=2，CE=BC=3，則可計算出DE=5，再利用F為DE的中點得到DF=DE，然后利用CF=DF-DC求解；（2）根據(jù)線段的中點定義和線段的和差計算分兩種情況即可求解；（3）如圖，設(shè)AC=x，BC=y，即x-y=a，利用線段中點定義得到DC=，CE=，則，所以，再利用的中點，得到，于是可計算出，即有．【詳解】解：（1）∵D為AC的中點，E為BC的中點，∴DC=AC=2，CE=BC=3，∴DE=DC+CE=2+3=5，∵F為DE的中點，∴DF=DE=，∴CF=DF-DC=；（2）①當(dāng)AC＞BC，點F在點C左側(cè)時，如圖所示：

∵D為AC的中點，E為BC的中點，∴DC=AC，CE=BC，∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，∵F為DE的中點，∴DF=DE=AB，∵AB=16CF，∴DF=4CF，∴CF=DC-DF=AC-4CF，∴AC=10CF，∴BC=AB-AC=16CF-10CF=6CF，∴，②當(dāng)AC＜BC，點F在點C右側(cè)時，如圖所示：

∵D為AC的中點，E為BC的中點，∴DC=AC，CE=BC，∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，∵F為DE的中點，∴DF=DE=AB，∵AB=16CF，∴DF=4CF，∴CF=DF-DC=4CF-AC，∴AC=6CF，∴BC=AB-AC=16CF-6CF=10CF，∴，綜上所述，的值為或．（3）如圖，

設(shè)AC=x，BC=y，即x-y=a，∵D為AC的中點，E為BC的中點，∴DC=AC=x，CE=BC=y，∵DC的中點為，CE的中點為，∴，∴，∵的中點為，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離．理清線段之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7．（1）如圖，已知點C在線段AB上，線段厘米，厘米，點M，N分別是AC，BC的中點．求線段MN的長度；（2）已知點C在線段BA的延長線上，點M，N分別是AC，BC的中點，設(shè)，請根據(jù)題意畫出圖形并求MN的長度；（3）在（1）的條件下，動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B，點Q以1cm/s的速度沿AB向左運動，終點為A，當(dāng)一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動，求運動多少秒時，C、P、Q三點有一點恰好是以另兩點為端點的線段的中點．【答案】（1）8cm；（2）圖見解析，；（3），或，或．【分析】（1）根據(jù)中點的定義、線段的和差可得答案；（2）根據(jù)中點的定義、線段的和差可得答案；（3）根據(jù)線段中點的性質(zhì)可得方程，根據(jù)解方程可得答案．【詳解】解：（1）∵線段厘米，厘米，點M，N分別是AC，BC的中點，∴厘米，厘米，∴厘米；（2）如圖，∵點M，N分別是AC，BC的中點，∴，，∴．（3）①當(dāng)時，C是線段PQ的中點，得，解得；②當(dāng)時，P為線段CQ的中點，，解得；③當(dāng)時，Q為線段PC的中點，，解得；④當(dāng)時，C為線段PQ的中點，，解得（舍），綜上所述：，或，或．【點睛】本題考查了兩點間的距離，利用線段中點的性質(zhì)得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．8．如圖，數(shù)軸上有兩個點，為原點，，點所表示的數(shù)為．

⑴；⑵求點所表示的數(shù)；⑶動點分別自兩點同時出發(fā)，均以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，點為線段的中點，點為線段的中點，在運動過程中，線段的長度是否為定值？若是，請求出線段的長度；若不是，請說明理由．【答案】(1)4；(2)-8;(3)EF長度不變，EF=2，證明見解析【分析】(1)根據(jù)線段的和差得到AB=4，(2)由AB=4得到AC=24，即可得出：OC=24-16=8．于是得到點C所表示的數(shù)為-8;(3)分五種情況:設(shè)運動時間為t，用含t的式子表示出AP、BQ、PC、CQ，根據(jù)線段中點的定義得到畫出圖形，計算EF，于是得到結(jié)論．【詳解】解:(1)∵OA=16,點B所表示的數(shù)為20,∴OB=20,∴AB=OB-OA=20-16=4,故答案為：4(2)∵AB=4，AC=6AB．∴AC=24,∴OC=24-16=8,∴點C所表示的數(shù)為-8;(3)EF長度不變，EF=2，理由如下：設(shè)運動時間為t，當(dāng)時，點P，Q在點C的右側(cè)，則AP=BQ=2t,

∵AC=24，BC=28,∴PC=24-2t，CQ=28-2t．∵點E為線段CP的中點，點F為線段CQ的中點,∴∴EF=CF-CE=2:當(dāng)t=12時,C、P重合，此時PC=0，CQ=28-24=4．

∵點F為線段CQ的中點,∴∴當(dāng)12<t<14時，點P，Q在點C的左右，PC=2t-24,CQ=28-2t,

∵點E為線段CP的中點，點F為線段CQ的中點,∴∴EF=CE+CF=2,當(dāng)t=14時,C、Q重合，此時PC=4，CQ=0

∵點E為線段CP的中點,∴∴當(dāng)t>14時，點P、Q在點C的左側(cè)，PC=2t-24，CQ=2t-28,

∴∴EF=CE-CF=2．綜上所述，EF長度不變，EF=2．【點睛】本題考查兩點間的距離，數(shù)軸，線段中點的定義線段和差，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．9．如圖，點是定長線段上一點，、兩點分別從點、出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直線向左運動（點在線段上，點在線段上）．（1）若點、運動到任一時刻時，總有，請說明點在線段上的位置；（2）在（1）的條件下，點是直線上一點，且，求的值；（3）在（1）的條件下，若點、運動5秒后，恰好有，此時點停止運動，點繼續(xù)運動（點在線段上），點、分別是、的中點，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變．可以說明，只有一個結(jié)論是正確的，請你找出正確的結(jié)論并求值．【答案】（1）點P在線段AB的處；（2）或；（3）結(jié)論②的值不變正確，.【分析】（1）設(shè)運動時間為t秒，用含t的代數(shù)式可表示出線段PD、AC長，根據(jù)，可知點在線段上的位置；（2）由可知，當(dāng)點Q在線段AB上時，等量代換可得，再結(jié)合可得的值；當(dāng)點Q在線段AB的延長線上時，可得，易得的值.（3）點停止運動時，，可求得CM與AB的數(shù)量關(guān)系，則PM與PN的值可以含AB的式子來表示，可得MN與AB的數(shù)量關(guān)系，易知的值.【詳解】解：（1）設(shè)運動時間為t秒，則，由得，即，，，即所以點P在線段AB的處；（2）①如圖，當(dāng)點Q在線段AB上時，由可知，②如圖，當(dāng)點Q在線段AB的延長線上時，，綜合上述，的值為或；（3）②的值不變.由點、運動5秒可得，如圖，當(dāng)點M、N在點P同側(cè)時，點停止運動時，，點、分別是、的中點，當(dāng)點C停止運動，點D繼續(xù)運動時，MN的值不變，所以；如圖，當(dāng)點M、N在點P異側(cè)時，點停止運動時，，點、分別是、的中點，當(dāng)點C停止運動，點D繼續(xù)運動時，MN的值不變，所以；所以②的值不變正確，.【點睛】本題考查了線段的相關(guān)計算，利用線段中點性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的和差倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵.10．【探索新知】如圖1，點在線段上，圖中共有3條線段：、、和，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點是線段的“二倍點”.（1）一條線段的中點這條線段的“二倍點”；（填“是”或“不是”）【深入研究】如圖2，點表示數(shù)-10，點表示數(shù)20，若點從點，以每秒3的速度向點運動，當(dāng)點到達點時停止運動，設(shè)運動的時間為秒.（2）點在運動過程中表示的數(shù)為（用含的代數(shù)式表示）；（3）求為何值時，點是線段的“二倍點”；（4）同時點從點的位置開始，以每秒2的速度向點運動，并與點同時停止.請直接寫出點是線段的“二倍點”時的值.【答案】（1）是

；（2）；（3）或5或；（4）或或【分析】（1）可直接根據(jù)“二倍點”的定義進行判斷；（2）由題意可直接得出；（3）用含t的代數(shù)式分別表示出線段AM、BM、AB，然后根據(jù)“二倍點”定義分類討論的出結(jié)果；（4）用含t的代數(shù)式分別表示出線段AN、MN、AM，然后根據(jù)“二倍點”定義分類討論的出結(jié)果；【詳解】解：（1）因為線段的中點將線段分為相等的兩部分，該線段等于2倍的中點一側(cè)的線段長，符合“二倍點”的定義，所以一條線段的中點是這條線段的“二倍點”；故答案為：是．（2）由題意得出：點在運動過程中表示的數(shù)為：20-3t；（3）AB=30，AM=30-3t，BM=3t，當(dāng)AM=2BM時，30-3t=6t，解得，；當(dāng)2AM=BM時，60-6t=3t，解得，；當(dāng)AM=BM時，30-3t=3t，解得，；答：當(dāng)或5或時，點是線段AB的“二倍點”．（4）AN=2t，AM=30-3t，NM=5t-30，當(dāng)AN=2NM時2t=10t-60，解得，；當(dāng)2AM=NM時，60-6t=5t-30，解得，；當(dāng)AM=2NM時，30-3t=10t-60，解得，．答：當(dāng)或或時，點是線段的“二倍點”．【點睛】本題考查的知識點是一元一次方程的應(yīng)用以及兩點間的距離，讀懂題意，領(lǐng)會“二倍點”的定義是解此題的關(guān)鍵，此題需要分情況討論，注意不要漏解【經(jīng)典題型二動角有關(guān)問題】11．將一副直角三角板按圖擺放在直線上（直角三角板和直角三角板在同一平面內(nèi)，，，，），保持三角板不動，將三角板繞點以每秒的速度順時針轉(zhuǎn)動（即每一條邊都繞點以相同速度順時針轉(zhuǎn)動），轉(zhuǎn)動時間為秒．

(1)當(dāng)秒時，平分？如圖，此時；（直接寫答案）(2)繼續(xù)轉(zhuǎn)動三角板，如圖，使得、同時在直線的右側(cè)，猜想與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（數(shù)量關(guān)系中不含）(3)若在三角板開始轉(zhuǎn)動的同時，另一個三角板也繞點以每秒的速度順時針轉(zhuǎn)動，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至射線上時同時停止，（自行畫圖分析）當(dāng)為多少秒時，？在轉(zhuǎn)動過程中，請寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（數(shù)量關(guān)系中不含）【答案】(1)，；(2)，理由見解析；(3)秒或秒；，理由見解析．【分析】（）根據(jù)角平分線的定義得到，于是得到，由于，，即可得到；（）根據(jù)題意得，求得，即可得到結(jié)論；（）根據(jù)題意得，，求得，列方程即可得到結(jié)論；根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵，平分，∴，∴(秒)，∵，，∴；故答案為：，；（2），理由：∵，∴，∵，∴；（3）∵，，∴，∵，∴或，∴秒或秒．，理由：∵，，，，∵，，∴，∴

【點睛】此題考查了角的計算，認真審題并仔細觀察圖形，找到各個量之間的關(guān)系求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．12．已知、共頂點O，平分，平分．

(1)如圖1，當(dāng)與重合時，若，，求的度數(shù)；(2)將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角α至圖2所示位置，設(shè)，求的度數(shù)（用、表示）；(3)在（1）條件下，將從圖1所示位置逆時針以每秒2°的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)運動時間為秒（），當(dāng)時，的值為．（直接寫出答案）【答案】(1)10度(2)(3)5或75【分析】（1）根據(jù)角平分線定義及角的和差關(guān)系即可求得答案；（2）根據(jù)角平分線定義及角的和差關(guān)系即可求得答案；（3）分四種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，④當(dāng)時，分別根據(jù)角平分線定義及角的和差關(guān)系即可求得答案；【詳解】（1）解：如圖1，

∵平分，平分，與重合，∴，，∴；（2）如圖2，

∵平分，平分，∴，，∴＝＝＝＝＝，∵繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角，∴，∵，∴；（3）①當(dāng)時，如圖3，

由題可知，，則，，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，解得：；②當(dāng)時，如圖4，

由題可知，，則，，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，解得：（不符合題意，舍去）；③當(dāng)時，如圖5，

由題可知，，則，，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，解得：（不符合題意，舍去）；④當(dāng)時，如圖6，

由題可知，，則，，∵平分，平分，∴∴，，∴，∵，∴，解得：；綜上，t的值為或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了角的計算，角平分線的定義．本題是探究型題目，利用類比的方法解答是解題的關(guān)鍵．13．在同一平面內(nèi)，以點為公共頂點的和，滿足，則稱是的“二倍關(guān)聯(lián)角”．已知（本題所涉及的角均小于平角）．(1)如圖，若，在內(nèi)，且是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，則；(2)如圖，若射線、同時從射線出發(fā)繞點旋轉(zhuǎn)，射線以秒的速度繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，到達直線后立即改為順時針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，速度仍保持不變；射線以秒的速度繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，射線到達直線時，射線、同時停止運動，設(shè)運動時間秒，當(dāng)為何值時，是的“二倍關(guān)聯(lián)角”；(3)如圖，保持大小不變，在直線上方繞點旋轉(zhuǎn)，若是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，設(shè)，請直接用含的代數(shù)式表示的大?。敬鸢浮?1)或；(2)或；(3)或．【分析】（1）根據(jù)“二倍關(guān)聯(lián)角”的概念，得到，分兩種情況討論即可得到答案；（2）分三種情況討論：①當(dāng)時；②當(dāng)時；當(dāng)時，分別用含t的式子表示出和,再利用“二倍關(guān)聯(lián)角”的概念列方程求解即可得到答案；（3）分三種情況討論：①當(dāng)在內(nèi)部時；②當(dāng)在內(nèi)部時；③當(dāng)在外部時，利用“二倍關(guān)聯(lián)角”的概念分別求解即可得到答案．【詳解】（1）解：是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，，；如圖，當(dāng)在上方時，，如圖，當(dāng)在下方時，，故答案為：或；（2）解：①當(dāng)時，，，是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，，，，符合題意，②當(dāng)時，，，是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，，，，不符合題意，舍去；當(dāng)時，，，是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，，，，符合題意，綜上可知，當(dāng)或時，是的“二倍關(guān)聯(lián)角”；（3）解：①如圖，當(dāng)在內(nèi)部時，，解得：，②如圖，當(dāng)在內(nèi)部時，，解得：，③如圖，當(dāng)在外部時，，解得，綜上可知，的大小為或．【點睛】本題考查了新定義——二倍關(guān)聯(lián)角，利用分類討論的思想，找準角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．14．已知，按如圖①所示擺放，將邊重合在直線上，邊在直線的兩側(cè)．(1)保持不動，將繞點O旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，則，；(2)若按每分鐘的速度繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，按每分鐘的速度也繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到射線上時都停止運動，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t分鐘．求的大?。ㄓ胻的代數(shù)式表示）；(3)保持不動，將繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，若射線平分，射線平分，求的大小．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）①將轉(zhuǎn)化為即可得；②依據(jù)、，將原式轉(zhuǎn)化為計算可得；（2）設(shè)運動時間為t秒，，只需表示出即可得出答案，而在與相遇前、后表達式不同，故需分與相遇前后即和兩種情況求解；（3）設(shè)繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，則也繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，再分①射線在射線同側(cè)；②射線在射線異側(cè)，分別求解即可．【詳解】（1）①，②；故答案為：；（2）設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒，則，，①時，與相遇前，，∴；②時，與相遇后，，∴；（3）設(shè)繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，則也繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，①時，如圖①，在射線同側(cè)，∵，∴，∵平分，∴，∵，平分，∴∴，∴；②時，如圖②，在射線異側(cè)，∵，∴，∵平分，∴，∵，平分，∴∴，∴．綜上，．【點睛】本題考查了角的計算，解題的關(guān)鍵是掌握角的和差計算、角平分線的定義及分類討論思想的運用．15．定義：如圖1，線段是圓O的三條半徑，當(dāng)平分時，我們稱點P是弧的中點，半徑是扇形的“弧中線”．如圖2，線段是圓O的直徑，半徑分別從位置同時出發(fā)繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)30度，每秒旋轉(zhuǎn)60度，設(shè)運動時間為t秒（其中）．(1)當(dāng)，且半徑是扇形的“弧中線”時，求t的值；(2)當(dāng)時，是否存在t值使得半徑是扇形的“弧中線”？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．(3)若半徑是扇形的“弧中線”，半徑是扇形的“弧中線”，當(dāng)時，請直接寫出此時t的值．【答案】(1)(2)存在，4或8(3)5或7【分析】（1）根據(jù)半徑是扇形的“弧中線”列方程求解即可；（2）分當(dāng)時和當(dāng)時兩種情況求解；（3）分當(dāng)，時和當(dāng)時三種情況求解；【詳解】（1）當(dāng)是扇形的“弧中線”時，．∴．解得．（2）存在，理由如下：①如圖，當(dāng)時．．∵，∴．∴．解得．②如圖，當(dāng)時，，．∵，∴．∴．解得．∴當(dāng)或8時，半徑是扇形的“弧中線”．（3）如圖，當(dāng)時，由題意得，，，∴．∵半徑是扇形的“弧中線”，半徑是扇形的“弧中線”，∴，，∴，∵，∴∴（不合題意，舍去）．如圖，當(dāng)時，由題意得，，，∴．∵半徑是扇形的“弧中線”，半徑是扇形的“弧中線”，∴，，∴，∵，∴∴．如圖，當(dāng)時，由題意得，，，∴．∵半徑是扇形的“弧中線”，半徑是扇形的“弧中線”，∴，，∴，∵，∴∴．綜上可知，當(dāng)時，t的值為5或7．【點睛】本題考查了新定義，角平分線的定義，角的和差，以及一元一次方程的應(yīng)用，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．16．已知，射線均為內(nèi)的射線．

(1)如圖1，若為的三等分線，則＝；(2)如圖2，若，平分平分，求的大小(3)射線以每秒的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，射線以每秒的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，射線始終平分，兩條射線同時從圖1的位置出發(fā)，當(dāng)其中一條射線到達的位置時兩條射線同時停止運動．設(shè)運動的時間為t秒，當(dāng)t為何值時，.【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）根據(jù)三等分角的定義求解即可；（2）設(shè)，根據(jù)角平分線性質(zhì)表示出，，根據(jù)求解即可；（3）根據(jù)運動時間分類討論，表示出，根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵為的三等分線，，∴，；故答案為：．（2）解：設(shè)，則，，，∵平分平分，∴，，．（3）解：如圖所示，當(dāng)時，，，，∵射線平分，∴，，，解得，；如圖所示，當(dāng)時，，，，∵射線平分，∴，，，解得，（舍去）；如圖所示，當(dāng)時，，，，∵射線平分，∴，，，解得，如圖所示，當(dāng)時，，，，∵射線平分，∴，，，解得，【點睛】本題考查了與角平分線有關(guān)的計算，解題關(guān)鍵是熟練運用角平分線的性質(zhì)表示出角的度數(shù)，利用角的和差關(guān)系求解．17．已知與互補，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)．(1)若①如圖1，當(dāng)時，；②將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至，求與的度數(shù)；(2)將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)是否隨之的改變而改變？若不改變，請求出這個度數(shù)；若改變，請說明理由．【答案】(1)①150；②，或，(2)不改變，其度數(shù)為【分析】（1）①先根據(jù)求出，再根據(jù)計算即可；②設(shè)，分兩種情況：(Ⅰ)在內(nèi)部，(Ⅱ)在內(nèi)部，分別討論即可；（2）設(shè)，求出所有情況后判斷即可．【詳解】（1）①∵，∴，∵，，∴，故答案為150；②(Ⅰ)當(dāng)在內(nèi)部時（如圖1），設(shè)，則，，由得，，解得，∴，∴；(Ⅱ)當(dāng)在內(nèi)部時（如圖2），設(shè)，則，由得，，解得，，，∴；（2）不改變，其度數(shù)為．設(shè)，由條件知，分四種情況：ⅰ)當(dāng)在內(nèi)部時（如圖3），，，，∴；ⅱ)當(dāng)在內(nèi)部時（如圖4），，，∴；ⅲ)當(dāng)在內(nèi)部時（如圖5），，，∴；ⅳ)當(dāng)在外部時（如圖6），；綜上所述，在旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)不改變，其度數(shù)為．【點睛】本題考查了角的和差，關(guān)鍵是運用角的和差正確表示所需要的角．18．【新概念】如圖1，為內(nèi)一條射線，當(dāng)滿足時，我們把射線叫做射線、的m等個性線，記作．（其中m為正整數(shù)）【實際應(yīng)用】已知：O為直線上一點，過O點作射線．(1)如圖2，將一個三角板（含、）直角頂點D放在O處，另兩條邊分別為，，當(dāng)是時，___________．（填“是”或“不是”）．(2)如圖3，將三角板的頂點E放在O處，那么當(dāng)是時，是否也是？請先猜想結(jié)果，再說明理由．(3)將圖3中的射線繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖4，此時存在正整數(shù)m使是的同時，也是，則___________，___________．【答案】(1)是(2)是，理由見解析(3)，4【分析】（1）由是可得，由可得，，進而得出，可知是；（2）由是可得，由可得，，進而得出，可知是；（3）由m等個性線的定義可得，由此可得m與的關(guān)系，再根據(jù)，m是正整數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解：是，，，，，，，，，是，故答案為：是；（2）解：是，理由如下：是，，，，，，，，，是；（3）解：是，，同理，是，，，，，，，又m是正整數(shù)，，，，故答案為：，4．【點睛】本題考查角n等分線的計算問題、角的和差關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是理解m等個性線的定義．19．如圖1，把一副三角板拼在一起，邊與直線重合，其中，．此時易得．(1)如圖2，三角板固定不動，將三角板繞點以每秒的速度順時針開始旋轉(zhuǎn)，在轉(zhuǎn)動過程中，三角板一直在的內(nèi)部，設(shè)三角尺運動時間為秒．①當(dāng)時，；②求當(dāng)為何值時，使得；(2)如圖3，在（1）的條件下，若平分，平分．①當(dāng)時，；②請問在三角板的旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)是否會發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請敘述理由；如果不發(fā)生變化，請求出的度數(shù)．【答案】(1)①；②(2)①；②不變化，【分析】（1）①根據(jù)題意和角的和差進行求解即可；②由，結(jié)合題意可得，從而得出，，進而求出時間；（2）①根據(jù)平分，平分，可得，則可以將整理為，進而得出答案；②根據(jù)平分，平分，可得，，進而推導(dǎo)出，繼而得出答案．【詳解】（1）解：①當(dāng)時，，∴，故答案為：；②∵，∴，∴，∴秒，∴當(dāng)為秒時，；（2）①∵平分，平分，∴，∴，故答案為：；②的度數(shù)不發(fā)生變化，理由：平分，∴，∵平分，∴，，∵，∴，．【點睛】本題考查了幾何圖形中的角度計算，角平分線的定義，讀懂題意，能準確得出相應(yīng)角的數(shù)量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．20．已知，如圖1，將一塊直角三角板的直角頂點放置于直線上，直角邊與直線重合，其中，然后將三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)，從點引射線和，平分，．(1)如圖2，填空：當(dāng)時，______．(2)如圖2，當(dāng)時，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)如圖3，當(dāng)時，請判斷的值是否為定值，若為定值，求出該定值，若不是定值，請說明理由．【答案】(1)30(2)(3)是定值，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意，可得，再結(jié)合角平分線的定義即可獲得答案；（2）當(dāng)時，由題意可得，結(jié)合角平分線的定義易得，再由，可知，然后根據(jù)即可獲得答案；（3）當(dāng)時，由題意可得，，結(jié)合角平分線的定義易得，再由，，可推導(dǎo)，然后根據(jù)，進而確定．【詳解】（1）解：當(dāng)時，由題意可知，是平角，∴，又∵平分，∴．故答案為：30；（2）當(dāng)時，如圖2，∵是平角，，，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴；（3）當(dāng)時（如圖3），為定值．理由如下：∵是平角，，，∴，，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴為定值，定值為．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義、幾何圖形中角度運算等知識，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．【經(jīng)典題型三三角板中角度計算問題】21．現(xiàn)有一副三角尺，將和重合于點放置，且，，．將三角尺繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周（旋轉(zhuǎn)過程中和均是指小于的角），分別作出、的平分線、(1)將三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時，點在上，直接寫出圖1中______度；(2)將三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖2位的置時，點在的延長線上，直接寫出圖2中______度(3)將三角尺旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時，若，①______．（用含的代數(shù)式表示）②請求出的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）根據(jù)三角板得到，，根據(jù)角平分線的定義求出，，相加可得結(jié)果；（2）求出、，利用角平分線的定義得到，，最后根據(jù)得出結(jié)果；（3）①求出，根據(jù)角平分線的定義可得結(jié)果；②求出，根據(jù)角平分線的定義求出，再加上和即可得解．【詳解】（1）解：如圖所示：，，∵、分別平分、，∴，，∴；（2）∵，，∴，∴，，∵、分別平分、，∴，，∴；（3）①∵，，∴，∵平分，∴；②∵，，∴，∵平分，∴，∴．【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角板中的角度運算，角的和差，解題的關(guān)鍵是仔細分析，得出每個小問中的的構(gòu)成．22．如圖1，某校七年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在課后綜合實踐活動中，把一個直角三角尺AOB的直角頂點O放在互相垂直的兩條直線、的垂足O處，并使兩條直角邊落在直線、上，將繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，若，則______，______；(2)若射線是的角平分線，且．①旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，______．（用含的代數(shù)式表示）②在旋轉(zhuǎn)過程中，若，則此時______．【答案】(1)；(2)①；②或【分析】（1）根據(jù)，以及角的和差計算即可；（2）①先求，再利用得出結(jié)論；②分兩種情況討論：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到左側(cè)時；當(dāng)旋轉(zhuǎn)到右側(cè)時，解答即可．【詳解】（1）解：，∴，∵，∴，∵，∴；∵，，∴；故答案為：；．（2）解：①∵，，∴，∵射線是的角平分線，∴，∴，∵，∴；故答案為：；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到左側(cè)時，如圖所示：∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；當(dāng)旋轉(zhuǎn)到右側(cè)時，如圖所示：設(shè)，∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，解得：，∴，∴；綜上分析可知，的值為：或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中的角度計算，數(shù)形結(jié)合，分情況討論是解題的關(guān)鍵．23．如圖1，點為直線上一點，過點作射線，使，將一直角的直角頂點放在點處，邊在射線上，另一邊在直線的下方，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，其中旋轉(zhuǎn)的角度為(1)將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得落在射線上，此時為度．(2)將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得在的內(nèi)部，試探究與之間滿足什么樣的等量關(guān)系，并說明理由．(3)若直角繞點按每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直角的直角邊所在直線恰好平分時，求此時直角繞點的運動時間的值．【答案】(1)90(2)，理由見解析(3)22.5秒或58.5秒【分析】（1）根據(jù)，先求出，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的位置即可作答；（2）由圖可知，，兩式相減即可作答；（3）分兩種情況討論即可作答：當(dāng)射線恰好平分，此時旋轉(zhuǎn)角為：；當(dāng)射線的反向延長線恰好平分，此時旋轉(zhuǎn)角為：，問題隨之得解．【詳解】（1），，，，由落在射線上，可知旋轉(zhuǎn)角為：；故答案為：90．（2），，，即關(guān)系為：；（3）所在直線恰好平分，順時針旋轉(zhuǎn)，，當(dāng)射線恰好平分，此時旋轉(zhuǎn)角為：,即：（秒），當(dāng)射線的反向延長線恰好平分，此時旋轉(zhuǎn)角為：，（秒）所以直角繞點的運動時間是22.5秒或58.5秒．【點睛】本題主要考查學(xué)生對幾何中心旋轉(zhuǎn)知識點的掌握，綜合運用幾何性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)性質(zhì)解決問題的能力．要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，運用到考試中去．掌握旋轉(zhuǎn)中角度的變化以及旋轉(zhuǎn)反向是解答本題的關(guān)鍵．24．將一副直角三角板，，按如圖1放置，其中B與E重合，，．(1)如圖1，點F在線段的延長線上，求的度數(shù)；(2)將三角板從圖1位置開始繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，，分別為，的角平分線．①如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的內(nèi)部時，求的度數(shù)；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的外部時，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)①；②或【分析】（1）先根據(jù)三角板的度數(shù)得到的度數(shù)，再用即可；（2）①由角平分線的定義可得，，再根據(jù)，整理可得的度數(shù)；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的外部時，分情況討論：當(dāng)是銳角時，由角平分線的定義可得，，再根據(jù)，整理可得的度數(shù)；當(dāng)是鈍角時，由角平分線的定義可得，，再根據(jù)，得出的度數(shù)．【詳解】（1）解：，，，．（2）解：①，分別為，的角平分線，，，；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的外部時，分兩種情況：（Ⅰ）如圖：，分別為，的角平分線，，，；（Ⅱ）如圖：，分別為，的角平分線，，，；綜上所述，的值為或．【點睛】本題考查了角度的計算，利用角平分線定義和角的和差是解題關(guān)鍵，注意要分情況討論．25．將一副直角三角板如圖1擺放在直線上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不動，將三角板繞點O以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中的大小保持不變）直至邊第一次重合在直線上，整個過程時間記為t秒．(1)從旋轉(zhuǎn)開始至結(jié)束，整個過程共持續(xù)了______秒；(2)如圖2，旋轉(zhuǎn)三角板，使得、在直線的異側(cè)，請直接寫出與數(shù)量關(guān)系；如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，使得、同時在直線的右側(cè)，請問上面的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，并說明理由；(3)若在三角板旋轉(zhuǎn)的同時，另一個三角板也繞點O以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中的大小保持不變），當(dāng)邊第一次重合在直線上時兩三角板同時停止．①試用字母t分別表示與；②在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)t為何值時平分．【答案】(1)9(2)，仍成立．理由見解析(3)①，，②秒【分析】（1）繞過的角度為，據(jù)此除以旋轉(zhuǎn)速度，即可作答；（2）、在直線的異側(cè)，用很含式子表示出與，即可作答；、在直線的右側(cè)，同理可證明；（3）①根據(jù)題意直接列式即可；②若平分，則有，根據(jù)①的結(jié)果列式：，解方程即可求解．【詳解】（1）根據(jù)題意可知：（秒），故答案為：9；（2）∵，，，，、在直線的異側(cè)，如圖2所示，∵，，∴，∴即，、在直線的右側(cè)，仍成立．理由如下：如圖3所示，∵，，∴；（3）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)的同時，另一個三角板繞點O以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，①當(dāng)旋轉(zhuǎn)t秒時，，,∴．②若平分，則有，根據(jù)①的結(jié)果列式：，解得：．答：在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)t為秒時，平分．【點睛】本題考查三角形綜合題、三角形板中的角度的計算、角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．【經(jīng)典題型四幾何圖形中角度計算問題】26．如圖，點O在直線EF上，點A、B與點C、D分別在直線EF兩側(cè)，且，．

(1)如圖1，若平分，求的度數(shù)；(2)如圖2，在（1）的條件下，平分，過點O作射線，求的度數(shù)；(3)如圖3，若在內(nèi)部作一射線，若，，試判斷與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線定義和周角是可得的度數(shù)；（2）分兩種情況：當(dāng)在下方時；當(dāng)在上方時，計算即可；（3）由，，設(shè)，則，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可用表達出的度數(shù)，求出與的度數(shù)．【詳解】（1）平分，，，．（2）當(dāng)在下方時，

平分，，，，，，．當(dāng)在上方時，

平分，，，，，，，；（3）設(shè)，則，，，，，，．【點睛】本題主要考查角度的和差計算，角平分線的性質(zhì)等知識，結(jié)合圖形找到角度之間的和差關(guān)系是解題關(guān)鍵．27．如圖，已知．

(1)試說明：；(2)若平分，，，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，作射線，，當(dāng)，時，請正確畫出圖形，并直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)(3)圖見解析，的度數(shù)是或或或【分析】（1）觀察圖形，可知已知的兩等角存在公共部分，同時減去，即可得解；（2）觀察圖形中角之間的位置關(guān)系，得，由角平分線，得；（3）由，分情況：①在內(nèi)部：由，進一步分情況討論，在內(nèi)部或在外部，②在外部：進一步分情況討論，在內(nèi)部或在外部；分別求解．【詳解】（1）解：，，，；（2）由（1）可知，，，，平分，，的度數(shù)是；（3）的度數(shù)是或或或，理由如下：如圖1，，，，

，又，，，如圖2，，

即，又，，，

如圖3，，，又，，，如圖，，

，，綜上所述，的大小為或或或．【點睛】本題考查角的數(shù)量關(guān)系和計算，角平分線的定義；根據(jù)圖形得出角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．28．點為直線上一點，在直線同側(cè)任作射線，使得．

(1)如圖一，過點作射線，使為的角平分線，若時，則________，________；(2)如圖二，過點O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分．①若，求的度數(shù)（寫出推理過程）；②若，則的度數(shù)是________（直接填空）．(3)過點作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分，當(dāng)時，則的度數(shù)是________．（在稿紙上畫圖分析，直接填空）【答案】(1)65°，40°(2)①135°，②135°(3)35°或55°【分析】（1）根據(jù)求出，利用角平分線的定義得到，再根據(jù)進行求解即可；（2）①由平角的定義，角平分線的定義求出，根據(jù)進行求解即可；②同①法，進行計算即可；（3）分在內(nèi)部和在外部兩種情況，進行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵為的角平分線，∴，∴；故答案為：；（2）①解：∵，，∴，又∵為的角平分線，為的角平分線，∴，，∴，②∵，，∴，又∵為的角平分線，為的角平分線，∴，，∴；故答案為：；（3）①當(dāng)在內(nèi)部時，如圖：

∵，平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，②當(dāng)在外部時，如圖：

∵，平分，∴，∵，∴，∵平分，∴；綜上：的度數(shù)是或；故答案為：或．【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算，角平分線的相關(guān)計算．解題的關(guān)鍵是正確的識圖，理清角之間的和差關(guān)系．29．如圖，點在同一條直線上，從點引一條射線，且．

(1)求的度數(shù)．(2)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)（，且不是的整數(shù)倍）得到，在內(nèi)引射線，在內(nèi)引射線，且．．①若，求的度數(shù)；②若，請直接寫出的大?。敬鸢浮?1)(2)①；②或【分析】（1）根據(jù)鄰補角的定義和性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)的角度可得出和的度數(shù)，由此可得出和的度數(shù)，根據(jù)和差關(guān)系即可得出結(jié)論；②分當(dāng)時和當(dāng)時，分別進行求解即可得到答案．【詳解】（1）解：，；（2）解：①如圖1，

，當(dāng)時，則，，，，，，，，；②或．如圖2，當(dāng)時，

，，，，，解得；如圖3，當(dāng)時，

，，，，，解得，綜上所述，的大小為或．【點睛】本題主要考查了角的計算，涉及分類討論的思想，由圖得出角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．30．已知和是直角．

(1)如圖，當(dāng)射線在內(nèi)部時，請?zhí)骄亢椭g的關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)射線，射線都在外部時，過點作線，射線，滿足，∠DOF＝，求的度數(shù)；(3)如圖，在(2)的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線，使得，若存在，請求出的度數(shù)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，的度數(shù)是或．【分析】（1）根據(jù)已知條件，和是直角，可得出和與的關(guān)系式，再根據(jù)與和列出等量關(guān)系，即可得出答案；（2）根據(jù)已知條件，可設(shè)，則，再根據(jù)周角的關(guān)系可得到的等量關(guān)系，再根據(jù)，可得到的等量關(guān)系式，由、和可列出等量關(guān)系，即可得到答案；（3）分兩種情況，當(dāng)射線在內(nèi)部時，由，可得出結(jié)果，當(dāng)射線在外部時，由，可得出結(jié)果．【詳解】（1），理由如下：∵和是直角，∴，∵，∴，同理：，∴，∴；（2）設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，（3）存在，當(dāng)射線在內(nèi)部時，∵，∴，當(dāng)射線在外部時，∵，∴，綜上所述，的度數(shù)是或．【點睛】此題考查了角的計算，根據(jù)題意列出相應(yīng)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典題型五實際問題中角度計算問題】31．給出如下定義：如果，且（k為正整數(shù)），那么稱是的“倍銳角”．(1)下列三個條件中，能判斷是的“倍銳角”的是________（填寫序號）；①；②；③是的角平分線；(2)如圖，當(dāng)時，在圖中畫出的一個“倍銳角”；(3)如圖，當(dāng)時，射線繞點O旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)10°，可得它的“倍銳角”_____°；(4)當(dāng)且存在它的“倍銳角”時，則________°．【答案】(1)①③(2)見解析(3)60或80(4)或【分析】（1）分別求出和后判斷是否符合（k為正整數(shù)）；（2）先求出的度數(shù)，再任意畫出一個符合題意的角即可；（3）先求出的所有可能性，再分別求出的度數(shù)；（4）分兩種情況分別討論．【詳解】（1）當(dāng)時，，，①符合題意；當(dāng)時，，，②不符合題意；當(dāng)是的角平分線，，③符合題意；故答案為①③．（2）∵，，∴，如下圖：（3）∵是的“倍銳角”，∴（k為正整數(shù)），∵，∴，∴應(yīng)逆時針旋轉(zhuǎn)，∵當(dāng)時，射線繞點O旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)10°，∴可取，，，，當(dāng)時，，此時，不符合題意；當(dāng)時，，此時，符合題意；當(dāng)時，，此時，不符合題意；當(dāng)時，，此時，符合題意；故答案為：60或80．（4）∵是的“倍銳角”，∴（k為正整數(shù)），∵，∴，①：如圖，；②：如圖，，∵，∴，∴，故答案為：或．【點睛】本題考查了用新定義計算角的和差，正確理解“倍銳角”是解題的關(guān)鍵．32．如圖1，在∠AOB的內(nèi)部引一條射線OC，則圖中共有3個角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．(1)①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請用含α的代數(shù)式表示∠MPN；(2)如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．當(dāng)PQ與PN成110°時停止旋轉(zhuǎn)．同時射線PM繞點P以每秒6°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時停止．當(dāng)PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時，則t＝秒．【答案】(1)①是；②∠MPN=α或∠MPN=3α(2)t=秒，4秒，5秒【分析】（1）①根據(jù)新定義的理解，即可得到答案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況：當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時；當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時；分別求出∠MPN即可；（2）根據(jù)題意，設(shè)運用的時間為t秒，則PM運用后有，，然后對PM和PQ的運動情況進行分析，可分為四種情況進行分析，分別求出每一種情況的運動時間，即可得到答案．【詳解】（1）①如圖，若∠MPQ＝∠NPQ，∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射線PQ是∠MPN的“好好線”；②∵射線PQ是∠MPN的“好好線”又∵∠MPQ≠∠NPQ∴此題有兩種情況Ⅰ．如圖1，當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；Ⅱ．如圖2，當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α綜上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．（2）根