高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（人教A版2019選擇性必修三）專題7.9正態(tài)分布（重難點(diǎn)題型精講）（學(xué)生版）

專題7.9正態(tài)分布（重難點(diǎn)題型精講）1．連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的取值充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)數(shù)軸，但取一點(diǎn)的概率為0，稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.2．正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線

函數(shù)f(x)=，x∈R.其中∈R，>0為參數(shù).我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.

(2)正態(tài)分布

若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為XN(,).特別地，當(dāng)=0，=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

(3)正態(tài)分布的均值和方差

若XN(,)，則E(X)=，D(X)=.3．正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=對(duì)稱；

(3)曲線在x=處達(dá)到峰值；

(4)當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸；

(5)對(duì)任意的>0，曲線與x軸圍成的面積總為1；

(6)在參數(shù)取固定值時(shí)，正態(tài)曲線的位置由確定，且隨著的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；

(7)當(dāng)取定值時(shí)，正態(tài)曲線的形狀由確定，當(dāng)較小時(shí)，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；當(dāng)較大時(shí)，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖乙所示.4．3原則(1)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率

P(X+)0.6827；

P(2X+2)0.9545；

P(3X+3)0.9973.

(2)3原則

在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(,)的隨機(jī)變量X只取[3，+3]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3原則.【題型1正態(tài)曲線的特點(diǎn)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)正態(tài)曲線及其性質(zhì)，結(jié)合正態(tài)曲線的特點(diǎn)，進(jìn)行求解即可.【例1】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)X~N(μ1,σ1A．P(Y≥B．P(X≤C．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．對(duì)任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)【變式11】（2022秋·上海黃浦·高三期中）李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，X~Nμ1,62,Y~A．D(X)=6 B．μC．P(X≤38)<P(Y≤38) D．P(X≤34)<P(Y≤34)【變式12】（2022春·廣東清遠(yuǎn)·高二期末）已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)φi(x)=12πσieA．μ1=μ3>μ2C．μ1=μ3>μ2【變式13】（2022春·江蘇常州·高二期中）如圖是三個(gè)正態(tài)分布X~N(0,0.64)，Y~N(0,1)，Z~N(0,4)的密度曲線，則三個(gè)隨機(jī)變量X，Y，Z對(duì)應(yīng)曲線的序號(hào)分別依次為（

）.A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②【題型2利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性求概率】【方法點(diǎn)撥】利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性求概率是正態(tài)分布的基本題型.解題的關(guān)鍵是利用對(duì)稱軸x=確定所求概率對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的區(qū)間與已知概率對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的區(qū)間的關(guān)系，必要時(shí)，可借助圖形判斷.【例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξ～N2,σ2，若P(2?ξ<3)=0.3，則P(ξ<1)=A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.2【變式21】（2022春·湖南張家界·高二期末）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)σ>0，且P(X<0)=0.1，則P(2<X<4)=A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【變式22】（2022春·北京·高二期末）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布X~N(2,σ2)，若P(X≤1?2a)+P(X≤1+a)=1，則a=A．0 B．2 C．?1 D．?2【變式23】（2022春·吉林長春·高二期末）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N6,σ，若PX<4+5PX>8=1A．16 B．14 C．13【題型3利用正態(tài)分布的3原則求概率】【方法點(diǎn)撥】利用正態(tài)分布的3原則求概率一定要靈活把握3原則，將所求概率向P(X+)，P(2X+2)，P(3X+3)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用特定值求出相應(yīng)的概率.同時(shí)要充分利用好正態(tài)曲線的對(duì)稱性和正態(tài)曲線與x軸之間的面積為1.【例3】（2022春·河北衡水·高二階段練習(xí)）若X～N7,2.25，則PX≤10=（參考數(shù)據(jù)：Pμ?σ≤X≤μ+σ=0.682,Pμ?2σ≤X≤μ+2σA．0.97725 B．0.9545 C．0.9973 D．0.99865【變式31】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X~N4，22，則附：若Y~Nμ，σ2，則PA．0.0215 B．0.1359 C．0.8186 D．0.9760【變式32】（2022春·河南洛陽·高二階段練習(xí)）某工廠生產(chǎn)的零件的尺寸（單位:cm）服從正態(tài)分布N10,0.12.任選一個(gè)零件，尺寸在10附:若X~Nμ,σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827A．0.34135 B．0.47725 C．0.6827 D．0.9545【變式33】（2022春·河南·高二階段練習(xí)）已知某批零件的尺寸X（單位：mm）服從正態(tài)分布N10,4，其中X∈8,14的產(chǎn)品為“合格品”，若從這批零件中隨機(jī)抽取一件，則抽到合格品的概率約為（（附：若X～Nμ,σ2，則Pμ?σ?X?μ+σ≈0.6827A．0.3414 B．0.4773 C．0.512 D．0.8186【題型4正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】利用服從正態(tài)分布N(,)的隨機(jī)變量X在三個(gè)特殊區(qū)間上取值的概率，可以解決兩類實(shí)際問題：一類是估計(jì)在某一范圍內(nèi)的數(shù)量，具體方法是先確定隨機(jī)變量在該范圍內(nèi)取值的概率，再乘樣本容量即可.另一類是利用3原則作決策.【例4】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）某金屬元件的抗拉強(qiáng)度服從正態(tài)分布，均值為10000kg/cm2，標(biāo)準(zhǔn)差是(1)求抗拉強(qiáng)度超過10150kg(2)如果要求所有元件的規(guī)格是9800～10200kg【變式41】（2022秋·福建莆田·高三階段練習(xí)）某校高三年級(jí)有1000人，某次考試不同成績段的人數(shù)ξ~(1)求全班平均成績；(2)計(jì)算得分超過141的人數(shù)；（精確到整數(shù)）(3)甲同學(xué)每次考試進(jìn)入年級(jí)前100名的概率是14，若本學(xué)期有4次考試，X表示進(jìn)入前100名的次數(shù)，寫出X參考數(shù)據(jù)：Pμ?σ<ξ≤μ+σ=0.6826,【變式42】（2022春·河北保定·高二階段練習(xí)）某食品廠生產(chǎn)一種零食，該種零食每袋的質(zhì)量X（單位：g）服從正態(tài)分布N65,4.84(1)當(dāng)質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢20袋該種零食時(shí)，測得1袋零食的質(zhì)量為73g，他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí)，判斷該質(zhì)檢員的決定是否有道理，并說明判斷的依據(jù).(2)規(guī)定：這種零食的質(zhì)量在62.8g~69.4g的為合格品.①求這種零食的合格率；（結(jié)果精確到0.001）②從該種零食中任意挑選n袋，合格品的袋數(shù)為Y，若Y的數(shù)學(xué)期望大于58，求n的最小值.參考數(shù)據(jù)：若X~Nμ,σ2，則Pμ?σ≤X≤μ+σ=0.6827【變式43】（2022·福建福州·高二期末）近一段時(shí)間來，由于受非洲豬瘟的影響，各地豬肉價(jià)格普遍上漲，生豬供不應(yīng)求.各大養(yǎng)豬場正面臨巨大挑戰(zhàn).目前各項(xiàng)針對(duì)性政策措施對(duì)于生豬整體產(chǎn)量恢復(fù)、激發(fā)養(yǎng)殖戶積極性的作用正在逐步顯現(xiàn).現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場，均養(yǎng)有1萬頭豬，將其中重量（kg）在1,139內(nèi)的豬分為三個(gè)成長階段如下表.豬生長的三個(gè)階段階段幼年期成長期成年期重量（Kg）[1,24)[24,116)[116,139]根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，兩個(gè)養(yǎng)豬場豬的體重X均近似服從正態(tài)分布X~N70,232.由于我國有關(guān)部門加強(qiáng)對(duì)大型養(yǎng)豬場即將投放市場的成年期豬的監(jiān)控力度，高度重視成年期豬的質(zhì)量保證，為了養(yǎng)出健康的成年活豬，甲、乙兩養(yǎng)豬場引入兩種不同的防控及養(yǎng)殖模式.已知甲、乙兩個(gè)養(yǎng)豬場內(nèi)一頭成年期豬能通過質(zhì)檢合格的概率分別為3（1）試估算甲養(yǎng)豬場三個(gè)階段豬的數(shù)量；（2）已知甲養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利600元，若為不合格的豬，則虧損100元；乙養(yǎng)豬場