備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第二章函數(shù)第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值

第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義.確定函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）2023北京T4；2021全國(guó)卷甲T4；2020全國(guó)卷ⅡT9本講每年必考，命題穩(wěn)定.命題熱點(diǎn)有討論函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小、解不等式、求最值等，也常與函數(shù)的奇偶性、周期性及對(duì)稱(chēng)性綜合命題.題型既有選擇題、填空題，也有解答題（常與導(dǎo)數(shù)綜合命題），單獨(dú)考查時(shí)難度不大，與導(dǎo)數(shù)綜合時(shí)難度中等偏上.預(yù)計(jì)2025年高考命題趨勢(shì)變化不大，備考時(shí)重點(diǎn)進(jìn)行常規(guī)題型訓(xùn)練，并適當(dāng)關(guān)注創(chuàng)新性命題.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用2023新高考卷ⅠT4；2023新高考卷ⅡT6；2020新高考卷ⅠT8；2020新高考卷ⅡT7；2019全國(guó)卷ⅢT11與函數(shù)的最值（值域）有關(guān)的問(wèn)題2022北京T141.函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減定義一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，區(qū)間I?D，如果?x1，x2∈I，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有①f（x1）＜f（x2），那么就稱(chēng)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增.特別地，當(dāng)函數(shù)f（x）在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱(chēng)它是增函數(shù).當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有②f（x1）＞f（x2），那么就稱(chēng)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞減.特別地，當(dāng)函數(shù)f（x）在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱(chēng)它是減函數(shù).圖象描述自左向右圖象是③上升的自左向右圖象是④下降的注意（1）一個(gè)函數(shù)的同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接.（2）“函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間為M”與“函數(shù)f（x）在區(qū)間N上單調(diào)”是兩個(gè)不同的概念，顯然N?M.（3）注意“增（減）函數(shù)”與“單調(diào)遞增（減）”的區(qū)別，只有在定義域上單調(diào)遞增（減），才能稱(chēng)它是增（減）函數(shù).規(guī)律總結(jié)1.函數(shù)單調(diào)性的兩個(gè)等價(jià)變形若?x1，x2∈D（x1≠x2），則（1）f（x1）－f（x2）x1－x2＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（（2）f（x1）－f（x2）x1－x2＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2.函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論（1）在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)；（2）當(dāng)f（x）≠0時(shí)，函數(shù)f（x）與－f（x），1f（3）復(fù)合函數(shù)y＝f（g（x））的單調(diào)性與y＝f（t），t＝g（x）的單調(diào)性有關(guān)，即“同增異減”.3.對(duì)勾函數(shù)y＝ax＋bx（a＞0，b＞0如圖，（1）單調(diào)性：增區(qū)間為（－∞，－ba），（ba，＋∞）；減區(qū)間（－ba，0），（0，（2）最值：當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y＝ax＋bx在x＝ba處取得最小值2ab；當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)y＝ax＋bx在x＝－ba處取得最大值注意對(duì)勾函數(shù)y＝ax＋bx（a＞0，b＞0）的圖象有兩條漸近線：x＝0，y＝ax2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件（1）?x∈D，都有⑤f（x）≤M；（2）?x0∈D，使得f（x0）＝M.（1）?x∈D，都有f（x）≥M；（2）?x0∈D，使得f（x0）＝M.結(jié)論M是函數(shù)f（x）的最大值.M是函數(shù)f（x）的⑥最小值.注意閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值，當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值一定在端點(diǎn)處取得.1.以下說(shuō)法正確的是（D）A.對(duì)于函數(shù)y＝f（x），若f（1）＜f（3），則f（x）為增函數(shù)B.函數(shù)y＝1x的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，0）∪（0，＋∞C.若函數(shù)y＝f（x）在[1，＋∞）上單調(diào)遞增，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞）D.閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間端點(diǎn)處取到2.[教材改編]函數(shù)y＝｜x｜－1的單調(diào)遞減區(qū)間為（B）A.（0，＋∞） B.（－∞，0） C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞）3.[教材改編]y＝2x+1x－3的值域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（解析y＝2x+1x－3＝2（x－3）+7x－3＝2＋7x－3，顯然7x4.y＝2x－x－1的值域?yàn)閇158，＋∞解析設(shè)t＝x－1，則x＝t2＋1，且t≥0，所以y＝2（t2＋1）－t＝2（t－14）2＋158，由t≥0，可得函數(shù)的值域?yàn)閇15研透高考明確方向命題點(diǎn)1確定函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）例1（1）[2023北京高考]下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞增的是（C）A.f（x）＝－lnx B.f（x）＝1C.f（x）＝－1x D.f（x）＝3｜x－解析對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)y＝lnx在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）＝－lnx在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，所以A不符合要求；對(duì)于B，因?yàn)閒（x）＝12x＝（12）x在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，所以B不符合要求；對(duì)于C，由反比例函數(shù)的圖象可知，f（x）＝－1x在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以C符合要求；對(duì)于D，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＝3｜x-1｜＝31-x在（0，1）上單調(diào)遞減，所以D（2）[全國(guó)卷Ⅱ]函數(shù)f（x）＝ln（x2－2x－8）的單調(diào)遞增區(qū)間是（D）A.（－∞，－2） B.（－∞，1）C.（1，＋∞） D.（4，＋∞）解析由x2－2x－8＞0，得x＜－2或x＞4.因此，函數(shù)f（x）＝ln（x2－2x－8）的定義域是（－∞，－2）∪（4，＋∞）.（先求函數(shù)f（x）的定義域）易知函數(shù)y＝x2－2x－8在（－∞，－2）上單調(diào)遞減，在（4，＋∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)y＝lnt為（0，＋∞）上的增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，f（x）＝ln（x2－2x－8）的單調(diào)遞增區(qū)間是（4，＋∞）.故選D.（3）討論函數(shù)f（x）＝axx－1（a≠0）在（－1，解析解法一（導(dǎo)數(shù)法）f'（x）＝a（x－1當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（－1，1）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＜0時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（－1，1）上單調(diào)遞增.解法二（定義法）設(shè)－1＜x1＜x2＜1，f（x）＝a（x－1+1x－1）＝a（1＋1x－f（x2）＝a（1＋1x1－1）－a（1＋1由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故當(dāng)a＞0時(shí)，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函數(shù)f（x）在（－1，1）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函數(shù)f（x）在（－1，1）上單調(diào)遞增.方法技巧判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法（1）定義法；（2）圖象法；（3）導(dǎo)數(shù)法；（4）性質(zhì)法.訓(xùn)練1（1）函數(shù)g（x）＝x·｜x－1｜＋1的單調(diào)遞減區(qū)間為（B）A.（－∞，12] B.[12，C.[1，＋∞） D.（－∞，12）∪[1，＋∞）解析g（x）＝x·｜x－1｜＋1＝x2－x+1，x≥（2）[多選]下列函數(shù)在（0，＋∞）上單調(diào)遞增的是（ABC）A.y＝ex－e－x B.y＝lgx2C.y＝2x＋2cosx D.y＝x解析∵y＝ex與y＝－e－x均為R上的增函數(shù)，∴y＝ex－e－x為R上的增函數(shù)，故A正確；當(dāng)x＞0時(shí)，y＝lgx2＝2lgx，此時(shí)函數(shù)在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，y'＝2－2sinx≥0，∴y＝2x＋2cosx在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，故C正確；y＝x2＋x－2的定義域?yàn)椋ǎ?，?]∪[1，＋∞），故命題點(diǎn)2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度1比較大小例2（1）[2024廈門(mén)市湖濱中學(xué)模擬改編]已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x＋2）＝f（x），且當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x1）－f（x2）x1－x2＞0（xf（112）的大小關(guān)系是（AA.f（－152）＞f（4）＞f（112） B.f（－152）＞f（112）＞C.f（112）＞f（4）＞f（－152） D.f（4）＞f（112）＞f（解析因?yàn)閤∈[0，1）時(shí)，f（x1）－f（x2）x1－x2f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）在（－1，1）上單調(diào)遞增.由f（x＋2）＝f（x）可得f（x）的周期為2，所以f（－152）＝f（－152＋2×4）＝f（12），f（4）＝f（0），f（112）＝f（112－2×3）＝f（－12），所以f（12）＞f（0）＞f（－12），即f（－152）＞f（4（2）[2024吉林長(zhǎng)春東北師大附中校考改編]函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞），對(duì)于?x，y∈（0，＋∞），f（xy）＝f（x）＋f（y），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0.則a＝f（sin3），b＝f（ln3），c＝f（21.5）的大小關(guān)系是（A）A.a＞b＞c B.a＞c＞bC.b＞c＞a D.c＞b＞a解析設(shè)?x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，則x2x1＞1，f（x2x1）＜0.因?yàn)閒（x2）－f（x2x1·x1）－f（x1）＝f（x2x1）＜0，所以f（x2）＜f（x1），即f（x）為減函數(shù).因?yàn)?＜sin3＜1＜ln3＜2＜21.5，所以f（sin3）＞f（ln3）＞f（21.5），即a方法技巧利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的方法比較函數(shù)值的大小時(shí)，應(yīng)先將自變量的值轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用函數(shù)的單調(diào)性求解.角度2求解不等式例3（1）[全國(guó)卷Ⅰ]函數(shù)f（x）在（－∞，＋∞）上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若f（1）＝－1，則滿足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范圍是（D）A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3]解析∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且f（1）＝－1，∴f（－1）＝－f（1）＝1，由－1≤f（x－2）≤1，得f（1）≤f（x－2）≤f（－1），（將常數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值）又函數(shù)f（x）在（－∞，＋∞）上單調(diào)遞減，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故選D.（2）[2024安徽名校聯(lián)考]設(shè)函數(shù)f（x）＝x2－12｜x｜+1，則滿足f（x＋2）＞f（2x－3）的xA.（－∞，5） B.（13，＋∞C.（13，5） D.（－∞，13）∪（5，解析f（x）＝x2－12｜x｜+1的定義域?yàn)镽，∵f（－x）＝（－x）2－12f（x），∴f（x）為偶函數(shù).由f（x＋2）＞f（2x－3）可得f（｜x＋2｜）＞f（｜2x－3｜），又當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x2－12x+1單調(diào)遞增，∴｜x＋2｜＞｜2x－3｜，即（x＋2）2＞（2x－3）2，解得13＜x方法技巧利用函數(shù)的單調(diào)性求解或證明不等式的策略（1）將不等式轉(zhuǎn)化為f（x1）＞f（x2）的形式，（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性“脫去”函數(shù)符號(hào)“f”化為形如“x1＞x2”或“x1＜x2”的不等式求解，注意必須在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行.若不等式一邊沒(méi)有“f”，而是常數(shù)，則應(yīng)將常數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值.角度3已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍例4（1）[2023新高考卷Ⅰ]設(shè)函數(shù)f（x）＝2x（x－a）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（D）A.（－∞，－2] B.[－2，0）C.（0，2] D.[2，＋∞）解析由題意得y＝x（x－a）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，所以a2≥1，解得a≥2.故選（2）[2023江蘇省響水中學(xué)檢測(cè)]已知函數(shù)f（x）＝｜x－a+3|,x≥1，A.（0，1） B.（3，6） C.（1，4] D.（1，2]解析∵函數(shù)f（x）＝｜x－a+3|,x≥1，logax，0<x<1在其定義域上單調(diào)遞增，∴a>1，a－3≤1方法技巧已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)建含參數(shù)的方程（組）或不等式（組）進(jìn)行求解，或先得到圖象的升降情況，再結(jié)合圖象求解.注意若分段函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則不僅要各段上函數(shù)單調(diào)性一致，還要在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)，即要注意分界點(diǎn)處的函數(shù)值大小.訓(xùn)練2（1）[2024浙江省寧波市育才高級(jí)中學(xué)模擬]已知函數(shù)f（x）＝12－ax在[0，1）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（A.（0，2] B.（0，2）C.（0，＋∞） D.（－∞，0）解析設(shè)t＝2－ax，由已知易知t＝2－ax在[0，1）上單調(diào)遞減，且在區(qū)間[0，1）上大于零恒成立，所以a>0，－a+2≥0?0＜（2）[2023江蘇南京模擬]已知f（x）＝ex－4，x≤4f（2x）與f（x2）的大小關(guān)系是（B）A.f（2x）≤f（x2） B.f（2x）≥f（x2）C.f（2x）＝f（x2） D.不確定解析由函數(shù)f（x）＝ex－4，x（－∞，4）上單調(diào)遞增，在[4，16]上單調(diào)遞減，在（16，＋∞）上單調(diào)遞增，作出函數(shù)y＝2x和y＝x2的圖象，如圖所示.當(dāng)x≥0時(shí)，令2x＝x2，得x＝2或x＝4.結(jié)合圖象可知，當(dāng)0≤x＜2時(shí)，4＞2x＞x2≥0，則f（2x）＞f（x2），當(dāng)2≤x≤4時(shí)，4≤2x≤x2≤16，則f（2x）≥f（x2），當(dāng)x＞4時(shí)，2x＞x2＞16，則f（2x）＞f（x2）.綜上所述，當(dāng)x≥0時(shí)，f（2x）≥f（x2）.故選B.（3）[2023山東模擬]不等式x6－（2x＋3）＞（2x＋3）3－x2的解集是（A）A.（－∞，－1）∪（3，＋∞）B.（－1，3）C.（－3，1）D.（－∞，－3）∪（1，＋∞）解析由不等式x6－（2x＋3）＞（2x＋3）3－x2，得（x2）3＋x2＞（2x＋3）3＋（2x＋3）.設(shè)函數(shù)f（t）＝t3＋t，易知f（t）在R上單調(diào)遞增，因?yàn)閒（x2）＞f（2x＋3），所以x2＞2x＋3，解得x＞3或x＜－1.故選A.命題點(diǎn)3與函數(shù)的最值（值域）有關(guān)的問(wèn)題例5（1）函數(shù)f（x）＝x2－x+1x的值域?yàn)椋ǎ?，?]∪[解析f（x）＝x2－x+1x＝x－1＋1x，由對(duì)勾函數(shù)y＝x＋1x的圖象可知，－2]∪[2，＋∞），所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋ǎ?，?]∪[1，＋∞）.命題拓展[變條件]函數(shù)f（x）＝x2－x+1x+1的值域?yàn)椋ǎ?，?3－3]∪[23解析令x＋1＝t（t≠0），則x2－x+1x+1＝（t－1）2－（t－1）+1t＝t2－3t+3t＝t－3＋3t，由對(duì)勾函數(shù)y＝t＋3t的圖象可知，t＋3t∈（－∞，－23]∪[（2）[2022北京高考]設(shè)函數(shù)f（x）＝－ax+1,x＜a，（x－2）2，x≥a.若解析當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f（x）＝1，x<0，（x－2）2，x≥0，存在最小值0，所以a的一個(gè)取值可以為0；當(dāng)a＜0時(shí)，若x＜a，則f（x）＝－ax＋1，此時(shí)函數(shù)f（x）不可能存在最小值；當(dāng)0＜a≤2時(shí)，若x＜a，則f（x）＝－ax＋1，此時(shí)f（x）∈（－a2＋1，＋∞），若x≥a，則f（x）＝（x－2）2∈[0，＋∞），若函數(shù)f（x）存在最小值，則－a2＋1≥0，得0＜a≤1；當(dāng)a＞2時(shí)，若x＜a，則f（x）＝－ax＋1，此時(shí)f（x）∈（－a2＋1，＋∞），若x≥a，則f（