2022-2023學(xué)年山東省棗莊市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省棗莊市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.若C；=C；,貝IJX=()

A.2B.5C.2或5D.7

【答案】C

【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由組合數(shù)性質(zhì)c：=CL,可知X=2或X=5.

故選：C

2.(l-x)'的二項展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和是()

A.0B.-1C.-32D.32

【答案】D

【分析】根據(jù)+b)”的二項展開式系數(shù)之和為2”求解即可

【詳解】(I-Xy的二項展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為2$=32

故選：D

3.如圖，現(xiàn)要對某公園的4個區(qū)域進行綠化，有4種不同顏色的花卉可供選擇，要求有公共邊的兩

個區(qū)域不能用同一種顏色的花卉，則不同的綠化方案有()

A.48種B.72種C.64種D.256種

【答案】A

【分析】利用分步乘法原理求解即可

【詳解】從《開始擺放花卉，力有4種顏色花卉擺放方法，

C有3種顏色花卉擺放方法，8有2種顏色花卉擺放方法：

由。區(qū)與4,8花卉顏色不一樣，與C區(qū)花卉顏色可以同色也可以不同色，

則。有2種顏色花卉擺放方法.

故共有4x3x2x2=48種綠化方案.

故選：A

4.某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球，速滑,，花滑三場比賽，每場比賽至少有1名學(xué)生且至多2

名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有()

A.48B.54C.60D.72

【答案】C

【分析】先分組，再考慮甲的特殊情況.

【詳解】將5名大學(xué)生分為1-2-2三組，即第一組1個人，第二組2個人，第三組2個人，

共有C'1'''=15種方法；

由于甲不去看冰球比賽，故甲所在的組只有2種選擇，剩下的2組任意選，

所以由2/；=4種方法；

按照分步乘法原理，共有4x15=60種方法；

故選：C.

5.函數(shù)/(x)=(x-3)e'的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(f,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)

【答案】A

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)f(x),由/'(x)<0得減區(qū)間.

【詳解】由已知∕,(x)=ex+(x-3)ex=(X-2)ex,

x<2時，f'(x)<O,χ>2時，f'(x)>0,

所以/(x)的減區(qū)間是(-8,2),增區(qū)間是(2,+∞)；

故選：A.

6.已知函數(shù)了=#'。)的圖象如圖所示(其中/'(X)是函數(shù)/W的導(dǎo)函數(shù))，則下面四個圖象中，

【分析】先利用函數(shù)V=M'U)的圖象求得函數(shù)/(χ)的單調(diào)區(qū)間，進而得到正確選項.

【詳解】由題給函數(shù)V=M'U)的圖象，可得

當(dāng)x<T時，礦(x)<0,則八x)>0,則/(X)單調(diào)遞增；

當(dāng)TVX<0時,√(x)>0,則八x)<0,則/(X)單調(diào)遞減;

當(dāng)0<x<l時，M'(x)<0,則/'(x)<0,則/(X)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>l時，獷'(x)>0,則/'(x)>0,則/(X)單調(diào)遞增；

則/(χ)單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1),(l,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1)

故僅選項C符合要求.

故選：C

7.己知函數(shù)/(X)=用有三個零點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A?GJB?(O,+")C.{1D?M

【答案】D

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為方程也W=“有三個根，令g(x)=回(x>0),分析g(x)的單調(diào)性，作出g(x)

XX

的圖像，結(jié)合函數(shù)圖像可得答案

【詳解】解：因為函數(shù)/(X)=也3-色有三個零點，

XX

所以方程嗎=O有三個根，即方程回l=α有三個根，

XXX

令g(x)=(x>0),

X

、“.?./、Inx口,|/、I-Inx

當(dāng)X>1∏寸，g(x)=,則g(x)二；一，

XX

當(dāng)l<x<e時，g(x)>O,當(dāng)x>e時，g'(χ)<O,

所以g(x)在(l,e)上遞增，在3+8)上遞減,

所以當(dāng)x=e時，g(x)取得極大值g(e)=1,

e

當(dāng)x=l時,g(x)=O,

當(dāng)O<x<l時，g(χ)=-叱，貝IJg(X)=土絆<0,所以g(χ)=-地在(0,1)上遞減,

XXX

所以g(x)=!M的大致圖像如圖所示,

故選：D

8.對任意的再,丫(1,3],當(dāng)項時，X「馬一學(xué)吁>0恒成立，則實數(shù)0的取值范圍是()

A.[3,+∞)B.(3,+∞)C.[9,+∞)D.(9,÷∞)

【答案】C

【分析】將不等式等價變形，構(gòu)造函數(shù)〃X)=X-?∣l∏x,再借助函數(shù)單調(diào)性、最值求解作答.

【詳解】依題意，∣

x,-x2-lnJ>0^xl-)>04^/(x)=x-y∣nX,Xe(l,3],

則對任意的％,Λ2W(L3],當(dāng)為時，/(%)>/。2)，即有函數(shù)/S)在(1,3]上單調(diào)遞減,

因此，Vxe(1,3],/'(X)=I-*400α≥3x,而(3x)mκ=9,貝∣Jα≥9,

Sx

所以實數(shù)。的取值范圍是[9,+8).

故選：C

二、多選題

9.下列求導(dǎo)運算正確的是()

A.(1∏2),=∣b?(?)=A

2

C.(SinX)=cosxD.(2√-l)'=(2X)

【答案】CD

【分析】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)公式和運算法則，計算即可.

【詳解】對于A選項：((ln2),=0,所以A選項錯誤;

對于B選項：(`v?=(χ5=LFI

所以B選項錯誤;

22y[x

對于C選項：由公式得(SinX)'=cosχ,所以C選項正確；

對于D選項：(2√-1),=(2X2)/+(-1/=(2√)>1所以D選項正確;

故選：CD.

10.已知(l+x)"的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則()

A.〃=8

B?(l+x)"的展開式中/項的系數(shù)為56

C.奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為128

D?(l+x-V)”的展開式中中2項的系數(shù)為56

【答案】AC

【分析】利用二項式定理求得(l+x)"的展開通項公式，從而得到關(guān)于〃的方程，解出〃的值判斷AB,

利用所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為2"τ判斷C,根據(jù)二項式定理判斷D.

kkkk

【詳解】因為(l+x)"的展開式通項為7；“=Cl,x=Cnx,

所以(l+x)"的展開式的第％+1項的二項式系數(shù)為C：,

所以C=C，解得"=8,A正確;

χ2的系數(shù)為C=28,B錯誤;

奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為2"τ=2'=128，C正確；

根據(jù)二項式定理，(l+x-好了表示&個0+X-/)相乘，

所以(l+x-V)中有1個選擇X,1個選擇-儼，6個選擇1,

所以(l+x-P)"的展開式中中2項的系數(shù)為CC(-1)7=-56,D錯誤;

故選：AC

11.(多選)將《紅樓夢》《西游記》《三國演義》《水滸傳》《唐詩三百首》《徐志摩詩集》和《中華

戲曲》7本書放在一排，則()

A.戲曲書放在正中間位置的不同放法有A；種

B.詩集相鄰的不同放法有2A：種

C.四大名著互不相鄰的不同放法有A：A：種

D.四大名著不放在兩端的不同放法有A；種

【答案】BC

【分析】根據(jù)題設(shè)，依次分析各選項的條件，再列式即可判斷作答.

【詳解】對于A,戲曲書只有1本，將戲曲書放在正中間，其余6本書全排列，不同放法種數(shù)為A)

A錯誤；

對于B,詩集共2本，把2本詩集看為一個整體，則7本書的不同放法種數(shù)為A；A：=2A：,B正確;

對于C,四大名著互不相鄰，先將四大名著全排列，再在每種排列的中間3個空隙中放置其他書，

共有A；種放法，則不同放法種數(shù)為A；A：,C正確；

對于D,在第2至第6這5個位置上任選4個位置放四大名著，共有A；種放法，其余3本書在剩下

的3個位置上全排列，則不同放法種數(shù)為A；A；,D錯誤.

故選：BC

12.已知函數(shù)/(x)為定義在(-叫0)U(O,+∞)上的奇函數(shù)，若當(dāng)x<0時，√^,(x)-∕(x)>0,S.

/(2)=0,貝IJ()

A.τ√'(e)<e∕'(π)B.當(dāng)機<2時，2∕(∕n)>∕n∕'(2)

C.4∕(-3)+3∕(4)<0D.不等式/。)>0解集為(-8,-2)11(0,2)

【答案】CD

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=與?,其中XW0,分析函數(shù)g(x)的奇偶性與單調(diào)性，利用函數(shù)g(x)的單

調(diào)性與奇偶性可判斷AC選項；取W=-2可判斷B選項：分x<0、x>0解不等式/(x)>0,可判

斷D選項.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)g(x)=平，其中XH0,

因為函數(shù)/(X)為定義在(-∞,0)U(0,+∞)上的奇函數(shù)，則/(-x)=-∕(x),

所以，g(_x)=上D=坦=g(x),故函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

-XX

當(dāng)χ<0時,g<x)J,"∕(x)>0,

所以，函數(shù)g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

因為/(2)=0,則g(2)=與=0,則g(-2)=g(2)=0.

對于A選項，?.?e<π,.?.g(e)>g(π),即Zl9>ZlQ,所以，πf(e)>e∕^(π),A錯;

eπ

對于B選項，不妨取加=-2,則g(-2)=g(2)=0,即止0=如，此時2/(-2)=-2/(2),B錯;

—22

對于C選項，因為偶函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

則g(-3)=g(3)>g(4),即/整理可得”(-3)+3f(4)<0,C對;

-34

對于D選項，當(dāng)x<0時，由/(x)>0可得g(χ)=∕kI<0=g(-2),解得x<—2,

X

當(dāng)x>0時，由/(x)>0可得g(χ)=∕1D>0=g(2),解得0<x<2.

X

綜上所述，不等式/(x)>0解集為(F,-2)U(0,2),D對.

故選：CD.

【點睛】結(jié)論點睛：四種常用的導(dǎo)數(shù)構(gòu)造法：

(1)對于不等式/'(χ)+g'(χ)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)∕7(χ)=∕(χ)+g(χ);

(2)對于不等式/'(x)-g'(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)E(X)=/(x)-g(x);

(3)對于不等式M'(χ)+?f(χ)>o(或<0)(其中C為常數(shù)且c≠0),構(gòu)造函數(shù)/(χ)=χf∕(χ);

(4)對于不等式/'(x)+cf(x)>O(或c<0)(其中C為常數(shù))，構(gòu)造函數(shù)尸(X)=e'V(x).

三、填空題

13.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為.

【答案】?/o?

【分析】根據(jù)古典概型計算即可

【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3,從5名同學(xué)中隨機選3名，

有：（甲,乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲,2,3）,（乙，1,2）,（乙,

1,3）,（乙，2,3）,（1,2,3）,共10種選法；

3

其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率尸二而.

3

故答案為：—.

解法二：從5名同學(xué)中隨機選3名的方法數(shù)為C；=10

甲、乙都入選的方法數(shù)為C；=3,所以甲、乙都入選的概率P=歷

3

故答案為：—

?117

14.已知前一E=而/，則Cf=______________

5LZ6IUy

【答案】28

【分析】由已知條件，利用組合數(shù)公式求出〃?的值，即可求解C；的值.

117

【詳解】解：cm-Ina，

55IUL7

m!×(5-/??)!f∏↑×(6-f∏)?_7x〃？！(7-〃?)！

H0≤w≤5,∕w∈Z,

-5!6!-1O×7!~'

兩邊乘以荷三菽,得「女二號啜二，即/-23,"42=。，解得片2或片21,

0≤w≤5,w∈Z,加=2,

???c-c-≡=28?

故答案為：28.

15.設(shè)點工在直線而-y+l=0上,點8在函數(shù)/（x）=InX的圖象上,則?卻的最小值為.

【答案】l+[ln3

4

【分析】設(shè)函數(shù)/（X）=InX與直線6-y+l=0平行的切線為/,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切點P,

再由距離公式得出M4的最小值.

【詳解】設(shè)函數(shù)/（x）=hu與直線白-y+l=0平行的切線為/,貝∣J∕的斜率為百,

由/'（X）=I=百，得X=立,所以切點為尸卜

X3I?21

則點P到直線I的距離就是|力耳的最小值，即|十”十］=?+Xln3.

~2—+4n

故答案為：l+?γln3.

4

x

16.若玉?2"=A??l°g22=2023,貝IJx1x2值為.

【答案】2023

【分析】利用對數(shù)運算法則得到x2-Iog2X2=2*2,1嗚孫構(gòu)造函數(shù)/(x)=x?2%x>0),利用其單調(diào)

性得到再=log2%,進而求出結(jié)果.

x

【詳解】%,?2'=x2?Iog2X2=Iog2X2=2023,

令/(x)=x?2%x>0),則/'(X)=(X?1∏2+1)?2*>O在區(qū)間(0,+8)上恒成立,即/(χ)在區(qū)間(0,+8)上

單調(diào)遞增，所以Xl=Iog2尤2,

則xlx2=x2-Iog2X2=2023,

故答案為：2023.

四、解答題

17.若［+(-收］展開式的常數(shù)項為號，求正整數(shù)〃的值

【答案】4

因為于。，故〃為偶數(shù)，解得〃=4.

18.一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球，6個不同的白球，

(1)從中任取4個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？

(2)若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取5個球，使總分不少于7分的取法有多少種？

【答案】(1)115(2)186

【詳解】(1)從中任取4個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法，紅球4個，紅球3個和白球1個，

紅球2個和白球2個，

紅球4個，取法有1種，

紅球3個和白球1個，取法有?C-24種；

紅球2個和白球2個，取法有=QO種；

根據(jù)分類計數(shù)原理，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有1+24+90=115種.

(2)使總分不少于7分情況有三種情況，4紅1白，3紅2白，2紅3白.

第一種，4紅1白，取法有C：C：=6種；

第二種，3紅2白，取法有CiC；=60種，

第三種，2紅3白，取法有=120種，

根據(jù)分類計數(shù)原理，總分不少于7分的取法有6+60+120=186.

2

19.已知/(x)=χ3-----a

⑴若α=0,求曲線/(x)在X=I處的切線方程；

(2)若過點P(7,0)的直線/與曲線/(x)在x=l處相切，求實數(shù)。的值.

【答案】(1)5T-6=0

Q)-II

【分析】(1)先對函數(shù)/(X)求導(dǎo)得到了'(χ),從而得到曲線/(X)在X=I處的切線斜率，再求得點

(1,7(1)),結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解；

(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到/'(1)=5,再根據(jù)兩點間的斜率公式得到關(guān)于α方程，即可求解.

29

【詳解】(1)當(dāng)α=0時，/(x)=x3-∣,則/'(x)=3χ2+7(χNθ),

所以/⑴=一1,./''⑴=5

所以曲線/(x)在x=l處的切線方程為y+1=5(x7),

即5x-y-6=0.

2/、2

(2)由∕^(x)=χ3------a,得(X)=3x~")--(^x≠0),

因為直線/與曲線〃力在x=l處相切，所以直線/的斜率％=/'⑴=5,

又k=“ι)-o十⑴=-冷

?-(-i)

所以一；一1=5,解得：α=TL

故實數(shù)。的值為-11.

,,4

20.已知函數(shù)/(x)=X+—，g(x)=2x+a.

X

4「1-

(1)求函數(shù)兀v)=x+—在-,1上的值域；

X|_2_

(2)若Vx,e[∣?,l],3X2∈[2,3],使得/(x∕)Nga2)，求實數(shù)0的取值范圍.

【答案】(1)[5,?]；(2)a<?.

【解析】(1)先求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求解值域;

(2)把條件轉(zhuǎn)化為〃玉L1Zg(W)nun,分別求解/(xj,g(z)的最小值可得實數(shù)。的范圍.

【詳解】(1)r(x)=ι-A=?^,

因為XG?1,所以/'(x)<0,即函數(shù)/(X)為減函數(shù)，

因為〃1)=5,所以值域為[5,∕]?

(2)因為VX∕∈?,?,3X2∈[2,3],使得兀⑺≥g(x2),

所以/(xJm/gHL，

因為々g[2,3],所以g(x2)≥22+α=4+α,

所以5≥4+α,即α≤l.

21.設(shè)f(x)=e`-X.

(1)求函數(shù)/(χ)的極小值點.

7

(2)若函數(shù)g(x)=/(—2x+0滿足g(O)=_5+2,求。的值.

e

⑶求函數(shù)力(X)=MXr)-/'(X)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(I)O

(2)-2

⑶在(-∞,0)和(ln2,+∞)上嚴(yán)格增，在(O5In2)上嚴(yán)格減

【分析】(1)先對函數(shù)求導(dǎo)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點，列表表示出函數(shù)隨自變量變化情況，即可求解；

(2)根據(jù)題意，寫出函數(shù)g(x)的解析式，對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的值即可求解；

(3)結(jié)合(1)求出函數(shù)〃(0的解析式，對其求導(dǎo)，并用表格列出函數(shù)隨自變量變化情況，即可求出

結(jié)果.

【詳解】(1)因為函數(shù)/(χ)=e'-x,所以O(shè)=e--1,

令/(x)=e'-l=0,解得：x=0,列表如下：

X(-8,0)0(0,+oo)

/(X)-0+

/(X)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以極小值點為0.

(2)因為g(x)=∕(-2x+α)=e"""+2x-α,

所以g'(x)=-2e-2-^+2,又因為gz(0)=-2eα÷2=--÷2,

所以Q=—2.

(3)由(1)可知：h(x)=xf(x)-fr(x)=-J?-er+1,

所以//(%)=疣"-2"，令//(%)=XeX-2x=0,解得：X=O或X=In2,列表如下:

X(-8,0)0(0,ln2)In2(lπ2,+∞)

“(X)+0—0+

6(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以函數(shù)例x)在區(qū)間(-8,0)和(In2,”)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0』n2)上單調(diào)遞減.

22.已知函數(shù)/(x)=ln2x+0x+2.

⑴討論了(x)的單調(diào)性

(2)若函數(shù)g(x)=/(X)-2xe"川有且只有玉丹兩個零點，證明：x,+x2>--.

【答案】(1)答案見解析

⑵證明見解析

【分析】(I)求得/(x)=(+4,分α≥0和"0,兩種情況分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，即可求得

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵化簡g(x)=歷僅XeWl)-2叱“+1,令∕=2xe"M,得到ln(2xe"川)-2xe"向+l—,令

Λ(∕)=ln∕-∕+l(∕>O),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為g(x)有且只有看,％兩個零點等價于函數(shù)

9(x)=2XearTT有且只有和三兩個零點,利用導(dǎo)數(shù)求得夕(x)的單調(diào)性,分4≥0和α<0,兩種情況

討論得到要使夕(X)有西,三兩個零點，轉(zhuǎn)化為小-』=-2-1>0,不妨令0<再<」氣，令

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