高一數(shù)學(xué)人教B版必修4課時(shí)作業(yè)2-3-1向量數(shù)量積的物理背景與定義

課時(shí)作業(yè)21向量數(shù)量積的物理背景與定義(限時(shí)：10分鐘)1．若a·b＞0，則a與b的夾角θ的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))解析：∵a·b＞0，∴cosθ＞0.又0≤θ≤π，∴0≤θ＜eq\f(π,2)，選A.答案：A2．已知|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，則向量a在b方向上的射影的數(shù)量是()A．－eq\f(1,2)B．－1C.eq\f(1,2)D．1解析：a在b方向上的射影的數(shù)量為|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)＝1，選D.答案：D3．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)解析：設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(1,2).又0≤θ≤π，故θ＝eq\f(π,3)，選C.答案：C4．已知|a|＝4，且a·b＝16，若a在b方向上的射影數(shù)量為4，則|b|＝________.解析：由題意，得eq\f(a·b,|b|)＝4，即eq\f(16,|b|)＝4，得|b|＝4.答案：45．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，求a在b方向上的正射影的數(shù)量及b在a方向上的正射影的數(shù)量．解析：因?yàn)閨a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，所以a在b方向上的正射影的數(shù)量是|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)＝－eq\f(12,5)，b在a方向上的正射影的數(shù)量是|b|cosθ＝eq\f(a·b,|a|)＝－4.(限時(shí)：30分鐘)1．已知向量a和向量b的夾角為30°，|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，則向量a和向量b的數(shù)量積a·b＝()A．1B．2C．3D．4解析：a·b＝|a|·|b|·cos30°＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3，選C.答案：C2．設(shè)向量a·b＝40，|b|＝10，則a在b方向上的數(shù)量為()A．4B．4eq\r(3)C．4eq\r(2)D．8＋eq\f(\r(3),2)答案：A3．有下列四個(gè)式子：①0·a＝0；②0·a＝0；③0－eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(NM,\s\up8(→))；④|a·b|＝|a||b|，其中正確的個(gè)數(shù)為()A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)解析：只有③正確，選D.答案：D4．等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，eq\o(BC,\s\up8(→))＝a，eq\o(CA,\s\up8(→))＝b，eq\o(AB,\s\up8(→))＝c，則a·b＋b·c＋c·a＝()A．3B．－3C.eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)解析：如圖，a·b＋b·c＋c·a＝cos120°＋cos120°＋cos120°＝3cos120°＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2)，選D.答案：D5．已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，AH為BC邊上的高，以下結(jié)論：①eq\o(AH,\s\up8(→))·(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝0；②eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＜0?△ABC為鈍角三角形；③eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\f(\o(AH,\s\up8(→)),|\o(AH,\s\up8(→))|)＝csinB；④eq\o(BC,\s\up8(→))·(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝a2.其中正確的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案：C6．若兩個(gè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量a＋b與a－b的夾角是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)解析：如圖，在以a和b為鄰邊的平行四邊形ABCD中，∵|a＋b|＝|a－b|，∴四邊形ABCD為矩形．在Rt△ABD中，|a－b|＝2|a|，∴∠ABD＝eq\f(π,6).∴a＋b和a－b的夾角為eq\f(2π,3).答案：C7．已知a⊥b，且|a|＝5，|b|＝12，則|a－b|＝________.解析：如圖，|a－b|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(|a|2＋|b|2)＝eq\r(52＋122)＝13.答案：138．對(duì)于任意向量a，b，定義新運(yùn)算“?”：a?b＝|a|·|b|·sinθ(其中θ為a與b的夾角)．利用這個(gè)新知識(shí)解決：若|a|＝1，|b|＝5，且a·b＝4，則a?b＝________.解析：設(shè)a與b的夾角為θ，則由題意得1×5×cosθ＝4，cosθ＝eq\f(4,5).又0≤θ≤π，故sinθ＝eq\f(3,5)，從而a?b＝1×5×eq\f(3,5)＝3.答案：39．已知|a|＝4，|b|＝5，則a在b上的射影數(shù)量與b在a上的射影數(shù)量的比值λ＝________.解析：由題意，得λ＝eq\f(\f(a·b,|b|),\f(a·b,|a|))＝eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)10．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝4，|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝3，∠DAB＝60°.求：(1)eq\o(AD,\s\up8(→))·BC.(2)eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→)).(3)eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(DA,\s\up8(→)).解析：(1)因?yàn)閑q\o(AD,\s\up8(→))與eq\o(BC,\s\up8(→))平行且方向相同，所以eq\o(AD,\s\up8(→))與eq\o(BC,\s\up8(→))的夾角為0°，所以eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝|eq\o(AD,\s\up8(→))|·|eq\o(BC,\s\up8(→))|·cos0°＝3×3×1＝9.(2)因?yàn)閑q\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(CD,\s\up8(→))的方向相反，所以eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(CD,\s\up8(→))的夾角是180°，所以eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(CD,\s\up8(→))|·cos180°＝4×4×(－1)＝－16.(3)因?yàn)閑q\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(AD,\s\up8(→))的夾角是60°，所以eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(DA,\s\up8(→))的夾角是120°，所以eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(DA,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(DA,\s\up8(→))|·cos120°＝4×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－6.11．若a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，t∈R.若|a|＝|b|且a與b夾角為60°，t為何值時(shí)，|a－tb|的值最?。拷馕觯簗a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos60°＝(1＋t2－t)|a|2.所以當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，|a－tb|有最小值eq\f(\r(3),2)|a|.12．已知在△ABC中，eq\o(AB,\s\up8(→))＝c，eq\o(BC,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，若|c|＝m，|b|＝n，〈b，c〉＝θ.(1)試用m，n，θ表示S△ABC；(2)若c·b＜0，且S△ABC＝eq\f(15,4)，|c|＝3，|b|＝