高中數(shù)學(xué)選擇性課時評價5-3-3第2課時生活中的優(yōu)化問題舉例

三十九生活中的優(yōu)化問題舉例(15分鐘30分)1．把長為12cm的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是()A．eq\f(3,2)eq\r(3)cm2B．4cm2C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2【解析】選D.設(shè)兩段長分別為xcm,(12－x)cm，這兩個正三角形的邊長分別為eq\f(x,3)cm，eq\f(12－x,3)cm，面積之和為S(x)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(x,3)))2))＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)x2－\f(8x,3)＋16)).令S′(x)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)x－\f(8,3)))＝0，解得x＝6.則x＝6是S(x)的極小值點，也是最小值點，所以S(x)min＝S(6)＝2eq\r(3)cm2.2．容積為108升的底面為正方形的長方體無蓋水箱，要使用料最省，它的高為()A．2分米B．3分米C．4分米D．6分米【解析】選B.設(shè)水箱的底面邊長為a分米，高為h分米，則V＝a2h＝108，即h＝eq\f(108,a2).用料最省，即表面積最?。甋表＝S底＋S側(cè)＝a2＋4ah＝a2＋4a×eq\f(108,a2)＝a2＋eq\f(432,a).S表′＝2a－eq\f(432,a2)，令S表′＝2a－eq\f(432,a2)＝0，解得a＝6，此時h＝3分米．3．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品每噸的價格P(元/噸)與產(chǎn)量x(噸)之間的關(guān)系式為P＝24200－eq\f(1,5)x2，且生產(chǎn)x噸的成本為R＝50000＋200x(元)，為使利潤最大，則產(chǎn)量應(yīng)為()A．200噸B．20噸C．150噸D．100噸【解析】選A.利潤L＝P·x－R＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(24200－\f(1,5)x2))x－50000－200x＝－eq\f(1,5)x3＋24000x－50000(x>0)，L′＝－eq\f(3,5)x2＋24000，令L′＝0，得x2＝40000.所以x＝200.經(jīng)檢驗，當(dāng)x＝200時利潤最大．4．做一個容積為256dm3的方底無蓋水箱，用料最省時需用料________dm2.【解析】設(shè)底面邊長為xdm，則高h(yuǎn)＝eq\f(256,x2)，其表面積為S＝x2＋4×eq\f(256,x2)×x＝x2＋eq\f(256×4,x)，S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0，得x＝8，此時Smin＝192(dm2).答案：1925．要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20，要使其體積最大，則高為多少？【解析】設(shè)圓錐的高為xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<20))，則圓錐底面半徑r＝eq\r(400－x2)，所以圓錐體積：V＝eq\f(1,3)πr2·x＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(400－x2))x＝－eq\f(π,3)x3＋eq\f(400π,3)x，所以V′＝－πx2＋eq\f(400π,3)，令V′＝0，解得：x＝eq\f(20\r(3),3)，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(20\r(3),3)))時V′>0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20\r(3),3)，20))時，V′<0，所以當(dāng)x＝eq\f(20\r(3),3)時，V取得最大值，即體積最大時，圓錐的高為eq\f(20\r(3),3).(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．若商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x3＋27x＋123(x＞0)，則獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為()A．1萬件B．2萬件C．3萬件D．4萬件【解析】選C.因為y＝－x3＋27x＋123(x＞0)，所以y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)(x＞0)，所以y＝－x3＋27x＋123在(0，3)上是增函數(shù)，在(3，＋∞)上是減函數(shù)；故當(dāng)x＝3時，獲得最大利潤；故獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為3萬件．2．以長為10的線段AB為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為()A．10B．15C．25D．50【解析】選C.設(shè)PN＝x，PQ＝2y則x2＋y2＝25，S＝2xy，S2＝4x2y2＝4x2(25－x2)＝100x2－4x4，設(shè)t＝x2，則S2＝100t－4t2，(S2)′＝100－8t.知當(dāng)t＝eq\f(25,2)時，S2的最大值＝252，即S的最大值為25.3．用長為30cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架(即12條棱長總和為30cm)，要求長方體的長與寬之比為3∶2，則該長方體最大體積是()A．24cm3B．15cm3C．12cm3D．【解析】選B.設(shè)該長方體的寬是xcm，由題意知，其長是eq\f(3x,2)cm，高是eq\f(30－10x,4)＝eq\f(15－5x,2)cm，(0<x<3)，則該長方體的體積V(x)＝x·eq\f(3,2)x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15－5x,2)))＝－eq\f(15,4)x3＋eq\f(45,4)x2，V′(x)＝－eq\f(45,4)x2＋eq\f(90,4)x，由V′(x)＝0，得到x＝2(x＝0舍去)，當(dāng)0<x<2時，V′(x)>0；當(dāng)2<x<3時，V′(x)<0，即體積函數(shù)V(x)在x＝2處取得極大值Veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝15，也是函數(shù)V(x)在定義域上的最大值．所以該長方體體積的最大值是15cm3.4．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x(0≤x≤390)的關(guān)系是R(x)＝－eq\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，則當(dāng)總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是()A．150B．200C．250D．300【解析】選D.由題意可得總利潤P(x)＝－eq\f(x3,900)＋300x－20000(0≤x≤390)，由P′(x)＝－eq\f(x2,300)＋300，得x＝300.當(dāng)0≤x<300時，P′(x)>0；當(dāng)300<x≤390時，P′(x)<0，所以當(dāng)x＝300時，P(x)最大．二、填空題(每小題5分，共10分)5．做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使水桶的容積是27π，且用料最省，則水桶的底面半徑為________．【解析】用料最省，即水桶的表面積最小．設(shè)圓柱形水桶的表面積為S，底面半徑為r(r＞0)，則πr2h＝27π，即水桶的高為eq\f(27,r2)，所以S＝πr2＋2πr×eq\f(27,r2)＝πr2＋eq\f(54π,r)(r>0).求導(dǎo)數(shù)，得S′＝2πr－eq\f(54π,r2).令S′＝0，解得r＝3.當(dāng)0＜r＜3時，S′＜0；當(dāng)r＞3時，S′＞0.所以當(dāng)r＝3時，圓柱形水桶的表面積最小，即用料最省．答案：36．(2017·全國Ⅰ卷)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________.【解析】連接OB，連接OD，交BC于點G，由題意得，OD⊥BC，OG＝eq\f(\r(3),6)BC，設(shè)OG＝x，則BC＝2eq\r(3)x，DG＝5－x，三棱錐的高h(yuǎn)＝eq\r(DG2－OG2)＝eq\r(25－10x＋x2－x2)＝eq\r(25－10x)，S△ABC＝2eq\r(3)x·3x·eq\f(1,2)＝3eq\r(3)x2，則V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\r(3)x2·eq\r(25－10x)＝eq\r(3)·eq\r(25x4－10x5)，令f(x)＝25x4－10x5，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，f′(x)＝100x3－50x4，令f′(x)>0，即x4－2x3<0，x<2，則f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝80，則V≤eq\r(3)×eq\r(80)＝4eq\r(15)，所以體積最大值為4eq\r(15)cm答案：4eq\r(15)cm三、解答題(每小題10分，共20分)7．某地需要修建一條大型輸油管道，其通過120公里寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程只需要在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站).經(jīng)預(yù)算，修建一個增壓站的工程費用為400萬元，鋪設(shè)距離為x公里的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費用為(x2＋x)萬元．設(shè)余下工程的總費用為y萬元．(1)試將y表示成關(guān)于x的函數(shù)．(2)需要修建多少個增壓站才能使總費用y最??？【解析】(1)依題意可知余下工程有eq\f(120,x)段管道，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,x)－1))個增壓站，故余下工程的總費用為y＝(x2＋x)·eq\f(120,x)＋400·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,x)－1))＝120x＋eq\f(48000,x)－280，所以將y表示成關(guān)于x的函數(shù)為y＝120x＋eq\f(48000,x)－280(0<x<120).(2)由(1)知y＝120x＋eq\f(48000,x)－280(0<x<120)，有y′＝120－eq\f(48000,x2)，令y′＝0，解得x＝20，y，y′隨x的變化情況如表：由表易知，函數(shù)y在x＝20時取得最小值，此時eq\f(120,x)－1＝5，故需要修建5個增壓站才能使總費用y最?。?．某租賃公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3000元時，可全部租出，當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛，租出的車每輛每月需要維護(hù)費150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費50元．(1)當(dāng)每輛車的月租定為3600元時，能租出多少輛車？(2)每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益為多少？【解析】(1)當(dāng)每輛車的月租金為3600元時，未出租的車輛數(shù)為eq\f(3600－3000,50)＝12，所以這時租出了100－12＝88(輛)車．(2)設(shè)每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100－\f(x－3000,50)))(x－150)－eq\f(x－3000,50)×50＝－eq\f(x2,50)＋162x－21000，f′(x)＝－eq\f(x,25)＋162，由f′(x)＝0解得x＝4050，當(dāng)x∈(3000，4050)時，f′(x)>0，f(x)遞增，當(dāng)x∈(4050，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)遞減，所以當(dāng)x＝4050時，f(x)最大，最大值為f(4050)＝307050.設(shè)一個容積V固定的有鋁合金蓋的圓柱形鐵桶，高為h，底面半徑為r.已知單位面積鋁合金的價格是鐵的3