2023-2024學年高考數(shù)學專項復習-計數(shù)原理與概率統(tǒng)計（附答案）

2023-2024學年高考數(shù)學專項復習——計數(shù)原理與概率統(tǒng)計決勝2024年高考數(shù)學專項特訓:計數(shù)原理與概率統(tǒng)計（解答題篇）1．鎮(zhèn)安大板栗又稱中國甘栗、東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營養(yǎng)豐富而著稱于世.現(xiàn)從某板栗園里隨機抽取部分板栗進行稱重（單位：克），將得到的數(shù)據(jù)按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示.(1)請估計該板栗園的板栗質量的中位數(shù)；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質量在[40，50）和[70，80]內的板栗中抽取10顆，再從這10顆板栗中隨機抽取4顆，記抽取到的特等板栗（質量≥70克）的個數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望.2．杭州第19屆亞運會，中國代表團共獲得201金111銀71銅，共383枚獎牌，金牌數(shù)超越2010年廣州亞運會的199枚，標志著我國體育運動又有了新的突破.某大學從全校學生中隨機抽取了130名學生，對其日常參加體育運動情況做了調查，其中是否經常參加體育運動的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：經常參加不經常參加男生6020女生4010(1)利用頻率估計概率，現(xiàn)從全校女生中隨機抽取5人，求其中恰有2人不經常參加體育運動的概率；(2)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為是否經常參加體育運動與性別有關聯(lián).參考公式.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8283．某學校有高中學生500人，其中男生300人，女生200人．有人為了獲得該校全體高中學生的身高信息，采用分層抽樣的方法抽取樣本，并觀測樣本的指標值（單位：），計算得男生樣本的均值為170，方差為17，女生樣本的均值為160，方差為30．(1)根據(jù)以上信息，能夠計算出總樣本的均值和方差嗎？為什么？(2)如果已知男、女樣本量按比例分配，你能計算出總樣本的均值和方差各為多少吧？4．一個問題，甲正確解答的概率為，乙正確解答的概率為.記事件甲正確解答，事件乙正確解答.假設事件與相互獨立.(1)求恰有一人正確解答問題的概率；(2)某同學解“求該問題被正確解答的概率”的過程如下：解：“該問題被正確解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正確解答了問題”，所以隨機事件“問題被正確解答”可以表示為.所以.請你指出這位同學錯誤的原因，并給出正確解答過程.5．某學校為了學習、貫徹黨的二十大精神，組織了“二十大精神”知識比賽，甲、乙兩位教師進行答題比賽，每局只有1道題目，比賽時甲、乙同時回答這一個問題，若一人答對且另一人答錯，則答對者獲得10分，答錯者得分；若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分．根據(jù)以往答題經驗，每道題甲、乙答對的概率分別為，且甲、乙答對與否互不影響，每次答題的結果也互不影響．(1)求在一局比賽中，甲的得分的分布列與數(shù)學期望；(2)設這次比賽共有3局，若比賽結束時，累計得分為正者最終獲勝，求乙最終獲勝的概率．6．為了解顧客對五種款式運動鞋的滿意度，廠家隨機選取了2000名顧客進行回訪，調查結果如表：運動鞋款式ABCDE回訪顧客（人數(shù)）700350300250400滿意度注：1．滿意度是指：某款式運動鞋的回訪顧客中，滿意人數(shù)與總人數(shù)的比值；2．對于每位回訪顧客，只調研一種款式運動鞋的滿意度．假設顧客對各款式運動鞋是否滿意相互獨立，用顧客對某款式運動鞋的滿意度估計對該款式運動鞋滿意的概率．(1)從所有的回訪顧客中隨機抽取1人，求此人是C款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率；(2)從A、E兩種款式運動鞋的回訪顧客中各隨機抽取1人，設其中滿意的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；(3)用“”和“”分別表示對A款運動鞋滿意和不滿意，用“”和“”分別表示對B款運動滿意和不滿意，試比較方差與的大?。ńY論不要求證明）7．某人從地到地有路程接近的2條路線可以選擇，其中第一條路線上有個路口，第二條路線上有個路口.(1)若，，第一條路線的每個路口遇到紅燈的概率均為；第二條路線的第一個路口遇到紅燈的概率為，第二個路口遇到紅燈的概率為，從“遇到紅燈次數(shù)的期望”考慮，哪條路線更好？請說明理由.(2)已知；隨機變量服從兩點分布，且，.則，且.若第一條路線的第個路口遇到紅燈的概率為，當選擇第一條路線時，求遇到紅燈次數(shù)的方差.8．中華文化源遠流長，為了讓青少年更好地了解中國的傳統(tǒng)文化，某培訓中心計劃利用暑期開設“圍棋”、“武術”、“書法”、“剪紙”、“京劇”、“刺繡”六門體驗課程．(1)若體驗課連續(xù)開設六周，每周一門，求“京劇”和“剪紙”課程排在不相鄰的兩周的所有排法種數(shù)；(2)現(xiàn)有甲、乙、丙三名學生報名參加暑期的體驗課程，每人都選兩門課程，甲和乙有一門共同的課程，丙和甲、乙的課程都不同，求所有選課的種數(shù)；(3)計劃安排A、B、C、D、E五名教師教這六門課程，每門課程只由一名教師任教，每名教師至少任教一門課程，教師A不任教“圍棋”課程，教師B只能任教一門課程，求所有課程安排的種數(shù)．9．根據(jù)張桂梅校長真實事跡拍攝的電影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某數(shù)學組有3名男教師和2名女教師相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．求：(1)2名女教師必須坐在一起的坐法有多少種？(2)2名女教師互不相鄰的坐法有多少種？10．綿陽市37家A級旅游景區(qū)，在2023年國慶中秋雙節(jié)期間，接待人數(shù)和門票收入大幅增長．綿陽某旅行社隨機調查了市區(qū)100位市民平時外出旅游情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：喜歡旅游不喜歡旅游總計男性203050女性302050總計5050100(1)能否有的把握認為喜歡旅游與性別有關？(2)將頻率視為概率，從全市男性市民中隨機抽取2人進行訪談，記這2人中喜歡旅游的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望．附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82811．某商家2023年1月至7月商品的月銷售量的數(shù)據(jù)如下圖所示，若月份與商品的月銷售量存在線性關系.

(1)求月份與商品的月銷售量的回歸直線方程；(2)若規(guī)定月銷售量大于35的月份為合格月，在合格月中月銷售量低于50的視為良好，記5分，月銷售量不低于50的視為優(yōu)秀，記10分，從合格月中任取3個月，用表示賦分之和，求的分布列和數(shù)學期望.參考公式：回歸直線方程，其中.12．聊天機器人（chatterbot）是一個經由對話或文字進行交談的計算機程序.當一個問題輸入給聊天機器人時，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結果進行應答.在對某款聊天機器人進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則應答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語法錯誤，則應答被采納的概率為30%.假設每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為10%.(1)求一個問題的應答被采納的概率；(2)在某次測試中，輸入了8個問題，每個問題的應答是否被采納相互獨立，記這些應答被采納的個數(shù)為，事件（）的概率為，求當最大時的值.13．某班社會實踐小組在寒假去書店體驗圖書銷售員工作，并對某圖書定價x(元)與當天銷量y(本/天)之間的關系進行調查，得到了一組數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)變量大致呈線性關系，數(shù)據(jù)如下表所示定價x（元）681012銷量y（本/天）141187參考數(shù)據(jù)：，參考公式：回歸方程中斜率的最小二乘估計值公式為(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出y關于x的回歸直線方程；(2)根據(jù)回歸直線方程，預測當該圖書每天的銷量為4本時，該圖書的定價是多少元？14．俗話說：“人配衣服，馬配鞍”．合理的穿搭會讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的感覺．張老師準備參加某大型活動，他選擇服裝搭配的顏色規(guī)則如下：將一枚骰子連續(xù)投擲兩次，兩次的點數(shù)之和為3的倍數(shù)，則稱為“完美投擲”，出現(xiàn)“完美投擲”，則記；若擲出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則稱為“不完美投擲”，出現(xiàn)“不完美投擲”，則記；若，則當天穿深色，否則穿淺色．每種顏色的衣物包括西裝和休閑裝，若張老師選擇了深色，再選西裝的可能性為，而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為．(1)求出隨機變量的分布列，并求出期望及方差；(2)求張老師當天穿西裝的概率．15．已知一個盒子中裝有1個黑球和2個白球，這些球除顏色外全部相同.每次從盒子中隨機取出1個球，并換入1個黑球，記以上取球換球活動為1次操作.設次操作后盒子中所剩黑球的個數(shù)為.(1)當時，求的分布列；(2)當時，求的分布列和數(shù)學期望.16．數(shù)字鄉(xiāng)村是鄉(xiāng)村振興的戰(zhàn)略方向，也是建設數(shù)字中國的重要內容.從鄉(xiāng)村民宿到旅游演藝，新技術應用帶來了鄉(xiāng)村文化旅游新體驗.某平臺為了助力數(shù)字鄉(xiāng)村發(fā)展，決定從100名員工中挑選30名員工組建“數(shù)字鄉(xiāng)村發(fā)展部”，對這100名員工的各項素質進行綜合評分，得到如下頻數(shù)分布表：分數(shù)頻數(shù)10304020(1)在下圖中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，(2)估計這100名員工各項素質分數(shù)的平均數(shù)與方差；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）(3)若該平臺準備挑選成績較好的員工組建“數(shù)字鄉(xiāng)村發(fā)展部”，則被挑選的員工分數(shù)不低于多少？17．為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為45元，其余3個均為15元，求顧客所獲的獎勵額為60元的概率；(2)商場對獎勵總額的預算是30000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請從如下兩種方案中選擇一種，并說明理由.方案一：袋中的4個球由2個標有面值15元和2個標有面值45元的兩種球組成；方案二：袋中的4個球由2個標有面值20元和2個標有面值40元的兩種球組成.18．某超市計劃按天從廠家訂購酸奶，每瓶進價為4元，零售價為6元，若進貨不足，則該超市以每瓶5元的價格進行補貨，若銷售有余，則廠家以3元回購，為此該超市收集并整理了30天這種酸奶的銷售記錄，得到了如下數(shù)據(jù)：銷售瓶數(shù)2030405060頻數(shù)361263以頻率代替概率，記為這家超市每天銷售該酸奶的瓶數(shù)，表示超市每天購進該酸奶的瓶數(shù).(1)求的分布列和數(shù)學期望；(2)以銷售該酸奶所得的利潤的期望為決策依據(jù)，在和之中選一個，應選用哪個？

答案：1．(1)57.5(2)分布列見解析，【分析】（1）先通過分析確定中位數(shù)在內；再設中位數(shù)為，列出方程求解即可.（2）先根據(jù)分層抽樣確定從質量在內的板栗中抽取顆，從質量在內的板栗中抽取顆；再寫出的所有可能取值并計算相應的概率，列出分布列并根據(jù)數(shù)學期望公式可得出答案．【詳解】（1）因為，所以該板栗園的板栗質量的中位數(shù)在內．設該板栗園的板栗質量的中位數(shù)為，則，解得，所以該板栗園的板栗質量的中位數(shù)約為57.5．（2）由題意可知采用分層抽樣的方法從質量在內的板栗中抽取顆，從質量在內的板栗中抽取顆．的所有可能取值為．，，．從而的分布列為01234故．2．(1)；(2)經常參加體育運動與性別沒有關聯(lián).【分析】（1）由題設知抽取到不經常參加體育運動的女生人數(shù)服從，應用二項分布概率求法求概率；（2）寫出列聯(lián)表，應用卡方公式求卡方值，根據(jù)獨立檢驗基本思想得到結論.【詳解】（1）由表格知：經常參加與不經常參加體育運動的女生比例為，所以，抽取到不經常參加體育運動的女生人數(shù)服從，故恰有2人不經常參加體育運動的概率.（2）由題設得列聯(lián)表如下：經常參加不經常參加男生602080女生40105010030130故，所以，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗認為經常參加體育運動與性別沒有關聯(lián).3．(1)不能，因為題目沒有給出男、女生的樣本量(2)均值為166，方差為46.2【分析】（1）由于不知道男、女生的樣本量，故無法得到總樣本的均值和方差；（2）根據(jù)男、女樣本量按比例分配，得到總樣本的均值，再根據(jù)公式得到總樣本的方差.【詳解】（1）不能，因為題目沒有給出男、女生的樣本量．（2）總體樣本的均值為，總體樣本的方差為．4．(1)(2)答案見解析【分析】（1）分析可知，事件“恰有一人正確解答”可表示為，利用互斥事件和獨立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）指出該同學作答的錯誤之處，分析可知，“問題被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正確解答了問題”，可以表示為，利用互斥事件和獨立事件的概率公式可求得所求事件的概率，或利用對立事件和獨立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】（1）解：事件“恰有一人正確解答”可表示為，因為、互斥，與相互獨立，所以.（2）解：該同學錯誤在于事件、不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式.正確的解答過程如下：“問題被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正確解答了問題”，可以表示為，且、、兩兩互斥，與相互獨立，所以.或者.5．(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）由題意知，取值可能為，分別求出對應的概率，寫出分布列，再由數(shù)學期望公式即可.（2）由獨立事件乘法公式及互斥事件的概率即可求出結果.【詳解】（1）取值可能為，；；，所以的分布列為010．（2）由（1）可知在一局比賽中，乙獲得10分的概率為，乙獲得0分的概率為，乙獲得分的概率為．在3局比賽中，乙獲得30分的概率為；在3局比賽中，乙獲得20分的概率為；在3局比賽中，乙獲得10分的概率為，所以乙最終獲勝的概率為．6．(1)顧客是款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率是．(2)的分布列見解答．的期望是1(3)【分析】（1）求出款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的人數(shù)，然后求解顧客是款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率．（2）的取值為0，1，2，設事件為“從款式運動鞋的回訪顧客中隨機抽取的1人對該款式運動鞋滿意”，事件為“從款式運動鞋的回訪顧客中隨機抽取的1人對該款式運動鞋滿意”，說明事件與相互獨立．然后求解的概率，得到分布列，然后求解期望．（3）由兩點分布的方差公式計算比較與的大?。驹斀狻浚?）由題意知，是款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的人數(shù)為，故從所有的回訪顧客中隨機抽取1人，此人是C款式運動鞋的回訪顧客且對該款鞋滿意的概率是．（2）的取值為0，1，2．設事件為“從款式運動鞋的回訪顧客中隨機抽取的1人對該款式運動鞋滿意”，事件為“從款式運動鞋的回訪顧客中隨機抽取的1人對該款式運動鞋滿意”，且事件與相互獨立．根據(jù)題意，，．則，，，所以的分布列為：0120.240.520.24的期望是：．（3）都服從兩點分布，，，，，所以.7．(1)應選擇第一條路線，理由見解析(2)【分析】（1）由題意，，分別求出相應的概率然后，結合期望公式即可比較，得出結論.（2）結合所給的均值方差性質，以及等比數(shù)列前項和公式即可求解.【詳解】（1）應選擇第一條路線，理由如下：設走第一、第二條路線遇到的紅燈次數(shù)分別為隨機變量、，則，，，，，所以；又，，，所以；因為，所以應選擇第一條路線.（2）設選擇第一條路線時遇到的紅燈次數(shù)為，所以；，設隨機變量，取值為，其概率分別為，且，所以，又因為，所以.8．(1)480(2)360(3)1140【分析】（1）采用插空法，先拍其余四科，再插空；（2）特殊的先排，再用分步乘法；（3）按甲所教科目的數(shù)量分類，然后由分類加法計數(shù)原理求解.【詳解】（1）第一步，先將另外四門課排好，有種情況；第二步，將“京劇”和“剪紙”課程分別插入5個空隙中，有種情況；所以“京劇”和“剪紙”課程排在不相鄰的兩周的排法有種；（2）第一步，先將甲和乙的不同課程排好，有種情況；第二步，將甲和乙的相同課程排好，有種情況；第三步，因為丙和甲、乙的課程都不同，所以丙的排法種情況；因此，所有選課種數(shù)為.（3）①當A只任教1科時：先排A任教科目，有種；再從剩下5科中排B的任教科目，有種；接下來剩余4科中必有2科為同一名老師任教，分三組全排列，共有種；所以當A只任教1科時，共有種；②當A任教2科時：先選A任教的2科有中，這樣6科分為4組共有種，所以，當A任教2科時，共有種，綜上，A不任教“圍棋”的課程安排方案有1140種．9．(1)48(2)72【分析】（1）捆綁法結合分步計數(shù)原理即可；（2）插空法結合分步計數(shù)原理即可；【詳解】（1）根據(jù)題意，先將2名女教師排在一起，有種坐法，將排好的女教師視為一個整體，與3名男教師進行排列，共有種坐法，由分步乘法計數(shù)原理，共有種坐法．（2）根據(jù)題意，先將3名男教師排好，有種坐法，再在這3名男教師之間及兩頭的4個空位中插入2名女教師，有種坐法，由分步乘法計數(shù)原理，共有種坐法．10．(1)有的把握認為喜歡旅游與性別有關(2)分布列見解析，【分析】（1）將表中數(shù)據(jù)代入的計算公式并將計算結果與比較大小，由此可知結果；（2）根據(jù)條件判斷出，然后計算出在不同取值下的概率，由此可求分布列，根據(jù)分布列可求.【詳解】（1）因為，所以有的把握認為喜歡旅游與性別有關.（2）由表中數(shù)據(jù)可知：從全市男性市名中隨機抽取一人，該人喜歡旅游的概率為，由題意可知：，的可能取值為0,1,2.所以，，，所以的分布列為：所以（或者）.11．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）由題意先分別算出，，結合已知參數(shù)即可算出，，從而即可得解.（2）合格月有5個，其中記為5分的月份有3個，記為10分的月份有2個，由超幾何分布的概率公式即可求出分布列，進一步得出數(shù)學期望.【詳解】（1），，，所以，，所以.（2）由題可知，合格月有5個，其中記為5分的月份有3個，記為10分的月份有2個，所以，所以的分布列為152025數(shù)學期望.12．(1)0.75(2)6【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解，（2）根據(jù)二項分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.【詳解】（1）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件，“一次應答被采納”為事件，由題意，，，則，.（2）依題意，，，當最大時，有即解得：，，故當最大時，.13．(1)；(2).【分析】（1）利用最小二乘法直接計算求回歸直線方程即可；（2）利用回歸直線方程代入計算即可.【詳解】（1）由表格可知，則，所以，則，故；（2）由（1）知，當時，，即當該圖書每天的銷量為4本時，該圖書的定價是元.14．(1)分布列見解析；，(2)【分析】（1）結合古典概型即可寫出分布列，進而可求期望與方差；（2）結合條件概率即可求解.【詳解】（1）將一枚骰子連續(xù)投擲兩次共有基本事件種，擲出的點數(shù)之和是3的倍數(shù)有：，12種；則擲出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)有24種，隨機變量的取值為0，1，，所以的分布列為：01．；（2）設表示深色，則表示穿淺色，表示穿西裝，則表示穿休閑裝．根據(jù)題意，穿深色衣物的概率為，則穿淺色衣物的概率為，穿深色西裝的概率為，穿淺色西裝的概率為，則當天穿西裝的概率為．所以張老師當天穿西裝的概率為．15．(1)分布列見解析(2)分布列見解析，數(shù)學期望為【分析】（1）首先分析題意，列出，即3次摸換球后的可能取值為1，2，3，再一次計算可能即可.（2）利用（1）中題意，進行分析即可，最后算出答案.【詳解】（1），即3次摸換球后的可能取值為1，2，3.當，即3次摸球都摸到黑球，當，即3次摸球中有且僅有2次摸到黑球，1次白球，當，即3次摸球中有且僅有1次摸到黑球，2次白球，.分布列為122（2）時，即次摸球換球后，