遼寧省撫順市六校協(xié)作體2023-2024學年高三上學期期末考試數(shù)學

高三數(shù)學考試注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：高考全部內容（概率與統(tǒng)計除外）.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.3.已知，，，則（）A. B. C. D.4.已知為等比數(shù)列，且，則（）A.216 B.108 C.72 D.365.已知曲線在點處的切線與圓相切，則的半徑為（）A. B.1 C. D.6.已知，是方程的兩個根，則（）A. B. C.2 D.7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，.過作其中一條漸近線的垂線，垂足為，則（）A. B. C.2 D.48.已知函數(shù)，若A，B是銳角的兩個內角，則下列結論一定正確的是（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.直線過拋物線的焦點，且與交于M，N兩點，則（）A. B. C.的最小值為6 D.的最小值為1210.如圖，點在以為直徑的半圓上運動（不含A，B），，，記，，的弧度數(shù)為，則下列說法正確的是（）A.是的函數(shù) B.是的函數(shù) C.是的函數(shù) D.是的函數(shù)11.如圖，在三棱錐中，平面，，且，，過點的平面分別與棱，交于點M，N，則下列說法正確的是（）A.三棱錐外接球的表面積為B.若平面，則C.若M，N分別為，的中點，則點到平面的距離為D.周長的最小值為312.已知，均是由自然數(shù)構成的數(shù)列，且，，，則（）A. B.C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，則__________.14.先將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，寫出圖象的一條對稱軸的方程：__________.15.降雨量是指降落在水平地面上單位面積的水層深度（單位：mm）.氣象學中，把24小時內的降雨量叫作日降雨量.等級劃分如下表：日降雨量/mm等級小雨中雨大雨暴雨某數(shù)學建模小組為了測量當?shù)啬橙盏慕涤炅浚谱髁艘粋€圓臺形水桶，如圖所示，若在一次降雨過程中用此桶接了24小時的雨水恰好是桶深的，則當日的降雨量等級為__________.16.已知，是函數(shù)的兩個零點，則__________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求；（2）若，，求的面積.18.（12分）已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.19.（12分）在正項等差數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為，證明：.20.（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，，.（1）證明：.（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.21.（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點作軸的垂線，并與交于A，B兩點，過點作一條斜率存在且不為0的直線與交于M，N兩點，，的周長為8.（1）求的方程.（2）記，分別為的左、右頂點，直線與直線相交于點，直線與直線相交于點Q，和的面積分別為，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.22.（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若恰好有兩個零點，，且恒成立，證明：.高三數(shù)學考試參考答案1.B【解析】本題考查集合的交集運算，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).因為，，所以.2.A【解析】本題考查復數(shù)的運算，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).，則，.3.C【解析】本題考查指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)值的大小比較，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).因為，，，所以.4.A【解析】本題考查等比數(shù)列的概念，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).設的公比為，則，.5.C【解析】本題考查曲線的切線與圓的位置關系，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).由，得，則曲線在點處的切線方程為.因為與圓相切，所以的半徑.6.D【解析】本題考查三角恒等變換，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).因為，是方程的兩個根，所以，，所以.7.B【解析】本題考查雙曲線的性質，考查直觀想象的核心素養(yǎng).由，，得，.由，得，解得.8.D【解析】本題考查導數(shù)的應用，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).因為，所以在上恒成立，則在上單調遞減.因為A，B是銳角的兩個內角，所以，則，則，故，同理可得.與，與的大小關系均不確定，所以與，與的大小關系也均不確定.9.BD【解析】本題考查拋物線的性質，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).直線與軸的交點坐標為，則，即，由拋物線的性質可知當時，取得最小值，且最小值為.故選BD.10.AD【解析】本題考查函數(shù)的概念，考查數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).由函數(shù)的概念可知不是的函數(shù)，是的函數(shù)，不是的函數(shù)，是的函數(shù).11.BCD【解析】本題考查立體幾何初步，考查直觀想象，數(shù)學運算的核心素養(yǎng).因為平面，，且，，所以三棱錐外接球的半徑，表面積，A不正確.若平面，則，.又，所以.又，所以，，解得，B正確.因為M，N分別為，的中點，所以，則平面，平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離.設點到平面的距離為，易知，，，由，得，解得，C正確.如圖，將，翻折至平面內，連接，易知即周長的最小值，，周長的最小值為3，D正確.12.ACD【解析】本題考查數(shù)列的性質，考查邏輯推理，數(shù)學運算的核心素養(yǎng).由，得，，得，即，記表示不大于的最大整數(shù)，因為，所以，故，則，A正確.若，則，，則，此時，B不正確.當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，.故，C正確.，則，D正確.13.【解析】本題考查平面向量的坐標運算，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).因為，，所以，.14.（答案不唯一，滿足，即可）【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).由題可知，令，，解得，.15.大雨【解析】本題考查圓臺的體積，考查數(shù)學運算，直觀想象的核心素養(yǎng).由題可知水桶的上底面半徑，下底面半徑，桶深，水面半徑，水深，則水桶中水的體積，則日降雨量為，故當日的降雨量等級為大雨.16.【解析】本題考查函數(shù)的零點與性質，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).顯然，當時，令，得.令，，則的零點轉化為與圖象的交點.因為，所以的圖象關于點對稱.易知的圖象也關于點對稱，所以，則.17.解：（1）因為，所以，又，所以.由為銳角三角形，得.（2）由（1）及余弦定理知.因為，，所以，所以的面積.評分細則：【1】第（1）問學生若得出，得1分.【2】第（1）問未說明，直接得出，扣1分.18.解：（1）由，得.令，得.2分當時，；當時，.的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為，故的極大值為，的極小值為.（2）在上恒成立等價于在上恒成立.令，則.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.，故的取值范圍為.評分細則：【1】第（1）問學生若未注明是極大（小）值，扣1分；【2】第（2）問的取值范圍未用區(qū)間表示，不扣分；【3】第（2）問也可以直接對求導，對參數(shù)進行分類討論求解，按步驟給分.19.（1）解：設的公差為d，則解得或（舍去），故.（2）證明：由（1）可知，則.評分細則：【1】第（1）問學生若未舍去這種情況，扣1分；【2】第（2）問學生如果不是從第一項進行放縮的，證得結果按步驟給分.20.（1）證明：連接，與交于點，連接.因為四邊形是正方形，所以.因為，為的中點，所以.因為，平面，平面，所以平面.又平，所以.（2）解：過作的垂線，垂足為.易知平面.以為坐標原點，過且平行于，的直線分別為軸，軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.由，得，因為，，所以，則，，，則，，，.由，得，，.設平面的法向量為，由得令，得.由圖可知是平面的一個法向量.，故平面與平面夾角的余弦值為.評分細則：第（2）問中的坐標系不唯一，按步驟給分.21.解：（1）由題可知解得，，故的方程為.（2）為定值，定值為.理由如下：依題可設直線的方程為，，，聯(lián)立方程組整理得，則，.易知，，直線的方程為，則直線的方程為，令，得，同理可得..故為定值，且該定值為.評分細則：【1】第（1）問學生也可由得出C的方程；【2】第（2）問學生若設直線的方程為，按步驟給分.22.（1）解：因為，所以.若，則在上恒成立；若，則當時，，當時，.綜上所述，當時，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）證明：由，得，令，則.當時，，單調遞增，