2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)-等式與不等式（附答案）

2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)——等式與不等式?jīng)Q勝2024年高考數(shù)學(xué)專項特訓(xùn):等式與不等式（解答題篇）1．已知直線分別交軸、軸的正半軸于點A，B，O為坐標原點．(1)若，求實數(shù)的值；(2)求的最小值．2．已知(1)當(dāng)時，解不等式：(2)對不同的值，討論的奇偶性；3．已知．(1)當(dāng)時，解不等式；(2)若關(guān)于x的方程在區(qū)間內(nèi)恰有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．4．已知集合，，集合為函數(shù)的定義域，全集為實數(shù)集R.(1)求，；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.5．設(shè)全集，集合，集合，其中.(1)當(dāng)時，求；(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．6．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，解不等式；(2)若，的解集為，求最小值.7．設(shè)集合，若關(guān)于的不等式的解集為.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求關(guān)于的不等式的解集，其中.8．已知，不等式的解集是.(1)求的解析式；(2)不等式組的正整數(shù)解僅有個，求實數(shù)取值范圍；(3)若對于任意，不等式恒成立，求的取值范圍.9．已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明.10．已知函數(shù)．(1)試問在和這兩個區(qū)間內(nèi)是否都有零點？說明你的理由．(2)若方程只有兩個不同的實數(shù)解，比較與的大?。?1．已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑．(1)當(dāng)，求其弧所在弓形的面積．(2)若該扇形的面積為，當(dāng)它的圓心角和半徑取何值時，該扇形的周長最??？最小值是多少？12．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)若，求的取值范圍.13．已知不等式的解集為或.(1)求的值；(2)解不等式.14．已知關(guān)于x的不等式的解集為或（）.(1)求a，b的值；(2)當(dāng)，，且滿足時，有恒成立，求k的取值范圍.15．某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元，為了增加企業(yè)競爭力，決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整出名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整出的員工平均每人每年創(chuàng)造利潤為萬元，剩余員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高.(1)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)？(2)在（1）的條件下，若調(diào)整出的員工創(chuàng)造的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤，則的取值范圍是多少？16．電動汽車革命已經(jīng)成為全球汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的新趨勢.2018年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本2500萬元，每生產(chǎn)x（百輛），需投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每輛車售價5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出2018年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系；（利潤=銷售額-成本）(2)2018年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.17．某市為爭創(chuàng)文明衛(wèi)生城市，實行生活垃圾分類處理，將生活垃圾分為“廚余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃圾”和“其他垃圾”四類，某企業(yè)在市科研部門的支持下進行研究，把廚余垃圾加工處理為一種可銷售的產(chǎn)品．已知該企業(yè)每周的加工處理量最少為110噸，最多為150噸．周加工處理成本（元）與周加工處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，且每加工處理一噸廚余垃圾得到的產(chǎn)品售價為18元．(1)該企業(yè)每周加工處理量為多少噸時，才能使每噸產(chǎn)品的平均加工處理成本最低？(2)該企業(yè)每周能否獲利？如果獲利，求出利潤的最大值；如果不獲利，則市政府至少需要補貼多少元才能使該企業(yè)不虧損？18．某公司決定對旗下的某商品進行一次評估，該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進行全面技術(shù)革新和銷售策略調(diào)整，并提高定價到x元.公司擬投入萬元.作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價.

答案：1．(1)(2)【分析】（1）由題意可得結(jié)合是直角三角形，可知M為AB的中點，由此即可得解.（2）設(shè)直線AB的方程可寫成，將代入得，結(jié)合基本不等式即可得解，注意取等條件.【詳解】（1）由題意易得直線AB過定點，又，且，則，而是直角三角形，故M為AB的中點，故，故．（2）設(shè)，，其中，，則直線AB的方程可寫成，將代入得，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，亦即時取等號，故的最小值為．2．(1)(2)詳見解析【分析】（1）由不等式即為，利用一元二次不等式的解法求解；（2）利用函數(shù)奇偶性的定義求解.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，則不等式即為，即，解得，所以，所以不等式的解集為：（2）若為奇函數(shù)，則恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，所以；若為偶函數(shù)，則恒成立，即恒成立，即恒成立，所以，當(dāng)時，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，3．(1)(2)【分析】（1）利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)直接解不等式即可；（2）先轉(zhuǎn)化方程為，利用二次函數(shù)的零點分布計算即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，∵在上單調(diào)遞增，∴，解之得，∴不等式的解集為．（2）關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有一個實數(shù)解，化簡方程得，即方程在區(qū)間內(nèi)恰有一個實數(shù)解，即方程在區(qū)間內(nèi)恰有一個實數(shù)解，且，即方程區(qū)間內(nèi)恰有一個實數(shù)解，且，故有，解得．4．(1)，或(2)【分析】（1）解不等式，得到，利用并集和補集的概念進行求解；（2）根據(jù)交集結(jié)果得到包含關(guān)系，由定義域得到，分三種情況，得到不等式的解集，并根據(jù)包含關(guān)系得到不等式，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），解得，故，，故，解得，故，所以，或；（2），故，令，當(dāng)，即時，的解集為，此時不符合函數(shù)定義域為非空數(shù)集的要求，不合題意；當(dāng)，即時，不等式解集為，要想，則，解得，結(jié)合，可得；當(dāng)，即時，不等式解集為，要想，則，解得，結(jié)合，可得，綜上，實數(shù)的取值范圍是.5．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)分式不等式以及一元二次不等式的求解，根據(jù)補集與交集的運算，可得答案；（2）根據(jù)必要不充分條件的集合表示，建立不等式，可得答案.【詳解】（1）由得：，解得：，則，；當(dāng)時，，解得，則；.（2）由（2）知：；由,解得：，即，因為是的必要不充分條件，是的真子集，且等號不會同時取到，解得，即實數(shù)的取值范圍為.6．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法計算即可；（2）由已知可得方程的解為，且，利用韋達定理求出，再根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，即，解得或，所以不等式的解集為；（2）因為的解集為，所以方程的解為，且，則，因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以最小值為.7．(1)詳見解析；(2)或.【分析】（1）先化簡集合A，再根據(jù)關(guān)于的不等式的解集為，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解；（2）由（1）化簡不等式為求解.【詳解】（1）解：集合，因為關(guān)于的不等式的解集為，所以，則；（2）由（1）知：關(guān)于的不等式即為：，即為，即為，解得：或，所以不等式的解集為：或.8．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)不等式的解集與方程之間的關(guān)系可知，、是一元二次方程的兩個實數(shù)根，利用韋達定理求出、的值，即可得出函數(shù)的解析式；（2）解不等式組，分析可知，該不等式的整數(shù)解為、，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可；（3）由題意可知，對任意，不等式很成立，分、、三種情況討論，在第一種情況下，直接驗證即可；在后面兩種情況下，結(jié)合二次函數(shù)基本性質(zhì)可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：因為，不等式的解集是，所以、是一元二次方程的兩個實數(shù)根，由韋達定理可得，解得，所以.（2）解：不等式組，即，解得，因為原不等式組的正整數(shù)解僅有個，可得該正整數(shù)解為、，可得到，解得，則實數(shù)取值范圍是.（3）解：因為對任意，不等式恒成立，所以，當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，二次函數(shù)的對稱軸方程為，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以只需滿足，解得；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以只需滿足，解得.綜上，的取值范圍是.9．(1)2(2)在上單調(diào)遞增，證明見解析【分析】（1）利用基本不等式求解；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義判斷并證明即可.【詳解】（1）因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為2.（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：令，則.因為，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.10．(1)在和這兩個區(qū)間內(nèi)都有零點，理由見解析(2)【分析】（1）利用零點存在定理進行判斷即可得解；（2）利用換元法，結(jié)合對數(shù)的運算得到是方程的兩個實數(shù)解，再利用奇函數(shù)的對稱性推得，從而利用基本不等式即可得解.【詳解】（1）在和這兩個區(qū)間內(nèi)都有零點，理由如下：因為，所以，，，，則，，所以在和這兩個區(qū)間內(nèi)都有零點.（2）因為，則由，得，即令，則，即，兩邊取對數(shù)，得，則，因為是方程的兩個不同的實數(shù)解，所以是方程的兩個實數(shù)解，則是與的圖象的兩個交點的橫坐標，對于，有，解得或，則其定義域為，又，所以是上的奇函數(shù)，易知是上的奇函數(shù)，所以與的圖象的兩個交點關(guān)于原點對稱，則，故，即，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以.關(guān)鍵點睛：本題第2小問解決的關(guān)鍵是利用換元法，將問題轉(zhuǎn)化為是與的圖象的兩個交點的橫坐標，從而利用奇函數(shù)的對稱性即可得解.11．(1)(2)當(dāng)扇形圓心角為，半徑為時，該扇形的周長最小，最小為.【分析】（1）由扇形面積公式可得扇形面積，再減去三角形面積即可得所求弓形面積；（2）由扇形面積公式，得(定值)，利用基本不等式求周長即的最小值即可.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時，扇形面積；如圖，扇形中，連接，則，所以是正三角形，則，故所求弓形面積為；（2）設(shè)扇形弧長為，由已知扇形的面積，則，則扇形的周長，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時半徑為，圓心角，該扇形的周長最小，最小為.12．(1)(2).【分析】（1）首先得函數(shù)表達式，然后對分類討論解絕對值不等式即可得解.（2）直接由公式法解絕對值不等式即可得解.【詳解】（1）因為，所以.當(dāng)時，原不等式轉(zhuǎn)化為，解得；當(dāng)時，原不等式轉(zhuǎn)化為，解得；當(dāng)時，原不等式轉(zhuǎn)化為，解得.綜上所述，原不等式的解集為.（2），由，得，解得或，即的取值范圍為.13．(1)(2)答案見解析【分析】（1）由題意可得，且方程的解為，結(jié)合韋達定理即可得解；（2）分三種情況討論即可得解.【詳解】（1）因為不等式的解集為或，所以，且方程即方程的解為，所以，所以；（2）由（1）得不等式即，即，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.14．(1)，(2)【分析】（1）方法一：根據(jù)不等式的解集為或，由1和b是方程的兩個實數(shù)根且，利用韋達定理求解；方法二：根據(jù)不等式的解集為或，由1和b是方程的兩個實數(shù)根且，將1代入求解.（2）易得，再利用“1”的代換，利用基本不等式求解.【詳解】（1）解：方法一：因為不等式的解集為或，所以1和b是方程的兩個實數(shù)根且，所以，解得方法二：因為不等式的解集為或，所以1和b是方程的兩個實數(shù)根且，由1是的根，有，將代入，得或，∴；（2）由（1）知，于是有，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，依題意有，即，得，所以k的取值范圍為.15．(1)500名(2)【分析】（1）求出剩下名員工創(chuàng)造的利潤列不等式求解；（2）根據(jù)題意得到，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意得：，即，又，所以.即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè).（2）從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為萬元，從事原來產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤為萬元，則所以所以，即恒成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以，又，所以，即的取值范圍為.16．(1)(2)當(dāng)2018年產(chǎn)量為100百輛時，該企業(yè)獲得的利潤最大，最大利潤為1800萬元【分析】（1）利用題中給定分段函數(shù)及利潤等于銷售額減去成本即可求解；（2）利用二次函數(shù)及基本不等式求出各段的最大值，再比較大小即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意，當(dāng)時，；當(dāng)時，；故；（2）根據(jù)題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則有；由，故；故當(dāng)時，即當(dāng)2018年產(chǎn)量為為100百輛時，該企業(yè)獲得的利潤最大，最大利潤為1800萬元.17．(1)120噸(2)不獲利，市政府至少需要補貼1345元【分析】（1）由題可得每噸產(chǎn)品平均加工成本關(guān)于每周加工處理量的表達式，后由基本不等式可得答案；（2）由題可得獲利關(guān)于每周加工處理量表達式，判斷其最大值與0的大小，即可判斷是否獲利.【詳解】（1）設(shè)每噸產(chǎn)品的平均加工處理成本為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故每周加工處理量為120噸時，平均加工處理成本最低．（2）設(shè)該企業(yè)每周獲利元，則,故當(dāng)噸時，，所以該企業(yè)每