（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章第1課時(shí) 數(shù)列的概念課時(shí)闖關(guān)（含解析）

[A級(jí)雙基鞏固]一、填空題1．?dāng)?shù)列－1，eq\f(8,5)，－eq\f(15,7)，eq\f(24,9)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是________．解析：將首項(xiàng)寫為－eq\f(3,3)，分子3＝22－1,8＝32－1,15＝42－1,24＝52－1，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·eq\f(n＋12－1,2n＋1)＝(－1)neq\f(nn＋2,2n＋1).答案：an＝(－1)neq\f(nn＋2,2n＋1)2．已知數(shù)列eq\r(3)、eq\r(7)、eq\r(11)、eq\r(15)…，則5eq\r(3)是數(shù)列的第________項(xiàng)．解析：易知數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\r(4n－1)，令eq\r(4n－1)＝5eq\r(3)，即eq\r(4n－1)＝eq\r(75)，∴4n－1＝75，故n＝19.答案：193．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，則an＝________.解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝n2－(n－1)2＝2n－1，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n＝1，,2n－1n≥2.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n＝1,2n－1n≥2))4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2n,3n＋1)，那么這個(gè)數(shù)列取到最小項(xiàng)時(shí)的n＝________.解析：an－an－1＝eq\f(2n,3n＋1)－eq\f(2n－1,3n－1＋1)＝eq\f(2,3n＋13n－2)>0.則此數(shù)列為遞增數(shù)列，故a1為最小項(xiàng)．答案：15．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，則a2013＝________，eq\r(10)－3是此數(shù)列的第________項(xiàng)．解析：∵an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\f(\r(n＋1)－\r(n),\r(n＋1)－\r(n)\r(n＋1)＋\r(n))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，∴a2013＝eq\r(2014)－eq\r(2013)，令an＝eq\r(10)－3，即eq\r(n＋1)－eq\r(n)＝eq\r(10)－3，則n＝9，∴eq\r(10)－3是此數(shù)列的第9項(xiàng)．答案：eq\r(2014)－eq\r(2013)96．(2011·高考江西卷改編)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＋Sm＝Sn＋m且a1＝1，那么a10＝________.解析：∵Sn＋Sm＝Sn＋m且a1＝S1＝1，可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1，即當(dāng)n≥1時(shí)，an＋1＝1，∴a10＝1.答案：17．根據(jù)下面一組等式可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝________.S1＝1S2＝2＋3＝5S3＝4＋5＋6＝15S4＝7＋8＋9＋10＝34S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65解析：從已知數(shù)表得S1＝1，S1＋S3＝16＝24，S1＋S3＋S5＝81＝34.由此可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.答案：n48．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)(n∈N*)，則連乘積a1a2a3…a2011a2012的值為_(kāi)_______．解析：∵a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，∴a2＝－3，a3＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1,3)，a5＝2，∴數(shù)列{an}的周期為4，且a1a2a3a4＝1，∴a1a2a3a4…a2011a2012＝1.答案：1二、解答題9．(2012·徐州調(diào)研)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2＝4，且滿足eq\f(2Sn,n)＝an＋1(n∈N*)．(1)求a1，a3，a4的值，并猜想出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)設(shè)bn＝(－1)nan，請(qǐng)利用(1)的結(jié)論，求數(shù)列{bn}的前15項(xiàng)和T15.解：(1)令n＝1,2S1＝a1＋1，又S1＝a1，得a1＝1；令n＝3，eq\f(2a1＋a2＋a3,3)＝a3＋1，得a3＝7；令n＝4，eq\f(2a1＋a2＋a3＋a4,4)＝a4＋1，得a4＝10.猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2.(2)bn＝(－1)nan＝(－1)n(3n－2)，T15＝b1＋b2＋b3＋…＋b15＝(－1)＋4＋(－7)＋10＋…＋(－37)＋40＋(－43)＝－22.10．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式；(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝eq\f(an,an＋t)，問(wèn)：是否存在正整數(shù)t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差數(shù)列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5＋a13＝34，,3a2＝9，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋8d＝17，,a1＋d＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))故an＝2n－1，Sn＝n2.(2)由(1)知bn＝eq\f(2n－1,2n－1＋t).要使b1，b2，bm成等差數(shù)列，必須2b2＝b1＋bm，即2×eq\f(3,3＋t)＝eq\f(1,1＋t)＋eq\f(2m－1,2m－1＋t)，整理得m＝3＋eq\f(4,t－1)，因?yàn)閙，t為正整數(shù)，所以t只能取2,3,5.當(dāng)t＝2時(shí)，m＝7；當(dāng)t＝3時(shí)，m＝5；當(dāng)t＝5時(shí)，m＝4.故存在正整數(shù)t，使得b1，b2，bm成等差數(shù)列．[B級(jí)能力提升]一、填空題1．已知an＝eq\f(n,n2＋156)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是________．解析：an＝eq\f(n,n2＋156)＝eq\f(1,n＋\f(156,n))，由函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(156,x)上的單調(diào)性可知f(x)在(0，eq\r(156))上為減函數(shù)，在(eq\r(156)，＋∞)上為增函數(shù)，∴f(x)在x＝eq\r(156)處取最小值，因?yàn)閚∈N*，∴當(dāng)n＝12時(shí)，n＋eq\f(156,n)＝25，當(dāng)n＝13時(shí)，n＋eq\f(156,n)＝25，∴(n＋eq\f(156,n))min＝25.∴(an)max＝a12和a13.答案：第12和13項(xiàng)2．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an0≤an<\f(1,2),2an－1\f(1,2)≤an<1)).若a1＝eq\f(6,7)，則a2012的值等于________．解析：∵a1＝eq\f(6,7)，滿足eq\f(1,2)≤a1<1，∴a2＝2×eq\f(6,7)－1＝eq\f(5,7).同理a3＝2×eq\f(5,7)－1＝eq\f(3,7).∴a4＝2×eq\f(3,7)＝eq\f(6,7).故此數(shù)列為：eq\f(6,7)，eq\f(5,7)，eq\f(3,7)，eq\f(6,7)，eq\f(5,7)，eq\f(3,7)，…每三項(xiàng)就循環(huán)一次，周期為3，故a2012＝a2＝eq\f(5,7).答案：eq\f(5,7)3．如圖，坐標(biāo)紙上的每個(gè)單位格的邊長(zhǎng)為1，由下往上的六個(gè)點(diǎn)：1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列{an}(n∈N*)的前12項(xiàng)(如表所示)，按如此規(guī)律下去，則a2009＋a2010＋a2011＝________.a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6解析：a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4等，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是奇數(shù)項(xiàng)為1，－1,2，－2,3，－3，…，偶數(shù)項(xiàng)為1,2,3，…，故a2009＋a2011＝0，a2010＝1005.答案：10054．(2010·高考湖南卷)若數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意的n∈N*，只有有限個(gè)正整數(shù)m使得am<n成立，記這樣的m的個(gè)數(shù)為(an)*，則得到一個(gè)新數(shù)列{(an)*}．例如，若數(shù)列{an}是1,2,3，…，n，…，則數(shù)列{(an)*}是0,1,2，…，n－1，….已知對(duì)任意的n∈N*，an＝n2，則(a5)*＝________，((an)*)*＝________.解析：∵an＝n2，(a5)*為am<5的m的個(gè)數(shù)．∴a1＝1<5，a2＝22＝4<5，a3＝9>5，∴m＝2.∵an為1,4,9,16,25，…，(n－1)2，n2…，∴(a1)*＝0，(a2)*＝1，(a3)*＝1，(a4)*＝1，(a5)*＝2，…(an2－1)*＝n－1，(an2)*＝n－1，(an2＋1)*＝n，….∴(an)*數(shù)列為0,1,1,1,2,2,2,2,2，…，n－1，n－1，…，(n－1)eq\o(…,\s\up6(,2n－1個(gè)))，∴當(dāng)(n－1)2<k≤n2時(shí)，(ak)*＝n－1，∴((an)*)*＝n2.答案：2n2二、解答題5．(2011·高考江蘇卷)設(shè)整數(shù)n≥4，P(a，b)是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)，其中a，b∈{1,2,3，…，n}，a>b.(1)記An為滿足a－b＝3的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，求An；(2)記Bn為滿足eq\f(1,3)(a－b)是整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，求Bn.解：(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足條件：1≤b＝a－3≤n－3，所以An＝n－3.(2)設(shè)k為正整數(shù)，記fn(k)為滿足題設(shè)條件以及a－b＝3k的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．只要討論fn(k)≥1的情形．由1≤b＝a－3k≤n－3k知fn(k)＝n－3k，且k≤eq\f(n－1,3).設(shè)n－1＝3m＋r，其中m∈N*，r∈{0,1,2}，則k≤m.所以Bn＝eq\i\su(k＝1,m,f)n(k)＝eq\i\su(k＝1,m,)(n－3k)＝mn－eq\f(3mm＋1,2)＝eq\f(m2n－3m－3,2).將m＝eq\f(n－1－r,3)代入上式，化簡(jiǎn)得Bn＝eq\f(n－1n－2,6)－eq\f(rr－1,6).所以Bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(nn－3,6)，\f(n,3)是整數(shù)，,\f(n－1n－2,6)，\f(n,3)不是整數(shù).))6．(2012·無(wú)錫質(zhì)檢)數(shù)列{an}滿足：na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an＝(eq\f(9,10))n－1＋(eq\f(9,10))n－2＋…＋eq\f(9,10)＋1(n＝1,2,3，…，)．(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝－(n＋1)an，試問(wèn)是否存在正整數(shù)k，使得對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有bn≤bk成立？證明你的結(jié)論．解：(1)由na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an＝(eq\f(9,10))n－1＋(eq\f(9,10))n－2＋…＋eq\f(9,10)＋1，得(n－1)a1＋(n－2)a2＋…＋an－1＝(eq\f(9,10))n－2＋…＋eq\f(9,10)＋1.兩式相減，a1＋a2＋…＋an＝(eq\f(9,10))n－1＝Sn.∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－eq\f(1,10)(eq\f(9,10))n－2，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1n＝1,－\f(1,10)\f(9,10)n－2n≥2)).(2)由(1)知bn＝－(n＋1)an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2n＝1,\f(n＋1,10)\f(9,10)n－2n≥2)).易知b