微積分 第七版 課件 一、二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)

后續(xù)內(nèi)容（上）

二元函數(shù)微分學(xué)一、二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)二、二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)三、二元函數(shù)的全微分四、二元函數(shù)的極值1本章思維導(dǎo)圖引導(dǎo)案例

元，問(wèn)兩種型號(hào)的鋼筆的產(chǎn)量各為多少時(shí)，企業(yè)利潤(rùn)最大？分析：此題討論兩種型號(hào)的筆的產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大，屬二元函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題，應(yīng)先根據(jù)問(wèn)題建立二元函數(shù)關(guān)系，再考慮二元函數(shù)求極值問(wèn)題．

4一

二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203掌握二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則理解二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)定義了解二元函數(shù)的概念能熟練計(jì)算二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)04一、二元函數(shù)已知變量x,y及z,當(dāng)變量x,y相互毫無(wú)聯(lián)系地在某個(gè)二元有序?qū)崝?shù)數(shù)組的非空集合D內(nèi)任取一組數(shù)值時(shí),若變量z符合對(duì)應(yīng)規(guī)則f的取值恒為唯一確定的實(shí)數(shù)值與之對(duì)應(yīng),則稱對(duì)應(yīng)規(guī)則f表示變量z為x,y的二元函數(shù),記作z=f(x,y)61.二元函數(shù)定義其中變量x,y稱為自變量,自變量x,y的取值范圍D稱為二元函數(shù)定義域二元函數(shù)z也稱為因變量,二元函數(shù)z的取值范圍稱為二元函數(shù)值域,記作G對(duì)應(yīng)規(guī)則f也稱為對(duì)應(yīng)關(guān)系或函數(shù)關(guān)系72.二元函數(shù)的表達(dá)式二元函數(shù)表達(dá)式主要有兩種:一種是z=f(x,y),稱為二元顯函數(shù)另一種是由方程式F(x,y,z)=0確定變量z為x,y的二元函數(shù),稱為二元隱函數(shù)83.二元函數(shù)的極限已知二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)附近有定義,當(dāng)點(diǎn)(x,y)無(wú)限接近于點(diǎn)(x0,y0)即(x,y)→(x0,y0)時(shí)若二元函數(shù)f(x,y)無(wú)限接近于常數(shù)A,則稱當(dāng)(x,y)→(x0,y0)時(shí)二元函數(shù)f(x,y)的極限為A,記作

94.二元函數(shù)的連續(xù)性已知二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處及其附近有定義,若有關(guān)系式

則稱二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù).105.二元連續(xù)函數(shù)若二元函數(shù)f(x,y)在區(qū)域E上每一點(diǎn)處都連續(xù),則稱二元函數(shù)f(x,y)在區(qū)域E上連續(xù),并稱二元函數(shù)f(x,y)為區(qū)域E上的二元連續(xù)函數(shù)對(duì)于二元函數(shù),若同時(shí)考慮兩個(gè)自變量都在變化,則它的變化比較復(fù)雜,不便于討論,于是分別討論只有一個(gè)自變量變化而引起的二元函數(shù)變化情況11二、二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)1.定義后.1已知二元函數(shù)z=f(x,y),若自變量x變化而自變量y不變化,這時(shí)所給二元函數(shù)化為自變量為x的一元函數(shù),其對(duì)自變量x的一階導(dǎo)數(shù)稱為二元函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量x的一階偏導(dǎo)數(shù),記作

12若自變量y變化而自變量x不變化,這時(shí)所給二元函數(shù)化為自變量為y的一元函數(shù),其對(duì)自變量y的一階導(dǎo)數(shù)稱為二元函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量y的一階偏導(dǎo)數(shù),記作

132.二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法由此可知:求二元函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量x的一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),把自變量y暫時(shí)看作常量,對(duì)自變量x求導(dǎo)數(shù)求二元函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量y的一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),把自變量x暫時(shí)看作常量,對(duì)自變量y求導(dǎo)數(shù)顯然,只需運(yùn)用一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)基本公式及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,就可以得到結(jié)果14例1求二元函數(shù)z=xy的一階偏導(dǎo)數(shù).解:求二元函數(shù)z對(duì)自變量x的一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),把自變量y暫時(shí)看作常量,于是z'x=(xy)'x=y(x)'x=y求二元函數(shù)z對(duì)自變量y的一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),把自變量x暫時(shí)看作常量,于是z'y=(xy)'y=x(y)'y=x15例2求二元函數(shù)z=x3+3x2y-y3的一階偏導(dǎo)數(shù)解:z'x=3x2+6xyz'y=3x2-3y216例3求二元函數(shù)z=xy的一階偏導(dǎo)數(shù)解:求二元函數(shù)z對(duì)自變量x的一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),把自變量y暫時(shí)看作常量,因而二元函數(shù)z=xy化為自變量為x的一元函數(shù),它屬于冪函數(shù),于是z'x=yxy-1求二元函數(shù)z對(duì)自變量y的一階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),把自變量x暫時(shí)看作常量,因而二元函數(shù)z=xy

化為自變量為y的一元函數(shù),它屬于指數(shù)函數(shù)于是z'y=xylnx17例4

根據(jù)一元復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,于是

18例5求二元函數(shù)z=e3x+2y的一階偏導(dǎo)數(shù)解:z'x=e3x+2y(3x+2y)'x=3e3x+2yz'y=e3x+2y(3x+2y)'y=2e3x+2y19例6求二元函數(shù)z=esinxcosy的一階偏導(dǎo)數(shù)解:z'x=esinx(sinx)'xcosy=esinxcosxcosyz'y=-esinxsiny203.求一階偏導(dǎo)數(shù)值若求二元函數(shù)z=f(x,y)在定義域上點(diǎn)(x0,y0)處的一階偏導(dǎo)數(shù)值f'x(x0,y0),f'y(x0,y0)則首先求出一階偏導(dǎo)數(shù)fx'(x,y),fy'(x,y)然后在一階偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y),f'y(x,y)的表達(dá)式中,自變量x,y分別用數(shù)x0,y0代入所得到的數(shù)值就是所求一階偏導(dǎo)數(shù)值,f'x(x0,y0),f'y(x0,y0)21例7

解:計(jì)算一階偏導(dǎo)數(shù)

在一階偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y)的表達(dá)式中,自變量x用數(shù)1代入、自變量y用數(shù)2代入,得到所求一階偏導(dǎo)數(shù)值

224.求二元隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)最后考慮二元隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù).已知方程式F(x,y,z)=0確定變量z為x,y的二元函數(shù)z=z(x,y)如何求二元函數(shù)z對(duì)自變量x,y的一階偏導(dǎo)數(shù)z'x,z'y?23二元函數(shù)與一元函數(shù)的情形類似,具體作法是:方程式F(x,y,z)=0等號(hào)兩端皆對(duì)自變量x或y求一階偏導(dǎo)數(shù),然后將含一階偏導(dǎo)數(shù)z'x或z'y的項(xiàng)都移到等號(hào)的左端,而將不含一階偏導(dǎo)數(shù)z'x或z'y的項(xiàng)都移到等號(hào)的右端經(jīng)過(guò)代數(shù)恒等變形,就得到一階偏導(dǎo)數(shù)z'x或z'y的表