2024屆二輪復(fù)習(xí) 平面向量的綜合應(yīng)用 作業(yè)

沖A專題三平面向量的綜合應(yīng)用1.已知G是△ABC的重心,若GC=xAB+yAC,x,y∈R,則x+y=()A.-1 B.1C.13 D.-2.在△ABC中,AB=2,若CA·CB=-12,則∠AA.π6 B.π4 C.π33.已知平面向量a,b(a≠b)滿足|a|=1,且a與b-a的夾角為150°.若c=(1-t)a+tb(t∈R),則|c|的最小值為()A.1 B.14 C.12 D4.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙,是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.每年新春佳節(jié),我國許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習(xí)俗,以此達(dá)到裝點(diǎn)環(huán)境、渲染氣氛的目的,并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望.圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花,已知圖2中正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2,圓O的圓心為正六邊形的中心,半徑為1,若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng),MN為圓O的直徑,則PM·PN的取值范圍是(圖1圖2A.[2,4] B.[2,3]C.32,4 D.32,35.在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,D是AB的中點(diǎn),E,F分別是邊BC,AC上的動(dòng)點(diǎn),且EF=1,則DE·DF的最小值等于(A.54 B.15C.174 D.6.(2023浙江溫州十校)已知向量a,b均為單位向量,且a⊥b,向量c滿足|c|=2,則(c-a)·(c-b)的最大值為()A.32-1C.32 D.7.(多選)已知向量a,b,c滿足|a|=2,|b|=3,a·b=3,|c|2-2b·c+8=0,則下列說法正確的有()A.|c-b|=1B.若c⊥(c-b),則|c|=22C.?t∈R,有|b+ta|≥32D.若c=λa+(1-λ)b,則|a-c|=7-18.(多選)(2023浙江臺(tái)金六校)在△OAB中,OA=1,OB=2,∠AOB=120°,P是等邊三角形ABC(點(diǎn)O與C在AB的兩側(cè))邊上的一動(dòng)點(diǎn).若OP=xOA+yOB,則有()A.當(dāng)x=12時(shí),點(diǎn)P必在線段ABB.x+y的最大值是9C.OP·OA的最小值是D.PO·PA9.在扇形OAB中,∠AOB=60°,C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若OC=xOA+yOB,則3x+y的取值范圍是.

10.(2023浙江學(xué)軍中學(xué))在直角坐標(biāo)平面內(nèi),A(-2,0),B(2,0),若對(duì)任意實(shí)數(shù)t∈R,點(diǎn)P都滿足13AP-tAB≥1,則PA·PB的最小值為11.(2023浙江奉化)如圖,分別以等邊三角形ABC的頂點(diǎn)為圓心,以邊長(zhǎng)為半徑作圓弧,由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形.若該等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1,P為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PA·(PB+PC)的最小值為

沖A專題三平面向量的綜合應(yīng)用1.C解析設(shè)D是BC中點(diǎn),由重心的定義可知AG=23AD=23×12(AB+AC)2.B解析設(shè)AB的中點(diǎn)為E,由CA·CB=-12,AB=2,得CA·CB=CE2-14AB2=CE2-1=-12,∴CE23.C解析如圖所示,設(shè)AB=a,AC=b,則BC=b-a,可令BD=t(b-a),t∈R,則AD=AB+BD=a+t(b-a)=(1-t)a+tb=c,點(diǎn)D因?yàn)閍與b-a的夾角為150°,則∠ABC=30°,當(dāng)AD⊥BC時(shí),線段AD最短,此時(shí)|c|取最小值,即|c|min=|AB|sin30°=12.故選C4.B解析如圖,取AF的中點(diǎn)Q,根據(jù)題意,△AOF是邊長(zhǎng)為2的正三角形,易得|OQ|=3,又PM·PN=(PO+OM)·(PO+ON)=|PO|2+PO·ON+PO·OM+OM·ON=|PO|根據(jù)圖形可知,當(dāng)點(diǎn)P位于正六邊形各邊的中點(diǎn)時(shí)|PO|有最小值為3,此時(shí)|PO|2-1=2,當(dāng)點(diǎn)P位于正六邊形的頂點(diǎn)時(shí),|PO|有最大值為2,此時(shí)|PO|2-1=3,所以2≤PM·PN≤3.5.B解析DE·DF=(DE+DF)2-(DE-DF)24=DH2-EF6.D解析(方法1)設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,則由a⊥b可知△AOB是∠AOB=π2的等腰直角三角形.又由|c|=2知點(diǎn)C在以O(shè)為圓心,2為半徑的圓上.設(shè)AB的中點(diǎn)為E,由極化恒等式得,(c-a)·(c-b)=CA·CB=CE2-14AB2=(方法2)因?yàn)橄蛄縜,b均為單位向量,且a⊥b,可設(shè)a=(1,0),b=(0,1).又因?yàn)閨c|=2,設(shè)c=(2cosθ,2sinθ),θ∈[0,2π),則c-a=(2cosθ-1,2sinθ),c-b=(2cosθ,2sinθ-1),可得(c-a)·(c-b)=2cosθ(2cosθ-1)+2sinθ(2sinθ-1)=2(cos2θ+sin2θ)-2(sinθ+cosθ)=2-2sinθ+π4.因?yàn)棣取蔥0,2π),所以θ+π4∈π4,當(dāng)且僅當(dāng)θ+π4=3π2,即θ=5π4,c=(-1,-1)時(shí),(c-a)故選D.7.ABC解析設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,|c|2-2b·c+8=0可化為(c-b)2=1,∴點(diǎn)C在以B為圓心,1為半徑的圓上,故A正確;對(duì)于B,|c|2-2b·c+8=0可化為2c·(c-b)-c2+8=0,若c⊥(c-b),則c·(c-b)=0,∴|c|=22,故B正確;對(duì)于C,|b+ta|2=b2+2ta·b+t2a2=4t2+6t+9=4t+342+274≥274,∴|b+ta|≥32,故C正確;對(duì)于D,c=λa+(1-λ)b,知點(diǎn)C在直線AB上,由|a|=2,|b|=3,a·b=3知在△AOB中,∠AOB=π3,如圖,可知|a-c8.BC解析對(duì)于A,記D為AO的中點(diǎn),過點(diǎn)D作DP∥OB交BC于點(diǎn)P,如圖,此時(shí)存在λ∈R,使得DP=λOB,則OP=OD+DP顯然滿足x=12,但點(diǎn)P不在線段AB對(duì)于B,延長(zhǎng)OA,在OA上任取一點(diǎn)E'作E'P'平行于OB,如圖,則OP'=OE'+E'P'易得∠CBO=60°+∠ABO大于∠AOB=120°的外角,則AO與CB的延長(zhǎng)線必交于一點(diǎn),故E'P'離OB越遠(yuǎn),其值越大,同時(shí),OE'的值也越大,顯然,當(dāng)P'到達(dá)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí),OE'與E'P'都取得最大值,此時(shí)x+y也取得最大值,此時(shí),在△OAB中,AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB=1+4-2×2×-12=7,所以AB=7,則AC=7,cos∠BAO=OA易知0°<∠BAO<60°,所以sin∠BAO=37,則cos∠CAO=cos(∠BAO+60°)=cos∠BAOcos60°-sin∠BAOsin60°=27×故在△OAC中,OC2=OA2+AC2-2OA·ACcos∠CAO=1+7-2×7×-127=9,所以O(shè)C=3,cos∠AOC=OA又0°<∠AOC<120°,所以∠AOC=60°,又EC∥OB,∠AOB=120°,所以∠CEO=60°,則△ECO為正三角形,所以EC=EO=OC=3,所以x+y的最大值為OE+EP2=3+3對(duì)于C,因?yàn)镺P=xOA+yOB,OA·OB=|OA||OB|·cos∠AOB=1×2×-1所以O(shè)P·OA=(xOA+yOB)·OA=x|OA|2由選項(xiàng)B,結(jié)合圖象易知OE'的增長(zhǎng)速率要比E'P'大,所以要使得OE'-E'P'此時(shí)OE'=0,則E'P'=OB=2,即點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)OP·此時(shí)OE'-E'P'2=0-22=-對(duì)于D,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí),cos∠CAO=-127<0,∠所以∠CAO>90°,∠APO=180°-∠CAO-∠AOC<30°,則cos∠APO>cos30°=32則PO·PA=|PO||PA|cos∠APO>3×7故選BC.9.[1,3]解析如圖,取點(diǎn)D使得OD=13OA,OC=xOA+yOB=3xOD+yOB,作一系列與BD平行的直線與圓弧相交,構(gòu)造等高線模型,易知當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí),3x+y取最大值3,點(diǎn)C位于直線BD上時(shí)(即點(diǎn)C與點(diǎn)B10.5解析(方法1)13AP-tAB≥1,即|AP-3tAB|≥3,∴點(diǎn)P在直線y=3上或直線y=3上方,在直線y=-3上或直線y=-3下方,∴PA·PB=PO2-14AB(方法2)設(shè)P為(x,y),則AP=(x+2,y),13AP=x+23,y3,AB=(4,0),t∴13AP-tAB=x+23-4t,y3,13