新教材選擇性4.2.1等差數(shù)列的概念4.2.2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式課件（20張）

4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念4.2.2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過生活中的實(shí)例,理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.2.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)問題.3.體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系.

1|等差數(shù)列的概念

等差數(shù)列文字語(yǔ)言一般地,如果一個(gè)數(shù)列從①第二項(xiàng)

起,每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于②同一個(gè)常數(shù)

,那么這個(gè)數(shù)列就叫作等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫作等差數(shù)列的③公差

,公差通常用d表示數(shù)學(xué)符號(hào)在數(shù)列{an}中,若an+1-an=d(n∈N*)(或an-an-1=d,n≥2,n∈N*)成立,則稱數(shù)列{an}為等差數(shù)列,常數(shù)d稱為等差數(shù)列的公差遞推公式an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*)2|等差數(shù)列的通項(xiàng)公式一般地,對(duì)于等差數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an,有④

an=a1+(n-1)d

.這就是等差數(shù)列

{an}的通項(xiàng)公式,其中a1為首項(xiàng),d為公差.3|等差中項(xiàng)如果a,A,b這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,那么A=⑤

,我們把A=

叫作a和b的等差中項(xiàng).4|等差數(shù)列的常用性質(zhì)性質(zhì)1通項(xiàng)公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N*);d=

性質(zhì)2若{an}為等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak+al=am+an性質(zhì)3若{an}是等差數(shù)列,其公差為d,則{a2n}也是等差數(shù)列,且公差為2d性質(zhì)4若{an},{bn}分別是以d1,d2為公差的等差數(shù)列,則{pan+qbn}是以pd1+qd2為公差的等差數(shù)列性質(zhì)5若{an}是等差數(shù)列,其公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)組成公差為md的等差數(shù)列性質(zhì)6若{an}是等差數(shù)列,其公差為d,則當(dāng)d>0時(shí),數(shù)列{an}為遞增數(shù)列;當(dāng)d<0時(shí),數(shù)列{an}為遞減數(shù)列;當(dāng)d=0時(shí),數(shù)列{an}為常數(shù)列5|等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系an=a1+(n-1)d(n∈N*),可得an=dn+(a1-d).當(dāng)d≠0時(shí),等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式中等號(hào)右邊是關(guān)于自變量n的一次式,一次項(xiàng)

系數(shù)就是等差數(shù)列的公差.因此從圖象上看,表示數(shù)列{an}的各點(diǎn)均勻分布在一條

d>0時(shí),等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,當(dāng)d<0時(shí),等差數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.當(dāng)d=0時(shí),an=a1,等差數(shù)列{an}為常數(shù)列,此時(shí)表示數(shù)列{an}的各點(diǎn)是平行于x軸(或

與x軸重合)的直線上的均勻分布的一群孤立的點(diǎn).總之,等差數(shù)列{an}對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象是直線y=dx+(a1-d)上均勻分布的一群孤立的

點(diǎn).

等差數(shù)列一次函數(shù)不同點(diǎn)定義域?yàn)镹*,圖象是一系列孤立

的點(diǎn)定義域?yàn)镽,圖象是一條直線相同點(diǎn)通項(xiàng)公式與一次函數(shù)解析式中,等號(hào)右邊都是關(guān)于自變量的一次

整式判斷正誤,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“?”.1.若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差

數(shù)列.

(

?)提示:從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列才是等差數(shù)列.2.等差數(shù)列的公差是相鄰兩項(xiàng)的差.

(

?)提示:從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是等差數(shù)列的公差.d的等差數(shù)列{an}中,a2020=a20+2000d.

(√)提示:公差為d的等差數(shù)列{an}中,a2020=a20+(2020-20)d=a20+2000d.4.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù).(

?)提示:當(dāng)公差為0時(shí),其通項(xiàng)公式為常數(shù)函數(shù),不是一次函數(shù).5.在等差數(shù)列{an}中,ak,a2k,a3k,a4k,…仍為等差數(shù)列,公差為kd.

(√)提示:公差為d的等差數(shù)列{an}中,ak=a1+(k-1)d,a2k=a1+(2k-1)d,a3k=a1+(3k-1)d,a4k=a1+

(4k-1)d,……,因此a2k-ak=a3k-a2k=a4k-a3k=…=kd,故結(jié)論正確.6.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.

(√)

1|等差數(shù)列的判定與證明

判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列的方法1.定義法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*)?數(shù)列{an}是等差數(shù)列.2.定義變形法:驗(yàn)證數(shù)列的通項(xiàng)an是否滿足an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N*).3.等差中項(xiàng)法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?數(shù)列{an}為等差數(shù)列.4.通項(xiàng)公式法:數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式形如an=pn+q(p,q為常數(shù))?數(shù)列{an}為等差數(shù)

列.注意:(1)通項(xiàng)公式法不能作為證明方法.(2)若an+1-an為常數(shù),則該常數(shù)為等差數(shù)列{an}的公差;由an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N*)無(wú)

法確定等差數(shù)列{an}的公差.(3)若數(shù)列的前有限項(xiàng)成等差數(shù)列,則該數(shù)列未必是等差數(shù)列;而要否定一個(gè)數(shù)列

是等差數(shù)列,只要說明其中連續(xù)三項(xiàng)不成等差數(shù)列即可.

已知數(shù)列{an}滿足an=3an-1+3n-1(n∈N*,n≥2),且a3=95.(1)求a1,a2的值;(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=

(an+t)(n∈N*),是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t,使得{bn}為等差數(shù)列?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.思路點(diǎn)撥(1)代入n=3

求出a2

代入n=2

求出a1.(2)假設(shè)存在t

計(jì)算bn-bn-1

令bn-bn-1=常數(shù),求出t的值.解析

(1)當(dāng)n=3時(shí),a3=3a2+26=95,∴a2=23;當(dāng)n=2時(shí),a2=3a1+8=23,∴a1=5.(2)假設(shè)存在滿足題意的實(shí)數(shù)t.由題易得an-3an-1=3n-1,所以當(dāng)n≥2時(shí),bn-bn-1=

(an+t)-

(an-1+t)=

(an+t-3an-1-3t)=

·(3n-1-2t)=1-

.要使{bn}為等差數(shù)列,則1+2t=0,即t=-

.所以存在滿足題意的實(shí)數(shù)t,且t=-

.2|等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解及應(yīng)用

求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的一般思路1.方程思想:設(shè)出基本量a1與d,利用條件構(gòu)建方程組,求出a1與d,即可寫出數(shù)列的通

項(xiàng)公式.2.利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形:已知等差數(shù)列中的兩項(xiàng)時(shí),可利用an=am+(n-m)d

(n,m∈N*)求出公差d,進(jìn)而寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.

當(dāng)已知數(shù)列不是等差數(shù)列時(shí),需構(gòu)造與之相關(guān)的等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)

公式,求出包含an的關(guān)系式,進(jìn)而求出an.將題設(shè)中的遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的

常見形式如下:(1)轉(zhuǎn)化為(an+2-an+1)-(an+1-an)=常數(shù),則數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列.(2)轉(zhuǎn)化為

-

=常數(shù),則數(shù)列

是等差數(shù)列.(3)轉(zhuǎn)化為

-

=常數(shù),則數(shù)列

是等差數(shù)列,其中c為常數(shù).(4)轉(zhuǎn)化為

-

=常數(shù),則數(shù)列{

}是等差數(shù)列.(5)轉(zhuǎn)化為

-

=常數(shù),則數(shù)列{

}是等差數(shù)列.

(1)在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a6=12,a18=36,則其通項(xiàng)公式為an=

;(2)已知數(shù)列{an}滿足an+1=3an+3n,且a1=1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.思路點(diǎn)撥(1)思路一:由已知列方程組

求出a1,d

求出{an}的通項(xiàng)公式.思路二:利用an=am+(n-m)d求出d

求出{an}的通項(xiàng)公式.(2)將遞推關(guān)系式的兩邊同時(shí)除以3n+1,通過觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)列

為等差數(shù)列,求其通項(xiàng)公式后易得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解析

(1)解法一:由題意可得

解得

∴an=2+(n-1)×2=2n(n∈N*).解法二:∵a18=a6+(18-6)d,∴d=

=2,∴an=a6+(n-6)d=12+(n-6)×2=2n(n∈N*).(2)由an+1=3an+3n,兩邊同時(shí)除以3n+1,得

=

+

,即

-

=

.由等差數(shù)列的定義知,數(shù)列

是以

=

為首項(xiàng),

為公差的等差數(shù)列,∴

=

+(n-1)×

=

,故an=n·3n-1(n∈N*).答案

(1)2n(n∈N*)3|等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用

1.在解決等差數(shù)列中有關(guān)項(xiàng)的問題時(shí),可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算,若不

能應(yīng)用性質(zhì),則化基本量求解.(1)若有三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則一般設(shè)為a-d,a,a+d.(2)若有四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則一般設(shè)為a-3d,a-d,a+d,a+3d.(3)若有五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則一般設(shè)為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d.(4)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)時(shí),可設(shè)中間的一項(xiàng)為a,再以d為公差向兩邊分別設(shè)

項(xiàng),即設(shè)為…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…;當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項(xiàng)數(shù)n為偶數(shù)時(shí),可設(shè)中間兩項(xiàng)

分別為a-d,a+d,再以2d為公差向兩邊分別設(shè)項(xiàng),即設(shè)為…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….

已知等差數(shù)列{an}的公差d大于零,且a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=

,是否存在非零實(shí)數(shù)c,使數(shù)列{bn}為等差數(shù)列?若存在,求出實(shí)數(shù)c的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.思路點(diǎn)撥(1)由已知求出a1,d

求出{an}的通項(xiàng)公式.(2)假設(shè)存在c

列出等式2b2=b1+b3

求出c的值.解析(1)因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列,所以a3+a4=a2+a5=22.又a3·a4=117,所以聯(lián)立

解得

或

因?yàn)楣頳>0,所以a3<a4,所以