四川省瀘州市合江縣馬街中學校2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學試題

馬街中學2023年秋期高二期末考試數(shù)學試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知雙曲線，雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用已知條件，求解、，即可得出雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線，可得，，所以雙曲線的離心率為：.故選：D.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線的標準方程求雙曲線的離心率，一般計算出、、的值或者通過三者之間的等量關系進行計算，考查計算能力，屬于基礎題.2.已知向量a→=(1，1，k)，b→=(-1，0，-1)，c→=(0，2，1)，且向量A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標運算和向量垂直數(shù)量積為0可解.【詳解】解：根據(jù)題意，易得a→-2b→=(1，?1，?k)-2(-1，?0，?-1)=(3，?1，?k+2)，

∵與兩向量互相垂直，∴0+2+k+2=0故選：D3.如果事件，互斥，且事件，分別是，的對立事件，那么（）A.是必然事件 B.是必然事件C.與一定互斥 D.與一定不互斥【答案】B【解析】【分析】根據(jù)事件，互斥，可得，即可判斷正確.【詳解】由于事件與互斥，，則(為全集)，是必然事件.故選：.【點睛】本題主要考查的是互斥事件、對立事件的定義，而互斥事件、對立事件的定義是判斷兩個事件是不是互斥事件、對立事件的一種最有效、簡便的方法由對立事件的定義可知對立事件首先是互斥事件，并且其中一個一定要發(fā)生，因此兩個對立事件一定是互斥事件，但兩個互斥事件卻不一定是對立事件，解題時一定要弄清兩個事件之間的關系，是基礎題.4.直線截圓所得的弦長（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】方法一：先求圓心坐標及圓的半徑，再求圓心到直線的距離，結合直線與圓的相交弦長公式求弦長.方法二：聯(lián)立直線與圓的方程，求出交點坐標，利用兩點距離公式求弦長；方法三：聯(lián)立直線與圓方程，利用設而不求法結合弦長公式求弦長.【詳解】（方法1：幾何法）圓的半徑r＝，圓心坐標為，圓心到直線的距離，所以.（方法2：兩點距離公式）由，消去得，解得或，直線與圓的交點坐標為，，則．（方法3：韋達定理）由，消去得，方程的判別式，設，由韋達定理得，，，所以．故選：C．5.記為等差數(shù)列的前項和，若，則數(shù)列的通項公式（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】根據(jù)等差數(shù)列通項和求和公式可構造方程組求得，根據(jù)等差數(shù)列通項公式得到結果.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，解得：，.故選：B.6.古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，可求得該女子第2天所織布的尺數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意，得到該女子每天所織布的長度構成等比數(shù)列，根據(jù)題意求出首項和公比，即可求出結果.【詳解】由題意可得，該女子每天所織布的長度構成等比數(shù)列，設公比為，由題意知，首項為，前項和為，由題意可得，解得，所以第二天織的布為.故選：C.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的基本量運算，熟記等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可，屬于基礎題型.7.直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點，則AM與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．【詳解】如圖所示，取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，不妨設，則，所以，平面的一個法向量為設AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為．故選：B．8.已知，分別為橢圓的左、右焦點，點M為線段的中點（O為坐標原點），點P在橢圓上且滿足軸，點M到直線的距離為，則橢圓的離心率為（）A.或 B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)幾何關系求出P和M的坐標，寫出直線的方程，根據(jù)M到的距離即可求出離心率．【詳解】∵軸，∴將代入橢圓可得，∴不妨設，∴直線的斜率為，則直線的方程為，即，則到直線的距離為，整理得，所以，解得或，即或，則橢圓的離心率為或故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若A，B，C，D為空間不同的四點，則下列各式為零向量的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算逐一分析各個選項即可得出答案.【詳解】解：A中，＋2＋2＋＝＋2＋＝＋＋＋＝＋；B中，2＋2＋3＋3＋＝2＋3＋＝；C中，＋＋＝＋；D中，－＋－＝＋＋＋.故選：BD.10.已知直線，圓，點，則下列說法正確的是（）A.點在直線上 B.點在圓上C.直線與圓相離 D.直線與圓相切【答案】ABD【解析】【分析】將點M代入直線和圓的方程，根據(jù)是否滿足方程即可判斷在不在直線和圓上，根據(jù)距離等于半徑，可推斷直線與圓相切.【詳解】解：將點代入直線l的方程，滿足，所以點M在圓C上，A選項正確；將點代入圓C的方程，滿足，所以點M在圓C上，B選項正確；圓心到直線的距離直線與圓相切，C選項錯誤，D選項正確；故選：ABD.11.已知數(shù)列滿足，，，，是數(shù)列的前n項和，則下列結論正確的有（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.【答案】BCD【解析】【分析】直接已知式中由求得，判斷A選項，變形后可判斷B選項，由B選項結論求出，并得出，判斷C選項，由等比數(shù)列前項和公式求和判斷D選項．【詳解】時，，而，故選項錯誤；，即，又，故B選項正確；，故選項正確；，故D選項正確.故選：BCD．12.已知為雙曲線上的動點，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，，記線段，的長分別為，，則（）A.若，的斜率分別為，，則B.C.的最小值為D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】先求出雙曲線的漸近線方程：，設點，，利用點線距離公式求出，，再利用直線之間的關系求出直線，的斜率，結合選項選出正確答案即可．由均值不等式及為定值可判斷C正確，由余弦定理可得的最小值，判斷D正確．【詳解】如圖所示，設，，則．由題設條件知：雙曲線的兩漸近線：，．設直線，的斜率分別為，，則，，所以，故選項正確；由點線距離公式知：，，，故B錯誤；，所以C錯誤；由四邊形中，所以，，當且僅當時等號成立，所以D正確，故選：AD．第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知盒中有3張分別標有1，2，3的卡片，從中隨機地抽取一張，記下數(shù)字后再放回，再隨機地抽取一張，記下數(shù)字，則兩次抽得的數(shù)字之和為3的倍數(shù)的概率為___________．【答案】【解析】【詳解】試題分析:抽取的所有能有共九種,其中的數(shù)字之和都是的倍數(shù),所以兩次抽得的數(shù)字之和為的倍數(shù)的概率為,故應填答案.考點：古典概型公式及運用．14.等差數(shù)列的前項和為，且，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式及下標和性質計算可得.【詳解】解：根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式及性質可得，解得，故答案為：.15.若直線：與：平行，則的值為_____．【答案】7【解析】【分析】由已知條件可得關于m的方程，解方程即可求出m的值，代入直線方程驗證即可.【詳解】因為,所以有，解之得,或.當時，直線重合,舍去.【點睛】本題主要考查兩直線平行的判定條件，屬于基礎題型.16.已知直線是拋物線的準線，拋物線的頂點為，焦點為，若為上一點，與的對稱軸交于點，在中，，則的值為__________．【答案】【解析】【分析】在中，由結合正弦定理可得，在設拋物線上點，列式求解即可得，則可求.【詳解】因為拋物線的準線，焦點為，準線與的對稱軸交于點，所以，，因為在中，，所以由正弦定理可得，,因為為拋物線上一點，所以可設為由此可得，平方化簡可得：，即，可得,故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束．甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的結果相互獨立．在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束．（1）求；（2）求事件“且甲獲勝”的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件概率計算公式求得正確答案.（2）根據(jù)相互獨立事件概率計算公式求得正確答案.【小問1詳解】就是某局雙方10∶10平后，兩人又打了2個球該局比賽結束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分．因此.【小問2詳解】“且甲獲勝”，就是某局雙方10∶10平后，兩人又打了4個球該局比賽結束，且這4個球的得分情況為前兩球是甲、乙各得分，后兩球均為甲得分．因此事件“X＝4且甲獲勝”的概率為：.18.在中，已知點，的內角平分線BD所在的直線方程是，邊上的中線所在的直線方程是，求：（1）點的坐標；（2）邊所在直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設出點，根據(jù)題意點在直線方程上，且線段的中點在中線所在的直線方程上，列出方程組求解即可；（2）先求出點關于直線的對稱點，則點在直線上，從而求出邊所在直線的方程.【小問1詳解】設點，依題意可知：點在直線方程上，且線段的中點在中線所在的直線方程上，又點，則有：，解得：，所點的坐標為：.【小問2詳解】設點關于直線的對稱點為，則的中點坐標為，，于是，解得：，則，由（1）知，所以，所以邊所在直線的方程為：，即.19.已知圓的圓心在直線上，且過和兩點.（1）求圓的標準方程；（2）過點的直線與圓交于兩點，求弦中點的軌跡方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）假設圓心坐標，利用可構造方程求得圓心和半徑，由此可得圓方程；（2）設，根據(jù)，由即可得到所求的軌跡方程.【小問1詳解】設圓心，則，即，解得：，，又圓心，圓的標準方程為；【小問2詳解】為弦中點，，即，設，則，，，即點的軌跡方程為：.20.如圖，在正四棱柱中，，，點在棱上，且平面．（1）求的值；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】如圖，以點為原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，（1）設，由平面，可得，從而數(shù)量積為零，可求出的值，進而可求得的值；（2）利用空間向量求二面角的余弦值【詳解】解：（1）如圖，以點為原點，，，方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，設，則點，，，．則，．因為平面，所以，所以，解得或．當時，，，；當時，，，．（2）因為，由（1）知，．平面的一個法向量為．設平面的法向量為，因為，，所以令，則．所以，由圖知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為．21.設為數(shù)列的前n項和，已知．（1）求通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)錯位相減法即可解出．【小問1詳解】因為，當時，，即；當時，，即，當時，，所以，化簡得：，當時，，即，當時都滿足上式，所以．【小問2詳解】因為，所以，，兩式相減得，，，即，．22.已知為橢圓上一點，點與橢圓的兩個焦點構成的三角形面積為．（1）求橢圓的標準方程；（2）不經過點的直線與橢圓相交于兩點，若直線與的斜率之和為，證明：直線必過定點，并求出這個定點坐標．【答案】（1）（2）證明見解析，定點【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點三角形的面積和點坐標求解出的值，則的值可求，故橢圓的標準方程可知；（2）當直線的斜率不存在時，直接分析即可；當直線的斜率存在時，設出的方程并與橢圓方程聯(lián)立得到橫坐標的韋達定理形式，將斜率關系轉化為坐標運算，從而求解出直線方程中參數(shù)的關系，由此可求直線所過的定點.【小問1詳解】因為點與橢圓的兩個焦點構成的三角形面積為，所以且，所以，，所以，所以橢圓的標準