新教材選擇性6.3.3空間角的計算課件（25張）

6.3.3空間角的計算1.會用向量法求空間中兩條直線所成的角.2.會用向量法求直線與平面所成的角.3.會用向量法求二面角.

空間角向量求法空間角的范圍異面直線所成的角若異面直線l1,l2所成的

角為θ,其方向向量分別

是u,v,則cosθ=|cos<u,v>

|=①

=②

用空間向量研究空間角

直線與平面所成的角設直線AB與平面α所成

的角為θ,直線AB的方向

向量為u,平面α的法向

量為n,則sinθ=|cos

<u,n>|=③

=

④

兩個平面的夾角若平面α,β的法向量分

別是n1,n2,則平面α與平

面β的夾角即為向量n1,n

2的⑤夾角

或⑥

其補角

.設平面α與平面β的夾角

為θ,則cosθ=|cos<n1,n2>|

=⑦

=⑧

判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“?”.l與平面α的夾角為0°,則直線l在平面α內(nèi).

(

?)l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°,則直線l與平面α所成的

角為30°.

(√)m是直線l的一個方向向量,n是平面α的一個法向量,若cos<m,n>=-

,則直線l與平面α所成的角為120°.

(

?

)α-l-β的兩個半平面的法向量分別為n1,n2,則二面角的平面角與<n1,n2>

一定相等.

(

?)可能相等,也可能互補.當二面角A-BD-C為銳角時,它就等于<n1,n2>=

;當二面角A-BD-C為鈍角時,它應等于π-<n1,n2>=π-

=

.6.如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為CC1的中點,則直線A1B與平

面BDE所成的角為

.

(

?)

易知A1B與BD不垂直,故直線A1B不垂直于平面BDE,所以直線A1B與平面BDE所成

的角不為

.A-BCD中,平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1,n2,若<n1,n2>=

,則二面角A-BD-C的大小為

.

(

?)O-xyz中,已知點A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),則平面ABC與平面

xOy所成銳二面角的余弦值為

.

(√)由題得

=(-1,2,0),

=(-1,0,3).設平面ABC的一個法向量為n=(x,y,z),則

即

令x=2,得y=1,z=

,則n=

.易得平面xOy的一個法向量為

=(0,0,3),所以|cos<

,n>|=

=

=

.

(1)基向量法.基向量法的一般步驟:①確定空間的一個基底,進而確定空間兩直線的方向向量.②求出兩個方向向量夾角的余弦值.③比較余弦值與0的大小,以確定兩直線的方向向量的夾角.④根據(jù)直線夾角與其方向向量夾角的關系,得到兩異面直線所成的角.用向量法求異面直線所成的角

當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時,此角就是異面直線所成的角;當

異面直線的方向向量的夾角為鈍角時,其補角才是異面直線所成的角.

(2)坐標法.利用坐標法求異面直線所成的角的一般步驟:如圖所示,在三棱錐O-ABC中,OA,OB,OC兩兩互相垂直,E為OC的中點,且OB=OC=

2OA=2,求直線AE與BC所成角的大小.

解析

解法一(基向量法):根據(jù)已知可得

,

,

不共面,且|

|=1,|

|=|

|=2,

·

=

·

=

·

=0.又因為

=

-

=

-

,

=

-

,所以

·

=

-

·(

-

)=

-

·

-

·

+

·

=2,|

|2=

-

·

-

=

-

·

+

=2,|

|2=(

-

)·(

-

)=

-2

·

+

=8.所以cos<

,

>=

=

=

,因此<

,

>=

,即直線AE與BC所成角的大小為

.解法二(坐標法):因為OA,OB,OC兩兩互相垂直,所以以O為原點,

,

,

的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,

則由OB=OC=2OA=2可知A(1,0,0),E(0,0,1),B(0,2,0),C(0,0,2),所以

=(-1,0,1),

=(0,-2,2),因此cos<

,

>=

=

=

,從而<

,

>=

,即直線AE與BC所成角的大小為

.解法三:設OB的中點為F,連接EF,AF,如圖.

由E,F分別為OC,OB的中點可知EF為△OBC的中位線,從而EF∥BC,因此直線AE

與BC所成角的大小等于直線AE與EF所成角的大小.易知OA=OE=OF=1,而且OA,OE,OF兩兩互相垂直,因此AE=EF=AF=

=

,所以△AEF是等邊三角形,從而∠AEF=

.因此,直線AE與BC所成角的大小為

.導師點睛

在解決空間中直線與直線所成角的問題時,既可以根據(jù)有關幾何條件

直接構(gòu)造出相應的角求解,也可以借助空間向量求解.在使用空間向量求解時,既可以選擇合適的基底來計算,也可以通過建立空間直角坐標系來計算.

用向量法求線面角

利用垂線法求空間中線面角的一般步驟第一步:根據(jù)題意找出直線上的點在平面內(nèi)的射影;第二步:連接射影和直線與平面的交點即可得到線面角;第三步:論證所作的(或找到的)角就是要求的角;第四步:算——常用解三角形的方法(通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射

影所組成的直角三角形)求出角,從而得出結(jié)論.

利用向量法求空間中線面角的一般步驟第一步:建立適當?shù)目臻g直角坐標系并寫出相應點的坐標;第二步:求出直線的方向向量a的坐標以及平面的法向量b的坐標;第三步:設線面角為θ,利用sinθ=

,結(jié)合θ∈

得出結(jié)論.

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為

線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.(1)證明:MN∥平面PAB;(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

解析

(1)證明:由已知得AM=

AD=2.如圖,取BP的中點T,連接AT,TN,由N為PC的中點得TN∥BC,TN=

BC=2.又AD∥BC,故TN

AM,所以四邊形AMNT為平行四邊形,所以MN∥AT.因為AT?平面PAB,MN?平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)如圖,取BC的中點E,連接AE.由AB=AC得AE⊥BC,從而AE⊥AD,且AE=

=

=

.以A為坐標原點,

,

,

的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz.

則A(0,0,0),P(0,0,4),M(0,2,0),C(

,2,0),N

,所以

=(0,2,-4),

=

,

=

.設n=(x,y,z)為平面PMN的一個法向量,則

即

令y=2,則z=1,x=0,所以n=(0,2,1).所以|cos<n,

>|=

=

.所以直線AN與平面PMN所成角的正弦值為

.

用向量法求二面角的大小

利用向量法求二面角的平面角(1)如圖1,

,

是二面角α-l-β的兩個半平面內(nèi)分別與l垂直的向量,則二面角α-l-β的大小θ=<

,

>.

圖1

圖2圖3(2)如圖2,3,n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個半平面α,β的法向量,則二面角α-l-β的大

小θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>.

利用法向量求二面角的大小(或其某個三角函數(shù)值)的步驟

如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB⊥PA,BC=2AB=2AD=4BE,平面

PAB⊥平面ABCD,直線PE與平面PAC所成角的正弦值為

.(1)求異面直線PB與CD所成角的大小;(2)求二面角A-PC-D的余弦值.

建系

寫出相應點的坐標

由線面角的正弦值確定點P的坐標.(1)求

,

求兩向量夾角的余弦值

求角;(2)分別求兩個平面的法向量

求法向量夾角的余弦值

結(jié)論.解析

∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AB⊥PA,∴PA⊥平面

ABCD,又∵AB⊥AD,∴可建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz.

不妨設BC=4,AP=λ(λ>0),則A(0,0,0),D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0),P(0,0,λ),思路點撥∴

=(2,4,0),

=(0,0,λ),

=(2,-1,0),

=(2,1,-λ),∵

·

=4-4+0=0,

·

=0,∴DE⊥AC,DE⊥AP,又AC∩AP=A,∴DE⊥平面PAC,∴平面PAC的一個法向量是

=(2,-1,0).設直線PE與平面PAC所成的角為θ,則sinθ=|cos<

,

>|=

=

,解得λ=±2.∵λ>0,∴λ=2,即P(0,0,2).(1)∵B(2,0,0),∴

=(2,0,-2),又