江西省吉安市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

吉安市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題2024.1（測式時間：120分鐘卷面總分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用直線一般式求得直線的斜率，進(jìn)而得到其傾斜角，從而得解.【詳解】直線的斜率，其傾斜角（），則，∴．故選：C.2.已知空間中點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】關(guān)于平面對稱的點橫縱坐標(biāo)相同，豎坐標(biāo)互為相反數(shù).【詳解】空間中點，則點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是．故選：A3.兩平行直線和間的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平行線間的距離公式計算即可.【詳解】直線，即，則平行線間距離．故選：B.4.拋物線的焦點到點的距離為（）A.2 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】首先求出焦點坐標(biāo)，再利用距離公式計算可得.【詳解】拋物線的焦點為，所以點到焦點的距離.故選：B5.將8個外觀相同的蘋果分給甲、乙、丙三人，每人至少分到1個蘋果，共有不同的分法（）A.15種 B.18種 C.21種 D.24種【答案】C【解析】【分析】利用隔板法求解即可.【詳解】8個蘋果間會產(chǎn)生7個空隙，任選2個空隙將蘋果分開，即分成三份，共有種分法．故選：C.6.一條經(jīng)過點的直線與圓：交于，兩點，若，則的方程為（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】當(dāng)直線的斜率不存在時，不合要求，設(shè)直線的方程為，由點到直線距離公式和垂徑定理得到方程，求出或，得到直線方程.【詳解】由題意知，，設(shè)圓的半徑為，則，當(dāng)直線的斜率不存在時，即直線方程為，此時圓心到直線距離為，此時，舍去，設(shè)直線的方程為，即，點到直線的距離，又，故，解得或，代入得或．故選：D7.在三棱錐中，平面，為正三角形，，，點在線段上，且，當(dāng)時，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運算求解參數(shù)即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點，，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，∵，，∴，，，，∴，，已知是棱上一點，（），則，∵，∴，解得．故選：C8.已知橢圓的左、右頂點分別為，，點為該橢圓上位于軸上方一點，直線與直線交于點，直線與直線交于點，若，則直線的斜率為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】設(shè)，可證得，設(shè)直線與直線的方程，表示出點和點坐標(biāo)，由，求出直線的斜率.【詳解】則，，設(shè)，則，設(shè)（），則，直線的方程為，則的坐標(biāo)為，直線的方程為，則的坐標(biāo)為，∴，解得或．故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于利用兩點的斜率公式和點在橢圓上，證明則，此時設(shè)（），則有，由求即可.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知直線：，則下列說法正確的有（）A.的一個方向向量為B.的截距式方程為C.若與直線互相垂直，則D.點到的距離為1【答案】AD【解析】【分析】由直線一般方程寫出一個方向向量及截距式判斷A、B；由垂直關(guān)系的判定列方程求參判斷C；應(yīng)用點線距離公式求距離判斷D.【詳解】由直線方程知：的一個方向向量為，A對；由，則截距式為，B錯；與直線互相垂直，則，可得，C錯；點到的距離為，D對.故選：AD10.的展開式中（）A.二項式系數(shù)之和為32 B.最高次項系數(shù)為32C.所有項系數(shù)之和為 D.所有項系數(shù)之和為1【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和的性質(zhì)判斷A，結(jié)合展開式通項求解最高次項系數(shù)判斷B，令得所有項系數(shù)之和判斷CD.【詳解】二項式系數(shù)之和為，A正確；設(shè)的展開式第項為，令得的展開式中最高次項的系數(shù)為，B正確；令得，所有項系數(shù)之和為，C錯誤，D正確.故選：ABD11.雙曲線：的焦點為，，過的直線與雙曲線的左支相交于兩點，過的直線與雙曲線的右支相交于，兩點，若四邊形為平行四邊形，則（）A.B.C.平行四邊形各邊所在直線斜率均不為D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可判定A，由平行四邊形與雙曲線的對稱性及雙曲線定義可判定B，利用雙曲線的性質(zhì)可判定C，設(shè)直線方程，聯(lián)立雙曲線利用韋達(dá)定理及弦長公式結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判定D.【詳解】由題意可得，，則，故A錯誤．由雙曲線的對稱性和平行四邊形的對稱性可知：，則，B正確．設(shè)任一邊所在直線為（斜率存在時），聯(lián)立雙曲線，聯(lián)立得，則，即，C正確．由，設(shè)：；，，，聯(lián)立得，∴，，則，設(shè)，則，∴，又單調(diào)遞減，則，∴，故，D錯誤．故選：BC12.在棱長為1的正方體中，，，則下列說法正確的是（）A.平面B.直線與底面所成的角的正弦值為C.平面與底面夾角的余弦值為D.點到平面的距離為【答案】AB【解析】【分析】A選項，建立空間直角坐標(biāo)系，求出，得到，得到線面平行；B選項，得到平面的法向量，利用向量夾角公式求出線面角的正弦值；C選項，求出兩平面的法向量，利用法向量夾角余弦公式求出答案；D選項，利用點到平面的距離向量公式求出答案.【詳解】如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，∴，∵平面，平面，∴平面，故A正確．B選項，平面的法向量，設(shè)直線與底面所成的角為，則，故B正確．C選項，，，設(shè)平面的法向量，則令，得，則．設(shè)平面與底面的夾角為，則，∴平面與底面夾角的余弦值為，故C錯誤．D選項，∵，平面，平面，又，平面法向量，∴點到平面的距離即為直線與平面的距離，故D錯誤．故選：AB三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若二元二次方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的一般方程中得到不等式，求出答案.【詳解】∵二元二次方程表示圓，∴，故，解得．故答案為：14.第19屆杭州亞運會開幕前需在某高中招募10名志愿者作為高中組志愿者代表，分成兩組，每組5人，共有15人報了名．其中小王、小張也報了名，則兩人都被選中且被分在不同組概率為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分組分配問題，結(jié)合古典概型的概率公式求解.【詳解】該兩人都被選中且被分在不同組為目標(biāo)分組，分法種數(shù)為，15人選10人分兩組的分法種數(shù)為，∴兩人都被選中且被分在不同組的概率．故答案為：15.拋物線上有一動點，過作曲線切線，其中一個切點為，則的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心坐標(biāo)與半徑，設(shè)，當(dāng)最小時，即最小，求出的最小值，即可得解.【詳解】曲線即，表示圓心為，半徑的圓，設(shè)，當(dāng)最小時，即最小，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即，所以，所以.故答案為：16.已知實數(shù)，滿足，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】方程表示橢圓的右半邊，為橢圓上的點與定點的斜率，與橢圓方程聯(lián)立，求出直線與橢圓相切時的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求得范圍.【詳解】因為，所以，，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，，，可看作是橢圓的一半（如下圖）：又等價于過點和點的直線斜率，由圖可知，當(dāng)直線與橢圓相切時，斜率取最值.設(shè)切線為，聯(lián)立，消得，令，解得，所以，即的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.判斷是否能被8整除？并推理證明．【答案】能被8整除，證明見解析【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項展開式分析證明.【詳解】能被8整除，證明如下：因為，注意到最終所得的式子中每一項都能被8整除，所以能被8整除．18.已知為過點，，三點的圓．（1）求圓的方程；（2）若直線：與圓有公共點，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)圓的方程為：，代入，，三點坐標(biāo)，解方程求出，即可得出答案.（2）直線與圓有交點，即到的距離，求解即可得出答案.【小問1詳解】設(shè)圓的方程為：，代入，，三點坐標(biāo)可得解得∴圓的方程為：【小問2詳解】由（1）知，即圓心，半徑為，由題意可知到：的距離，解得：故的取值范圍為：.19.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，．（1）求；（2）判斷點，，，是否共面，并說明理由．【答案】（1）（2）不共面，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出和即可求出；（2）求出，設(shè)，列出方程組證明其無解即可.【小問1詳解】由題意知，，∴；【小問2詳解】∵，，，設(shè)，則無解，即不存在，使得，，共面，故點，，，不共面．20.已知過軸正半軸上一點的直線：交拋物線：于，兩點，且，證明點為定點，并求出該定點的坐標(biāo)．【答案】證明見解析，．【解析】【分析】聯(lián)立直線方程和拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，由弦長公式得到，根據(jù)得到方程，得到，求出定點坐標(biāo).詳解】由題意得，設(shè)，，聯(lián)立方程組整理得，，則，．，，，則，由得，，整理得，∵，∴．故，即．故此時，點為定點．21.如圖，直四棱柱的棱長均為2，底面是菱形，，為的中點，且上一點滿足（）．（1）若，證明：；（2）若，且與平面所成角的正弦值為，求．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明，即可得出結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法列出與平面所成角的正弦值為的方程，求解即可得出結(jié)果.【小問1詳解】連接，交于點，如圖所示．∵底面是菱形，∴，且，互相平分．又，∴，，連接，交于點，連接，則平面，∴，，兩兩相互垂直，故以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，．∴，∴，∴，∴時，．∵，∴．【小問2詳解】由（1）可得，，，設(shè)平面的法向量為，則即∴，令，得，則，設(shè)與平面所成角為，則，化簡得解得或（舍去）．所以.22.設(shè)，，向量，分別為直角坐標(biāo)平面內(nèi)軸、軸正方向上的單位向量，若向量，，且.（1）求點的軌跡的方程；（2）已知，，斜率不為0的直線過點且與軌跡交于，兩點，若平分，求直線的方程.【答案】（1）