數(shù)學(xué)建模講座

數(shù)學(xué)建模講座1玩具、照片…~實(shí)物模型風(fēng)洞中的飛機(jī)…~物理模型地圖、電路圖…~符號(hào)模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物。模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。我們常見(jiàn)的模型什么是數(shù)學(xué)模型第一章建立數(shù)學(xué)模型2你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型——“航行問(wèn)題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到x=20,y=5,答：船速每小時(shí)20公里3航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟

作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號(hào)表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；

回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)20公里）。4數(shù)學(xué)模型

(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)數(shù)學(xué)模型:對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模：建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括建立、求解、分析、檢驗(yàn)）。5數(shù)學(xué)建模的重要意義

電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展

數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，越來(lái)越受到人們的重視。數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)如虎添翼知識(shí)經(jīng)濟(jì)6建模示例椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？問(wèn)題椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？1.椅子四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面接觸處可視為一人點(diǎn)，四腳的連線呈正方形；2.地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷（沒(méi)有像臺(tái)階那樣的情況），即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面；3.對(duì)于椅腳的間距和椅腿的長(zhǎng)度而言，地面是相對(duì)平坦的，使椅子的任何位置至少有三只腳同時(shí)著地。模型假設(shè)ABCDtA‘B‘C‘D‘Ox模型構(gòu)成椅腳連線為正方形ABCD(如右圖)。t~椅子繞中心點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)角度f(wàn)(t)~A,C兩腳與地面距離之和g(t)~A,C兩腳與地面距離之和

f(t),g(t)

07模型構(gòu)成由假設(shè)1，f和g都是連續(xù)函數(shù)由假設(shè)3，椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地：對(duì)任意t，f(t)和g(t)中至少有一個(gè)為0。當(dāng)t=0時(shí),不妨設(shè)g(t)=0,f(t)>0,原題歸結(jié)為證明如下的數(shù)學(xué)命題：已知f(t)和g(t)是t的連續(xù)函數(shù),對(duì)任意t,f(t)?g(t)=0,且g(0)=0,f(0)>0。則存在t0，使f(t0)=g(t0)=0模型求解OxA‘B‘C‘D‘ABCDt最后，因?yàn)閒(t)?g(t)=0，所以f(t0)=g(t0)=0。令h(t)=f(t)-g(t),則h(0)>0和h(

)<0，由f和g的連續(xù)性知h也是連續(xù)函數(shù)。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在t0

（0<t0<

),使h(t0

)=0，即f(t0)=g(t0)。將椅子旋轉(zhuǎn)90o,對(duì)角線AC與BD互換。由g(0)=0,f(0)>0可知g(

)>0,f()=08建模示例商人們?cè)鯓影踩^(guò)河問(wèn)題(智力游戲)3名商人3名隨從河小船(至多2人)隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河?問(wèn)題分析多步?jīng)Q策過(guò)程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過(guò)河9模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,

sk=(xk,yk)~過(guò)程的狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)vk~第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk)~決策D={(u

,v)u+v=1,2}~允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=skdk+(-1)k~狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達(dá)sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問(wèn)題10模型求解xy3322110窮舉法~編程上機(jī)圖解法狀態(tài)s=(x,y)~16個(gè)格點(diǎn)~10個(gè)點(diǎn)允許決策D~移動(dòng)1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,d11給出安全渡河方案評(píng)注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)SS={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}D={(u

,v)u+v=1,2}11習(xí)題模仿這一案例，作下面一題：人帶著貓、雞、米過(guò)河，船除需要人劃之外，至多能載貓、雞、米三者之一，而當(dāng)人不在場(chǎng)時(shí)貓要吃雞、雞要吃米。試設(shè)計(jì)一安全過(guò)河方案，并使渡河次數(shù)盡量地少。12背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況年1908193319531964198219901995人口(億)34.76710.111.312研究人口變化規(guī)律控制人口過(guò)快增長(zhǎng)建模示例如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)13指數(shù)增長(zhǎng)模型常用的計(jì)算公式馬爾薩斯（1788--1834）提出的指數(shù)增長(zhǎng)模型(1798)x(t)~時(shí)刻t人口r~人口(相對(duì))增長(zhǎng)率(常數(shù))今年人口x0,年增長(zhǎng)率rk年后人口隨著時(shí)間增加人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)14指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合

適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律

不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)15阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假定：r~固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)16阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/217模型的參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm

利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位~百萬(wàn)）17901800181018201830……19501960197019803.95.37.29.612.9……150.7179.3204.0226.5r=0.2072,xm=464

專(zhuān)家估計(jì)18模型檢驗(yàn)用模型預(yù)報(bào)1990年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為251.4(百萬(wàn))模型應(yīng)用——人口預(yù)報(bào)用美國(guó)1790~1990年人口數(shù)據(jù)重新估計(jì)參數(shù)r=0.2083,xm=457.6x(2000)=275.0x(2010)=297.9Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量)19基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將研究對(duì)象看作“黑箱”,通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)實(shí)例研究(CaseStudies)來(lái)學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析二者結(jié)合機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),測(cè)試分析確定模型參數(shù)數(shù)學(xué)建模的方法和步驟20數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用21怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模與其說(shuō)是一門(mén)技術(shù)，不如說(shuō)是一門(mén)藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無(wú)法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想象力洞察力判斷力

學(xué)習(xí)、分析、評(píng)價(jià)、改進(jìn)別人作過(guò)的模型

親自動(dòng)手，認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際題目創(chuàng)新意識(shí)22看誰(shuí)答得快1、某甲早8時(shí)從山下旅店出發(fā)沿一路徑上山，下午5時(shí)到達(dá)山頂并留宿。次日早8時(shí)沿同一路徑下山，下午5時(shí)回到旅店。某乙說(shuō)，甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過(guò)路徑中的同一地點(diǎn)，為什么？2、某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后乘火車(chē)于6時(shí)抵達(dá)T市車(chē)站，他的妻子駕車(chē)準(zhǔn)時(shí)到車(chē)站接他回家。一日他提前下班搭早一班火車(chē)于5時(shí)半抵T市車(chē)站，隨即步行回家，他的妻子像往常一樣駕車(chē)前來(lái)，在路上遇到他接回家時(shí)，發(fā)現(xiàn)比往常提前了10分鐘，問(wèn)他步行了多長(zhǎng)時(shí)間？3、兩兄妹分別在離家2千米和1千米且方向相反的兩所學(xué)校上學(xué)，每天同時(shí)放學(xué)后分別以4千米/小時(shí)和2千米/小時(shí)的速度步行回家，一小狗以6千米/小時(shí)的速度從哥哥處奔向妹妹，又從妹妹處奔向哥哥，如此往返直至回家中，問(wèn)小狗奔波了多少路程？

23錄象機(jī)計(jì)數(shù)器的用途問(wèn)題經(jīng)試驗(yàn)，一盤(pán)錄象帶從頭走到尾，時(shí)間用了183分30秒，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6152。在一次使用中錄象帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過(guò)大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為4580，問(wèn)剩下的一段還能否錄下1小時(shí)的節(jié)目？要求不僅回答問(wèn)題，而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與錄象帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間的關(guān)系。思考計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增長(zhǎng)的嗎？第二章初等模型24問(wèn)題分析錄象機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理0000左輪盤(pán)右輪盤(pán)磁頭主動(dòng)輪壓輪計(jì)數(shù)器錄象帶錄象帶運(yùn)動(dòng)方向錄象帶運(yùn)動(dòng)右輪盤(pán)半徑增大右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)錄象帶運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)變慢觀察

計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越慢！25模型假設(shè)

錄象帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)

v；

計(jì)數(shù)器讀數(shù)

n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)

m成正比，記

m=kn；

錄象帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)

w；

空右輪盤(pán)半徑記作

r

；

時(shí)間

t=0時(shí)讀數(shù)n=0.建模目的建立時(shí)間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系（設(shè)V，k，w，r為已知參數(shù)）26模型建立建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法1.右輪盤(pán)轉(zhuǎn)第i圈的半徑為r+wi,m圈的總長(zhǎng)度等于錄象帶在時(shí)間t內(nèi)移動(dòng)的長(zhǎng)度vt,所以27模型建立2.考察右輪盤(pán)面積的變化，等于錄象帶厚度乘以轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度，即3.考察t到t+dt錄象帶在右輪盤(pán)纏繞的長(zhǎng)度，有28思考1.3種建模方法得到同一結(jié)果但仔細(xì)推算會(huì)發(fā)現(xiàn)稍有差別，請(qǐng)解釋。2.模型中有待定參數(shù)確定參數(shù)的一種辦法是測(cè)量或調(diào)查，試設(shè)計(jì)測(cè)量方法。29參數(shù)估計(jì)確定參數(shù)的另一種方法——測(cè)試分析將模型改記作只需估計(jì)理論上，已知t=183.5,n=6152,再有一組(t,n)數(shù)據(jù)即可；實(shí)際上，由于測(cè)試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合?，F(xiàn)有一批測(cè)試數(shù)據(jù)：

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