(帶答案)高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)考點總結(jié)

(每日一練)高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)考點總結(jié)

高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)考點總結(jié)

單選題

1、函數(shù)/(X)=V3-x+log!(x+1)的定義域是()

3

A.[-1,3)B,(-1,3)C.(-1,3]D.[-1,3]

答案：C

分析：由題可得｛；；；：]即得.

由題意得｛北魯I

解得一1<xW3,

即函數(shù)的定義域是

故選：C.

2、定義在R上的奇函數(shù)/(%)在(-8,0]上單調(diào)遞增，且/(-2)=-2,則不等式/(Igx)-/'(《)>4的解集為

()

A.(0,壺)B.島+8)C.(0,100)D.(100,+oo)

答案：D

分析：利用函數(shù)為奇函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為/'(Igx)>/(2),再利用函數(shù)的單調(diào)性求解.

因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù),

所以)=一/(%),又/(-2)=-2,/?⑵=2,

所以不等式/(Igx)-/(lg;)>4,可化為2/(lgx)>4=2/(2),

gp/(lg%)>/(2),

又因為/(x)在(-8,0］上單調(diào)遞增，

所以/'(x)在R上單調(diào)遞增，

所以Igx>2,

解得x>100.

故選：D.

xxx

3、已知yi=G)：y2=3,y3=10-,y4=10,則在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，它們的圖象大致為()

答案：A

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及圖像特征進行比較，即可判斷.

2

“與y3=10-x=偌7是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)作直線X=1,

該直線與四條曲線交點的縱坐標(biāo)的大小對應(yīng)各底數(shù)的大小，易知：選A.

故選：A

4、已知實數(shù)a,b6(1,+8),filog2a+logb3=log2Z>+loga2,則()

/\.a<Vb<bB.y/b<a<bC.b<\/a<aD.Va<b<a

答案：B

[1

分析：對log2a-loga2<log2b-logi>2,利用換底公式等價變形，得log2a-T—<log2b-r—r,結(jié)合y=

log2alo&20

刀一乙的單調(diào)性判斷8<風(fēng)同理利用換底公式得log2a-廣<log3b-高，即log2a>log3b,再根據(jù)對數(shù)運

Xlog2a1OS3D

算性質(zhì)得log2a>log2Vfa,結(jié)合y=log?》單調(diào)性，a>①，繼而得解.

由log?。+logb3=log2b+loga2,變形可知log2a-loga2<log2b-logb2,

利用換底公式等價變形，得log2a-總;<log2b-高.

log2a10g2。

由函數(shù)/(x)=x在(0,+8)上單調(diào)遞增知，log2a<log?，即a<b,排除C,D；

其次，因為log2b>logsb,^flog2a+logb3>log3/)+loga2,gpiog2a-loga2>log3b-logb3.

同樣利用/(x)=x—5的單調(diào)性知，log2a>log3h,

3

又因為log3b=>log2①，得log2a>1082聲，即a>v^,所以仍<a<b.

故選：B.

5、已知5<8',131<8'.設(shè)a=logs3,6=loga5,c=log138,則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

答案：A

分析：由題意可得a、b、ce（0,l）,利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小關(guān)系，由b=loggS,得

8b=5,結(jié)合55<84可得出b.,由c=Iog】38,得13c=8,結(jié)合13,<8$,可得出綜合可得出a、b、

c的大小關(guān)系.

由題意可知a、b、ce（o.l）,.鬻=髭饋<高.（亨）2=（甯）2=（蠢2<]..—；

由b=log85,得8b=5,由55<84,得85b<8%5b<4,可得匕<]

由c=logi38,得13c=8,由134<85,得134<135c,二5c>4,可得?>g

綜上所述，a<b<c,

故選：A.

小提示：本題考查對數(shù)式的大小比較，涉及基本不等式、對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，

考查推理能力，屬于中等題.

6、滿足函數(shù)/（x）=ln（E+3）在（-8,1]上單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是（）

A.-4VmV—2B.-3VniV0C.-4VTHV0D.-3VmV—1

答案：D

分析：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出力的取值范圍，結(jié)合充分不必要條件的定義進行求解即可.

解：若/'（無）=ln（mx+3）在（-8,1]上單調(diào)遞減，

4

則滿足m<0且m+3>0,

即<0且m>—3,

則—3<m<0,

即/（x）在（-8,1］上單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是-3<m<-1,

故選：D.

7、已知0<a<l,b<-l,則函數(shù)丫="+匕的圖像必定不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案：A

解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象結(jié)合圖象的平移可得正確的選項.

因為0<a<1,故丫=產(chǎn)的圖象經(jīng)過第一象限和第二象限，

且當(dāng)x越來越大時，圖象與x軸無限接近.

因為6<-1,故丫=謨的圖象向下平移超過一個單位，故、=a，+b的圖象不過第一象限.

故選：A.

8、若乙,血是二次函數(shù)'-5x+6的兩個零點，則三+三的值為（）

X1X2

A,一敘.-|C-1

答案：D

分析：解方程可得看=2,尤2=3,代入運算即可得解.

由題意，令/-5%+6=0,解得x=2或3,

不妨設(shè)%=2,外=3,代入可得g+H+￡=*

打Zoo

故選：D.

5

9、果農(nóng)采摘水果，采摘下來的水果會慢慢失去新鮮度.已知某種水果失去新鮮度方與其采摘后時間t（天）滿

足的函數(shù)關(guān)系式為九=m-at.若采摘后10天,這種水果失去的新鮮度為10%,采摘后20天，這種水果失去

的新鮮度為20%,那么采摘下來的這種水果多長時間后失去40%新鮮度（）

A.25天B.30天C.35天D.40天

答案：B

分析：根據(jù)給定條件求出小及的值，再利用給定公式計算失去40%新鮮度對應(yīng)的時間作答.

依題意，仁鬻二血⑶：，解得加=總。1°=2,當(dāng)/1=40%時，40%=親出，

（20%=m-azu2020

即40%=點.加°-atT°,解得=4=（小呼=a2。，于是得"10=20,解得t=30,

所以采摘下來的這種水果30天后失去40%新鮮度.

故選：B

10、設(shè)4a=3〃=36,則鴻=（）

A.3B.1C.-ID.-3

答案：B

分析：先求出a=log436,fe=log336,再利用換底公式和對數(shù)的運算法則計算求解.

因為4a=3"=36,

所以a=log436,b=log336,

則!=log36*=log369,

所以則；+：=log364+log369=log3636=1.

故選：B.

多選題

6

11、已知函數(shù)f(x)=log』(a>0,且a才1)的圖象經(jīng)過點(9,2),則下列說法正確的是()

A.a=2

B.函數(shù)f(x)為增函數(shù)

C.若x>3,則/'(%)>1

D.若0</<町則d產(chǎn))>/(亨)

答案：BC

分析：根據(jù)題意可得10ga9=2,從而求出/'(X)=10g3%,即可根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，基本不

等式判斷各選項的真假.

由題意知，10ga9=2,解得a=3,所以/(x)=10g3X,所以函數(shù)/(%)為增函數(shù)，故A錯誤，B正確；

當(dāng)x>3時，/(x)=log3x>log33=l,所以f(x)>l,故C正確

；因為安絲=鹿空舉=|咤3際，/(空)=l°g3巖，又。</<血，所以應(yīng)<華，所

以log3后石<10g3空，即3普2</(中)，故D錯誤.

故選：BC.

12、某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數(shù)關(guān)系的圖象，如圖所示.假設(shè)其關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，并給出下列說

法，其中正確的說法有()

7

面積(m2)

A.野生水葫蘆的每月增長率為1

B.野生水葫蘆從4m2蔓延到12nl2只需1.5個月

2

C.設(shè)野生水葫蘆蔓延到10m2,20m,30m2所需的時間分別為4,t2,t3,則有+J<2今

D.野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2個月到第4個月之間蔓延的平均速度

答案：AC

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象過點(4,16),求得函數(shù)的解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的解析式，逐項判定，即可求解.

設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式為“X)=a\a>0,aK1),

由函數(shù)的圖象可知圖象過點(4,16),代入可得16=a。解得a=2,即/0)=21

則"午2=寫二=1,所以野生水葫蘆的每月增長率為1,所以A正確；

J[H—L)Z**-

由當(dāng)t=2時，y=4,又由y=12時，可得2t=12,解得t=logzl2。3.5,所以B不正確；

令y=10,可得2〃=10,解得匕=log210,

同理可得12=log220,t3=log230,

則0+t3=log210+log230=log2300,2t2=21og220=log2400,

所以G+匕<2t2，所以C正確；

8

由平均變化率的定義，可得1月到3月的平均變化率為千=3.

2月到4月的平均變化率為號=6,所以D不正確.

4—2

故選：AC.

13、若/"(X)滿足對定義域內(nèi)任意的打出2,都有/(%)+/a2)=/(*1巾2)，則稱/'(%)為“好函數(shù)”，則下列函

數(shù)是“好函數(shù)”的是()

X

A./(x)=2B./(x)=(；)C./(x)=logixD./(x)=log3x

\N/2

答案：CD

分析：利用“好函數(shù)”的定義，舉例說明判斷A,B；計算判斷C,D作答.

對于A,函數(shù)定義域為R,取%=1,X2=2,則fOi)+/(亞)=6,/(%1-x2)=4,

則存在X1，X2，使得f01)+f(%2)*/(X1-%2).A不是；

對于B,函數(shù)/(X)定義域為R,取與=1,&=2,則八匕)+/(&)=：,/(%1-X2)=7，

則存在%1，%2，使得fOl)+f(.x2)*,X2),B不是；

對于C,函數(shù)/(X)定義域｛x|x>0｝內(nèi)任意的句,不，/01)+/(%2)=logi%1+logix2=10g2(X62)=fOl。％2)，

222

日?

C7E/

x

對于D,函數(shù)/'(X)定義域>0｝內(nèi)任意的XpW,/(Xj)+/(x2)=log3X!+log3x2=log3(Xi%2)=,2).

D是.

故選：CD

14、已知函數(shù)/W=｛_"；窘則愛)

A.對任意的mGR,函數(shù)/(x)都有零點.

B.當(dāng)mW—3時，對Me】*%2,都有(乙一刀2)(/(右)-f(X2))<0成立.

9

C.當(dāng)加=o時，方程=0有4個不同的實數(shù)根.

D.當(dāng)m=0時，方程/(*)+/(-%)=0有2個不同的實數(shù)根.

答案：AC

分析：討論血的取值范圍即可判斷函數(shù)零點個數(shù)，可判斷A；當(dāng)m<-3時，由指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性可

判斷B；當(dāng)m=0時，令t=由/'⑴=0得t=0或t=一2,結(jié)合圖象可判斷C；當(dāng)m=0時，方程/'(x)+

/(-X)=0,則/(x)=-/(-X),結(jié)合圖象可判斷D.

當(dāng)/一1=0時，x=0;當(dāng)一(x+27=0時，%=-2；

所以當(dāng)爪>0時，函數(shù)f(x)只有1個零點，當(dāng)一2<mW0時，函數(shù)/(x)只有2個零點，

山三一2時，函數(shù)/(%)只有1個零點，故A正確；

當(dāng)mS-3時，由指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)外均為單調(diào)遞增函數(shù)，故B錯；

當(dāng)m=0時，令t=f(x),由f(t)=0得t=0或t=-2,作出函數(shù)/Q)的圖象

如圖所示，當(dāng)t=/(%)=一2時，方程=。有兩個解；t=f(x)=0方程九〃>)]=0有兩個解；

所以方程/[/(?]=0有4個不同的實數(shù)根，故C正確；

當(dāng)m=0時，方程/(#)+/(—程=0,則/(%)=-/(—外,如圖所示，有1個不同的交點,

則故D錯誤.

故選：AC

10

y=-

15、已知函數(shù)/'(>)=品+771(機6/?)則下列說法正確的是()

A./(x)的定義域為RB.若/(x)為奇函數(shù)，則m=-i

C.7(%)在R上單調(diào)遞減D.若m=0,則的值域為(0,1)

答案：ABD

分析：根據(jù)函數(shù)的定義域的求法，可判定A正確；根據(jù)函數(shù)的奇偶性列出方程，求得加的值，可判定B正確,

化簡f(x)=-*+皿+1,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可判定C錯誤；化簡函數(shù)/(x)=l-六，結(jié)合指數(shù)函

數(shù)的值域，可判定D正確.

由題意，函數(shù)/(%)=^+m(meR),

對于A中，由2丫+1力0,所以函數(shù)/'(x)的定義域為R,所以A正確；

2r2X

對于B中，由函數(shù)人欠)為奇函數(shù)，則滿足/(一x)=—f(x),即

2-x+l+6=一再T一犯

2X2r2、____A_2工1

所以2nl=-----------=Wr=T，即吁

2X+12—+12、+】表+】2，+l2,

所以B不正確；

對于c中，由/Q)=急+m=2X+1-11

2X+1+m=一行+巾+1，

因為函數(shù)y=2"+1為單調(diào)遞增函數(shù)，貝的=一專遞增函數(shù),

11

所以f(x)函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以C不正確；

對于D中，當(dāng)m=0時，可得/(乃=品=1一六，

因為4+1>1,可得一1〈一六<0,所以1一六6(0,1),

即函數(shù)f(x)的值域為(0,1),所以D正確.

故選：ABD.

填空題

16、2021年8月30日第九屆未來信息通信技術(shù)國際研討會在北京開幕.研討會聚焦于5G的持續(xù)創(chuàng)新和演進、

信息通信的未來技術(shù)前瞻與發(fā)展、信息通信技術(shù)與其他前沿科技的融合創(chuàng)新.香農(nóng)公式C=〃log2(l+前是被

廣泛公認(rèn)的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率，取決于信道帶寬畋

信道內(nèi)信號的平均功率5信道內(nèi)部的高斯噪聲功率"的大小，其中，叫作信噪比.若不改變信道帶寬K而將

信噪比，從11提升至499,則最大信息傳遞速率C大約會提升到原來的倍(結(jié)果保留1位小數(shù)).(參

考數(shù)據(jù)：log23?1.58,log25?2.32)

答案：2.5

分析：設(shè)提升前最大信息傳遞速率為Q,提升后最大信息傳遞速率為C2,根據(jù)題意求出"再利用指數(shù)、對數(shù)

的運算性質(zhì)化簡計算即可

設(shè)提升前最大信息傳遞速率為C1，提升后最大信息傳遞速率為C2,則由題意可知，。1=W10g2(l+ll)=

mog212,C2=mog2(l+499)=l￥log2500t

Wlog2500_Iog2（22x53）_Iog222+log253_2+31og25?2+3X2.328.96c-

所以我==——?2.5,

22

Wlog212log2（2x3）log22+log232+log232+1.583.58'

所以最大信息傳遞速率。會提升到原來的2.5倍.

所以答案是：2.5

17、已知a=lg5,用a表示lg20=.

12

答案：2-a

分析：直接利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解

因為a=IgS,

所以lg20=1g詈=IglOO-lg5=2-a,

所以答案是：2-a

18、已知4a=8,2m=9n=6,且上1+；1=b,則a+b=

m2n

答案

解析：將指數(shù)式4a=8化為對數(shù)式可求出a,將指數(shù)式2m=9"=6化為對數(shù)式可分別求出m,n,代入《+《=

m2n

b可求出b,進而可求出a+b的值.

因為4a=8,2m=9n=6,

所以。=1。848=翳=需=張=|,m=log26,n=log96,

lo2

所以b=6=§6+?0g69=log62+log63=log6（2x3）=1,

IOg2bZlOg9OZ

所以a+b=|.

所以答案是：|

解答題

19、某企業(yè)生產(chǎn)一種電子設(shè)備，通過市場分析，每臺設(shè)備的成本與產(chǎn)量滿足一定的關(guān)系式.設(shè)年產(chǎn)量為％（0<

%<200,XGN）（單位：臺），若年產(chǎn)量不超過70臺，則每臺設(shè)備的成本為為=之％+40（單位：萬元）；

若年產(chǎn)量超過70臺不超過200臺，則每臺設(shè)備的成本為丫2=101+矍-警（單位：萬元），每臺設(shè)備售價

為100萬元，假設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售完.

⑴寫出年利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺）的關(guān)系式；

13

⑵當(dāng)年產(chǎn)量為多少臺時，年利潤最大，最大值為多少萬元？

--X2+60x,0<x<70,xG/V