（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二篇 函數(shù)與基本初等函數(shù)《第12講　函數(shù)模型及其應(yīng)用》理（含解析） 蘇教版

A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練(時(shí)間：45分鐘滿分：80分)一、填空題(每小題5分，共35分)1．某產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N＋)，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是________臺(tái)．解析設(shè)利潤(rùn)為f(x)(萬(wàn)元)，則f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000≥0，∴x≥150.答案1502．某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3860萬(wàn)元，預(yù)測(cè)六月份銷售額為500萬(wàn)元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7000萬(wàn)元，則x的最小值是________．解析由題意得，3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7000，化簡(jiǎn)得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去)．∴x≥20，即x的最小值為20.答案203．(2010·南通模擬)從盛滿20升純消毒液的容器中倒出1升，然后用水加滿，再倒出1升，再用水加滿．這樣繼續(xù)下去，則所倒次數(shù)x和殘留消毒液y之間的函數(shù)解析式為_(kāi)_______．解析所倒次數(shù)1次，則y＝19；所倒次數(shù)2次，則y＝19×eq\f(19,20)……所倒次數(shù)x次，則y＝19eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,20)))x－1＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,20)))x.答案y＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,20)))x4．一個(gè)人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過(guò)0.09mg/mL，那么，一個(gè)喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過(guò)________小時(shí)才能開(kāi)車(精確到1小時(shí))．解析設(shè)至少經(jīng)過(guò)x小時(shí)才能開(kāi)車．由題意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3.x≥log0.750.3≈5.答案55．(2011·連云港模擬)為了保證信息安全，傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下：明文eq\o(→,\s\up7(加密))密文eq\o(→,\s\up7(發(fā)送))密文eq\o(→,\s\up7(解密))明文已知加密為y＝ax－2(x為明文，y為密文)，如果明文“3”通過(guò)加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過(guò)解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是________．解析依題意y＝ax－2中，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密為y＝2x－2，因此，當(dāng)y＝14時(shí)，由14＝2x－2，解得x＝4.答案46．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬(wàn)元．并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬(wàn)元．又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，則總利潤(rùn)L(Q)的最大值是________萬(wàn)元．解析L(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2－10Q－2000＝－eq\f(1,20)Q2＋30Q－2000＝－eq\f(1,20)(Q－300)2＋2500當(dāng)Q＝300時(shí)，L(Q)的最大值為2500萬(wàn)元．答案25007．某種儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y元，則本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式是________．解析已知本金為a元，利率為r，則1期后本利和為y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和為y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和為y＝a(1＋r)3，……x期后本利和為y＝a(1＋r)x，x∈N*.答案y＝a(1＋r)x，x∈N*二、解答題(每小題15分，共45分)8．(2011·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校調(diào)研)即將開(kāi)工的上海與周邊城市的城際列車鐵路線將大大緩解交通的壓力，加速城市之間的流通．根據(jù)測(cè)算，如果一列火車每次拖4節(jié)車廂，每天能來(lái)回16次；如果每次拖7節(jié)車廂，則每天能來(lái)回10次．每天來(lái)回次數(shù)是每次拖掛車廂個(gè)數(shù)的一次函數(shù)，每節(jié)車廂一次能載客110人，試問(wèn)每次應(yīng)拖掛多少節(jié)車廂才能使每天營(yíng)運(yùn)人數(shù)最多？并求出每天最多的營(yíng)運(yùn)人數(shù)．(注：營(yíng)運(yùn)人數(shù)指火車運(yùn)送的人數(shù))解設(shè)這列火車每天來(lái)回次數(shù)為t次，每次拖掛車廂n節(jié)，則設(shè)t＝kn＋b.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16＝4k＋b，,10＝7k＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝24.))所以t＝－2n＋24.設(shè)每次拖掛n節(jié)車廂每天營(yíng)運(yùn)人數(shù)為y人，則y＝tn×110×2＝2(－220n2＋2640n)．當(dāng)n＝eq\f(2640,440)＝6時(shí)，總?cè)藬?shù)最多為15840人．故每次應(yīng)拖掛6節(jié)車廂才能使每天的營(yíng)運(yùn)人數(shù)最多為15840人．9．(2011·揚(yáng)州市調(diào)研)某銷售商銷售某品牌手機(jī)，該品牌手機(jī)的進(jìn)價(jià)為每部1580元，零售價(jià)為每部1880元．為促進(jìn)銷售，擬采用買一部手機(jī)贈(zèng)送一定數(shù)量禮物的方法，且贈(zèng)送禮物的價(jià)值不超過(guò)180元．統(tǒng)計(jì)表明：在促銷期間，禮物價(jià)值每增加15元(禮物的價(jià)值都是15元的整數(shù)倍，如禮物價(jià)值為30元，可視為兩次增加15元，其余類推)，銷售量都增加11%.(1)當(dāng)贈(zèng)送禮物的價(jià)值為30元時(shí)，銷售的總利潤(rùn)變?yōu)樵瓉?lái)不贈(zèng)送禮物時(shí)的多少倍？(2)試問(wèn)贈(zèng)送禮物的價(jià)值為多少元時(shí)，商家可獲得最大利潤(rùn)？解設(shè)該品牌手機(jī)在不贈(zèng)送禮物的條件下銷售量為m部，(1)原來(lái)利潤(rùn)為(1880－1580)m＝300m(元)，當(dāng)贈(zèng)送禮物的價(jià)值為30元時(shí)，銷售的總利潤(rùn)為(1880－1580－30)m(1＋11%)2＝1.2321×270m，eq\f(1.2321×270m,300m)＝1.10889，即當(dāng)贈(zèng)送禮物的價(jià)值為30元時(shí)，銷售的總利潤(rùn)變?yōu)樵瓉?lái)不贈(zèng)送禮物時(shí)的1.1倍．(2)當(dāng)贈(zèng)送禮物的價(jià)值為15x元時(shí)，銷售的總利潤(rùn)為f(x)元，則f(x)＝(1880－1580－15x)·m·(1＋11%)x＝15m(20－x)·1.11x，x∈N，且x≤12，f(x＋1)－f(x)＝15m(1.09－0.11x)·1.11x，令f(x＋1)－f(x)≥0，得x≤9eq\f(10,11).因?yàn)閤∈N，且x≤12，所以當(dāng)x≤9時(shí)，f(x＋1)＞f(x)；當(dāng)9＜x≤12時(shí)，f(x＋1)＜f(x)．故當(dāng)贈(zèng)送禮物的價(jià)值為150元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)．10．(2011·揚(yáng)州市沖刺)某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如下左圖，B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如下右圖(注：利潤(rùn)與投資單位：萬(wàn)元)．(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資x(萬(wàn)元)的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬(wàn)元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：怎樣分配這10萬(wàn)元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，其最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？解(1)設(shè)投資為x萬(wàn)元，A產(chǎn)品的利潤(rùn)為f(x)萬(wàn)元，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為g(x)萬(wàn)元．由題設(shè)f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq\r(x)，由圖知f(1)＝eq\f(1,4)，故k1＝eq\f(1,4).又g(4)＝eq\f(5,2)，所以k2＝eq\f(5,4).從而f(x)＝eq\f(1,4)x(x≥0)，g(x)＝eq\f(5,4)eq\r(x)(x≥0)．(2)設(shè)A產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，則B產(chǎn)品投入(10－x)萬(wàn)元，設(shè)企業(yè)利潤(rùn)為y萬(wàn)元．y＝f(x)＋g(10－x)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(5,4)eq\r(10－x)(0≤x≤10)．令t＝eq\r(10－x)，則y＝eq\f(10－t2,4)＋eq\f(5,4)t＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,2)))2＋eq\f(65,16)(0≤t≤10)．當(dāng)t＝eq\f(5,2)時(shí)，ymax＝eq\f(65,16)，此時(shí)x＝3.75.故當(dāng)A產(chǎn)品投入3.75萬(wàn)元，則B產(chǎn)品投入6.25萬(wàn)元，企業(yè)最大利潤(rùn)為eq\f(65,16)萬(wàn)元．B級(jí)綜合創(chuàng)新備選(時(shí)間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1．2002年初，甲、乙兩外商在濟(jì)南各自興辦了一家大型獨(dú)資企業(yè).2010年初在經(jīng)濟(jì)指標(biāo)對(duì)比時(shí)發(fā)現(xiàn)，這兩家企業(yè)在2002年和2009年繳納的地稅均相同，其間每年繳納的地稅按各自的規(guī)律增長(zhǎng)：企業(yè)甲年增長(zhǎng)數(shù)相同，而企業(yè)乙年增長(zhǎng)率相同．則2010年兩企業(yè)繳納地稅的情況下列說(shuō)法中正確的是________(填序號(hào))．①甲多②乙多③甲乙一樣多④不能確定解析設(shè)企業(yè)甲每年繳納的地稅組成數(shù)列{an}，由于企業(yè)甲年增長(zhǎng)數(shù)相同，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則an是關(guān)于n的一次函數(shù)．設(shè)企業(yè)乙每年繳納的地稅組成數(shù)列{bn}，由于企業(yè)乙年增長(zhǎng)率相同，所以數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，則bn是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)．根據(jù)題意，a1＝b1，a8＝b8，如圖知a9＜b9，故2010年企業(yè)乙繳納的地稅多．答案②2．將函數(shù)yeq\r(2－x－12)－1(x∈[0,2])圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角(0≤θ≤α)，得到曲線C.若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角θ，曲線C都是一個(gè)函數(shù)的圖象，則α的最大值是________．解析由函數(shù)定義，若曲線對(duì)應(yīng)的方程為函數(shù)解析式時(shí)，直線x＝a與該曲線若相交，則僅有一個(gè)交點(diǎn)，如圖，當(dāng)α＝eq\f(π,4)時(shí)符合題意．答案eq\f(π,4)3．某種電熱水器的水箱盛滿水是200升，加熱到一定溫度可浴用，浴用時(shí)，已知每分鐘放水34升，在放水的同時(shí)注水，t分鐘注入2t2升，當(dāng)水箱內(nèi)水量達(dá)到最小值時(shí)，放水自動(dòng)停止，現(xiàn)假定每人洗浴用水65升，則該熱水器一次至多可供________人洗?。馕鲇深}意得水箱內(nèi)的水量為y＝200－34t＋2t2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(17,2)))2＋200－eq\f(172,2)，當(dāng)t＝eq\f(17,2)時(shí)，水箱內(nèi)的水量達(dá)到最小值，此時(shí)放水量為eq\f(17,2)×34＝289升，而4＜eq\f(289,65)＜5，所以該熱水器一次至多可供4個(gè)人洗?。鸢?4．(2010·浙江)某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3860萬(wàn)元，預(yù)測(cè)六月份銷售額為500萬(wàn)元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7000萬(wàn)元，則x的最小值是________．解析由題意得，3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7000，化簡(jiǎn)得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去)．所以x≥20，即x的最小值為20.答案205．某商人購(gòu)貨，進(jìn)價(jià)已按原價(jià)a扣去25%.他希望對(duì)貨物訂一新價(jià)，以便按新價(jià)讓利20%銷售后仍可獲得售價(jià)25%的利潤(rùn)，則此商人經(jīng)營(yíng)這種貨物的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______．解析設(shè)新價(jià)為b，依題意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化簡(jiǎn)得b＝eq\f(5,4)a，所以y＝b·20%·x＝eq\f(5,4)a·20%·x，即y＝eq\f(a,4)x(x∈N*)．答案y＝eq\f(a,4)x(x∈N*)6．某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線．①則第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(t)＝________.②據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)，治療有效．則服藥一次后治療有效的時(shí)間是________小時(shí)．解析①設(shè)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kt，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－a，t＞1，))當(dāng)t＝1時(shí)，由y＝4得k＝4，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－a＝4得a＝3.則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－3，t＞1.))②由y≥0.25得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤t≤1，,4t≥0.25))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＞1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－3≥0.25，))解得eq\f(1,16)≤t≤5因此服藥一次后治療有效的時(shí)間是5－eq\f(1,16)＝eq\f(79,16)小時(shí)．答案①y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－3，t＞1))②eq\f(79,16)二、解答題(每小題15分，共30分)7．(2011·南京模擬)2014年青奧會(huì)水上運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目將在J地舉行，截止2010年底，投資集團(tuán)B在J地共投資100萬(wàn)元用于地產(chǎn)和水上運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的開(kāi)發(fā)，經(jīng)調(diào)研，從2011年初到2014年底的四年間，B集團(tuán)預(yù)期可從三個(gè)方面獲得利潤(rùn)：一是房地產(chǎn)項(xiàng)目，四年獲得的利潤(rùn)的值為該項(xiàng)目投資額(單位：百萬(wàn)元)的20%；二是水上運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，四年獲得的利潤(rùn)的值為該項(xiàng)目投資額(單位：百萬(wàn)元)的算術(shù)平方根；三是旅游業(yè)，四年可獲得利潤(rùn)10百萬(wàn)元．(1)B集團(tuán)的投資應(yīng)如何分配，才能使這四年總的預(yù)期利潤(rùn)最大？(2)假設(shè)2012年起，J地政府每年都要向B集團(tuán)征收資源占用費(fèi)，2012年征收2百萬(wàn)元后，以后每年征收的金額比上一年增加10%，若B集團(tuán)投資成功的標(biāo)準(zhǔn)是：從2011年初到2014年底，這四年總的預(yù)期利潤(rùn)中值(預(yù)期最大利潤(rùn)與最小利潤(rùn)的平均數(shù))不低于投資額的18%，問(wèn)B集團(tuán)投資是否成功？解(1)設(shè)B集團(tuán)用于水上運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的投資為x百萬(wàn)元，四年的總利潤(rùn)為y百萬(wàn)元．由題意，y＝0.2(100－x)＋eq\r(x)＋10＝－0.2x＋eq\r(x)＋30，x∈[0,100]．即y＝－0.2(eq\r(x)－2.5)2＋31.25，eq\r(x)∈[0,10]．所以當(dāng)eq\r(x)＝2.5，即x＝6.25時(shí)，ymax＝31.25.故B集團(tuán)在水上運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目投資6.25百萬(wàn)元，所獲得的利潤(rùn)最大，為31.25百萬(wàn)元．(2)由(1)知，在上交資源占用費(fèi)前，ymax＝31.25，ymin＝20.由題意，得從2012年到2014年，B集團(tuán)需上交J地政府資源占用費(fèi)共為2(1＋1.11＋1.12)＝6.62(百萬(wàn)元)．所以B集團(tuán)