專題20正態(tài)分布5種常見考法歸類

專題20正態(tài)分布5種常見考法歸類思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一、正態(tài)曲線的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)二、利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求概率考點(diǎn)三、正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)四、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布應(yīng)用考點(diǎn)五、正態(tài)分布的綜合應(yīng)用一、正態(tài)曲線及其性質(zhì)1、正態(tài)曲線：我們稱，x∈R，其中μ∈R，σ>0時(shí)為參數(shù)，為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．2、正態(tài)分布：若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為．特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．3、正態(tài)分布的期望與方差：若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.4、正態(tài)曲線的特點(diǎn)：（1）非負(fù)性：對(duì)?x∈R，，它的圖象在x軸的上方．（2）定值性：曲線與x軸之間的面積為1.（3）對(duì)稱性：曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱．（4）最大值：曲線在x＝μ處達(dá)到峰值.（5）當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸．（6）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①.（7）當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ較小時(shí)曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；σ較大時(shí)，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖②.5、正態(tài)分布的幾何意義：若，如圖所示，X取值不超過x的概率為圖中區(qū)域A的面積，而為區(qū)域B的面積．6、正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.1、正態(tài)分布下2類常見的概率計(jì)算(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，曲線與x軸之間的面積為1.(2)利用3σ原則求概率問題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個(gè)．2、正態(tài)分布的應(yīng)用（3σ原則）解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意零件尺寸應(yīng)落在[μ－3σ，μ＋3σ]之內(nèi)，否則可以認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格．判斷的根據(jù)是小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，而一旦發(fā)生了，就可以認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格．3、求正態(tài)變量X在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法(1)根據(jù)題目中給出的條件確定μ與σ的值．(2)將待求問題向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化．(3)利用X在上述區(qū)間的概率、正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結(jié)果．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、正態(tài)曲線的圖象與性質(zhì)1．（2023上·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）阿鑫上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車.若阿鑫坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．Y的數(shù)據(jù)較X更集中B．若有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大C．若有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大D．【答案】D【分析】根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性和性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】觀察圖象知，，對(duì)于A，的密度曲線瘦高、的密度曲線矮胖，即隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差小于的標(biāo)準(zhǔn)差，即，因此Y的數(shù)據(jù)較X更集中，A正確；對(duì)于B，顯然，則當(dāng)有34min可用時(shí)，坐公交車不遲到的概率大，B正確；對(duì)于C，顯然，則當(dāng)有38min可用時(shí)，騎自行車不遲到的概率大，C正確；對(duì)于D，顯然，因此，D錯(cuò)誤.故選：D2．（2022下·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）設(shè)，，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，確定出兩個(gè)均值和方差的大小，然后結(jié)合圖比較概率的大小【詳解】因?yàn)?，，兩曲線分別關(guān)于對(duì)稱，所以由圖可知，，所以A錯(cuò)誤，因?yàn)榈姆植记€“高瘦”，的分布曲線“矮胖”，所以，所以B錯(cuò)誤，所以，，所以C錯(cuò)誤，D正確，故選：D3．（2022下·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)（，）的圖像如圖所示，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由正態(tài)分布的圖像中對(duì)稱軸位置比較均值大小，圖像胖瘦判斷標(biāo)準(zhǔn)差的大小.【詳解】由題圖中的對(duì)稱軸知：，與(一樣)瘦高，而胖矮，所以.故選：C4．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布，，其相應(yīng)的分布密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（

）（注：正態(tài)曲線的函數(shù)解析式為，）A．甲類水果的平均質(zhì)量B．乙類水果的質(zhì)量比甲類水果的質(zhì)量更集中于均值左右C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量大D．乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布的特征可得兩者的均值、方差的大小關(guān)系，結(jié)合正態(tài)分布密度曲線可判斷D，進(jìn)而即得.【詳解】由題圖可知甲圖象關(guān)于直線對(duì)稱，乙圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，，故A正確，C錯(cuò)誤；因?yàn)榧讏D象比乙圖象更“高瘦”（曲線越“高瘦”，越小，表示總體的分布越集中），所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于均值左右，故B錯(cuò)誤；因?yàn)橐覉D象的最高點(diǎn)為，即，所以，故D錯(cuò)誤．故選：A．5．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，的分布密度曲線如圖所示，若，則與分別為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意和正態(tài)曲線即可求得，又根據(jù)正態(tài)曲線可得，進(jìn)而即可求得．【詳解】根據(jù)題意，且，則，由正態(tài)曲線得，所以．故選：C．6．（2022上·廣東佛山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）李明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設(shè)坐公交車用時(shí)X和騎自行車用時(shí)Y都服從正態(tài)分布，．X和Y的分布密度曲線如圖所示．則下列結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性和性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，可得隨機(jī)變量的方差為，即，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線圖像，可得隨機(jī)變量，所以，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖像，可得時(shí)，隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的曲線與圍成的面積小于時(shí)隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的曲線與圍成的面積，所以，所以C正確；對(duì)于D中，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖像，可得，，即，所以D錯(cuò)誤.故選：C.7．（2018·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)，，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．對(duì)任意正數(shù)， D．對(duì)任意正數(shù)，【答案】C【分析】由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)結(jié)合圖像可得，可判斷AB，由密度曲線與橫軸所圍成的圖形的面積的意義可判斷CD.【詳解】A選項(xiàng)：、的密度曲線分別關(guān)于、對(duì)稱，因此結(jié)合所給圖像可得，所以，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：又的密度曲線較的密度曲線“瘦高”，所以，所以，故B錯(cuò)誤；CD選項(xiàng)：由密度曲線與橫軸所圍成的圖形的面積的意義可知：對(duì)任意正數(shù)，．,故C正確，D錯(cuò)誤．故選：C．考點(diǎn)二、利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求概率8．（2023下·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期中）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：D9．（2023下·山東濟(jì)寧·高二嘉祥縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎S機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性直接求解即可.【詳解】，，.故選：B.10．（2023上·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，如果，則（

）A．0.3413 B．0.6826 C．0.1581 D．0.0794【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求解.【詳解】∵隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，∴正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，∴，.故選：A.11．（2023下·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可求得答案.【詳解】由題意隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，即正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱,因?yàn)?，故，故選：B12．（2023下·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知隨機(jī)變量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線性質(zhì)知，由對(duì)稱性可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，，，解得：.故選：B.13．（2023下·廣西玉林·高二統(tǒng)考期末）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性求出的值，然后將與相乘，展開后可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?，且，則，解得，因?yàn)椋瑒t，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：C.14．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得到和關(guān)于，進(jìn)而得到，解之即可求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱．又，所以，解得．故選：C．15．（2023下·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）在某項(xiàng)測(cè)試中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，若，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性相關(guān)知識(shí)求解.【詳解】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，，所以，所以.故選：C16．（2023·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎S機(jī)變量X服從正態(tài)分布，下列四個(gè)命題：甲：；乙：；丙：；?。喝绻星抑挥幸粋€(gè)是假命題，那么該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性分析判斷.【詳解】因?yàn)椤⒕葍r(jià)于，由題意可得：乙、丙均為真命題，且，對(duì)于甲：因?yàn)椋始诪檎婷}；對(duì)于?。阂?yàn)?，故丁為假命題；故選：D.17．（2023下·安徽·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，其正態(tài)曲線如圖所示，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定的圖形，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求解作答.【詳解】隨機(jī)變量，由圖知，而，所以.故選：D考點(diǎn)三、正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用18．（2024上·河南·高二校聯(lián)考期末）某地區(qū)有10000名考生參加了高三模擬調(diào)研考試.經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布，則數(shù)學(xué)成績(jī)位于的人數(shù)約為（

）參考數(shù)據(jù)：，A．455 B．1359 C．3346 D．1045【答案】B【分析】根據(jù)已知和正態(tài)分布的對(duì)稱性得出結(jié)果.【詳解】，則數(shù)學(xué)成績(jī)位于的人數(shù)約為.故選：B.19．（2024上·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）某市高三年級(jí)男生的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)在該市隨機(jī)選擇一名高三男生，則他的身高位于內(nèi)的概率（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）是（

）參考數(shù)據(jù)：，，．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，，，所以．故選：A20．（2023下·陜西渭南·高二合陽縣合陽中學(xué)?？计谀榱藱z測(cè)自動(dòng)流水線生產(chǎn)的食鹽質(zhì)量，檢驗(yàn)員每天從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取.包食鹽，并測(cè)量其質(zhì)量（單位：）.由于存在各種不可控制的因素，任意抽取的一袋食鹽的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間存在一定的誤差，已知這條生產(chǎn)線在正常狀態(tài)下，每包食鹽的質(zhì)量服從正態(tài)分布.假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示每天抽取的包食鹽中質(zhì)量在之外的包數(shù)，若的數(shù)學(xué)期望，則的最小值為（

）附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則.A．12 B．13 C．14 D．16【答案】A【分析】由題意得到，從而根據(jù)得到不等式，求出解集，得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，故，所以，解得，因?yàn)?，故的最小值?2.故選：A21．（2023上·江西·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）某校高三年級(jí)1000名學(xué)生參加了市教體局組織的高考模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績(jī)（，試卷滿分為150分），且數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為（

）A．300 B．250 C．125 D．100【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求得正確答案.【詳解】因?yàn)?，所以，故此次考試中?shù)學(xué)成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為.故選：C22．（2023下·安徽合肥·高二合肥一中校考期末）某實(shí)驗(yàn)室針對(duì)某種新型病毒研發(fā)了一種疫苗，并在1000名志愿者身上進(jìn)行了人體注射實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)注射疫苗的志愿者均產(chǎn)生了穩(wěn)定的免疫應(yīng)答．若這些志愿者的某免疫反應(yīng)蛋白M的數(shù)值X（單位：）近似服從正態(tài)分布，且X在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則這些志愿者中免疫反應(yīng)蛋白M的數(shù)值X不高于20的人數(shù)大約為（

）A．120 B．760 C．880 D．920【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)結(jié)合已知條件求解.【詳解】，又，，∴，這些志愿者中免疫反應(yīng)蛋白M的數(shù)值X不高于20的人數(shù)大約為，故選：C．23．（2023下·貴州畢節(jié)·高二校考階段練習(xí)）某校組織高二學(xué)生體檢，其中男生有500人，已知此次體檢中高二男生的身高h(yuǎn)（cm）近似服從正態(tài)分布，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示高二男生中身高高于179cm的概率為0.34，則此次體檢中，高二男生身高不低于169cm且不高于174cm的人數(shù)約為（

）A．60 B．75 C．80 D．100【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的概念，正態(tài)曲線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】由題可知，高二男生中身高不高于169cm的概率為0.34，所以高二男生身高不低于169cm且不高于179cm的概率為，所以高二男生身高不低于169cm且不高于174cm的概率為，所以高二男生身高不低于169cm且不高于174cm的人數(shù)約為，故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.24．（2023下·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）某科研院校培育大棗新品種，新培育的大棗單果質(zhì)量近似服從正態(tài)分布（單位：），現(xiàn)有該新品種大棗個(gè)，估計(jì)單果質(zhì)量在范圍內(nèi)的大棗個(gè)數(shù)約為（

）附：若，則，，.A． B． C． D．【答案】A【分析】求出、的值，結(jié)合原則可求得的值，乘以可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，則，，則，因此，估計(jì)單果質(zhì)量在范圍內(nèi)的大棗個(gè)數(shù)約為個(gè).故選：A.25．（2023下·黑龍江哈爾濱·高二統(tǒng)考期末）現(xiàn)實(shí)世界中的很多隨機(jī)變量遵循正態(tài)分布.例如反復(fù)測(cè)量某一個(gè)物理量，其測(cè)量誤差通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布.若某物理量做次測(cè)量，最后結(jié)果的誤差，要控制的概率不大于0.0027，至少要測(cè)量的次數(shù)為（

）[參考數(shù)據(jù)：]A．141 B．128 C．288 D．512【答案】C【分析】根據(jù)題意得，可得，然后根據(jù)正態(tài)分布的概率求法可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意得，則，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，所以至少要測(cè)量的次數(shù)為288次，故選：C26．（2023下·山東淄博·高二統(tǒng)考期末）某市高二年級(jí)進(jìn)行了一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，考生共2萬人，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，其平均分為85分，60分以下的人數(shù)約，則數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5分至110分之間的考生人數(shù)約為（

）A．3000 B．5000 C．7000 D．14000【答案】C【分析】根據(jù)考生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績(jī)平均分為85分，得到正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)60分以下的人數(shù)約，高于110分的所占的比例也是，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，即可得到結(jié)果.【詳解】考生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績(jī)平均分為85分，正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，60分以下的人數(shù)約，高于110分的所占的比例也是，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5分至110分之間的考生人數(shù)所占百分比約，所以數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5分至110分之間的考生人數(shù)約為（人）.故選：C27．（2023上·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某公司定期對(duì)流水線上的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，以此來判定產(chǎn)品是否合格可用．已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中的產(chǎn)品為“可用產(chǎn)品”，則在這批產(chǎn)品中任取1件，抽到“可用產(chǎn)品”的概率約為．參考數(shù)據(jù)：若，則，，．【答案】0.84/【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，有，結(jié)合原則即可求解.【詳解】由題意知，該產(chǎn)品服從，則，所以，又，，所以，所以，即.所以抽到“可用產(chǎn)品”的概率為.故答案為：0.84.28．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）某種紅糖的袋裝質(zhì)量服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取5000袋，則袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約有袋．（質(zhì)量單位：）附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】4093【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，結(jié)合求解即可.【詳解】由題意知，，所以，，得，所以袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約有袋．故答案為：4093考點(diǎn)四、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布應(yīng)用29．（2021下·山東濟(jì)南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量，其中，則下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，得到正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，再結(jié)合正態(tài)分布的密度曲線定義，由此逐一分析四個(gè)選項(xiàng)，即可得到答案．【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)?，所以根?jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)椋?，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；或，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：B．30．（2022下·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知兩個(gè)隨機(jī)變量，滿足，且，則的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】結(jié)合正態(tài)分布的方差，以及方差的性質(zhì)求解即可【詳解】由題，，則，又，，故選：D31．（2007·安徽·高考真題）以Φ(x)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間(－∞，x)內(nèi)取值的概率，若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則概率P(|ξ－μ|＜σ)等于（

）A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B．Φ（1）－Φ(－1)C．Φ D．2Φ(μ＋σ)【答案】B【解析】根據(jù)正態(tài)分布N(μ，σ2)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系求解．【詳解】若ξ～N(μ，σ2)，則P(x1＜x＜x2)＝Φ－Φ，P(|ξ－μ|＜σ)＝P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝Φ－Φ＝Φ(1)－Φ(－1)，故選：B.32．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測(cè)）隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，若，則．（用字母表示）【答案】【分析】根據(jù)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，得到，再結(jié)合隨機(jī)變量服從正態(tài)分布可得答案.【詳解】隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，根據(jù)對(duì)稱性可知，因?yàn)椋?，即，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，根據(jù)對(duì)稱性可知，，則，即.故答案為：.33．（2023下·山東青島·高二校考期中）隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，當(dāng)，時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.現(xiàn)已知隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布.若隨機(jī)變量（a，b為正實(shí)數(shù)）服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則.【答案】/【分析】由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的定義結(jié)合期望和方差的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布，所以，因?yàn)殡S機(jī)變量（a，b為正實(shí)數(shù)）服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以，所以，.即，解得，則.故答案為：.34．（2022·山東濰坊·二模）設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，那么對(duì)于任意a，記，已知，則=．【答案】0.4/【分析】根據(jù)正太分布密度曲線的對(duì)稱性即可求解.【詳解】由題可知，.故答案為：0.4.35．（2021·湖南株洲·統(tǒng)考二模）高鐵是當(dāng)代中國(guó)重要的一類交通基礎(chǔ)設(shè)施，乘坐高鐵已經(jīng)成為人們喜愛的一種出行方式，已知某市市郊乘車前往高鐵站有①，②兩條路線可走，路線①穿過市區(qū)，路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布；路線②走環(huán)城公路，路程長(zhǎng)，但意外阻塞較少，所需時(shí)間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布，若住同一地方的甲、乙兩人分別有分鐘與分鐘可用，要使兩人按時(shí)到達(dá)車站的可能性更大，則甲乙選擇的路線分別是（

）A．①、② B．②、① C．①、① D．②、②【答案】B【分析】分別比較甲、乙走線路①、②的概率大小，由此可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于甲，若有分鐘可走，走第一條線路趕到的概率為，走第二條線路趕到的概率為，，所以甲應(yīng)走線路②；對(duì)于乙，若有分鐘可走，走第一條線路的概率為，走第二條線路趕到的概率為，，所以乙應(yīng)走線路①.故選：B.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若，作變換，則，.36．（2023下·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）我省高考總成績(jī)由語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8個(gè)等級(jí)，參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī)，如果某次高考模擬考試物理科目的原始成績(jī)，那么D等級(jí)的原始分最高大約為（）附：①若，，則；②當(dāng)時(shí)，.A．23 B．29 C．26 D．43【答案】C【分析】設(shè)D等級(jí)的原始分最高為，由題意有，即，即可求結(jié)果.【詳解】由題意知：從低到高，即E到D等級(jí)人數(shù)所占比例為，若D等級(jí)的原始分最高為，則，又，所以，而，所以，即，可得分.故選：C考點(diǎn)五、正態(tài)分布的綜合應(yīng)用37．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某市有20000名學(xué)生參加了一項(xiàng)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)（知識(shí)競(jìng)賽分為初賽和復(fù)賽），并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初賽成績(jī)作為樣本，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值和分位數(shù)．(2)若所有學(xué)生的初賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，，初賽成績(jī)不低于89分的學(xué)生才能參加復(fù)賽，試估計(jì)能參加復(fù)賽的人數(shù)．(3)復(fù)賽設(shè)置了三道試題，第一、二題答對(duì)得30分，第三題答對(duì)得40分，答錯(cuò)得0分．已知某學(xué)生已通過初賽，他在復(fù)賽中第一題答對(duì)的概率為，后兩題答對(duì)的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響，記該考生的復(fù)賽成績(jī)?yōu)?，求的分布列及?shù)學(xué)期望．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】(1)平均數(shù)67，分位數(shù)為(2)455(3)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為55【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)和百分位數(shù)的求法即可求解；（2）由（1），易知近似服從正態(tài)分布，結(jié)合題意和正態(tài)分布3段區(qū)間的概率即可求解；（3）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求出隨機(jī)變量Y值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式求解即可.【詳解】（1）樣本平均數(shù)．因?yàn)榍?組的頻率之和為，前3組的頻率之和為，設(shè)分位數(shù)為，則，解得．（2）因?yàn)閷W(xué)生的初賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中，，所以，所以，所以估計(jì)能參加復(fù)賽的人數(shù)為．（3）所有可能的取值為0，30，40，60，70，100，，，，，，，所以的分布列為030406070100，所以的數(shù)學(xué)期望為55．38．（2024上·遼寧·高二盤錦市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）某旅游城市推出“一票通”景區(qū)旅游年卡，持有旅游年卡一年內(nèi)可不限次暢游全市所有簽約景區(qū).為了解市民每年旅游消費(fèi)支出情況（單位：百元），相關(guān)部門對(duì)已游覽某簽約景區(qū)的游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查，并把得到的數(shù)據(jù)列成如表所示的頻數(shù)分布表：旅游消費(fèi)支出頻數(shù)1238845213810(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認(rèn)為市民的旅游費(fèi)用支出服從正態(tài)分布，若該市總?cè)丝跒?00萬人，試估計(jì)有多少市民每年旅游費(fèi)用支出在7000元以上；(2)若年旅游消費(fèi)支出在40（百元）以上的游客一年內(nèi)會(huì)繼續(xù)來該簽約景區(qū)游玩.現(xiàn)從游客中隨機(jī)抽取3人，一年內(nèi)繼續(xù)來該簽約景區(qū)游玩記2分，不來該景點(diǎn)游玩記1分，將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，且游客之間的選擇意愿相互獨(dú)立，求3人總得分為4分的概率.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)15.925萬(2)【分析】（1），旅游費(fèi)用支出在7000元以上的概率為，即可估計(jì)有多少萬市民旅游費(fèi)用支出在7000元以上；（2）由表格知一年內(nèi)游客繼續(xù)來該景點(diǎn)游玩的概率為，再由獨(dú)立事件的乘法公式求解即可.【詳解】（1），所以旅游費(fèi)用支出在7000元以上的概率為，，估計(jì)有15.925萬市民旅游費(fèi)用支出在7000元以上（2）由表格知一年內(nèi)游客繼續(xù)來該景點(diǎn)游玩的概率為，設(shè)3人總得分為4分為事件，則即3人總得分為4分的概率.39．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某公司為了解市場(chǎng)對(duì)其開發(fā)的新產(chǎn)品的需求情況，共調(diào)查了250名顧客，采取100分制對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度、產(chǎn)品外觀滿意程度分別進(jìn)行評(píng)分，其中對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度的評(píng)分服從正態(tài)分布，對(duì)產(chǎn)品外觀滿意程度評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定評(píng)分90分以上（不含90分）視為非常滿意.(1)本次調(diào)查對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意和對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的各有多少人？（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）(2)若這250人中對(duì)兩項(xiàng)都非常滿意的有2人，現(xiàn)從對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意和對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的人中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩項(xiàng)都非常滿意的有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（附：若，則，）【答案】(1)6人，6人(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)頻率直方分布圖和正態(tài)分布計(jì)算；（2）根據(jù)題意，只對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意的有4人，只對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的有4人，利用超幾何分布得出的分布列．【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)產(chǎn)品功能滿意程度的評(píng)分服從正態(tài)分布，其中，設(shè)對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度的評(píng)分為，所以，所以本次調(diào)查對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意的顧客約有（人）.根據(jù)頻率分布直方圖得，對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的頻率為，則本次調(diào)查對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的顧客約有（人）.（2）根據(jù)題意，這人中對(duì)兩項(xiàng)都非常滿意的有人，則只對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意的有人，只對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的有人，的可能取值為，，，則的分布列為數(shù)學(xué)期望.40．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）大氣污染是指大氣中污染物質(zhì)的濃度達(dá)到有害程度，以至破壞生態(tài)系統(tǒng)和人類正常生存和發(fā)展的條件，對(duì)人和物造成危害的現(xiàn)象．某環(huán)境保護(hù)社團(tuán)組織“大氣污染的危害以及防治措施”講座，并在講座后對(duì)參會(huì)人員就講座內(nèi)容進(jìn)行知識(shí)測(cè)試，從中隨機(jī)抽取了100份試卷，將這100份試卷的成績(jī)（單位：分，滿分100分）整理得如下頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．(1)根據(jù)頻率分布直方圖確定的值，再求出這100份樣本試卷成績(jī)的眾數(shù)和75%分位數(shù)（精確到0.1）；(2)根據(jù)頻率分布直方圖可認(rèn)為此次測(cè)試的成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，約為6.75．用樣本估計(jì)總體，假設(shè)有84.14%的參會(huì)人員的測(cè)試成績(jī)不低于測(cè)試前預(yù)估的平均成績(jī)，求測(cè)試前預(yù)估的平均成績(jī)大約為多少分（精確到0.1）?參考數(shù)據(jù)：若，則，，．【答案】(1)0.048；眾數(shù)是，分位數(shù)是(2)分【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程求得，再結(jié)合眾數(shù)和百分位數(shù)的求解方法，即可求解；（2）求得，得到，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，即可求解.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可得：，解得，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，由，則這100份樣本試卷成績(jī)的75%分位數(shù)是.（2）由，所以，因?yàn)椋?，所以測(cè)試前預(yù)估的平均成績(jī)大約為分．41．（2024上·海南省直轄縣級(jí)單位·高三?？茧A段練習(xí)）紅松樹分布在我國(guó)東北的小興安嶺到長(zhǎng)白山一帶，耐蔭性強(qiáng).在一森林公園內(nèi)種有一大批紅松樹，為了研究生長(zhǎng)了4年的紅松樹的生長(zhǎng)狀況，從中隨機(jī)選取了12棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹，并測(cè)量了它們的樹干直徑（單位：厘米），如下表：12345678910111228.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5計(jì)算得：.(1)求這12棵紅松樹的樹干直徑的樣本均值與樣本方差.(2)假設(shè)生長(zhǎng)了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態(tài)分布.記事件：在森林公園內(nèi)再?gòu)闹须S機(jī)選取12棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹，其樹干直徑都位于區(qū)間.①用（1）中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態(tài)分布的均值與方差，求；②護(hù)林員在做數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)時(shí)，得出了如下結(jié)論：生長(zhǎng)了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態(tài)分布.在這個(gè)條件下，求，并判斷護(hù)林員的結(jié)論是否正確，說明理由.參考公式：若，則.參考數(shù)據(jù)：.【答案】(1)，.(2)①；②，護(hù)林員給出的結(jié)論是錯(cuò)誤的，理由見解析.【分析】（1）利用均值（平均數(shù)）的計(jì)算公式和方差公式，計(jì)算即可；（2）①12棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹，其樹干直徑都位于區(qū)間，是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，其中在區(qū)間內(nèi)等價(jià)于發(fā)生；②根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其中在區(qū)間內(nèi)等價(jià)于發(fā)生，計(jì)算得出，再比較即可.【詳解】（1）樣本均值，樣本方差.（2）①由題意可得，樹干直徑（單位：近似服從正態(tài)分布.在森林公園內(nèi)再隨機(jī)選一棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹，其樹干直徑位于區(qū)間的概率是，所以.②若樹干直徑近似服從正態(tài)分布，在森林公園內(nèi)再隨機(jī)選一棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹，其樹干直徑位于區(qū)間的概率是，則.此時(shí)事件發(fā)生的概率遠(yuǎn)小于①中根據(jù)測(cè)量結(jié)果得出的概率估計(jì)值.事件是一個(gè)小概率事件，但是第一次隨機(jī)選取的12棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹，事件發(fā)生了，所以認(rèn)為護(hù)林員給出的結(jié)論是錯(cuò)誤的.42．（2023上·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某大型公司招聘新員工，應(yīng)聘人員簡(jiǎn)歷符合要求之后進(jìn)入考試環(huán)節(jié).考試分為筆試和面試，只有筆試成績(jī)高于75分的考生才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，已知2023年共有1000人參加該公司的筆試，筆試成績(jī).(1)從參加筆試的1000名考生中隨機(jī)抽取4人，求這4人中至少有一人進(jìn)入面試的概率；(2)甲?乙?丙三名應(yīng)聘人員進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，且他們通過面試的概率分別為.設(shè)這三名應(yīng)聘人員中通過面試的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：若，則，【答案】(1)0.499(2)分布列見解析，【分析】（1）記“至少有一人進(jìn)入面試”，由正態(tài)分布可得，再根據(jù)對(duì)立事件和獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解；（2）由題意可得：的可能取值為，根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式求分布列，進(jìn)而可得期望.【詳解】（1）記“至少有一人進(jìn)入面試”，由已知得，所以，則，即這4人中至少有一人進(jìn)入面試的概率為0.499.（2）由題意可得：的可能取值為，則：，，，，可得隨機(jī)變量的分布列為0123所以.43．（2023下·黑龍江大興安嶺地·高二大興安嶺實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤娼ㄔO(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，最艱巨最繁重的任務(wù)仍然在農(nóng)村，強(qiáng)國(guó)必先強(qiáng)農(nóng)，農(nóng)強(qiáng)方能國(guó)強(qiáng)．某市為了解當(dāng)?shù)剞r(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，隨機(jī)抽取該地2000戶農(nóng)戶家庭年收入x（單位：萬元）進(jìn)行調(diào)查，并繪制得到如下圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù)（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）．(2)由直方圖可認(rèn)為農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，其中.①估計(jì)這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數(shù)？（結(jié)果保留整數(shù)）②如果用該地區(qū)農(nóng)戶家庭年收入的情況來估計(jì)全市農(nóng)戶家庭年收入的情況，現(xiàn)從全市農(nóng)戶家庭中隨機(jī)抽取4戶，即年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)為，求．（結(jié)果精確到0.001）附：①；②若，則，；③．【答案】(1)8(2)①317戶；②【分析】（1）利用平均數(shù)公式求解；（2）易知①農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布，根據(jù)，求得即可.②由年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)服從二項(xiàng)分布求解.【詳解】（1）解：這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù).（2）①農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布.因?yàn)椋?因?yàn)?，所以這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數(shù)為317.②年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)服從二項(xiàng)分布.所以.過關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學(xué)校校聯(lián)考期末）某班有45名學(xué)生，最近一次的市聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，若的學(xué)生人為18，則（

）A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.35【答案】C【分析】結(jié)合原則與正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可求解．【詳解】由題可設(shè)，則，又的學(xué)生人數(shù)為，故.故選：C2．（2024上·遼寧·高二盤錦市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）己知隨機(jī)變量，則（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7【答案】C【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】由，，則，故.故選：C.3．（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（

）A．0.2 B．0.4 C．0.3 D．0.6【答案】A【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求解.【詳解】由題意得，得，則，所以，故選:.4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在日常生活中，許多現(xiàn)象都服從正態(tài)分布.若，記，，，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某零件的尺寸大?。▎挝唬篸m）從正態(tài)分布，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可得所求.【詳解】由題意知，，則，，，.結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得.故選：C.5．（2023下·福建泉州·高二校考期末）“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究應(yīng)用與推廣，發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系，為我國(guó)糧食安全，農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻(xiàn)某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：）服從正態(tài)分布，其密度曲線函數(shù)為，，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．該地水稻的平均株高為B．該地水稻株高的方差為100C．隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小D．隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在和在（單位：cm）的概率一樣大【答案】C【分析】根據(jù)密度曲線求得，然后對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，所以平均數(shù)為，方差為，所以AB選項(xiàng)正確.依題意，而，即，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以D選項(xiàng)正確.故選：C6．（2019·山東淄博·校聯(lián)考一模）在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)得變量,若在內(nèi)取值的概率為0.8，則在內(nèi)取值的概率為（

）A．0.2 B．0.1 C．0.8 D．0.4【答案】D【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性可得答案.【詳解】因?yàn)樽兞?，，所?故選：D.7．（2017上·云南大理·高三統(tǒng)考期中）某校高二年級(jí)1600名學(xué)生參加期末統(tǒng)考，已知數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分150分）．統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的．則此次統(tǒng)考中數(shù)學(xué)成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為（

）A．80 B．100 C．120 D．200【答案】D【分析】利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，確定成績(jī)不低于120分的學(xué)生約為總?cè)藬?shù)的，即可求得成此次考試成績(jī)不低于120分的學(xué)生數(shù)．【詳解】由題意可知：成績(jī)，則其正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，又因?yàn)槌煽?jī)?cè)?0分到120分之間的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的，由對(duì)稱性知：成績(jī)不低于120分的學(xué)生約為總?cè)藬?shù)的，所以此次考試成績(jī)不低于120分的學(xué)生約有：人．故選：D．8．（2023下·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【分析】結(jié)合正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)表示其均值大小，表示離散程度，利用圖象形狀即可判斷出結(jié)論.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)的意義，結(jié)合圖象可知，對(duì)稱軸位置相同，所以可得；且都在的右側(cè)，即，比較和圖像可得，其形狀相同，即，又的離散程度比和大，所以可得；故選：B9．（2023下·河南開封·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減的概率為，且隨機(jī)變量，則（附：若，則，，（

）A．0.1359 B．0.01587 C．0.0214 D．0.01341【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可求得，從而可得，再根據(jù)三段區(qū)間法即可求解.【詳解】根據(jù)題意在上單調(diào)遞減，可得，故，，，所以.故選：C.二、多選題10．（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）隨機(jī)變量，且，隨機(jī)變量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由正態(tài)分布函數(shù)的對(duì)稱性以及二項(xiàng)分布的概率公式逐一驗(yàn)算每一選項(xiàng)即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，故A正確.因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所以，故B錯(cuò)誤.因?yàn)椋?，故C正確.因?yàn)椋?，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．（2024上·江蘇·高三統(tǒng)考期末）《中華人民共和國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十四個(gè)五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要》中明確提出要?jiǎng)?chuàng)新實(shí)施文化惠民工程，提升基層綜合性文化服務(wù)中心功能，廣泛開展群眾性文化活動(dòng).某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了考核甲、乙兩村的文化惠民工程，在兩村的村民中進(jìn)行滿意度測(cè)評(píng)，滿分100分，規(guī)定：得分不低于80分的為“高度滿意”，得分低于60分的為“不滿意”.經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)甲村的評(píng)分X和乙村的評(píng)分Y都近似服從正態(tài)分布，其中，，，則（

）A．X對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線比Y對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線更扁平B．甲村的平均分低于乙村的平均分C．甲村的高度滿意率與不滿意率相等D．乙村的高度滿意率比不滿意率大【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，曲線越扁平，方差較大，判斷A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，求出兩村的平均分，比較出大?。籆D選項(xiàng)，由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性判斷.【詳解】A選項(xiàng)，曲線越扁平，說明評(píng)分越分散，方差較大，因?yàn)?，所以Y對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線比X對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線更扁平，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，甲村的平均分為70，乙村的平均分為75，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)榧状宓钠骄譃?0，由對(duì)稱性知，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)橐掖宓钠骄譃?5，由對(duì)稱性知，D正確.故選：BCD.12．（2022·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，那么當(dāng)n比較大時(shí)，可視為X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)，.任意正態(tài)分布，可通過變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（且）.當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記，則（

）A．B．當(dāng)時(shí)，C．隨機(jī)變量，當(dāng)減小，增大時(shí)，概率保持不變D．隨機(jī)變量，當(dāng)，都增大時(shí)，概率單調(diào)增大【答案】AC【分析】根據(jù)結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性，可判斷A;由定義即可判斷B;根據(jù)正態(tài)分布的準(zhǔn)則可判斷C,D.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得：，故A正確；對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，根據(jù)正態(tài)分布的準(zhǔn)則，在正態(tài)分布中代表標(biāo)準(zhǔn)差，代表均值,即為圖象的對(duì)稱軸，根據(jù)原則可知數(shù)值分布在中的概率為0.6826，是常數(shù)，故由可知，C正確，D錯(cuò)誤，故選：AC13．（2023上·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）山東東阿盛產(chǎn)阿膠，阿膠與人參、鹿茸并稱“中藥三寶”．阿膠的主要原料是驢皮，配以冰糖、紹酒、豆油等十幾種輔料，用東阿特有的含多種礦物質(zhì)的井水、采取傳統(tǒng)的制作工藝熬制而成．已知每盒某阿膠產(chǎn)品的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且，．（

）A．若從該阿膠產(chǎn)品中隨機(jī)選取1盒，則這盒阿膠產(chǎn)品的質(zhì)量大于的概率為0.75B．若從該阿膠產(chǎn)品中隨機(jī)選取1盒，則這盒阿膠產(chǎn)品的質(zhì)量在內(nèi)的概率為0.15C．若從該阿膠產(chǎn)品中隨機(jī)選取1000盒，則質(zhì)量大于的盒數(shù)的方差為47.5D．若從該阿膠產(chǎn)品中隨機(jī)選取1000盒，則質(zhì)量在內(nèi)的盒數(shù)的數(shù)學(xué)期望為200【答案】ACD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷出相應(yīng)區(qū)間的概率，再根據(jù)二項(xiàng)分布的方差和期望公式，即可得出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，A正確．對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，所以，B錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，若從該阿膠產(chǎn)品中隨機(jī)選取1000盒，則質(zhì)量大于的盒數(shù)，所以，C正確．對(duì)于選項(xiàng)D，，若從該阿膠產(chǎn)品中隨機(jī)選取1000盒，則質(zhì)量在內(nèi)的盒數(shù)，所以，D正確．故選:ACD14．（2023上·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知某地區(qū)秋季的晝夜溫差，且，該地區(qū)某班級(jí)秋季每天感冒的人數(shù)y關(guān)于晝夜溫差的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，秋季某天該班級(jí)感冒的學(xué)生有9人，其中有4位男生，5位女生，則下列結(jié)論正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．若，則B．從這9人中隨機(jī)抽取2人，其中至少有一位女生的概率為C．從這9人中隨機(jī)抽取2人，其中男生人數(shù)的期望為D．晝夜溫差每提高，該班級(jí)感冒的學(xué)生大約增加2人【答案】ABD【分析】根據(jù)正態(tài)分布、超幾何分布的概率與期望的計(jì)算方法，以及線性回歸分析的基本概念可得到答案.【詳解】由，可得，，所以，故A正確；因?yàn)?，故B正確；服從超幾何分布，其中，，，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，所以，故D正確．故選：ABD三、填空題15．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）某公司生產(chǎn)的糖果每包標(biāo)識(shí)質(zhì)量是，但公司承認(rèn)實(shí)際質(zhì)量存在誤差．已知糖果的實(shí)際質(zhì)量服從的正態(tài)分布．若隨意買一包糖果，假設(shè)質(zhì)量誤差超過克的可能性為，則的值為．（用含的代數(shù)式表達(dá)）【答案】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)直接求解即可.【詳解】由題知，，則.故答案為：16．（2024上·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中的產(chǎn)品為“可用產(chǎn)品”，則在這批產(chǎn)品中任取1件，抽到“可用產(chǎn)品”的概率約為.參考數(shù)據(jù)：若，則.【答案】0.84/【分析】根據(jù)題意確定，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性結(jié)合已知區(qū)間的概率，即可求得答案.【詳解】由題意知，該產(chǎn)品服從，則，所以，即抽到“可用產(chǎn)品”的概率為0.84，故答案為：0.8417．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，若，則．【答案】1【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性和性質(zhì)，即可求解.【詳解】由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，所以，又由，所以．故答案為：.18．（2024上·山西·高三期末）在某次大型人才招聘活動(dòng)中，共有2000人參加筆試，筆試成績(jī)位于區(qū)間，，的人數(shù)分別為683，272，45，已知此次筆試滿分為100分，且成績(jī)近似服從正態(tài)分布，則筆試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差約為（參考數(shù)據(jù)：若，則）【答案】10【分析】計(jì)算出，即可估計(jì)的值，再結(jié)合題意求出，計(jì)算，即可把的值估計(jì)為90，即而求得答案.【詳解】由題意知，設(shè)筆試成績(jī)，由70分及以上的人數(shù)為，得，故的值可估計(jì)為70，由參考數(shù)據(jù)知，而，故的值可估計(jì)為90，故約為，故答案為：1019．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）研究人員在調(diào)查某園區(qū)內(nèi)種植的某種植物的株高時(shí)，發(fā)現(xiàn)株高（單位：）服從正態(tài)分布，若，則在該園區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取一株這種植物，株高超過的概率約為．【答案】0.2/【分析】根據(jù)題意，由求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以解得．又由得，所以，故株高超過的概率約為0.2．故答案為：0.220．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）某校期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布．按，，，的比例將考試成績(jī)劃為四個(gè)等級(jí)，其中分?jǐn)?shù)大于或等于83分的為等級(jí)，則等級(jí)的分?jǐn)?shù)應(yīng)為．（用區(qū)間表示）【答案】【分析】根據(jù)已知條件及正態(tài)分布的特點(diǎn)即可求解．【詳解】設(shè)考試成績(jī)?yōu)椋深}意可知，，，，，所以，所以等級(jí)的分?jǐn)?shù)應(yīng)為，故答案為：．四、解答題21．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2023年中秋國(guó)慶雙節(jié)期間，我國(guó)繼續(xù)執(zhí)行高速公路免費(fèi)政策.交通部門為掌握雙節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費(fèi)點(diǎn)記錄了10月1日上午這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時(shí)間段內(nèi)共有1000輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，為方便統(tǒng)計(jì)，時(shí)間段記作區(qū)間，記作，記作，記作，對(duì)通過該收費(fèi)點(diǎn)的車輛數(shù)進(jìn)行初步處理，已知，時(shí)間段內(nèi)的車輛數(shù)的頻數(shù)如下表：時(shí)間段頻數(shù)100300mn(1)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)一步分析，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛，再?gòu)倪@10輛車中隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中在9：00~9：40通過的車輛數(shù)為，求的分布列與期望；(2)由大數(shù)據(jù)分析可知，工作日期間車輛在每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻，其中可用（1）中這1000輛車在之間通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），已知某天共有800輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，估計(jì)在之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果四舍五入保留到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③.【答案】(1)分布列見解析，期望為(2)【分析】（1）根據(jù)分層抽樣、超幾何分布等知識(shí)求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.（2）先求得，然后根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求得正確答案.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以?由分層隨機(jī)抽樣可知，抽取的10輛車中，在9：00~9：40通過的車輛數(shù)位于時(shí)間段，這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)為，車輛數(shù)的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，所以X的分布列為所以.（2）這1000輛車在時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值，即9：04，，所以.估計(jì)在這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，也就是通過的車輛數(shù)，工作日期間車輛在每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻，，所以估計(jì)在這一時(shí)間段內(nèi)通過的車輛數(shù)為.22．（2023下·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽，競(jìng)賽獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則