2024屆二輪復習 基本不等式 作業(yè)

優(yōu)化集訓2基本不等式基礎(chǔ)鞏固1.(2022浙江溫州新力量聯(lián)盟)已知正實數(shù)x,y滿足1x+1y=2,則A.2 B.2 C.12 D.2.下列各式中,對任何實數(shù)x都成立的一個式子是()A.x+1≥2x B.x2+1>2xC.1x2+1≤1 D.3.已知0<x<1,則函數(shù)y=x(3-3x)取得最大值時x的值為()A.13 B.12 C.234.(2021浙江溫州模擬)已知x,y為實數(shù),則“x>0,y>0”是“x+y2≤A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.下列不等式恒成立的是()A.a2+b2≤2ab B.a2+b2≥-2abC.a+b≥2ab D.a+b≤-2ab6.(2023浙江嘉興期末)若正數(shù)a,b滿足a+b=ab,則a+4b的最小值是()A.7 B.9 C.13 D.257.(2022浙江杭州學軍中學)若m+n=1(m>0,n>0),則1m+1A.4 B.6 C.9 D.128.已知第一象限內(nèi)的點P(a,b)在一次函數(shù)y=-8x+5的圖象上,則2a+1A.25 B.5 C.4 D.59.(2023浙江紹興)已知a>0,b>0,且a+b=4,則下列取值有可能的是()A.ba+ab=2 B.C.1a2+1b2=1410.(多選)(2023浙江溫州)已知正實數(shù)x,y滿足2x+y=xy,則()A.xy≥8 B.x+y≥6C.1x-1+8y≥4 D.11.(多選)(2023浙江麗水)已知正數(shù)a,b滿足a+b=1,則下列結(jié)論正確的是()A.0<ab≤14 BC.a+b≤2 D.2a+12.已知x<54,則函數(shù)y=4x-2+14x-13.(2022浙江寧波中學)若實數(shù)x,y滿足x>y>0且log2x+log2y=1,則x2+y214.若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值為.

15.對任意的正數(shù)x,不等式ax≤x2+4恒成立,則實數(shù)a的最大值為.

16.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0.求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.17.(1)當x>0時,求函數(shù)y=x2(2)當x<1時,求函數(shù)y=x2+2能力提升18.(多選)(2022浙江寧波中學)下列說法正確的是()A.不等式a+b>2ab恒成立B.存在實數(shù)a,使得不等式a+1aC.若a,b為正實數(shù),則baD.若正實數(shù)x,y滿足x+2y=1,則2x19.已知正數(shù)x,y滿足x2+2xy-1=0,則3x2+4y2的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.420.(2023浙江鎮(zhèn)海中學)已知實數(shù)x,y滿足x2+xy-2y2=1,則3x2-2xy的最小值是.

21.(2023浙江寧波期末)炎炎夏日,古代人們乘涼時用的紙疊扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形加工制作而成.如圖,扇形紙疊扇完全展開后,得到的扇形ABC面積為100π2cm2,則當該紙疊扇的周長最小時,AB的長度為cm.

22.已知實數(shù)a,b,c∈R,且a+b+c=1,求證:a2+b2+c2≥1323.為了加強“平安校園”建設(shè),保障師生安全,某校決定在學校門口利用一側(cè)原有墻體,建造一間墻高為3米,底面為24平方米,且背面靠墻的長方體形狀的校園警務室.由于此警務室的后背靠墻,無需建造費用,甲工程隊給出的報價為:屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元,左右兩面新建墻體報價為每平方米300元,屋頂和地面以及其他報價共計14400元.設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為x米(3≤x≤6).(1)當左右兩面墻的長度為多少時,甲工程隊報價最低?并求出最低報價.(2)現(xiàn)有乙工程隊也要參與此警務室的建造競標,其給出的整體報價為1800a(1+x)x

優(yōu)化集訓2基本不等式基礎(chǔ)鞏固1.D解析∵x>0,y>0,∴2=1x+1y≥2xy2.C解析對于選項A,當x<0時不成立;對于選項B,當x=1時不成立;對于選項D,當x<0時不成立;對于選項C,因為x2+1≥1,所以1x2+1≤1成立3.B解析因為0<x<1,所以y=x(3-3x)=3x(1-x)≤3×x+1-x22=34,當且僅當x=14.A解析當x>0,y>0時,由x+y22-x2+y22=-x5.B解析由a,b∈R可知a2+b2≥2|ab|≥-2ab,所以選項B正確.6.B解析(方法1)由a+b=ab,得(a-1)(b-1)=1,∴a-1>0,b-1>0,∴a+4b=(a-1)+4(b-1)+5≥5+2(a-1)·4(b(方法2)由a+b=ab,得1a+1b=1,∴a+4b=(a+4b)·(1a+1b)=5+4ba+a7.A解析因為m+n=1(m>0,n>0),則1m+1n=m+nm+m+nn=8.B解析由題意知b=-8a+5,且a>0,b>0,故8a+從而2a+1b=(2a+1b)·8a+b5=15(17+2ba9.A解析對于A,已知a>0,b>0,所以ba+ab≥2ba·ab=2,當且僅當a=b=2時,等號成立,故A正確;對于B,已知a>0,b>0,所以a+ba=a+4-aa=a+4a-1≥24-1=3,當且僅當a=4a,即a=2,b=2時,等號成立,所以a+ba=2不成立,故B錯誤;對于C,已知a>0,b>0,且a+b=4,所以(a+b)2=16,16a2+16b2=(a+b)2a2+(a+b)2b2=a2+b2+2aba2+a2+b2+2abb2=10.AD解析由題知,正實數(shù)x,y滿足2x+y=xy,所以2y+1x=1,對于A,因為2x+y≥22xy,當且僅當2x=y時,等號成立,所以xy≥22xy,所以x2y2≥8xy,即xy≥8,故A正確;對于B,x+y=(x+y)·(2y+1x)=2xy+yx+3≥22xy·yx+3=22+3,當且僅當2xy=yx,且2y+1x=1,即x=2+1,y=2+2時,等號成立,故B錯誤;對于C,因為2x+y=xy,所以x=yy-2,所以1x-1=1yy-2-1=12y-2=y-22=y2-1,所以1x-1+8y=y2+8y-1≥2y2·8y-1=3,當且僅當y2=8y,且x=yy-2,即x=2,y=4時,等號成立,故C錯誤;對于D,由選項A得xy≥8,所以2x211.CD12.1解析因為x<54,所以4x-5<0,所以y=4x-2+14x-5=-[(5-4x)+15-4x]+3≤3-2(513.4解析由log2x+log2y=1,得xy=2,x2+y2x-y=x14.5解析因為x+3y=5xy,所以35x+15y=1.所以3x+4y=(3x+4y)·(35x+15y)=9515.4解析因為x>0,所以不等式ax≤x2+4恒成立即為a≤x+4x恒成立.因為x+4x≥2x·4x=4,當且僅當x=4x,x=2時等號成立.16.解(1)因為x>0,y>0,2x+8y-xy=0≥216xy-xy所以有xy≥8,解得xy≥64.當且僅當2x=8y,即x=16,y=4時,等號成立.所以xy的最小值為64.(2)因為2x+8y-xy=0,所以有8x+所以x+y=(x+y)·(8x+2y)=8+2+8yx+當且僅當8yx=2xy所以x+y的最小值為18.17.解(1)因為x>0,所以y=x2+3x+42x=x2+2(2)因為x<1,所以t=1-x>0.所以y=x2+2x-1=(1-t)2+2當且僅當t=3t,t=1-x=3,即x=1-3時,等號成立所以函數(shù)的最大值為2-23.能力提升18.BCD解析對于A選項,當a<0,b<0時不成立,故錯誤;對于B選項,當a<0時,a+1a=-[(-a)+(-1a)]≤-2,當且僅當a=-1時,等號成立,故正確;對于C選項,若a,b為正實數(shù),則ba>0,ab>0,所以ba+ab≥2ba·ab=2,當且僅當a=b時等號成立,故正確;對于D選項,x>0,y>0,2x+1y=(2x+1y)(x+19.B解析(方法1)3x2+4y2=2x2+x2+4y2≥2x2+2x2·4y2=2x2+4xy=2(x2+2xy)=2,當且僅當x=2y,(方法2)根據(jù)題意可得2xy=1-x2,由x>0,所以y=1-x22x=12x-x2,由y=12x-x2>0,可得x2<1,即0<x<1,3x2+4y2=3x2+4(12x-x2)2=4x2+1x2-20.2解析(方法1)3x2-2xy=x2-2xy+2(2y2-xy+1)=x2-4xy+4y2+2=(x-2y)2+2≥2,當且僅當x=2y(方法2)由x2+xy-2y2=1得(x+2y)(x-y)=1,設(shè)m=x+2∴3x2-2xy=3×(m+2n3)2-2×當且僅當m2∴3x2-2xy的最小值是2.21.10π解析設(shè)扇形ABC的半徑為rcm,弧長為lcm,則扇形面積S=12rl由題意得12rl=100π2,所以rl=200π2,所以紙疊扇的周長C=2r+l≥22rl=2400π2=40π,當且僅當2r=22.證明因為a+b+c=1,兩邊平方,展開有a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.因為當a,b,c∈R時,有a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以有a2+b2+b2+c2+c2+a2=2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca=1-a2-b2-c2,所以3a2+3b2+3c2≥1,即a2+b2+c2≥13當且僅當a=b=c時,等號成立.23.解(1)設(shè)甲工程隊的總報