北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題13 動(dòng)點(diǎn)與角度計(jì)算45道經(jīng)典題型專訓(xùn)（7大題型）（原卷版+解析）

專題13動(dòng)點(diǎn)與角度計(jì)算45道經(jīng)典題型專訓(xùn)（7大題型）【題型目錄】題型一與線段動(dòng)點(diǎn)有關(guān)問題題型二動(dòng)角有關(guān)問題題型三三角板中角度計(jì)算問題題型四幾何圖形中角度計(jì)算問題題型五實(shí)際問題中角度計(jì)算問題題型六角平分線的有關(guān)計(jì)算題型七角n等分線的有關(guān)計(jì)算【經(jīng)典題型一與線段動(dòng)點(diǎn)有關(guān)問題】1．如圖，直線上有，，，四個(gè)點(diǎn)，，，．

(1)線段______(2)動(dòng)點(diǎn)，分別從A點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)沿線段以3/秒的速度，向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后立即按原速向A點(diǎn)返回；點(diǎn)沿線段以1/秒的速度，向左運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)再次到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（單位：秒）①求，兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值；②求，兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)，與點(diǎn)A的距離．2．如圖1，線段AB長(zhǎng)為24個(gè)單位長(zhǎng)度，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn)，設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．(1)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，求x的值．(2)當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的值．(3)如圖2，當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為BP的中點(diǎn)，MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?如不變，求出MN的長(zhǎng)度．如變化，請(qǐng)說明理由．3．如圖，點(diǎn)，在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－5，7（單位長(zhǎng)度為），是，間一點(diǎn)，，兩點(diǎn)分別從點(diǎn)，出發(fā)，以，的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．（1）______．（2）若點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．（3）在（2）的條件下，是數(shù)軸上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．4．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，．（1）直接寫出點(diǎn)B表示的數(shù)_________；（2）點(diǎn)C在AB之間，，求點(diǎn)C表示的數(shù)，并在數(shù)軸上描出點(diǎn)C；（3）已知點(diǎn)P在數(shù)軸上①若，直接寫出點(diǎn)P所表示的數(shù)；②點(diǎn)P從線段AB的中點(diǎn)處出發(fā)，每次向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)了7次，恰好到達(dá)點(diǎn)B的位置，請(qǐng)直接寫出所有不同移動(dòng)方法的種數(shù)．5．如圖①，已知線段，點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是AC和BC的中點(diǎn)．（1）若，則DE的長(zhǎng)為_____________；（2）若，求DE的長(zhǎng)；（3）如圖②，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段AB向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以點(diǎn)P速度的兩倍沿線段AB向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問當(dāng)t為多少時(shí)，P，Q之間的距離為6？6．已知，C為線段上一點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．

（1）如圖1，若，，求的長(zhǎng)；（2）若，求的值；（3）若，，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則=______（用含a的代數(shù)式表示）．7．（1）如圖，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段厘米，厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．求線段MN的長(zhǎng)度；（2）已知點(diǎn)C在線段BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)根據(jù)題意畫出圖形并求MN的長(zhǎng)度；（3）在（1）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，C、P、Q三點(diǎn)有一點(diǎn)恰好是以另兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)．8．如圖，數(shù)軸上有兩個(gè)點(diǎn)，為原點(diǎn)，，點(diǎn)所表示的數(shù)為．

⑴；⑵求點(diǎn)所表示的數(shù)；⑶動(dòng)點(diǎn)分別自兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度是否為定值？若是，請(qǐng)求出線段的長(zhǎng)度；若不是，請(qǐng)說明理由．9．如圖，點(diǎn)是定長(zhǎng)線段上一點(diǎn)，、兩點(diǎn)分別從點(diǎn)、出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上）．（1）若點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，請(qǐng)說明點(diǎn)在線段上的位置；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求的值；（3）在（1）的條件下，若點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)5秒后，恰好有，此時(shí)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上），點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變．可以說明，只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你找出正確的結(jié)論并求值．10．【探索新知】如圖1，點(diǎn)在線段上，圖中共有3條線段：、、和，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另一條線段長(zhǎng)度的兩倍，則稱點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”.（1）一條線段的中點(diǎn)這條線段的“二倍點(diǎn)”；（填“是”或“不是”）【深入研究】如圖2，點(diǎn)表示數(shù)-10，點(diǎn)表示數(shù)20，若點(diǎn)從點(diǎn)，以每秒3的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.（2）點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中表示的數(shù)為（用含的代數(shù)式表示）；（3）求為何值時(shí)，點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”；（4）同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)的位置開始，以每秒2的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，并與點(diǎn)同時(shí)停止.請(qǐng)直接寫出點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”時(shí)的值.【經(jīng)典題型二動(dòng)角有關(guān)問題】11．將一副直角三角板按圖擺放在直線上（直角三角板和直角三角板在同一平面內(nèi)，，，，），保持三角板不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（即每一條邊都繞點(diǎn)以相同速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)），轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)當(dāng)秒時(shí)，平分？如圖，此時(shí)；（直接寫答案）(2)繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，如圖，使得、同時(shí)在直線的右側(cè)，猜想與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（數(shù)量關(guān)系中不含）(3)若在三角板開始轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，另一個(gè)三角板也繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至射線上時(shí)同時(shí)停止，（自行畫圖分析）當(dāng)為多少秒時(shí)，？在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（數(shù)量關(guān)系中不含）12．已知、共頂點(diǎn)O，平分，平分．

(1)如圖1，當(dāng)與重合時(shí)，若，，求的度數(shù)；(2)將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α至圖2所示位置，設(shè)，求的度數(shù)（用、表示）；(3)在（1）條件下，將從圖1所示位置逆時(shí)針以每秒2°的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（），當(dāng)時(shí)，的值為．（直接寫出答案）13．在同一平面內(nèi)，以點(diǎn)為公共頂點(diǎn)的和，滿足，則稱是的“二倍關(guān)聯(lián)角”．已知（本題所涉及的角均小于平角）．(1)如圖，若，在內(nèi)，且是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，則；(2)如圖，若射線、同時(shí)從射線出發(fā)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，射線以秒的速度繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，到達(dá)直線后立即改為順時(shí)針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，速度仍保持不變；射線以秒的速度繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，射線到達(dá)直線時(shí)，射線、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間秒，當(dāng)為何值時(shí)，是的“二倍關(guān)聯(lián)角”；(3)如圖，保持大小不變，在直線上方繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，若是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，設(shè)，請(qǐng)直接用含的代數(shù)式表示的大小．14．已知，按如圖①所示擺放，將邊重合在直線上，邊在直線的兩側(cè)．(1)保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，則，；(2)若按每分鐘的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，按每分鐘的速度也繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到射線上時(shí)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t分鐘．求的大?。ㄓ胻的代數(shù)式表示）；(3)保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，若射線平分，射線平分，求的大小．15．定義：如圖1，線段是圓O的三條半徑，當(dāng)平分時(shí)，我們稱點(diǎn)P是弧的中點(diǎn)，半徑是扇形的“弧中線”．如圖2，線段是圓O的直徑，半徑分別從位置同時(shí)出發(fā)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)30度，每秒旋轉(zhuǎn)60度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（其中）．(1)當(dāng)，且半徑是扇形的“弧中線”時(shí)，求t的值；(2)當(dāng)時(shí)，是否存在t值使得半徑是扇形的“弧中線”？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)若半徑是扇形的“弧中線”，半徑是扇形的“弧中線”，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)t的值．16．已知，射線均為內(nèi)的射線．

(1)如圖1，若為的三等分線，則＝；(2)如圖2，若，平分平分，求的大小(3)射線以每秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，射線以每秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，射線始終平分，兩條射線同時(shí)從圖1的位置出發(fā)，當(dāng)其中一條射線到達(dá)的位置時(shí)兩條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，.17．已知與互補(bǔ)，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)若①如圖1，當(dāng)時(shí)，；②將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，求與的度數(shù)；(2)將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)是否隨之的改變而改變？若不改變，請(qǐng)求出這個(gè)度數(shù)；若改變，請(qǐng)說明理由．18．【新概念】如圖1，為內(nèi)一條射線，當(dāng)滿足時(shí)，我們把射線叫做射線、的m等個(gè)性線，記作．（其中m為正整數(shù)）【實(shí)際應(yīng)用】已知：O為直線上一點(diǎn)，過O點(diǎn)作射線．(1)如圖2，將一個(gè)三角板（含、）直角頂點(diǎn)D放在O處，另兩條邊分別為，，當(dāng)是時(shí)，___________．（填“是”或“不是”）．(2)如圖3，將三角板的頂點(diǎn)E放在O處，那么當(dāng)是時(shí)，是否也是？請(qǐng)先猜想結(jié)果，再說明理由．(3)將圖3中的射線繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖4，此時(shí)存在正整數(shù)m使是的同時(shí)，也是，則___________，___________．19．如圖1，把一副三角板拼在一起，邊與直線重合，其中，．此時(shí)易得．(1)如圖2，三角板固定不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針開始旋轉(zhuǎn)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，三角板一直在的內(nèi)部，設(shè)三角尺運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①當(dāng)時(shí)，；②求當(dāng)為何值時(shí)，使得；(2)如圖3，在（1）的條件下，若平分，平分．①當(dāng)時(shí)，；②請(qǐng)問在三角板的旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)敘述理由；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)求出的度數(shù)．20．已知，如圖1，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放置于直線上，直角邊與直線重合，其中，然后將三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)，從點(diǎn)引射線和，平分，．(1)如圖2，填空：當(dāng)時(shí)，______．(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷的值是否為定值，若為定值，求出該定值，若不是定值，請(qǐng)說明理由．【經(jīng)典題型三三角板中角度計(jì)算問題】21．現(xiàn)有一副三角尺，將和重合于點(diǎn)放置，且，，．將三角尺繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周（旋轉(zhuǎn)過程中和均是指小于的角），分別作出、的平分線、(1)將三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時(shí)，點(diǎn)在上，直接寫出圖1中______度；(2)將三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖2位的置時(shí)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，直接寫出圖2中______度(3)將三角尺旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，若，①______．（用含的代數(shù)式表示）②請(qǐng)求出的度數(shù)．22．如圖1，某校七年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在課后綜合實(shí)踐活動(dòng)中，把一個(gè)直角三角尺AOB的直角頂點(diǎn)O放在互相垂直的兩條直線、的垂足O處，并使兩條直角邊落在直線、上，將繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，若，則______，______；(2)若射線是的角平分線，且．①旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，______．（用含的代數(shù)式表示）②在旋轉(zhuǎn)過程中，若，則此時(shí)______．23．如圖1，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，使，將一直角的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，邊在射線上，另一邊在直線的下方，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其中旋轉(zhuǎn)的角度為(1)將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得落在射線上，此時(shí)為度．(2)將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得在的內(nèi)部，試探究與之間滿足什么樣的等量關(guān)系，并說明理由．(3)若直角繞點(diǎn)按每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直角的直角邊所在直線恰好平分時(shí)，求此時(shí)直角繞點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值．24．將一副直角三角板，，按如圖1放置，其中B與E重合，，．(1)如圖1，點(diǎn)F在線段的延長(zhǎng)線上，求的度數(shù)；(2)將三角板從圖1位置開始繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，分別為，的角平分線．①如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的內(nèi)部時(shí)，求的度數(shù)；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的外部時(shí)，直接寫出的度數(shù)．25．將一副直角三角板如圖1擺放在直線上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中的大小保持不變）直至邊第一次重合在直線上，整個(gè)過程時(shí)間記為t秒．(1)從旋轉(zhuǎn)開始至結(jié)束，整個(gè)過程共持續(xù)了______秒；(2)如圖2，旋轉(zhuǎn)三角板，使得、在直線的異側(cè)，請(qǐng)直接寫出與數(shù)量關(guān)系；如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，使得、同時(shí)在直線的右側(cè)，請(qǐng)問上面的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，并說明理由；(3)若在三角板旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，另一個(gè)三角板也繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中的大小保持不變），當(dāng)邊第一次重合在直線上時(shí)兩三角板同時(shí)停止．①試用字母t分別表示與；②在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)平分．【經(jīng)典題型四幾何圖形中角度計(jì)算問題】26．如圖，點(diǎn)O在直線EF上，點(diǎn)A、B與點(diǎn)C、D分別在直線EF兩側(cè)，且，．

(1)如圖1，若平分，求的度數(shù)；(2)如圖2，在（1）的條件下，平分，過點(diǎn)O作射線，求的度數(shù)；(3)如圖3，若在內(nèi)部作一射線，若，，試判斷與的數(shù)量關(guān)系．27．如圖，已知．

(1)試說明：；(2)若平分，，，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，作射線，，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)正確畫出圖形，并直接寫出的度數(shù)．28．點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，在直線同側(cè)任作射線，使得．

(1)如圖一，過點(diǎn)作射線，使為的角平分線，若時(shí)，則________，________；(2)如圖二，過點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分．①若，求的度數(shù)（寫出推理過程）；②若，則的度數(shù)是________（直接填空）．(3)過點(diǎn)作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分，當(dāng)時(shí)，則的度數(shù)是________．（在稿紙上畫圖分析，直接填空）29．如圖，點(diǎn)在同一條直線上，從點(diǎn)引一條射線，且．

(1)求的度數(shù)．(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（，且不是的整數(shù)倍）得到，在內(nèi)引射線，在內(nèi)引射線，且．．①若，求的度數(shù)；②若，請(qǐng)直接寫出的大?。?0．已知和是直角．

(1)如圖，當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄亢椭g的關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)射線，射線都在外部時(shí)，過點(diǎn)作線，射線，滿足，∠DOF＝，求的度數(shù)；(3)如圖，在(2)的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線，使得，若存在，請(qǐng)求出的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【經(jīng)典題型五實(shí)際問題中角度計(jì)算問題】31．給出如下定義：如果，且（k為正整數(shù)），那么稱是的“倍銳角”．(1)下列三個(gè)條件中，能判斷是的“倍銳角”的是________（填寫序號(hào)）；①；②；③是的角平分線；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，在圖中畫出的一個(gè)“倍銳角”；(3)如圖，當(dāng)時(shí)，射線繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)10°，可得它的“倍銳角”_____°；(4)當(dāng)且存在它的“倍銳角”時(shí)，則________°．32．如圖1，在∠AOB的內(nèi)部引一條射線OC，則圖中共有3個(gè)角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．(1)①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠MPN；(2)如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．當(dāng)PQ與PN成110°時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．同時(shí)射線PM繞點(diǎn)P以每秒6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時(shí)停止．當(dāng)PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時(shí)，則t＝秒．33．如圖1，在表盤上12：00時(shí)，時(shí)針、分針都指向數(shù)字12，我們將這一位置稱為“標(biāo)準(zhǔn)位置”(圖中)．小文同學(xué)為研究12點(diǎn)分()時(shí)，時(shí)針與分針的指針位置，將時(shí)針記為，分針記為．如：12：30時(shí)，時(shí)針、分針的位置如圖2所示，試解決下列問題：（1）分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)°；時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)°；（2）當(dāng)與在同一直線上時(shí)，求的值；（3）當(dāng)、、兩兩所夾的三個(gè)角、、中有兩個(gè)角相等時(shí)，試求出所有符合條件的的值．(本小題中所有角的度數(shù)均不超過180°)34．借助一副三角板，可以得到一些平面圖形（1）如圖1，∠AOC＝度．由射線OA，OB，OC組成的所有小于平角的和是多少度？（2）如圖2，∠1的度數(shù)比∠2度數(shù)的3倍還多30°，求∠2的度數(shù)；（3）利用圖3，反向延長(zhǎng)射線OA到M，OE平分∠BOM，OF平分∠COM，請(qǐng)按題意補(bǔ)全圖（3），并求出∠EOF的度數(shù)．35．分類討論是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，如果一道題提供的已知條件中包含幾種情況，我們可以分情況討論來求解．例如：若|x|=2，|y|=3求x+y的值．情況①?若x=2，y=3時(shí)，x+y=5情況②若x=2，y=﹣3時(shí)，x+y=﹣1情況③若x=﹣2，y=3時(shí)，x+y=1情況④若x=﹣2，y=﹣3時(shí)，x+y=﹣5所以，x+y的值為1，﹣1，5，﹣5．幾何的學(xué)習(xí)過程中也有類似的情況：?jiǎn)栴}（1）：已知點(diǎn)A，B，C在一條直線上，若AB=8，BC=3，則AC長(zhǎng)為多少？通過分析我們發(fā)現(xiàn)，滿足題意的情況有兩種情況①?當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖1，此時(shí)，AC=情況②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖2，此時(shí)，AC=通過以上問題，我們發(fā)現(xiàn)，借助畫圖可以幫助我們更好的進(jìn)行分類．問題（2）：如圖3，數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B表示的數(shù)分別是﹣1和2，點(diǎn)C是數(shù)軸上一點(diǎn)，且BC=2AB，則點(diǎn)C表示的數(shù)是多少？仿照問題1，畫出圖形，結(jié)合圖形寫出分類方法和結(jié)果．問題（3）：點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，以O(shè)為端點(diǎn)作射線OC、OD，使∠AOC=60°，OCOD，求∠BOD的度數(shù)．畫出圖形，直接寫出結(jié)果．【經(jīng)典題型六角平分線的有關(guān)計(jì)算】36．定義：從的頂點(diǎn)P引一條射線（不與重合），若，則稱射線為關(guān)于邊的補(bǔ)線．

(1)下列說法：①一個(gè)角關(guān)于某邊的補(bǔ)線一定在這個(gè)角的外部；②一個(gè)角關(guān)于某邊的補(bǔ)線一定有2條；③一個(gè)角關(guān)于某邊的補(bǔ)線有1條或2條，其中正確的是；（填序號(hào)）(2)如圖，O是直線上一點(diǎn)，射線，在同側(cè)，是的平分線，則是關(guān)于邊的補(bǔ)線嗎？為什么？(3)已知射線為關(guān)于邊的補(bǔ)線，是的平分線．若，試用含α的式子表示（直接寫出結(jié)果）．37．如圖，點(diǎn)O在直線上，在同一平面內(nèi)，以O(shè)為頂點(diǎn)作直角．射線、射線分別平分、．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，________，________．(2)如圖1，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)直接寫出圖2和圖3中，與的數(shù)量關(guān)系．圖2：__________；圖3：__________．38．（1）【特例感知】如圖1，已知線段，，點(diǎn)C和點(diǎn)D分別是，的中點(diǎn)．若，則________cm；（2）【知識(shí)遷移】我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖2，已知∠AOB在∠MON內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，射線OC和射線OD分別平分∠AOM和∠BON；①若，，求∠COD的度數(shù)；②請(qǐng)你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三個(gè)角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．（3）【類比探究】如圖3，∠AOB在∠MON內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，若，，，，求∠COD的度數(shù)．（用含有k的式子表示計(jì)算結(jié)果）．39．點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，在直線AB同側(cè)任作射線OC，OD，使得．(1)如圖1，過點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分，則的度數(shù)是___________°；(2)如圖2，過點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，求出與的數(shù)量關(guān)系；(3)過點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分，若，求出的度數(shù)．40．在內(nèi)部作射線，，在的右側(cè)，且．(1)如圖1，若，平分，平分，求的度數(shù)；(2)如圖2，平分，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，請(qǐng)過點(diǎn)作射線，使平分，再作的角平分線．若，，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）．【經(jīng)典題型七角n等分線的有關(guān)計(jì)算】41．已知，以射線為起始邊，按順時(shí)針方向依次作射線、，使得，設(shè)，.(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，若，求的度數(shù)；(2)備用圖①，當(dāng)時(shí)，試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)備用圖②，當(dāng)時(shí)，分別在內(nèi)部和內(nèi)部作射線，，使，，求的度數(shù).42．定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)把這個(gè)角分成的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的一條三等分線．例如，如圖①，，則是的一條三等分線．顯然，一個(gè)角的三等分線有兩條．(1)如圖②，已知，、是的兩條三等分線，則的度數(shù)為；(2)在（1）的條件下，若以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心將射線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線．①當(dāng)恰好為的三等分線時(shí)，求的值；②在旋轉(zhuǎn)過程中，若，求的取值范圍．43．如圖①，已知，在內(nèi)部畫射線，得到三個(gè)角，分別為、、．若這三個(gè)角中有一個(gè)角是另外一個(gè)角的3倍，則稱射線為的“幸福線”．（本題中所研究的角都是大于而小于的角．）(1)角的三等分線________這個(gè)角的“幸福線”（填“是”或“不是”）；(2)如圖①，，射線為的“幸福線”，求的度數(shù)；(3)如圖②，已知，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒（）．若、、三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸福線”，求出所有可能的值．44．我們知道，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，類似的我們給出一些新的概念：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)把這個(gè)角分成度數(shù)為的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的三分線；從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)把這個(gè)角分成度數(shù)為的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的四分線……顯然，一個(gè)角的三分線、四分線都有兩條．例如：如圖，若，則是的一條三分線；若，則是的另一條三分線．（1）如圖，是的三分線，，若，則；（2）如圖，，是的四分線，，過點(diǎn)作射線，當(dāng)剛好為三分線時(shí)，求的度數(shù)；（3）如圖，射線、是的兩條四分線，將繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線、、中恰好有一條射線是其它兩條射線組成夾角的四分線，請(qǐng)直接寫出的值．45．已知:和是直角．（1）如圖，當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄亢椭g的關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)射線射線都在外部時(shí)，過點(diǎn)作射線，射線，滿足，，求的度數(shù)．（3）如圖3，在（2）的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線，使得，若不存在，請(qǐng)說明理由，若存在，求出的度數(shù)．

專題13動(dòng)點(diǎn)與角度計(jì)算45道經(jīng)典題型專訓(xùn)（7大題型）【題型目錄】題型一與線段動(dòng)點(diǎn)有關(guān)問題題型二動(dòng)角有關(guān)問題題型三三角板中角度計(jì)算問題題型四幾何圖形中角度計(jì)算問題題型五實(shí)際問題中角度計(jì)算問題題型六角平分線的有關(guān)計(jì)算題型七角n等分線的有關(guān)計(jì)算【經(jīng)典題型一與線段動(dòng)點(diǎn)有關(guān)問題】1．如圖，直線上有，，，四個(gè)點(diǎn)，，，．

(1)線段______(2)動(dòng)點(diǎn)，分別從A點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)沿線段以3/秒的速度，向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后立即按原速向A點(diǎn)返回；點(diǎn)沿線段以1/秒的速度，向左運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)再次到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（單位：秒）①求，兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值；②求，兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)，與點(diǎn)A的距離．【答案】(1)(2)8、20【分析】（1）根據(jù)，，算出，再根據(jù)即可解答；（2）①根據(jù)，兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)，，兩點(diǎn)所走的路程之和是的長(zhǎng)列方程即可求解；②根據(jù)，兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)，點(diǎn)所走的路程與的差和所走的路程與的差相等列方程即可求解；【詳解】（1）故線段的長(zhǎng)為．（2）①，兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)根據(jù)題意可得：解得：秒故，兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值是8秒；②由（1）得當(dāng)，兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)：解得：秒故，兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)，與點(diǎn)A的距離是20【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間的距離，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是解答該題的關(guān)鍵．2．如圖1，線段AB長(zhǎng)為24個(gè)單位長(zhǎng)度，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn)，設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．(1)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，求x的值．(2)當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的值．(3)如圖2，當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為BP的中點(diǎn)，MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?如不變，求出MN的長(zhǎng)度．如變化，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)為定值24；(3)．【分析】（1）根據(jù)PB=2AM建立關(guān)于x的方程，解方程即可；（2）將BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論；（3）利用，，，，再根據(jù)MN=PM-PN即可求解．【詳解】（1）解：∵M(jìn)是線段AP的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，解得．（2）解：∵，，，∴，即為定值24．（3）解：當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在B點(diǎn)的右側(cè)．∵，，，，∴，所以MN的長(zhǎng)度無變化是定值．【點(diǎn)睛】本題是動(dòng)點(diǎn)問題，考查了兩點(diǎn)間的距離，解答的關(guān)鍵是用含時(shí)間x的式子表示出各線段的長(zhǎng)度．3．如圖，點(diǎn)，在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－5，7（單位長(zhǎng)度為），是，間一點(diǎn)，，兩點(diǎn)分別從點(diǎn)，出發(fā)，以，的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．（1）______．（2）若點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．（3）在（2）的條件下，是數(shù)軸上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或【分析】（1）由兩點(diǎn)間的距離，即可求解；（2）由線段的和差關(guān)系可求解；（3）由題設(shè)畫出圖示，分兩種情況根據(jù)：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，從而求得PQ與AB的關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，可得．【詳解】解：（1）∵A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-5，7，∴線段AB的長(zhǎng)度為：7-（-5）=12；故答案為：12（2）根據(jù)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)速度知．因?yàn)?，所以，即，所以．?）分兩種情況：如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以，所以；如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的運(yùn)用和絕對(duì)值的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的表示方法，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．4．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，．（1）直接寫出點(diǎn)B表示的數(shù)_________；（2）點(diǎn)C在AB之間，，求點(diǎn)C表示的數(shù)，并在數(shù)軸上描出點(diǎn)C；（3）已知點(diǎn)P在數(shù)軸上①若，直接寫出點(diǎn)P所表示的數(shù)；②點(diǎn)P從線段AB的中點(diǎn)處出發(fā)，每次向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)了7次，恰好到達(dá)點(diǎn)B的位置，請(qǐng)直接寫出所有不同移動(dòng)方法的種數(shù)．【答案】（1）1；（2）圖見解析，點(diǎn)C表示的數(shù)為-0.5；（3）①、；②21【分析】（1）按照點(diǎn)B的位置和AB兩點(diǎn)之間的距離，得出B的表示的數(shù)，（2）點(diǎn)C在AB之間，AC=3BC，得出點(diǎn)C表示的數(shù)，在數(shù)軸上描出點(diǎn)C即可，（3）①設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為a，分三種情況討論，當(dāng)a＜-5時(shí)，當(dāng)-5＜a＜1時(shí)，當(dāng)a≥1時(shí)，結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離，分別求出a的值即可，②這小題比較繁瑣，抽象，屬難題，先求出AB的中點(diǎn)表示的數(shù)P，點(diǎn)P從線段AB的中點(diǎn)處出發(fā)，每次向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)了7次，7次P恰好到達(dá)點(diǎn)B的位置，可得7次移動(dòng)中有2次向左，5次向右，可以求解．【詳解】（1）點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，AB=6，所以點(diǎn)B表示的數(shù)-5+6=1即點(diǎn)B表示的數(shù)為：1．（2）點(diǎn)C在AB之間，，∴，∴，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為-0.5在數(shù)軸上正確描出點(diǎn)C，（3）①設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為a∵PA+3PB=｜a-(-5)｜+3｜a-1｜=｜a+5｜+3｜a-1｜=12當(dāng)a＜-5時(shí)，即（-a-5)+3(1-a)=12，解得a=-3.5，不在范圍內(nèi)，當(dāng)-5＜a＜1時(shí)，即a+5+3(1-a)=12，解得a=-2，當(dāng)a≥1時(shí)，即(a+5)+3(a-1)=12，解得：a=2.5，∴點(diǎn)P表示的數(shù)為、②21種∵AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為，，∴點(diǎn)P從線段AB的中點(diǎn)處出發(fā)，每次向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)了7次，7次P恰好到達(dá)點(diǎn)B的位置這7個(gè)單位，正負(fù)相消后，的1-(-2)=3且共移動(dòng)了7個(gè)單位，又∵3=5+(-2)=(-2)+5由題意可得：7次移動(dòng)中有2次向左，5次向右.設(shè)第1次和第2次向左其它都向右記為，則移動(dòng)方法有，，，，，，，…，共21種移動(dòng)方法.【點(diǎn)睛】本題考查了，線段的中點(diǎn)的定義，以及兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用中點(diǎn)的定義和兩點(diǎn)之間的距離，確定點(diǎn)的坐標(biāo)．5．如圖①，已知線段，點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是AC和BC的中點(diǎn)．（1）若，則DE的長(zhǎng)為_____________；（2）若，求DE的長(zhǎng)；（3）如圖②，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段AB向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以點(diǎn)P速度的兩倍沿線段AB向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問當(dāng)t為多少時(shí)，P，Q之間的距離為6？【答案】（1）6；（2）6；（3）或2【分析】(1)根據(jù)圖形，由AB=12，AC=4得出BC=8再根據(jù)點(diǎn)D，E分別時(shí)AC和BC中點(diǎn)，得出DC，EC，再根據(jù)線段的和求出DE，(2)根據(jù)圖形，由AB=12，BC=m得出AC=12-m再根據(jù)點(diǎn)D，E分別時(shí)AC和BC中點(diǎn)，得出DC，EC，再根據(jù)線段的和求出DE，(3)用含t的式子表示AP，BQ，再畫出兩種圖形，根據(jù)線段的和等于AB，得到兩個(gè)一元一次方程，即可求出．【詳解】解：如圖(1)∵AB=12，AC=4∴BC=8∵點(diǎn)D，E分別時(shí)AC和BC中點(diǎn)，∴DC=2，BC=EC=4∴DE=DC+CE=6(2)∵AB=12，BC=m∴AC=12-m∵點(diǎn)D，E分別時(shí)AC和BC中點(diǎn)∴DC=6-m，BC=EC=∴DE=DC+CE=6(3)由題意得，如圖所示，或AP=3t，BQ=6t∴AP+PQ+BQ=12或AP+BQ-PQ=12∴3t+6+6t=12或3t+6t-6=12解得t=或t=2故當(dāng)t=或t=2時(shí)，P，Q之間的距離為6.【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)，線段的和差倍分，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，得出線段之間的關(guān)系式．6．已知，C為線段上一點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．

（1）如圖1，若，，求的長(zhǎng)；（2）若，求的值；（3）若，，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則=______（用含a的代數(shù)式表示）．【答案】（1）；（2）的值為或；（3）【分析】（1）由D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)得到DC=AC=2，CE=BC=3，則可計(jì)算出DE=5，再利用F為DE的中點(diǎn)得到DF=DE，然后利用CF=DF-DC求解；（2）根據(jù)線段的中點(diǎn)定義和線段的和差計(jì)算分兩種情況即可求解；（3）如圖，設(shè)AC=x，BC=y，即x-y=a，利用線段中點(diǎn)定義得到DC=，CE=，則，所以，再利用的中點(diǎn)，得到，于是可計(jì)算出，即有．【詳解】解：（1）∵D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，∴DC=AC=2，CE=BC=3，∴DE=DC+CE=2+3=5，∵F為DE的中點(diǎn)，∴DF=DE=，∴CF=DF-DC=；（2）①當(dāng)AC＞BC，點(diǎn)F在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，如圖所示：

∵D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，∴DC=AC，CE=BC，∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，∵F為DE的中點(diǎn)，∴DF=DE=AB，∵AB=16CF，∴DF=4CF，∴CF=DC-DF=AC-4CF，∴AC=10CF，∴BC=AB-AC=16CF-10CF=6CF，∴，②當(dāng)AC＜BC，點(diǎn)F在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，如圖所示：

∵D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，∴DC=AC，CE=BC，∴DE=DC+CE=（AC+BC）=AB，∵F為DE的中點(diǎn)，∴DF=DE=AB，∵AB=16CF，∴DF=4CF，∴CF=DF-DC=4CF-AC，∴AC=6CF，∴BC=AB-AC=16CF-6CF=10CF，∴，綜上所述，的值為或．（3）如圖，

設(shè)AC=x，BC=y，即x-y=a，∵D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，∴DC=AC=x，CE=BC=y，∵DC的中點(diǎn)為，CE的中點(diǎn)為，∴，∴，∵的中點(diǎn)為，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度叫兩點(diǎn)間的距離．理清線段之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7．（1）如圖，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段厘米，厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．求線段MN的長(zhǎng)度；（2）已知點(diǎn)C在線段BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)根據(jù)題意畫出圖形并求MN的長(zhǎng)度；（3）在（1）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，C、P、Q三點(diǎn)有一點(diǎn)恰好是以另兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)．【答案】（1）8cm；（2）圖見解析，；（3），或，或．【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義、線段的和差可得答案；（2）根據(jù)中點(diǎn)的定義、線段的和差可得答案；（3）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)可得方程，根據(jù)解方程可得答案．【詳解】解：（1）∵線段厘米，厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴厘米，厘米，∴厘米；（2）如圖，∵點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴，，∴．（3）①當(dāng)時(shí)，C是線段PQ的中點(diǎn)，得，解得；②當(dāng)時(shí)，P為線段CQ的中點(diǎn)，，解得；③當(dāng)時(shí)，Q為線段PC的中點(diǎn)，，解得；④當(dāng)時(shí)，C為線段PQ的中點(diǎn)，，解得（舍），綜上所述：，或，或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．8．如圖，數(shù)軸上有兩個(gè)點(diǎn)，為原點(diǎn)，，點(diǎn)所表示的數(shù)為．

⑴；⑵求點(diǎn)所表示的數(shù)；⑶動(dòng)點(diǎn)分別自兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度是否為定值？若是，請(qǐng)求出線段的長(zhǎng)度；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)4；(2)-8;(3)EF長(zhǎng)度不變，EF=2，證明見解析【分析】(1)根據(jù)線段的和差得到AB=4，(2)由AB=4得到AC=24，即可得出：OC=24-16=8．于是得到點(diǎn)C所表示的數(shù)為-8;(3)分五種情況:設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，用含t的式子表示出AP、BQ、PC、CQ，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到畫出圖形，計(jì)算EF，于是得到結(jié)論．【詳解】解:(1)∵OA=16,點(diǎn)B所表示的數(shù)為20,∴OB=20,∴AB=OB-OA=20-16=4,故答案為：4(2)∵AB=4，AC=6AB．∴AC=24,∴OC=24-16=8,∴點(diǎn)C所表示的數(shù)為-8;(3)EF長(zhǎng)度不變，EF=2，理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P，Q在點(diǎn)C的右側(cè)，則AP=BQ=2t,

∵AC=24，BC=28,∴PC=24-2t，CQ=28-2t．∵點(diǎn)E為線段CP的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CQ的中點(diǎn),∴∴EF=CF-CE=2:當(dāng)t=12時(shí),C、P重合，此時(shí)PC=0，CQ=28-24=4．

∵點(diǎn)F為線段CQ的中點(diǎn),∴∴當(dāng)12<t<14時(shí)，點(diǎn)P，Q在點(diǎn)C的左右，PC=2t-24,CQ=28-2t,

∵點(diǎn)E為線段CP的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CQ的中點(diǎn),∴∴EF=CE+CF=2,當(dāng)t=14時(shí),C、Q重合，此時(shí)PC=4，CQ=0

∵點(diǎn)E為線段CP的中點(diǎn),∴∴當(dāng)t>14時(shí)，點(diǎn)P、Q在點(diǎn)C的左側(cè)，PC=2t-24，CQ=2t-28,

∴∴EF=CE-CF=2．綜上所述，EF長(zhǎng)度不變，EF=2．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，數(shù)軸，線段中點(diǎn)的定義線段和差，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．9．如圖，點(diǎn)是定長(zhǎng)線段上一點(diǎn)，、兩點(diǎn)分別從點(diǎn)、出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上）．（1）若點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，請(qǐng)說明點(diǎn)在線段上的位置；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求的值；（3）在（1）的條件下，若點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)5秒后，恰好有，此時(shí)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上），點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變．可以說明，只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你找出正確的結(jié)論并求值．【答案】（1）點(diǎn)P在線段AB的處；（2）或；（3）結(jié)論②的值不變正確，.【分析】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，用含t的代數(shù)式可表示出線段PD、AC長(zhǎng)，根據(jù)，可知點(diǎn)在線段上的位置；（2）由可知，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，等量代換可得，再結(jié)合可得的值；當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，可得，易得的值.（3）點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，，可求得CM與AB的數(shù)量關(guān)系，則PM與PN的值可以含AB的式子來表示，可得MN與AB的數(shù)量關(guān)系，易知的值.【詳解】解：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則，由得，即，，，即所以點(diǎn)P在線段AB的處；（2）①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，由可知，②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，，綜合上述，的值為或；（3）②的值不變.由點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)5秒可得，如圖，當(dāng)點(diǎn)M、N在點(diǎn)P同側(cè)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D繼續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN的值不變，所以；如圖，當(dāng)點(diǎn)M、N在點(diǎn)P異側(cè)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D繼續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN的值不變，所以；所以②的值不變正確，.【點(diǎn)睛】本題考查了線段的相關(guān)計(jì)算，利用線段中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的和差倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵.10．【探索新知】如圖1，點(diǎn)在線段上，圖中共有3條線段：、、和，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另一條線段長(zhǎng)度的兩倍，則稱點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”.（1）一條線段的中點(diǎn)這條線段的“二倍點(diǎn)”；（填“是”或“不是”）【深入研究】如圖2，點(diǎn)表示數(shù)-10，點(diǎn)表示數(shù)20，若點(diǎn)從點(diǎn)，以每秒3的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.（2）點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中表示的數(shù)為（用含的代數(shù)式表示）；（3）求為何值時(shí)，點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”；（4）同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)的位置開始，以每秒2的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，并與點(diǎn)同時(shí)停止.請(qǐng)直接寫出點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”時(shí)的值.【答案】（1）是

；（2）；（3）或5或；（4）或或【分析】（1）可直接根據(jù)“二倍點(diǎn)”的定義進(jìn)行判斷；（2）由題意可直接得出；（3）用含t的代數(shù)式分別表示出線段AM、BM、AB，然后根據(jù)“二倍點(diǎn)”定義分類討論的出結(jié)果；（4）用含t的代數(shù)式分別表示出線段AN、MN、AM，然后根據(jù)“二倍點(diǎn)”定義分類討論的出結(jié)果；【詳解】解：（1）因?yàn)榫€段的中點(diǎn)將線段分為相等的兩部分，該線段等于2倍的中點(diǎn)一側(cè)的線段長(zhǎng)，符合“二倍點(diǎn)”的定義，所以一條線段的中點(diǎn)是這條線段的“二倍點(diǎn)”；故答案為：是．（2）由題意得出：點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中表示的數(shù)為：20-3t；（3）AB=30，AM=30-3t，BM=3t，當(dāng)AM=2BM時(shí)，30-3t=6t，解得，；當(dāng)2AM=BM時(shí)，60-6t=3t，解得，；當(dāng)AM=BM時(shí)，30-3t=3t，解得，；答：當(dāng)或5或時(shí)，點(diǎn)是線段AB的“二倍點(diǎn)”．（4）AN=2t，AM=30-3t，NM=5t-30，當(dāng)AN=2NM時(shí)2t=10t-60，解得，；當(dāng)2AM=NM時(shí)，60-6t=5t-30，解得，；當(dāng)AM=2NM時(shí)，30-3t=10t-60，解得，．答：當(dāng)或或時(shí)，點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元一次方程的應(yīng)用以及兩點(diǎn)間的距離，讀懂題意，領(lǐng)會(huì)“二倍點(diǎn)”的定義是解此題的關(guān)鍵，此題需要分情況討論，注意不要漏解【經(jīng)典題型二動(dòng)角有關(guān)問題】11．將一副直角三角板按圖擺放在直線上（直角三角板和直角三角板在同一平面內(nèi)，，，，），保持三角板不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（即每一條邊都繞點(diǎn)以相同速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)），轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)當(dāng)秒時(shí)，平分？如圖，此時(shí)；（直接寫答案）(2)繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，如圖，使得、同時(shí)在直線的右側(cè)，猜想與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（數(shù)量關(guān)系中不含）(3)若在三角板開始轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，另一個(gè)三角板也繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至射線上時(shí)同時(shí)停止，（自行畫圖分析）當(dāng)為多少秒時(shí)，？在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（數(shù)量關(guān)系中不含）【答案】(1)，；(2)，理由見解析；(3)秒或秒；，理由見解析．【分析】（）根據(jù)角平分線的定義得到，于是得到，由于，，即可得到；（）根據(jù)題意得，求得，即可得到結(jié)論；（）根據(jù)題意得，，求得，列方程即可得到結(jié)論；根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵，平分，∴，∴(秒)，∵，，∴；故答案為：，；（2），理由：∵，∴，∵，∴；（3）∵，，∴，∵，∴或，∴秒或秒．，理由：∵，，，，∵，，∴，∴

【點(diǎn)睛】此題考查了角的計(jì)算，認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個(gè)量之間的關(guān)系求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．12．已知、共頂點(diǎn)O，平分，平分．

(1)如圖1，當(dāng)與重合時(shí)，若，，求的度數(shù)；(2)將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α至圖2所示位置，設(shè)，求的度數(shù)（用、表示）；(3)在（1）條件下，將從圖1所示位置逆時(shí)針以每秒2°的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（），當(dāng)時(shí)，的值為．（直接寫出答案）【答案】(1)10度(2)(3)5或75【分析】（1）根據(jù)角平分線定義及角的和差關(guān)系即可求得答案；（2）根據(jù)角平分線定義及角的和差關(guān)系即可求得答案；（3）分四種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，④當(dāng)時(shí)，分別根據(jù)角平分線定義及角的和差關(guān)系即可求得答案；【詳解】（1）解：如圖1，

∵平分，平分，與重合，∴，，∴；（2）如圖2，

∵平分，平分，∴，，∴＝＝＝＝＝，∵繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角，∴，∵，∴；（3）①當(dāng)時(shí)，如圖3，

由題可知，，則，，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，解得：；②當(dāng)時(shí)，如圖4，

由題可知，，則，，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，解得：（不符合題意，舍去）；③當(dāng)時(shí)，如圖5，

由題可知，，則，，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，解得：（不符合題意，舍去）；④當(dāng)時(shí)，如圖6，

由題可知，，則，，∵平分，平分，∴∴，，∴，∵，∴，解得：；綜上，t的值為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的計(jì)算，角平分線的定義．本題是探究型題目，利用類比的方法解答是解題的關(guān)鍵．13．在同一平面內(nèi)，以點(diǎn)為公共頂點(diǎn)的和，滿足，則稱是的“二倍關(guān)聯(lián)角”．已知（本題所涉及的角均小于平角）．(1)如圖，若，在內(nèi)，且是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，則；(2)如圖，若射線、同時(shí)從射線出發(fā)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，射線以秒的速度繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，到達(dá)直線后立即改為順時(shí)針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，速度仍保持不變；射線以秒的速度繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，射線到達(dá)直線時(shí)，射線、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間秒，當(dāng)為何值時(shí)，是的“二倍關(guān)聯(lián)角”；(3)如圖，保持大小不變，在直線上方繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，若是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，設(shè)，請(qǐng)直接用含的代數(shù)式表示的大?。敬鸢浮?1)或；(2)或；(3)或．【分析】（1）根據(jù)“二倍關(guān)聯(lián)角”的概念，得到，分兩種情況討論即可得到答案；（2）分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，分別用含t的式子表示出和,再利用“二倍關(guān)聯(lián)角”的概念列方程求解即可得到答案；（3）分三種情況討論：①當(dāng)在內(nèi)部時(shí)；②當(dāng)在內(nèi)部時(shí)；③當(dāng)在外部時(shí)，利用“二倍關(guān)聯(lián)角”的概念分別求解即可得到答案．【詳解】（1）解：是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，，；如圖，當(dāng)在上方時(shí)，，如圖，當(dāng)在下方時(shí)，，故答案為：或；（2）解：①當(dāng)時(shí)，，，是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，，，，符合題意，②當(dāng)時(shí)，，，是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，，，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，，是的“二倍關(guān)聯(lián)角”，，，，符合題意，綜上可知，當(dāng)或時(shí)，是的“二倍關(guān)聯(lián)角”；（3）解：①如圖，當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，，解得：，②如圖，當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，，解得：，③如圖，當(dāng)在外部時(shí)，，解得，綜上可知，的大小為或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義——二倍關(guān)聯(lián)角，利用分類討論的思想，找準(zhǔn)角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．14．已知，按如圖①所示擺放，將邊重合在直線上，邊在直線的兩側(cè)．(1)保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，則，；(2)若按每分鐘的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，按每分鐘的速度也繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到射線上時(shí)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t分鐘．求的大?。ㄓ胻的代數(shù)式表示）；(3)保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，若射線平分，射線平分，求的大?。敬鸢浮?1)(2)或(3)【分析】（1）①將轉(zhuǎn)化為即可得；②依據(jù)、，將原式轉(zhuǎn)化為計(jì)算可得；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，，只需表示出即可得出答案，而在與相遇前、后表達(dá)式不同，故需分與相遇前后即和兩種情況求解；（3）設(shè)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則也繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再分①射線在射線同側(cè)；②射線在射線異側(cè)，分別求解即可．【詳解】（1）①，②；故答案為：；（2）設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，則，，①時(shí)，與相遇前，，∴；②時(shí)，與相遇后，，∴；（3）設(shè)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則也繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①時(shí)，如圖①，在射線同側(cè)，∵，∴，∵平分，∴，∵，平分，∴∴，∴；②時(shí)，如圖②，在射線異側(cè)，∵，∴，∵平分，∴，∵，平分，∴∴，∴．綜上，．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握角的和差計(jì)算、角平分線的定義及分類討論思想的運(yùn)用．15．定義：如圖1，線段是圓O的三條半徑，當(dāng)平分時(shí)，我們稱點(diǎn)P是弧的中點(diǎn)，半徑是扇形的“弧中線”．如圖2，線段是圓O的直徑，半徑分別從位置同時(shí)出發(fā)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)30度，每秒旋轉(zhuǎn)60度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（其中）．(1)當(dāng)，且半徑是扇形的“弧中線”時(shí)，求t的值；(2)當(dāng)時(shí)，是否存在t值使得半徑是扇形的“弧中線”？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)若半徑是扇形的“弧中線”，半徑是扇形的“弧中線”，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)t的值．【答案】(1)(2)存在，4或8(3)5或7【分析】（1）根據(jù)半徑是扇形的“弧中線”列方程求解即可；（2）分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)兩種情況求解；（3）分當(dāng)，時(shí)和當(dāng)時(shí)三種情況求解；【詳解】（1）當(dāng)是扇形的“弧中線”時(shí)，．∴．解得．（2）存在，理由如下：①如圖，當(dāng)時(shí)．．∵，∴．∴．解得．②如圖，當(dāng)時(shí)，，．∵，∴．∴．解得．∴當(dāng)或8時(shí)，半徑是扇形的“弧中線”．（3）如圖，當(dāng)時(shí)，由題意得，，，∴．∵半徑是扇形的“弧中線”，半徑是扇形的“弧中線”，∴，，∴，∵，∴∴（不合題意，舍去）．如圖，當(dāng)時(shí)，由題意得，，，∴．∵半徑是扇形的“弧中線”，半徑是扇形的“弧中線”，∴，，∴，∵，∴∴．如圖，當(dāng)時(shí)，由題意得，，，∴．∵半徑是扇形的“弧中線”，半徑是扇形的“弧中線”，∴，，∴，∵，∴∴．綜上可知，當(dāng)時(shí)，t的值為5或7．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，角平分線的定義，角的和差，以及一元一次方程的應(yīng)用，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．16．已知，射線均為內(nèi)的射線．

(1)如圖1，若為的三等分線，則＝；(2)如圖2，若，平分平分，求的大小(3)射線以每秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，射線以每秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，射線始終平分，兩條射線同時(shí)從圖1的位置出發(fā)，當(dāng)其中一條射線到達(dá)的位置時(shí)兩條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，.【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）根據(jù)三等分角的定義求解即可；（2）設(shè)，根據(jù)角平分線性質(zhì)表示出，，根據(jù)求解即可；（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間分類討論，表示出，根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵為的三等分線，，∴，；故答案為：．（2）解：設(shè)，則，，，∵平分平分，∴，，．（3）解：如圖所示，當(dāng)時(shí)，，，，∵射線平分，∴，，，解得，；如圖所示，當(dāng)時(shí)，，，，∵射線平分，∴，，，解得，（舍去）；如圖所示，當(dāng)時(shí)，，，，∵射線平分，∴，，，解得，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，，，∵射線平分，∴，，，解得，【點(diǎn)睛】本題考查了與角平分線有關(guān)的計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)表示出角的度數(shù)，利用角的和差關(guān)系求解．17．已知與互補(bǔ)，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)若①如圖1，當(dāng)時(shí)，；②將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，求與的度數(shù)；(2)將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)是否隨之的改變而改變？若不改變，請(qǐng)求出這個(gè)度數(shù)；若改變，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)①150；②，或，(2)不改變，其度數(shù)為【分析】（1）①先根據(jù)求出，再根據(jù)計(jì)算即可；②設(shè)，分兩種情況：(Ⅰ)在內(nèi)部，(Ⅱ)在內(nèi)部，分別討論即可；（2）設(shè)，求出所有情況后判斷即可．【詳解】（1）①∵，∴，∵，，∴，故答案為150；②(Ⅰ)當(dāng)在內(nèi)部時(shí)（如圖1），設(shè)，則，，由得，，解得，∴，∴；(Ⅱ)當(dāng)在內(nèi)部時(shí)（如圖2），設(shè)，則，由得，，解得，，，∴；（2）不改變，其度數(shù)為．設(shè)，由條件知，分四種情況：ⅰ)當(dāng)在內(nèi)部時(shí)（如圖3），，，，∴；ⅱ)當(dāng)在內(nèi)部時(shí)（如圖4），，，∴；ⅲ)當(dāng)在內(nèi)部時(shí)（如圖5），，，∴；ⅳ)當(dāng)在外部時(shí)（如圖6），；綜上所述，在旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)不改變，其度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差，關(guān)鍵是運(yùn)用角的和差正確表示所需要的角．18．【新概念】如圖1，為內(nèi)一條射線，當(dāng)滿足時(shí)，我們把射線叫做射線、的m等個(gè)性線，記作．（其中m為正整數(shù)）【實(shí)際應(yīng)用】已知：O為直線上一點(diǎn)，過O點(diǎn)作射線．(1)如圖2，將一個(gè)三角板（含、）直角頂點(diǎn)D放在O處，另兩條邊分別為，，當(dāng)是時(shí)，___________．（填“是”或“不是”）．(2)如圖3，將三角板的頂點(diǎn)E放在O處，那么當(dāng)是時(shí)，是否也是？請(qǐng)先猜想結(jié)果，再說明理由．(3)將圖3中的射線繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖4，此時(shí)存在正整數(shù)m使是的同時(shí)，也是，則___________，___________．【答案】(1)是(2)是，理由見解析(3)，4【分析】（1）由是可得，由可得，，進(jìn)而得出，可知是；（2）由是可得，由可得，，進(jìn)而得出，可知是；（3）由m等個(gè)性線的定義可得，由此可得m與的關(guān)系，再根據(jù)，m是正整數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解：是，，，，，，，，，是，故答案為：是；（2）解：是，理由如下：是，，，，，，，，，是；（3）解：是，，同理，是，，，，，，，又m是正整數(shù)，，，，故答案為：，4．【點(diǎn)睛】本題考查角n等分線的計(jì)算問題、角的和差關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是理解m等個(gè)性線的定義．19．如圖1，把一副三角板拼在一起，邊與直線重合，其中，．此時(shí)易得．(1)如圖2，三角板固定不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針開始旋轉(zhuǎn)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，三角板一直在的內(nèi)部，設(shè)三角尺運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①當(dāng)時(shí)，；②求當(dāng)為何值時(shí)，使得；(2)如圖3，在（1）的條件下，若平分，平分．①當(dāng)時(shí)，；②請(qǐng)問在三角板的旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)敘述理由；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)求出的度數(shù)．【答案】(1)①；②(2)①；②不變化，【分析】（1）①根據(jù)題意和角的和差進(jìn)行求解即可；②由，結(jié)合題意可得，從而得出，，進(jìn)而求出時(shí)間；（2）①根據(jù)平分，平分，可得，則可以將整理為，進(jìn)而得出答案；②根據(jù)平分，平分，可得，，進(jìn)而推導(dǎo)出，繼而得出答案．【詳解】（1）解：①當(dāng)時(shí)，，∴，故答案為：；②∵，∴，∴，∴秒，∴當(dāng)為秒時(shí)，；（2）①∵平分，平分，∴，∴，故答案為：；②的度數(shù)不發(fā)生變化，理由：平分，∴，∵平分，∴，，∵，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形中的角度計(jì)算，角平分線的定義，讀懂題意，能準(zhǔn)確得出相應(yīng)角的數(shù)量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．20．已知，如圖1，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放置于直線上，直角邊與直線重合，其中，然后將三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)，從點(diǎn)引射線和，平分，．(1)如圖2，填空：當(dāng)時(shí)，______．(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷的值是否為定值，若為定值，求出該定值，若不是定值，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)30(2)(3)是定值，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意，可得，再結(jié)合角平分線的定義即可獲得答案；（2）當(dāng)時(shí)，由題意可得，結(jié)合角平分線的定義易得，再由，可知，然后根據(jù)即可獲得答案；（3）當(dāng)時(shí)，由題意可得，，結(jié)合角平分線的定義易得，再由，，可推導(dǎo)，然后根據(jù)，進(jìn)而確定．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，由題意可知，是平角，∴，又∵平分，∴．故答案為：30；（2）當(dāng)時(shí)，如圖2，∵是平角，，，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴；（3）當(dāng)時(shí)（如圖3），為定值．理由如下：∵是平角，，，∴，，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴為定值，定值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義、幾何圖形中角度運(yùn)算等知識(shí)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．【經(jīng)典題型三三角板中角度計(jì)算問題】21．現(xiàn)有一副三角尺，將和重合于點(diǎn)放置，且，，．將三角尺繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周（旋轉(zhuǎn)過程中和均是指小于的角），分別作出、的平分線、(1)將三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時(shí)，點(diǎn)在上，直接寫出圖1中______度；(2)將三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖2位的置時(shí)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，直接寫出圖2中______度(3)將三角尺旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，若，①______．（用含的代數(shù)式表示）②請(qǐng)求出的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）根據(jù)三角板得到，，根據(jù)角平分線的定義求出，，相加可得結(jié)果；（2）求出、，利用角平分線的定義得到，，最后根據(jù)得出結(jié)果；（3）①求出，根據(jù)角平分線的定義可得結(jié)果；②求出，根據(jù)角平分線的定義求出，再加上和即可得解．【詳解】（1）解：如圖所示：，，∵、分別平分、，∴，，∴；（2）∵，，∴，∴，，∵、分別平分、，∴，，∴；（3）①∵，，∴，∵平分，∴；②∵，，∴，∵平分，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角板中的角度運(yùn)算，角的和差，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析，得出每個(gè)小問中的的構(gòu)成．22．如圖1，某校七年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在課后綜合實(shí)踐活動(dòng)中，把一個(gè)直角三角尺AOB的直角頂點(diǎn)O放在互相垂直的兩條直線、的垂足O處，并使兩條直角邊落在直線、上，將繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，若，則______，______；(2)若射線是的角平分線，且．①旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，______．（用含的代數(shù)式表示）②在旋轉(zhuǎn)過程中，若，則此時(shí)______．【答案】(1)；(2)①；②或【分析】（1）根據(jù)，以及角的和差計(jì)算即可；（2）①先求，再利用得出結(jié)論；②分兩種情況討論：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到左側(cè)時(shí)；當(dāng)旋轉(zhuǎn)到右側(cè)時(shí)，解答即可．【詳解】（1）解：，∴，∵，∴，∵，∴；∵，，∴；故答案為：；．（2）解：①∵，，∴，∵射線是的角平分線，∴，∴，∵，∴；故答案為：；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到左側(cè)時(shí)，如圖所示：∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；當(dāng)旋轉(zhuǎn)到右側(cè)時(shí)，如圖所示：設(shè)，∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，解得：，∴，∴；綜上分析可知，的值為：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中的角度計(jì)算，數(shù)形結(jié)合，分情況討論是解題的關(guān)鍵．23．如圖1，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，使，將一直角的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，邊在射線上，另一邊在直線的下方，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其中旋轉(zhuǎn)的角度為(1)將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得落在射線上，此時(shí)為度．(2)將圖1中的直角旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得在的內(nèi)部，試探究與之間滿足什么樣的等量關(guān)系，并說明理由．(3)若直角繞點(diǎn)按每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直角的直角邊所在直線恰好平分時(shí)，求此時(shí)直角繞點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值．【答案】(1)90(2)，理由見解析(3)22.5秒或58.5秒【分析】（1）根據(jù)，先求出，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的位置即可作答；（2）由圖可知，，兩式相減即可作答；（3）分兩種情況討論即可作答：當(dāng)射線恰好平分，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為：；當(dāng)射線的反向延長(zhǎng)線恰好平分，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為：，問題隨之得解．【詳解】（1），，，，由落在射線上，可知旋轉(zhuǎn)角為：；故答案為：90．（2），，，即關(guān)系為：；（3）所在直線恰好平分，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，當(dāng)射線恰好平分，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為：,即：（秒），當(dāng)射線的反向延長(zhǎng)線恰好平分，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為：，（秒）所以直角繞點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是22.5秒或58.5秒．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對(duì)幾何中心旋轉(zhuǎn)知識(shí)點(diǎn)的掌握，綜合運(yùn)用幾何性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)性質(zhì)解決問題的能力．要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)用到考試中去．掌握旋轉(zhuǎn)中角度的變化以及旋轉(zhuǎn)反向是解答本題的關(guān)鍵．24．將一副直角三角板，，按如圖1放置，其中B與E重合，，．(1)如圖1，點(diǎn)F在線段的延長(zhǎng)線上，求的度數(shù)；(2)將三角板從圖1位置開始繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，分別為，的角平分線．①如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的內(nèi)部時(shí)，求的度數(shù)；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的外部時(shí)，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)①；②或【分析】（1）先根據(jù)三角板的度數(shù)得到的度數(shù)，再用即可；（2）①由角平分線的定義可得，，再根據(jù)，整理可得的度數(shù)；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的外部時(shí)，分情況討論：當(dāng)是銳角時(shí)，由角平分線的定義可得，，再根據(jù)，整理可得的度數(shù)；當(dāng)是鈍角時(shí)，由角平分線的定義可得，，再根據(jù)，得出的度數(shù)．【詳解】（1）解：，，，．（2）解：①，分別為，的角平分線，，，；②當(dāng)旋轉(zhuǎn)至的外部時(shí)，分兩種情況：（Ⅰ）如圖：，分別為，的角平分線，，，；（Ⅱ）如圖：，分別為，的角平分線，，，；綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，利用角平分線定義和角的和差是解題關(guān)鍵，注意要分情況討論．25．將一副直角三角板如圖1擺放在直線上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中的大小保持不變）直至邊第一次重合在直線上，整個(gè)過程時(shí)間記為t秒．(1)從旋轉(zhuǎn)開始至結(jié)束，整個(gè)過程共持續(xù)了______秒；(2)如圖2，旋轉(zhuǎn)三角板，使得、在直線的異側(cè)，請(qǐng)直接寫出與數(shù)量關(guān)系；如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，使得、同時(shí)在直線的右側(cè)，請(qǐng)問上面的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，并說明理由；(3)若在三角板旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，另一個(gè)三角板也繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中的大小保持不變），當(dāng)邊第一次重合在直線上時(shí)兩三角板同時(shí)停止．①試用字母t分別表示與；②在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)平分．【答案】(1)9(2)，仍成立．理由見解析(3)①，，②秒【分析】（1）繞過的角度為，據(jù)此除以旋轉(zhuǎn)速度，即可作答；（2）、在直線的異側(cè)，用很含式子表示出與，即可作答；、在直線的右側(cè)，同理可證明；（3）①根據(jù)題意直接列式即可；②若平分，則有，根據(jù)①的結(jié)果列式：，解方程即可求解．【詳解】（1）根據(jù)題意可知：（秒），故答案為：9；（2）∵，，，，、在直線的異側(cè)，如圖2所示，∵，，∴，∴即，、在直線的右側(cè)，仍成立．理由如下：如圖3所示，∵，，∴；（3）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，另一個(gè)三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①當(dāng)旋轉(zhuǎn)t秒時(shí)，，,∴．②若平分，則有，根據(jù)①的結(jié)果列式：，解得：．答：在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)t為秒時(shí)，平分．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、三角形板中的角度的計(jì)算、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【經(jīng)典題型四幾何圖形中角度計(jì)算問題】26．如圖，點(diǎn)O在直線EF上，點(diǎn)A、B與點(diǎn)C、D分別在直線EF兩側(cè)，且，．

(1)如圖1，若平分，求的度數(shù)；(2)如圖2，在（1）的條件下，平分，過點(diǎn)O作射線，求的度數(shù)；(3)如圖3，若在內(nèi)部作一射線，若，，試判斷與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線定義和周角是可得的度數(shù)；（2）分兩種情況：當(dāng)在下方時(shí)；當(dāng)在上方時(shí)，計(jì)算即可；（3）由，，設(shè)，則，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可用表達(dá)出的度數(shù)，求出與的度數(shù)．【詳解】（1）平分，，，．（2）當(dāng)在下方時(shí)，

平分，，，，，，．當(dāng)在上方時(shí)，

平分，，，，，，，；（3）設(shè)，則，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查角度的和差計(jì)算，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，結(jié)合圖形找到角度之間的和差關(guān)系是解題關(guān)鍵．27．如圖，已知．

(1)試說明：；(2)若平分，，，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，作射線，，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)正確畫出圖形，并直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)(3)圖見解析，的度數(shù)是或或或【分析】（1）觀察圖形，可知已知的兩等角存在公共部分，同時(shí)減去，即可得解；（2）觀察圖形中角之間的位置關(guān)系，得，由角平分線，得；（3）由，分情況：①在內(nèi)部：由，進(jìn)一步分情況討論，在內(nèi)部或在外部，②在外部：進(jìn)一步分情況討論，在內(nèi)部或在外部；分別求解．【詳解】（1）解：，，，；（2）由（1）可知，，，，平分，，的度數(shù)是；（3）的度數(shù)是或或或，理由如下：如圖1，，，，

，又，，，如圖2，，

即，又，，，

如圖3，，，又，，，如圖，，

，，綜上所述，的大小為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查角的數(shù)量關(guān)系和計(jì)算，角平分線的定義；根據(jù)圖形得出角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．28．點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，在直線同側(cè)任作射線，使得．

(1)如圖一，過點(diǎn)作射線，使為的角平分線，若時(shí)，則________，________；(2)如圖二，過點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分．①若，求的度數(shù)（寫出推理過程）；②若，則的度數(shù)是________（直接填空）．(3)過點(diǎn)作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分，當(dāng)時(shí)，則的度數(shù)是________．（在稿紙上畫圖分析，直接填空）【答案】(1)65°，40°(2)①135°，②135°(3)35°或55°【分析】（1）根據(jù)求出，利用角平分線的定義得到，再根據(jù)進(jìn)行求解即可；（2）①由平角的定義，角平分線的定義求出，根據(jù)進(jìn)行求解即可；②同①法，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）分在內(nèi)部和在外部?jī)煞N情況，進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵為的角平分線，∴，∴；故答案為：；（2）①解：∵，，∴，又∵為的角平分線，為的角平分線，∴，，∴，②∵，，∴，又∵為的角平分線，為的角平分線，∴，，∴；故答案為：；（3）①當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，如圖：

∵，平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，②當(dāng)在外部時(shí)，如圖：

∵，平分，∴，∵，∴，∵平分，∴；綜上：的度數(shù)是或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的相關(guān)計(jì)算．解題的關(guān)鍵是正確的識(shí)圖，理清角之間的和差關(guān)系．29．如圖，點(diǎn)在同一條直線上，從點(diǎn)引一條射線，且．

(1)求的度數(shù)．(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（，且不是的整數(shù)倍）得到，在內(nèi)引射線，在內(nèi)引射線，且．．①若，求的度數(shù)；②若，請(qǐng)直接寫出的大?。敬鸢浮?1)(2)①；②或【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)的角度可得出和的度數(shù)，由此可得出和的度數(shù)，根據(jù)和差關(guān)系即可得出結(jié)論；②分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，分別進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】（1）解：，；（2）解：①如圖1，

，當(dāng)時(shí)，則，，，，，，，，；②或．如圖2，當(dāng)時(shí)，

，，，，，解得；如圖3，當(dāng)時(shí)，

，，，，，解得，綜上所述，的大小為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的計(jì)算，涉及分類討論的思想，由圖得出角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．30．已知和是直角．

(1)如圖，當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄亢椭g的關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)射線，射線都在外部時(shí)，過點(diǎn)作線，射線，滿足，∠DOF＝，求的度數(shù)；(3)如圖，在(2)的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線，使得，若存在，請(qǐng)求出的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，的度數(shù)是或．【分析】（1）根據(jù)已知條件，和是直角，可得出和與的關(guān)系式，再根據(jù)與和列出等量關(guān)系，即可得出答案；（2）根據(jù)已知條件，可設(shè)，則，再根據(jù)周角的關(guān)系可得到的等量關(guān)系，再根據(jù)，可得到的等量關(guān)系式，由、和可列出等量關(guān)系，即可得到答案；（3）分兩種情況，當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，由，可得出結(jié)果，當(dāng)射線在外部時(shí)，由，可得出結(jié)果．【詳解】（1），理由如下：∵和是直角，∴，∵，∴，同理：，∴，∴；（2）設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，（3）存在，當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí)，∵，∴，當(dāng)射線在外部時(shí)，∵，∴，綜上所述，的度數(shù)是或．【點(diǎn)睛】此題考查了角的計(jì)算，根據(jù)題意列出相應(yīng)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典題型五實(shí)際問題中角度計(jì)算問題】31．給出如下定義：如果，且（k為正整數(shù)），那么稱是的“倍銳角”．(1)下列三個(gè)條件中，能判斷是的“倍銳角”的是________（填寫序號(hào)）；①；②；③是的角平分線；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，在圖中畫出的一個(gè)“倍銳角”；(3)如圖，當(dāng)時(shí)，射線繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)10°，可得它的“倍銳角”_____°；(4)當(dāng)且存在它的“倍銳角”時(shí)，則________°．【答案】(1)①③(2)見解析(3)60或80(4)或【分析】（1）分別求出和后判斷是否符合（k為正整數(shù)）；（2）先求出的度數(shù)，再任意畫出一個(gè)符合題意的角即可；（3）先求出的所有可能性，再分別求出的度數(shù)；（4）分兩種情況分別討論．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，①符合題意；當(dāng)時(shí)，，，②不符合題意；當(dāng)是的角平分線，，③符合題意；故答案為①③．（2）∵，，∴，如下圖：（3）∵是的“倍銳角”，∴（k為正整數(shù)），∵，∴，∴應(yīng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∵當(dāng)時(shí)，射線繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)10°，∴可取，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，符合題意；故答案為：60或80．（4）∵是的“倍銳角”，∴（k為正整數(shù)），∵，∴，①：如圖，；②：如圖，，∵，∴，∴，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了用新定義計(jì)算角的和差，正確理解“倍銳角”是解題的關(guān)鍵．32．如圖1，在∠AOB的內(nèi)部引一條射線OC，則圖中共有3個(gè)角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．(1)①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠MPN；(2)如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．當(dāng)PQ與PN成110°時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．同時(shí)射線PM繞點(diǎn)P以每秒6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時(shí)停止．當(dāng)PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時(shí)，則t＝秒．【答案】(1)①是；②∠MPN=α或∠MPN=3α(2)t=秒，4秒，5秒【分析】（1）①根據(jù)新定義的理解，即可得到答案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況：當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時(shí)；當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時(shí)；分別求出∠MPN即可；（2）根據(jù)題意，設(shè)運(yùn)用的時(shí)間為t秒，則PM運(yùn)用后有，，然后對(duì)PM和PQ的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析，可分為四種情況進(jìn)行分析，分別求出每一種情況的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可得到答案．【詳解】（1）①如圖，若∠MPQ＝∠NPQ，∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射線PQ是∠MPN的“好好線”；②∵射線PQ是∠MPN的“好好線”又∵∠MPQ≠∠NPQ∴此題有兩種情況Ⅰ．如圖1，當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時(shí)∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；Ⅱ．如圖2，當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時(shí)∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α綜上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．（2）根