高考數(shù)學(xué)人教B版一輪復(fù)習(xí)測評9-1基本公式直線的斜率與直線方程

核心素養(yǎng)測評四十六基本公式、直線的斜率與直線方程(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.設(shè)直線ax+by+c=0的傾斜角為α,且sinα+cosα=0,則a,b滿足()A.a+b=1 B.ab=1C.a+b=0 D.ab=0【解析】選D.因為sinα+cosα=0,所以tanα=1.又因為α為傾斜角,所以斜率k=1.而直線ax+by+c=0的斜率k=QUOTE,所以QUOTE=1,即ab=0.2.已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P(1,1)和Q(2,2),若直線l:mx+y+1=0與線段PQ有交點(diǎn),則實數(shù)m的取值范圍是 ()A.QUOTEB.(∞,2]∪QUOTEC.QUOTED.QUOTE∪[2,+∞)【解析】選D.l:mx+y+1=0可寫成y=mx1,即l過定點(diǎn)R(0,1),直線PR的斜率k1=QUOTE=2,直線QR的斜率k2=QUOTE=QUOTE.因為直線l與線段PQ有交點(diǎn),所以斜率k≥QUOTE或k≤2.又因為k=m,所以m≤QUOTE或m≥2.3.過點(diǎn)A(1,3),斜率是直線y=3x的斜率的QUOTE的直線方程為 ()A.3x+4y+15=0 B.3x+4y+6=0C.3x+y+6=0 D.3x4y+10=0【解析】選A.設(shè)所求直線的斜率為k,依題意k=QUOTE,又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1,3),因此所求直線方程為y+3=QUOTE(x+1),即3x+4y+15=0.4.直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,2),在x軸上的截距的取值范圍是(3,3),則其斜率的取值范圍是 ()A.1<k<QUOTE B.k>1或k<QUOTEC.k>1或k<QUOTE D.k>QUOTE或k<1【解析】選D.設(shè)直線的斜率為k,則直線方程為y2=k(x1),令y=0,得直線l在x軸上的截距為1QUOTE,則3<1QUOTE<3,解得k>QUOTE或k<1.5.如果AC<0,且BC<0,那么直線Ax+By+C=0不通過 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.由題意知,A,B同號,所以直線Ax+By+C=0的斜率k=QUOTE<0,在y軸上的截距為QUOTE>0,所以,直線不通過第三象限.6.(多選)(2020·青島模擬)若直線過點(diǎn)A(1,2),且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等,則直線l的方程可能為 ()A.xy+1=0 B.x+y3=0C.2xy=0 D.xy1=0【解析】選ABC.當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時,斜率為k=QUOTE=2,所求的直線方程為y=2x,即2xy=0;當(dāng)直線不過原點(diǎn)時,設(shè)所求的直線方程為x±y=k,把點(diǎn)A(1,2)代入可得12=k,或1+2=k,求得k=1,或k=3,故所求的直線方程為xy+1=0,或x+y3=0;綜上知,所求的直線方程為2xy=0,xy+1=0或x+y3=0.7.直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2,1),B(1,m2)(m∈R)兩點(diǎn),那么直線l的傾斜角的取值范圍為 導(dǎo)學(xué)號()A.QUOTE∪QUOTEB.QUOTE∪QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選B.設(shè)直線的傾斜角為α,則tanα=QUOTE=1+m2≥1,又因為0≤α<π,所以0≤α<QUOTE或QUOTE≤α<π.二、填空題(每小題5分,共15分)8.將直線y=x+QUOTE1繞它上面一點(diǎn)(1,QUOTE)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°,所得到的直線方程是________.

【解析】由y=x+QUOTE1得直線的斜率為1,傾斜角為45°.因為沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)15°,角變?yōu)?0°,所以所求直線的斜率為QUOTE.又因為直線過點(diǎn)(1,QUOTE),所以直線方程為yQUOTE=QUOTE(x1),即y=QUOTEx.答案:y=QUOTEx9.(2020·金華模擬)若直線l的方程為:x+QUOTEy3=0,則其傾斜角為________,直線l在y軸上的截距為________.

【解析】直線l的方程為:x+QUOTEy3=0,設(shè)其傾斜角為θ,θ∈[0,π).則tanθ=QUOTE,解得θ=QUOTE.令x=0,解得y=QUOTE.所以直線l在y軸上的截距為QUOTE.答案:QUOTEQUOTE10.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,0),B(0,4),AC=BC,則△ABC的歐拉線方程為__________________. 導(dǎo)學(xué)號

【解析】由題意,線段AB的中點(diǎn)為M(1,2),kAB=2,所以線段AB的垂直平分線為y2=QUOTE(x1),即x2y+3=0,因為AC=BC,所以△ABC的外心、重心、垂心都位于線段AB的垂直平分線上,因此△ABC的歐拉線方程為x2y+3=0.答案:x2y+3=0(15分鐘35分)1.(5分)設(shè)直線l的方程為x+ycosθ+3=0(θ∈R),則直線l的傾斜角α的取值范圍是 ()A.[0,π) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE∪QUOTE【解析】選C.當(dāng)cosθ=0時,方程變?yōu)閤+3=0,其傾斜角為QUOTE;當(dāng)cosθ≠0時,由直線l的方程,可得斜率k=QUOTE.因為cosθ∈[1,1]且cosθ≠0,所以k∈(∞,1]∪[1,+∞),即tanα∈(∞,1]∪[1,+∞),又α∈[0,π),所以α∈QUOTE∪QUOTE,綜上知,直線l的傾斜角α的取值范圍是QUOTE.2.(5分)(2020·西安模擬)已知直線x+a2ya=0(a是正常數(shù)),當(dāng)此直線在x軸,y軸上的截距和最小時,正數(shù)a的值是 ()A.0 B.2 C.QUOTE D.1【解析】選D.直線x+a2ya=0(a是正常數(shù))在x軸,y軸上的截距分別為a和QUOTE,此直線在x軸,y軸上的截距和為a+QUOTE≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時,等號成立.故當(dāng)直線x+a2ya=0在x軸,y軸上的截距和最小時,正數(shù)a的值是1.3.(5分)已知函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1),當(dāng)x<0時,f(x)>1,方程y=ax+QUOTE表示的直線是()【解析】選C.因為f(x)=ax,且x<0時,f(x)>1,所以0<a<1,QUOTE>1.又因為y=ax+QUOTE在x軸、y軸上的截距分別為QUOTE和QUOTE,且|QUOTE|>QUOTE,故C項圖符合要求.4.(10分)設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y+2a=0(a∈R). 導(dǎo)學(xué)號(1)若l在兩坐標(biāo)軸上截距相等,求l的方程;(2)若l不經(jīng)過第二象限,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時,該直線在x軸和y軸上的截距為零,所以a=2,方程即為3x+y=0.當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時,截距存在且均不為0.所以QUOTE=a2,即a+1=1.所以a=0,方程即為x+y+2=0.綜上,l的方程為3x+y=0或x+y+2=0.(2)將l的方程化為y=(a+1)x+a2,所以QUOTE或QUOTE所以a≤1.綜上可知a的取值范圍是(∞,1].5.(10分)(2020·成都模擬)已知直線l1:y=2x+4,直線l2經(jīng)過點(diǎn)(2,1).(1)若l1⊥l2,求直線l2的方程.(2)若l2與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于P,Q兩點(diǎn),求△OPQ面積的最小值(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).【解析】(1)由題意,可設(shè)直線l2的方程為y=QUOTEx+b,由直線l2經(jīng)過(2,1)點(diǎn),可得b=2,即直線l2的方程為y=QUOTEx+2(或?qū)懗?x+2y4=0).(2)方法一:由題意可知,直線l2的斜率存在且小于0,設(shè)為k(k<0),即l2:y1=k(x2).令x=0,可得l2與y軸的交點(diǎn)為Q(0,2k+1),令y=0,可得l2與x軸的交點(diǎn)為PQUOTE,其中k<0,故△OPQ的面積S=QUOTE(2k+1)·QUOTE=2+(2k)+QUOTE≥2+2QUOTE=4(當(dāng)且僅當(dāng)k=QUOTE時等號成立),即△OPQ面積的最小值為4.方法二:由題意可知,直線l2在兩個坐標(biāo)軸上的