2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期（人教A版2019必修第二冊(cè)）-期末測(cè)試05（教師版）

2020—2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期

期末測(cè)試05

滿(mǎn)分：100分時(shí)間：60分鐘

第I卷（選擇題共60分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共12小題，每題只有一個(gè)選項(xiàng)正確，每小題5分，共計(jì)60分。

1.某校高一年級(jí)隨機(jī)抽取15名男生，測(cè)得他們的身高數(shù)據(jù)，如下表所示：

編號(hào)身高編號(hào)身高編號(hào)身高

1173616911168

2179717712175

3175817513172

4173917414169

51701018215176

那么這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）

A.175B.176C.176.5D.170

【答案】C

【詳解】

這15個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列，可得168,169,169,170,172,173,173,174,175,175,175,176,177,179,182,

：80%xl5=12,???第80百分位數(shù)為第12項(xiàng)與第13項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即gx（176+177）=176.5.

故選：C

2.要完成下列2項(xiàng)調(diào)查，應(yīng)采用的抽樣方法是（）

①?gòu)哪成鐓^(qū)125戶(hù)高收入家庭，280戶(hù)中等收入家庭，95戶(hù)低收入家庭中選出100戶(hù)調(diào)查社會(huì)購(gòu)買(mǎi)力的某

項(xiàng)指標(biāo)；

②從某中學(xué)高一年級(jí)的12名體育特長(zhǎng)生中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況.

A.①用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法②用分層抽樣法

B.①用分層抽樣法②用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法

C.①、②都用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法

D.①、②都用分層抽樣法

【答案】B

【詳解】

對(duì)于①，某社區(qū)共500戶(hù)家庭的收入有了明顯的差異及層次，故選擇分層抽樣：

對(duì)于②，個(gè)體沒(méi)有明顯差異且總數(shù)不多可用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

故選：B.

3.已知正方體ABco-agae的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)p在棱A。上，過(guò)點(diǎn)「作該正方體的截面，當(dāng)截面平行于

平面與。。且面積為由時(shí)，線(xiàn)段AP的長(zhǎng)為（）

n

A.V2B.1C.73D.葉

2

【答案】A

【詳解】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作DB,的平行線(xiàn)，分別交棱AB.A4于點(diǎn)Q,R,連接QR,BO,因?yàn)锽DHB.D,,

所以P?！?A,BRu面BRC,PQ（Z面BRC,所以PQ〃面BRC

因?yàn)锳O〃4C,所以PR〃B\C,B】Cu面BQ?,PRg面所以PR〃面BQ。

又PQcPR=P,PQ.PRu面PQR,所以面PQRH面,則PQR為截面，

易知APQR是等邊三角形，則;PQ2.#=百，解得PQ=2,：.AP=與PQ=e.

4.已知正三棱柱A3C-A4G，。為△A5C的外心，則異面直線(xiàn)AG與OB所成角的大小為（）

A.30°B.60°C.45°D.90°

【答案】D

【詳解】

解：如圖，?.?△ABC是等邊三角形，且。為△ABC的外心,

二。是△A5C的垂心，

BO1AC,且平面ABC,3Ou平面ABC,

fiO-LAA.,

...30,平面A41GC,且AGu平面A&CC，

8O_LAC1,

異面直線(xiàn)AG與QB所成角的大小為90°.

故選：D.

5.在AABC中，ABAC<Q,則AABC是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等邊三角形

【答案】C

【詳解】

解：?.?福?/=］亞，蔗卜osA<0,...cosAcO,二NA是鈍角，則AA8C是鈍角三角形.

故選：C

6.下列各組平面向量中，可以作為基底的是

A.4=(0,0),02=(1,—2)

B.4=(-1,2),02=(5,7)

C.4=(3,5),02=(6,10)

D.令=(2,-3),，2=(］，_1)

【答案】B

【詳解】

試題分析：因?yàn)锳,C,D選項(xiàng)中的兩個(gè)向量均存在實(shí)數(shù)使得1所以?xún)上蛄烤簿€(xiàn)，故不可作為基

底.因?yàn)锽選項(xiàng)中的兩個(gè)向量不存在實(shí)數(shù)使得錄=；141，所以?xún)上蛄坎还簿€(xiàn)，所以可以作為一組基底.故B

正確.

考點(diǎn)：平面向量中基底的定義.

7.己知三=2+i,則復(fù)數(shù)z=()

1+z

A.l+3iB.l-3zC.3+iD.3-z

【答案】B

【詳解】

y

由題意，復(fù)數(shù)---=2+7,可得2=(2+i)(l+i)=l+3i,所以z=l-3i.

1+z

故選：B.

8.歐拉公式e'°=cose+isin8(e為自然底數(shù)，i為虛數(shù)單位)是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉最早發(fā)現(xiàn)的，是數(shù)學(xué)界最

著名、最美麗的公式之一根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)e2,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【詳解】

冗

由題意知：e2'=cos24-zsin2?而萬(wàn)'<2<不，

2i

cos2<0,sin2>0,故e對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限.

故選：B

9.己知復(fù)數(shù)zi=3+4i,Z2=3—4z,則zi+z2=()

A.8zB.6

C.6+8ZD.6—8i

【答案】B

【詳解】

ZI+Z2=(3+4，)+(3—4/)=(3+3)+(4—4)i=6.

故選：B.

10.在新冠疫情的沖擊下，全球經(jīng)濟(jì)受到重創(chuàng)，右圖是各國(guó)公布的2020年第二季度國(guó)內(nèi)生產(chǎn)值（GDP）同

比增長(zhǎng)率,現(xiàn)從這5個(gè)國(guó)家中任取2個(gè)國(guó)家，則這2個(gè)國(guó)家中第二季度GDP同比增長(zhǎng)率至少有1個(gè)低于一15%

的概率為（）

二季度GDP同比增K

7

D.—

10

【答案】D

【詳解】

解：令中國(guó)、澳大利亞、印度、英國(guó)、美國(guó)的2020年第二季度國(guó)內(nèi)生產(chǎn)值（GDP）同比增長(zhǎng)率分別為A,

B,C,D,E,其中C,。都低于一15%,

則從這5個(gè)國(guó)家中任取2個(gè)國(guó)家有：

AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,。￡共10種，

其中至少有1個(gè)低于一15%有AC,AD,BC,BD,CD,CE,CE共7種，

7

所以所求概率為一.

10

故選：D.

11.下列隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是（）

A.擲5次硬幣正面向上的次數(shù)M

B.從標(biāo)有數(shù)字1至4的4個(gè)小球中任取2個(gè)小球，這2個(gè)小球上所標(biāo)的數(shù)字之和丫

C.某人每天早晨在某公共汽車(chē)站等某一路車(chē)的時(shí)間T

D.將一個(gè)骰子擲3次，3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和X

【答案】C

【詳解】

在A中，擲5次硬幣，正面向上的次數(shù)M可能取的值，可以按一定次序---列出，故M是離散型隨機(jī)變量

在B中，從標(biāo)有數(shù)字I至4的4個(gè)小球中任取2個(gè)小球，這2個(gè)小球上所標(biāo)的數(shù)字之和V可能取的值，可

以按一定次序---"列出，

故丫是離散型隨機(jī)變量

在c中，某人每天早晨在某公共汽車(chē)站等某一路車(chē)的時(shí)間T可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無(wú)法——列出，

故T不是離散型隨機(jī)變量

在D中，將一個(gè)骰子擲3次，3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和X可能取的值，可以按一定次序一一列出，故X是離散

型隨機(jī)變量

故選：C

12.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中的半圓的直徑為2,則該幾何體的表面積為（）

B.4乃+2C.3%+3D.4乃+3

【答案】A

【詳解】

這個(gè)幾何體是由一個(gè)底面半徑為1且高為1的半圓柱，和一個(gè)半徑為1的半球的前半部分組成，所以它的下

7Tjr|

底面為半圓，面積為一，后表面為一個(gè)矩形加半圓，面積為2X1H—,前表面為半個(gè)圓柱側(cè)面加一個(gè)球面，

224

面積為乃xlx1+^x4萬(wàn)x1=2萬(wàn)，所以其表面積為34+2,

4

故選：A.

第n卷（非選擇題共40分）

二、填空題：本題共計(jì)4小題，共計(jì)16分。

13.在正方體ABCO-AB|GA中，有下列結(jié)論:

①3。//平面CBQ1；

②異面直線(xiàn)AD與CB,所成的角為60°；

③三棱柱ABD-4耳。的體積是三棱錐A-AB。的體積的四倍;

④在四面體中，分別連接三組對(duì)棱的中點(diǎn)的線(xiàn)段互相垂直平分.

其中正確的是（填出所有正確結(jié)論的序號(hào)）.

【答案】①④

【詳解】

因?yàn)锽D〃BQ1,BQ】u平面CBQi，BDu平面CBQi，所以、BD//平面CBR,故①正確;

因?yàn)锳D//8C,所以異面直線(xiàn)AO與CB1所成的旃等于NBCq,在正方形BCC4中，ZBCB,=45°,故

②錯(cuò)誤；

三棱柱ABD-ABQI的體積是三棱維A-A8。的體積的三倍，故③錯(cuò)誤；

由正方體的性質(zhì)可知，正方體三條對(duì)面中心連線(xiàn)線(xiàn)段相互垂直平分.

四面體ACB]￡）]是正四面體，其核中點(diǎn)即正方體每個(gè)面的中心，對(duì)棱中點(diǎn)連線(xiàn)必經(jīng)過(guò)正方體的中心，由對(duì)

稱(chēng)性知，連接正四面體ACg。每組對(duì)棱中點(diǎn)的線(xiàn)段互相垂直平分，則④正確.

故答案為：①④

14.如圖，在AABC和AAEF中，3是所的中點(diǎn)，AB=EF=2,C4=CB=3,若

ABAE+ACAF^7,則麗與就的夾角的余弦值等于.

c

【答案】-

3

【詳解】

由圖知：AE=AB+BE<AF=AB+BF<

?■-ABAE+ACAF=AB（AB+BE）+AC（AB+BF）^AB+AB-BE+AC-AB+AC-BF

.._?2...2.2——._

又（AC_A8）2=AC-2ACAB+AB=BC=9,且C4=3,AB=2,

，ACAB=2,

^-ABBE+ACBF=],而A區(qū)=A》（一麗），即麗?（/一麗）=；甌?前=1,

又￡尸=2,CB=3

cos<EF,BC>=

3

故答案為：一.

3

15.如圖，莖葉圖表示甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在五場(chǎng)比賽中的得分（均為整數(shù)），其中一個(gè)數(shù)字模糊不清,

則甲的平均得分高于乙的平均得分的概率為.

3

【答案】—

10

【詳解】

由莖葉圖可得甲的5次得分分別為18,19,20,21,22,

則甲的平均得分：-(18+19+20+21+22)=20

設(shè)污損數(shù)字為x

則乙的5次得分分別為15,16,18,28,(20+x)

Jx

則乙的平均成績(jī)：-(15+16+18+28+20+x)=19.4+y,

V0<J<9,xGZ,當(dāng)x=0,l,2時(shí)，

甲的平均得分高于乙的平均得分，

3

二甲的平均得分高于乙的平均得分的^率為一；

10

3

故答案為：—.

10

16.如圖，圓。是半徑為1的圓，04=g，設(shè)5,C為圓上的任意2個(gè)點(diǎn)，則正.座的取值范圍是

【答案】

【詳解】

解：連接OA,OB,設(shè)。是線(xiàn)段5C的中點(diǎn)，連接0￡),則有8八BC.

設(shè)6為QA和BC的夾角?

Tf（T->TTT

則AC-BC=OC-OA\-BC=OC-BC-OA-BC

=OC?BC-cosZBCO-OA-BCcos。=ABC--BCcos。,

-BC--5Ccos^>-BC--BC

22222^12j8

（當(dāng)cos6=l即6=0時(shí)取等）

TT11

因?yàn)锽C￡[0,2],所以當(dāng)BC=不時(shí)，AC8C有最小值—.

28

(當(dāng)cos8=-l即。=乃時(shí)取等)

當(dāng)8C=2時(shí),-BC+-BC有最大值為3,

22

即泉；晶有最大值3,所以公.庭的取值范圍是一(，3

故答案為：一三，3

8_

三、解答題：本題共計(jì)4小題，共計(jì)24分。

17.如圖，已知AABC的面積為14,D、E分別為邊AB、8c上的點(diǎn)，且AD:DB=BE:EC=2:1,AE

與CD交于P.設(shè)存在之和〃使麗=X荏，PD=^CD,AB=a>BC=b-

(1)求2及4；

(2)用萬(wàn)，b表示麗;

(3)求ZXB4c的面積.

6414一

【答■案】(1)幾=一，n=—：(2)—aH—b；(3)4.

7777

【詳解】

⑴■.■AD:DB=BE:EC=2A,AB=a，BC^b,

_______9_________i

AE-AB+BE-ci—b,CD-CB+BD——b—a,

33

-.AP^AAE,PD^/JCD,

:.AP=A(a+-b

.?.通=麗+麗=4(Q+|51萬(wàn)

3

=[1f+凈一小

3

—.2—?2

又?.?AO=-A8=—M,

33

,6

A,-1--U=一2A——

337

,解得V

4

—A—//=0N=一

3產(chǎn)7

—41

(2)由(1)知PD=——b——5j,BD=.gM,

73

1414-

:.BP=BD+DP=--a+-\b+-a\=—萬(wàn)H—b

37377

(3)?;BE:EC=2:1,S,"c=",

.S」S-11

?°AACE_30cABC-3，

又?.?麗=x醺=g通,

7

。6。6x144“

S.PAC=1S.CE=yy=-

18.如圖1,在等腰梯形ABC。中，AB//CD,AB=3,CD=1,BC=2,反尸分別為腰A。、BC的

中點(diǎn).將四邊形C￡>E尸沿EF折起，使平面EFC7）'_L平面ABFE，如圖2,H,M別線(xiàn)段EF\AB的中點(diǎn).

圖1圖2

（1）求證：MH±平面EFC'iy；

（2）請(qǐng)?jiān)趫D2所給的點(diǎn)中找出兩個(gè)點(diǎn)，使得這兩點(diǎn)所在直線(xiàn)與平面O7/M垂直，并給出證明：

（3）若N為線(xiàn)段C’加中點(diǎn)，在直線(xiàn)8尸上是否存在點(diǎn)Q，使得NQ〃面D7/M?如果存在，求出線(xiàn)段NQ

的長(zhǎng)度，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）C',E這兩個(gè)點(diǎn)，使得這兩點(diǎn)所在直線(xiàn)與平面。'”拉垂直，證明見(jiàn)解析；

（3）存在，NQ=4.

【詳解】

解：（1）證明：?.?四邊形ABC。是等腰梯形，

點(diǎn)〃為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)M為A3的中點(diǎn)，

:.MH±EF,

???平面EFCD_L平面ABFE,平面EFC'。C平面ABFE=EF,

:.MH工平面EFCD.

(2)解：在圖2中，C,E這兩個(gè)點(diǎn)，使得這兩點(diǎn)所在直線(xiàn)與平面?！ū卮怪?

證明：連結(jié)C'E,DH,

;CEu平面EFCD,:.MHA.CE,

.CDI/EH,CD=EH且CD=DE,，四邊形CDEW是菱形，:.C'E±D'H,

=H,MHU平面DHM.D'Hu平面DHM

.?.C'E_L平面DHM

C,E這兩點(diǎn)所在直線(xiàn)與平面垂直.

(3)解：N為線(xiàn)段CZ7中點(diǎn)，假設(shè)在直線(xiàn)6尸上存在點(diǎn)。，便得NQ//面DHM.

在線(xiàn)段MB上取點(diǎn)尸，使得=0.5,

再平面圖形中連結(jié)線(xiàn)段CP,攵EF于點(diǎn)、L(圖(1)),則CL//HM,NLIID'H

由題意可得平面NLC//平面。,:.NC//平面DHM,

A/3

因?yàn)镃LT

_V6

；.C就是所求的點(diǎn)。，NC=NQ7NI}+CE=

一2

19.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量表得如下頻數(shù)分布

表：

質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)

頻數(shù)62638228

(I)在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:

.頻率/組距

O40

o9s.38

936

934

o9.32

o.930

28

o.6

o.24

.9O22

o.。20

o.028

916

os.914

1^

o.1^

1

,0。O

os.0

。8

qS06

S904

02

OS,

.OO

758595105115125質(zhì)星指標(biāo)值

O.,9O

OS.

(ID估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(III)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要

占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)平均數(shù)100,方差為104;(3)不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)

值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%