工程力學(xué)之動量原理

動量原理動量原理動量定理動量矩定理剛體基本運動形式動量和動量矩定理則是描述這兩種運動形式的動力學(xué)基本物理量。平動轉(zhuǎn)動

動量定理：闡述的是質(zhì)點系動量的變化與外力系沖量之間的關(guān)系，它的另一種重要形式——質(zhì)心運動定理則是用來描述質(zhì)點系質(zhì)心的運動與外力系主矢之間的關(guān)系。

動量矩定理：建立起質(zhì)點系對某點動量矩的變化與外力系對該點主矩之間的關(guān)系，用它可方便的研究質(zhì)點系中各質(zhì)點相對于空間固定點或質(zhì)心的運動。

※22.1動量※22.2沖量※22.3動量定理※22.4質(zhì)心運動定理例題1

第二十二章達朗伯原理※22.8剛體一般運動方程※22.6動量矩定理※22.5動量矩例題2例題3、4、5、

6、7、81質(zhì)點的動量:質(zhì)點的質(zhì)量與其速度的乘積，用表示，即22.1動量它用來表示質(zhì)點機械運動強弱的一種物理量，矢量，其方向與速度方向一致。當質(zhì)點之間存在力的相互作用時.動量可用來描述質(zhì)點之間機械運動的傳遞關(guān)系2質(zhì)點系的動量：質(zhì)點系的動量:質(zhì)點系中各質(zhì)點的動量的矢量和將質(zhì)點系質(zhì)心的矢徑公式若質(zhì)點系中質(zhì)點相對于空間某一固定點o的矢徑為它的質(zhì)量為,速度為,則其動量為質(zhì)點系的動量等于想象地將質(zhì)點系的質(zhì)量都集中于質(zhì)心時質(zhì)心的動量。質(zhì)點系的動量是表示其質(zhì)心運動的一個特征量。表明兩邊對時間求一階導(dǎo)數(shù)可得將它代入得質(zhì)點系動量的簡潔表達式

由質(zhì)點系的動量定理的定義知，質(zhì)點系的動量符合疊加原理.

因此，當一個質(zhì)點系由個剛體組成時，其動量可寫成式中分別為第個剛體的質(zhì)量和質(zhì)心的速度。

例22.1圖示各均質(zhì)物體重量為Q,物體尺寸與質(zhì)心速度或繞軸轉(zhuǎn)動的角速度如圖所示.試計算各物體對O點的動量矩.解:由于桿繞O軸轉(zhuǎn)動,根據(jù)轉(zhuǎn)動剛體對于轉(zhuǎn)軸的動量矩公式,有而L故2，由于圓盤繞O軸轉(zhuǎn)動,仿上可有而

所以

R３，由于圓盤繞O軸轉(zhuǎn)動,故有將之值代入(1)式中（１）則C4.由于圓盤繞瞬時中心O轉(zhuǎn)動,其對轉(zhuǎn)軸O之動量矩為根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的平行移軸定理,得所以

（2）但因O軸瞬時中心,故

（3）RC將(3)式代入(2)中,得力的沖量:用來度量在一段時間內(nèi)的積累的效果通常定義為任意力在微小時間間隔內(nèi)的元沖量

22.2沖量將定義為力在時間間隔內(nèi)的沖量，并用表示，力系的沖量：將作用于質(zhì)點上各力的沖量的矢量和定義為力系的沖量。即力系的沖量為交換求和與積分的順序，并將力系的主矢代入得表明力系的沖量等于力系的主矢在同一個時間間隔內(nèi)的沖量。由于內(nèi)力系和力偶系的主矢都為零，故這兩種力系的沖量也都為零。22.3動量定理1) 質(zhì)點的動量定理的微分形式：當質(zhì)點的質(zhì)量不變時，牛頓第二定律可寫為22.3.1動量定理它又可以寫為即質(zhì)點的動量的微分等于作用于其上的合力的元沖量，稱為質(zhì)點動量定理的微分形式。2)質(zhì)點的動量定理的積分形式：

將式在時間至積分并將代入可得即質(zhì)點在至時間間隔內(nèi)動量等于作用于其上的合力在同一時間間隔內(nèi)的沖量，稱為質(zhì)點動量定理的積分形式。22.3.2質(zhì)點系的動量定理1)質(zhì)點系動量定理的微分形式設(shè)作用于質(zhì)點系中質(zhì)點上質(zhì)點系的內(nèi)力和外力的合力分別為質(zhì)點系的動量的微分等于作用于其上的外力系的主矢的元沖量，稱為質(zhì)點系動量定理的微分形式表明根據(jù)將它們求矢量和，再交換求和與求微分的次序，并將式和代入得表明2）質(zhì)點系動量定理的積分形式將上式在時間至內(nèi)積分得質(zhì)點系在至時間間隔內(nèi)動量的改變量等于作用于其上的外力系的主矢在同一時間間隔內(nèi)的沖量，稱為質(zhì)點系動量定理的積分形式。PS盡管質(zhì)點系的內(nèi)力不會改變質(zhì)點系的動量，但是它能夠引起質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點的動量的相互改變.

動能定理的表達式都是矢量式.

它們可以向固連于慣性參考系的直角坐標軸投影,得到相應(yīng)的投影式.22.3.3質(zhì)點系的動能守恒定律若質(zhì)點系的外力系的主矢則由式可得，質(zhì)點系的動量K=常矢量;

若質(zhì)點系的外力系的主矢在某一個固連于慣性參考空間的直角坐標軸，如軸上的投影,則由得質(zhì)點系的動量在該軸上的投影=常數(shù)這就稱為質(zhì)點系的動量守恒定律。表明對于不變質(zhì)點系，則M=常數(shù)。此時上式兩邊同除得質(zhì)點系的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積等于作用與其上外力系的主矢，稱為質(zhì)心的運動定理。

22.4質(zhì)心運動定理22.4.1質(zhì)心運動定理將質(zhì)點系的動量表達式代入質(zhì)點系的動量定理得微分形式質(zhì)點系的動量定理其實質(zhì)只能描述其質(zhì)心的運動，且與這樣的一個質(zhì)點的運動相同，該質(zhì)點的質(zhì)量等于質(zhì)點系的質(zhì)量，并受到一個大小和方向與該質(zhì)點系的外力系的主矢相同的力的作用。質(zhì)點系質(zhì)心的這種運動不僅與質(zhì)點系的內(nèi)力無關(guān)，而且與作用在其上個外力的作用點位置也無關(guān)。注意式中分別為第i個剛體的質(zhì)量和其質(zhì)心的加速度。若一個質(zhì)點系由n個剛體組成，則由式或質(zhì)心矢徑公式知，其質(zhì)心運動定理可表示為設(shè)系統(tǒng)中各剛體的質(zhì)心在同一時間間隔內(nèi)產(chǎn)生的有限位移，則由上式及系統(tǒng)的質(zhì)心矢徑公式可得當質(zhì)點系由n個剛體組成時,若作用在其上的外力系主矢,且初始時,系統(tǒng)的質(zhì)心速度為零，則根據(jù)式知,系統(tǒng)的質(zhì)心相對于某固定點O的矢徑

=常矢量22.4.2質(zhì)心運動守恒定律于是有易知系統(tǒng)得質(zhì)心在該軸上的坐標值若外力系的主矢在固連于慣性參考空間的直角坐標軸，如軸上的投影,且初始時系統(tǒng)得質(zhì)心速度在該軸上的投影等于零，則由式在該軸上的投影式=常數(shù)于是有這個結(jié)論就是質(zhì)心運動的守恒定律現(xiàn)假設(shè)各剛體對該軸得坐標值同時產(chǎn)生有限改變量，則由上式及系統(tǒng)的質(zhì)心坐標公式可得把質(zhì)點D在某瞬時相對于空間某一固定點的矢徑與其動量的叉積定義為該瞬時質(zhì)點D的動量對點O的動量矩，記作22.5動量矩22..5.1質(zhì)點的動量矩若在O點建立直角坐標系，則式中i,j,k,分別為軸正向的單位矢量為點D的坐標分別為沿軸的投影。與定義力對軸的矩類似，可定義動量對軸的矩，又稱為質(zhì)點對軸的動量矩，并且相應(yīng)的有以下結(jié)論：質(zhì)點對某一固定軸的動量矩等于質(zhì)點對該軸上任意一點A的動量矩在該軸上的投影。即式中為軸正向的單位矢量。

質(zhì)點對點的動量矩式一個定位矢量而質(zhì)點對軸的動量矩是一個代數(shù)量

注意22.5.2質(zhì)點系的動量矩

1）質(zhì)點系對某個固定點、某固定軸的動量矩。設(shè)質(zhì)點系中質(zhì)點相對于某一固定點O的矢徑為，動量為。將質(zhì)點系中各質(zhì)點對固定點o得動量矩的矢量和定義為質(zhì)點系對該點的動量矩。用表示，即

與力系對不同兩點的主矩關(guān)系類似，質(zhì)點對不同的兩固定點O,A得動量矩的關(guān)系為將質(zhì)點系中各質(zhì)點對某一固定軸的動量矩的代數(shù)和為質(zhì)點系對該軸的動量矩用表示(式中為系統(tǒng)的動量)即:BAO

例22.2圖示無重細桿長為L,兩端各固連一個質(zhì)量為m的小球A和B,在桿的中點O受固定鉸支座約束;桿的角速度為,轉(zhuǎn)向為逆時針,求系統(tǒng)對O的動量矩.解:的大小為

的方向為垂直紙面向外2）質(zhì)點系對動點的動量矩設(shè)在慣性參考系中有任意一動點A，其速度為現(xiàn)以A為原點建立平動直角坐標系設(shè)質(zhì)點系中質(zhì)點相對于A的矢徑為相對于平動直角坐標系的相對速度為將質(zhì)點系中各質(zhì)點的相對動量對動點A的矩的矢量和定義為質(zhì)點系對該點的相對動量矩，用表示，質(zhì)點的絕對速度為則由復(fù)合運動的知識知，即將質(zhì)點系中各質(zhì)點的相對動量對動點A的矩的矢量和定義為質(zhì)點系對該點的相對動量矩用表示即將代入并由可得

這就是質(zhì)點系對動點的絕對動量矩的關(guān)系式當A取質(zhì)心時

質(zhì)點系質(zhì)心C相對于A的矢徑公式質(zhì)點系對質(zhì)心的絕對動量矩與相對動量矩相等22.5.3剛體的動量矩(1)平動剛體:

平動剛體對任意固定點A的動量矩為將平動剛體的質(zhì)量全部集中在質(zhì)心時對A的動量矩(2)定軸轉(zhuǎn)動剛體:

根據(jù)代入各相關(guān)式子所得,結(jié)果說明定軸轉(zhuǎn)動剛體對軸上任意一點的動量矩方向一般不沿轉(zhuǎn)軸(3)一般平面運動剛體:

22.6動量矩定理

22.6.1質(zhì)點的動量矩定理

設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點D對固定點O的矢徑r,作用在其上的合力為F,將該質(zhì)點對O點的動量矩對時間求一階導(dǎo)數(shù)得因則由牛頓第二定律知故右端第二項為合力F對O點的矩.質(zhì)點對某一固定點的動量矩對時間得一階導(dǎo)數(shù)等于作用在其上的合力對同一點的矩,稱為質(zhì)點的動量矩定理.表明于是22.6.2質(zhì)點系對固定點的動量矩定理1)質(zhì)點系對固定點的動量矩定理由質(zhì)點的動量矩定理即知,質(zhì)點系中有表明對各質(zhì)點求和,交換求和與求導(dǎo)的關(guān)系

內(nèi)力成對出現(xiàn),它們對同一點的動量矩的矢量和為零即得質(zhì)點系對某一固定點得動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在其上外力系對同一點的主矩,稱為質(zhì)點系對固定點得動量矩定理.

例22.3圖示均質(zhì)圓輪A和B的質(zhì)量均為m,半徑都為r在輪A上作用一力偶矩為的主動力偶并通過不可伸長的,質(zhì)量可不計的柔繩帶動輪B在與水平段繩平行的水平地面上作純滾動,繩與輪之間無相對滑動.試求圓輪B中心的加速度及圓輪B與地面間的摩擦力.BA解：即需求加速度，又要求約束反力的問題，受力分析很關(guān)鍵，純滾動的摩擦力屬靜摩擦力，其方向依賴于主動力，一般可先假定其指向。動量矩定理經(jīng)常與質(zhì)心運動定理聯(lián)合使用。若列寫的獨立動力學(xué)方程個數(shù)比其中未知量個數(shù)少，則一般可補充運動學(xué)關(guān)系是方程封閉。其具體解題過程為：1，取圓輪B為研究對象，其受力分析如圖Nmg由質(zhì)心運動定理，得到由對定點A的動量矩定理由知得到于是化為2，取圓輪A為研究對象,其受力分析如圖。Amg由對定點A的動量矩定理3，以上方程含有5個未知量，補充以下兩個運動學(xué)關(guān)系4，聯(lián)立以上幾個方程，可以得PS2)質(zhì)點系對動點的動量矩定理A的主矩外力系對動點A為移動點,C為剛體的質(zhì)心這就是質(zhì)點系對動點的動量矩定理的數(shù)學(xué)表達式.對于動點A,一般不成立.但是有三種例外.質(zhì)點系對其質(zhì)心的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于其上外力系對質(zhì)心的主矩,稱為質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理.這說明(1)動點A就取質(zhì)點系的質(zhì)心,因變?yōu)?2)當時變?yōu)?/p>

此時=常矢量,即平動坐標系也是一個慣性參考系這說明(3)當動點A取為剛體的速度瞬心P的時候,將兩邊對時間求一階導(dǎo)數(shù),并將代入得得剛體對其速度瞬心得動量矩定理,其形式與剛體對定點的動量矩定理相同.將代入注意

(1)若利用動量矩定理來建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程,一般是對定點或質(zhì)心來列寫動量矩方程,這樣比較方便.(2)在動力學(xué)中,必須將剛體運動和它所受的力聯(lián)系起來.考慮到質(zhì)心運動定理可將剛體的質(zhì)心運動與外力聯(lián)系起來,相對于質(zhì)心的動量矩定理又可將質(zhì)心平動坐標系的轉(zhuǎn)動和外力系對質(zhì)心的主矩聯(lián)系起來.

因此在動力學(xué)中,將一般平面運動的剛體的基點選在質(zhì)心上是方便的.剛體運動所受的力質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動外力質(zhì)心平動坐標系的轉(zhuǎn)動外力系對質(zhì)心的主矩相對于質(zhì)心的動量矩定理圖示例22.4圖示均質(zhì)細桿AB質(zhì)量為m,長為L,其B端面與光滑水平面接觸,初始時桿與前垂線的夾角為.試求桿無初速度釋放的瞬間,水平面對桿的約束反力.xyCBoA

解:(1)對桿進行受力分析如圖(2)建立圖示直角坐標系用,且初始時,則

,即質(zhì)心沿鉛垂線運動,于是

(1)

對時間求一階導(dǎo)數(shù),將初瞬時,代入得(2)(3)由質(zhì)心運動定理(4)由對質(zhì)心的動量矩定理

(5)聯(lián)立(2)(3)(4)解得(4)(3)轉(zhuǎn)向如圖所示4.質(zhì)點系動量矩守恒定律作用于其上的外力系對O點的主矩為零,即,質(zhì)點系得動量矩守恒定律作用于其上的外力系對某一固定直角坐標系的坐標軸的矩為零,即,xyCBOA規(guī)定轉(zhuǎn)角順時針方向為正例22.5圓柱體的質(zhì)量是,在其中部繞以細繩,繩的一端固定不動.圓柱體解開繩子而下墜,其初速度為零.求當圓柱體的軸降落了高度時,這軸的速度和繩子的張力.解:

研究圓柱體.在當解開繩子它下落時,作平面運動.其上作用有繩子的張力和重力

AhB以圓柱體重心下落的起始位置為原點,選靜止坐標系如圖.由剛體平面運動微分方程,可有

(1)(2)

因點為瞬心,故將此值代入(1)式中,得所以

(3)將(3)式代入(2)中,則或

由此得到根據(jù)初始條件,當時

因之

所以(5)

再將(5)式進行積分,并考慮到將(6)式得入(5)中,即得圓柱體的軸下落時的速度為繩子的張力為

有

故

(6)

2.這里考慮到圓柱體沿繩滾而不滑的運動條件，建立了補充方程

1.在解平面運動問題時，質(zhì)心加速度的正向與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角加速度的正向，必須規(guī)定一致，否則出現(xiàn)正負號上的麻煩。

小結(jié)

例22.6位于鉛垂平面的均質(zhì)桿AB和BD,長度均為L重量都是P.桿AB的A端預(yù)固定絞支座連接.B端與桿BD鉸連.桿BD的D端與可沿鉛垂滑槽滑動的滑塊D絞接.今用一細繩將B點拉住,使桿AB和BD位于同一直線上,該直線與水平面間的夾角為,系統(tǒng)保持平衡,如圖各處摩擦和滑塊D的質(zhì)量與大小略去不計。試求（1）剪斷繩子瞬時,滑槽相對于滑塊

D的反力（2）桿AB運動至水平位置時,桿AB

的角速度解

1)求剪斷繩子后滑槽對滑塊D的反力設(shè)AB桿有瞬鐘向角加速度，BD桿有逆鐘向角加速度由于初瞬時兩桿角速度和均等于零，所以BD桿作平面運動，以B點為基點分析D點的加速度。其中DBA將上式分別沿DB和垂直于DB方向投影，可得求得即D點為該瞬時加速度瞬心所以BD桿質(zhì)心C的加速度ABDBDCP取BD為研究對象，受力如圖。BD桿作平面運動，根據(jù)平面運動微分方程，有取AB為研究對象，受力如圖。AB桿作定軸轉(zhuǎn)動，應(yīng)用定軸轉(zhuǎn)動微分方程，有考慮到由以上幾式解得剪斷繩子瞬時時，AB桿和BD桿的角加速度以及滑塊D處反力分別為BAP2）求桿AB運動至水平位置時的角速度取整個系統(tǒng)為研究對象，利用動能定理求解。因為系統(tǒng)在初瞬時，AB桿與BD桿的角速度均為零，且BD桿的質(zhì)心速度也為零。而當AB桿運動到水平位置時，若設(shè)AB桿的角速度為，此時BD桿為瞬時平動。所以系統(tǒng)在這一過程的初動能和末動能為系統(tǒng)在上述運動過程中重力所作的功根據(jù)動能定理有解得桿AB運動至水平位置時，桿AB角速度順鐘向CBAa

例22.7兩根均質(zhì)桿AD,BD質(zhì)量都是M,長度都為L用光滑的鉸鏈D連接并放在光滑水平面上，如圖所示。開始時，系統(tǒng)靜止于鉛直面內(nèi)，且桿對水平面的傾角是。求兩桿運動到與水平面成傾角時鉸銷D的速度和加速度，并求水平面的支反力。DAB解：系統(tǒng)由于質(zhì)量分布和受力對稱，以及所給的初始條件，將保留在原鉛直平面內(nèi)它的位置用角確定。

取整個系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。應(yīng)用動能定理的積分形式求速度，用動量定理或質(zhì)心運動定理求反力。yxDOAB(1)求速度和加速度由于對稱，在系統(tǒng)的鉛垂平面內(nèi)取固定坐標系Oxy，在系統(tǒng)的運動過程中，，系統(tǒng)的初速度等于零，因此系統(tǒng)的質(zhì)心C在水平方向的位置守恒，即C將沿鉛垂線下降因而鉸銷D也沿鉛垂線下降。同時桿端A,B只能沿著x軸按反方向分開。所以兩