天津市紅橋區(qū)2023屆高三一模考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

天津市紅橋區(qū)2023屆高三一?？荚嚁?shù)學(xué)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答題時(shí)，務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效.祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項(xiàng)：1.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).2.本卷共9題，每小題5分，共45分.一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，或，則（）A. B.或C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?或，所以，所以.故選：D．2.“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)，根據(jù)真子集關(guān)系可得答案.【詳解】因?yàn)椋沂堑恼孀蛹?，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇偶性定義判斷的對(duì)稱性，并由及、增長(zhǎng)速度關(guān)系，結(jié)合排除法確定函數(shù)圖象.【詳解】由且定義域?yàn)?，故是偶函?shù)，又，排除B、C；當(dāng)時(shí)，函數(shù)比增長(zhǎng)得更快，排除A.故選：D．4.某校有200位教職員工，他們每周用于鍛煉所用時(shí)間的頻率分布直方圖如圖所示，據(jù)圖估計(jì)，每周鍛煉時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為（）A.18 B.46 C.54 D.92【答案】D【解析】【分析】由頻率分布直方圖求出每周鍛煉時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的頻率，由此能求出每周鍛煉時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的人數(shù)．【詳解】由頻率分布直方圖得：每周鍛煉時(shí)間在[10，12]小時(shí)內(nèi)頻率為：1﹣（0.03+0.06+0.18+0.14）×2＝0.18，∴每周鍛煉時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的頻率為：∴每周鍛煉時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為：200×0.46＝92．故選：D．5.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是，則該雙曲線的離心率為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離求出的值，再利用離心率公式可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，由題意得，解得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線和雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用，在涉及利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時(shí)，利用公式計(jì)算較為方便，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6.已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【詳解】若α∥β，mα，mβ，則m，n可能平行也可能異面，故B錯(cuò)誤；若m⊥α，m⊥n，則n∥α或nα，故C錯(cuò)誤；若mα，nα，m∥β，n∥β，由于m，n不一定相交，故α∥β也不一定成立，故A錯(cuò)誤；若m∥n，n⊥α，根據(jù)線面垂直的第二判定定理，我們易得m⊥α，故D正確.7.設(shè)，且，則的大小關(guān)系為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判定，繼而比較出大小【詳解】當(dāng)a>1時(shí),易知>2a，再由以a為底對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，從而可知m>p又∵(+1)?(a?1)=?a+2恒大于0(二次項(xiàng)系數(shù)大于0,根的判別式小于0,函數(shù)值恒大于0),即+1>a?1，再由以a為底對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，從而可知m>n又∵當(dāng)a>1時(shí)2a顯然大于a?1，同上，可知p>n.綜上∴m>p>n.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，需要熟練掌握并能求解結(jié)果，本題較為基礎(chǔ).8.某班級(jí)有50名學(xué)生，期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，已，則的學(xué)生人數(shù)為（）A.5 B.10 C.20 D.30【答案】D【解析】【分析】由正態(tài)分布的對(duì)稱性求出，即可求出的學(xué)生人數(shù).【詳解】因期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，所以期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)關(guān)于對(duì)稱，則，所以，所以的學(xué)生人數(shù)為：人.故選：D.9.函數(shù)，關(guān)于x的方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得為方程的一個(gè)根，則當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)僅有一個(gè)交點(diǎn)，作出的圖象，結(jié)合圖象求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即關(guān)于x的方程始終有一個(gè)根為，當(dāng)時(shí)，由，得，由題意可知當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)僅有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示，由圖象可知，要使直線與函數(shù)僅有一個(gè)交點(diǎn)，則，或，或故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合問(wèn)題，考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可求得結(jié)果，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.10.已知，其中是虛數(shù)單位，那么實(shí)數(shù)_____．【答案】-1【解析】【分析】化簡(jiǎn)方程左邊，利用兩復(fù)數(shù)相等，得到方程組，求出的值.【詳解】故答案為：-111.某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考試，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問(wèn)題的概率分別為，，，且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響，則該選手被淘汰的概率為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】設(shè)事件表示“該選手能正確回答第輪的問(wèn)題”，選手被淘汰，考慮對(duì)立事件，代入的值，可得結(jié)果；【詳解】記“該選手能正確回答第輪的問(wèn)題”為事件，則.該選手被淘汰的概率：故答案為：【點(diǎn)睛】求復(fù)雜互斥事件概率的兩種方法：(1)直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和；(2)間接法：先求該事件的對(duì)立事件的概率，再由求解．當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問(wèn)題時(shí)，多考慮間接法．12.展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________．【答案】.【解析】【分析】利用通項(xiàng)公式即可得出．【詳解】通項(xiàng)公式Tr+1（x2）6﹣r（﹣1）rx12﹣3r，令12﹣3r＝0，解得r＝4．∴展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)15．故答案為15．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13.已知兩圓和相交于兩點(diǎn)，則直線的方程是_____．【答案】【解析】【詳解】試題分析：兩圓為①，②，可得，所以公共弦所在直線的方程為．考點(diǎn)：相交弦所在直線的方程14.已知，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.15.如圖所示，在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)（，交兩點(diǎn)不重合）.若，則________，若，，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算，以為基底，表示出，和已知等式比較，即可得的值，求得的值；結(jié)合已知用表示，結(jié)合三點(diǎn)共線可得，將化為，展開(kāi)后利用基本不等式，即可求得的最小值.【詳解】在中，，，則，故，故；又，而，，所以，則，又三點(diǎn)共線，所以，結(jié)合已知可知，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)，取等號(hào)；即的最小值為，故答案為：；【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若，則三點(diǎn)共線.三、解答題：本大題共5個(gè)小題，共75分.解答寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16.已知內(nèi)角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，且，，.（1）求角的大小；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用余弦定理得到，即可求出結(jié)果；（2）由（1）及條件，利用正弦定理即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)條件，求出，利用二倍角公式得到，，再利用正弦的差角公式即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，，由余弦定理得，又因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）知，又，，由正弦定理，可得.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)椋?，又，所以，所以，，?17.如圖，在長(zhǎng)方體中，、分別是棱,上的點(diǎn)，,（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）證明平面（3）求二面角的正弦值．【答案】（1）,（2）見(jiàn)解析（3）【解析】【詳解】方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè),依題意得,,,（1）解：易得,于是所以異面直線與所成角的余弦值為（2）證明：已知,,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面(3)解：設(shè)平面的法向量，則,即不妨令X=1,可得．由（2）可知，為平面的一個(gè)法向量．于是，從而所以二面角的正弦值為方法二：（1）解：設(shè)AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=鏈接B1C,BC1，設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1.故是異面直線EF與A1D所成的角，易知BM=CM=,所以,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為（2）證明：連接AC，設(shè)AC與DE交點(diǎn)N因?yàn)椋?，從而，又由?所以，故AC⊥DE,又因?yàn)镃C1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，從而AF⊥DE.連接BF，同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因?yàn)?，所以AF⊥平面A1ED(3)解：連接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在連接A1C1,A1F在．所以所以二面角A1-DE-F正弦值為18.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)的和為64.數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出，進(jìn)而求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用通項(xiàng)公式和已知條件求出，進(jìn)而求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求出，再利用分組求和法和等差數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解；（3）先得到，再利用裂項(xiàng)抵消法進(jìn)行求和.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，且，所以，解得，所以；設(shè)等比數(shù)列的公比為（），因?yàn)?，，所以，即，解得（舍去）或，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）得，則，則【小問(wèn)3詳解】由（1）得，則，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題中考察了數(shù)列求和的兩種采用方法，第二問(wèn)考察了并項(xiàng)求和法，第三問(wèn)考察了裂項(xiàng)抵消法，技巧性較強(qiáng).19.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，長(zhǎng)軸為4，且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的斜率；（3）若是橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦，且，判斷是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出，若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（3）是定值，定值為4【解析】【分析】（1）由離心率和長(zhǎng)軸，求出和，再由求得，即可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為：，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，分別表示出和，由列出方程，即可求出斜率值；（3）由弦長(zhǎng)公式表示出，再由是橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦，且，表示出，即可得出答案．【小問(wèn)1詳解】解：由離心率，長(zhǎng)軸為4，得，，所以，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．【小問(wèn)2詳解】由（1）得橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為：，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，由得，，則，，所以，因?yàn)?，所以，即，解得，故直線的斜率為．【小問(wèn)3詳解】是定值，理由如下，由（2）得：直線的方程為：，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，，，則，由是橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦，設(shè)，，直線的斜率為，則，由得，，且，得，所以，為定值．20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程：（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍；（3）證明：（，）.【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案；（2）利用分離參數(shù)法，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)