專題1-2空間向量與立體幾何20類解答題專練（原卷版）

專題1-2空間向量與立體幾何20類解答題專練TOC\o"1-3"\n\h\z\u知識(shí)點(diǎn)梳理模塊一平行證明（拆分練習(xí)）【題型1】由中位線得出平行關(guān)系【題型2】構(gòu)造平行四邊形得到平行關(guān)系【題型3】由面面平行得出線面平行【題型4】構(gòu)造2個(gè)平面的交線模塊二垂直證明（拆分練習(xí)）【題型5】證明線面垂直【題型6】證明異面直線垂直【題型7】證明面面垂直【題型8】平行垂直的向量證明方法模塊三點(diǎn)與面【題型9】證明四點(diǎn)共面【題型10】求點(diǎn)到平面的距離模塊四空間中的角【題型11】異面直線夾角【題型12】線面角【題型13】求二面角（重點(diǎn)）【題型14】求面面角（重要）【題型15】已知線面角或二面角，求其它量（重要）【題型16】與角有關(guān)的最值與范圍問題（難點(diǎn)）模塊五探究類問題【題型17】驗(yàn)證滿足平行條件的點(diǎn)是否存在【題型18】驗(yàn)證滿足垂直條件的點(diǎn)是否存在【題型19】驗(yàn)證滿足角度條件的點(diǎn)是否存在【題型20】已知點(diǎn)到平面距離，求參數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理一、平行證明：中位線法，平行四邊形法，構(gòu)造平行平面法證明四點(diǎn)共面一般轉(zhuǎn)化為證明平行二、垂直證明證明直線與直線垂直：1、如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線。這是證明直線與直線垂直最常用的方法。2、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，那么另一條也垂直于這條直線。3、三垂線定理及其逆定理。4、勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)是一組勾股數(shù)，則這個(gè)三角形是一個(gè)直角三角形。5、等腰三角形三線合一：等腰三角形底邊上的中線、頂角角平分線和底邊上的高是同一條線段。6、菱形對(duì)角線互相垂直。7、矩形的相鄰兩邊垂直。8、全等或相似三角形中的垂直

證明直線與平面垂直：1、如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。2、如果兩個(gè)平面垂直，那么其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。3、如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。4、如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也垂直于另一個(gè)平面。

證明平面與平面垂直：1、如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。2、如果二面角的平面角是直角，那么二面角的兩個(gè)面所在的平面互相垂直。3、直棱柱的底面垂直于側(cè)面。三、點(diǎn)到平面的距離（1）法一：等體積法（2）法二：法向量：如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長(zhǎng)度.四、異面直線所成角已知，為兩異面直線，，與，分別是，上的任意兩點(diǎn)，，所成的角為，則①②.五、線面角范圍：，公式：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有六、面面角范圍：，公式：七、二面角范圍：，公式：模塊一平行證明（拆分練習(xí)）母題：如圖，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，AB∥CD，CD＝2AB，E是PC的中點(diǎn)．方法一：作相交平面找線證明BE//平面PAD若F是DC的中點(diǎn)，證明PA//平面BEF方法二：BE//平面PAD（正向平移法：構(gòu)造平行四邊形）（3）方法三：BE//平面PAD（反向平移法：構(gòu)造面面平行）【題型1】由中位線得出平行關(guān)系如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

證明：平面；【題型2】構(gòu)造平行四邊形得到平行關(guān)系如圖，四棱臺(tái)的下底面和上底面分別是邊和的正方形，側(cè)棱上點(diǎn)滿足，證明：直線平面【題型3】由面面平行得出線面平行如圖，四邊形ABCD為矩形，P是四棱錐P－ABCD的頂點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，請(qǐng)問在PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PCD，并說(shuō)明理出如圖，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且，且，DG⊥平面ABCD，，若M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，求證：MN//平面．【題型4】構(gòu)造2個(gè)平面的交線如圖，三棱柱中，E，P分別是和CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱上，且，證明：平面EFC．如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，且PD⊥面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．證明：l∥CB模塊二垂直證明（拆分練習(xí)）【題型5】證明線面垂直如圖，在四棱錐中，已知、，，，平面，求證：平面.如圖，在四棱錐中，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且平面．求證：平面【題型6】證明異面直線垂直已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，．證明：；如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，，．證明：；如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn).證明：【題型7】證明面面垂直在四棱錐中，底面是正方形，若，，，求證：平面平面圖1是由矩形，和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，．將其沿，折起使得與重合，連結(jié)，如圖2．證明：圖2中的，，，四點(diǎn)共面，且平面平面【題型8】平行垂直的向量證明方法如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，分別是，的中點(diǎn)．求證：平面；如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，D為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E．證明：.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，.求證：PB平面AEC；模塊三點(diǎn)與面【題型9】證明四點(diǎn)共面如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在棱上，2DE＝ED1，BF＝2FB1，證明：點(diǎn)在平面內(nèi)．如圖，多面體ABCGDEF中，AB，AC，AD兩兩垂直，平面ABC//平面平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，判斷點(diǎn)B，C，F(xiàn)，G是否共面，并說(shuō)明理由．如圖，四棱錐的底面為正方形，平面，.(1)證明：四點(diǎn)共面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【題型10】求點(diǎn)到平面的距離如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為，求A到平面的距離如圖，在底面為梯形的四棱錐中，底面，.(1)證明：平面.(2)延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，求點(diǎn)到平面的距離.如圖，在正方體中，．

(1)求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離．如圖，在直三棱柱中，．

(1)求證：；(2)求點(diǎn)到直線的距離．模塊四空間中的角【題型11】異面直線夾角如圖，三棱錐中的三條棱兩兩互相垂直，，點(diǎn)滿足．若，求異面直線與所成角的余弦值．如圖，在四棱錐中，平面，，，，且直線與所成角的大小為.(1)求的長(zhǎng)；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【題型12】求線面角在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，，，，．(1)證明：(2)若平面平面PCD，且，求直線AC與平面PBC所成角的正弦值．【題型13】求二面角（重點(diǎn)）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．如圖，在三棱臺(tái)中，.(1)求證：平面平面；(2)若四面體的體積為2，求二面角的余弦值.【題型14】求面面角（重要）如圖，在四棱錐中，已知，，，，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)若，求平面與平面所成夾角的余弦值.【題型15】已知線面角或二面角，求其它量（重要）如圖，在多面體ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均為正三角形，，點(diǎn)M為線段CD上一點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若EM與平面ACD所成角為，求平面AMB與平面ACD所成銳二面角的余弦值．如圖（1）所示，在中，，過點(diǎn)作，垂足在線段上，且，，沿將折起（如圖（2）），點(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若二面角所成角的正切值為，求二面角所成角的余弦值.如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，為正三角形，平面平面，為線段的中點(diǎn)，是線段（不含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)記平面交于點(diǎn)，求證：平面；(2)是否存在點(diǎn)，使得二面角的正弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，(1)證明：平面平面；(2)在棱上有一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為，求點(diǎn)到平面的距離.如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，E為CD的中點(diǎn)，M在AB上，且，

(1)求證：平面PAD；(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值；(3)點(diǎn)F是線段PD上異于兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若滿足異面直線EF與AC所成角為，求AF的長(zhǎng)．【題型16】與角有關(guān)的最值與范圍問題（難點(diǎn)）如圖AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C為圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)．(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；(2)設(shè)PA=AB=2AC=4，D為PB的中點(diǎn)，M為AP上的動(dòng)點(diǎn)（不與A重合）求二面角A—BM—C的正切值的最小值．在四棱錐Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，，QC=3.(1)證明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)若點(diǎn)P為四棱錐Q－ABCD的側(cè)面QCD內(nèi)（包含邊界）的一點(diǎn)，且四棱錐P－ABCD的體積為，求BP與平面ABCD所成角的正弦值的最小值.如圖，四棱錐中，，，平面平面.

(1)證明：平面平面；(2)若，，，與平面所成的角為，求的最大值.模塊五探究類問題【題型17】驗(yàn)證滿足平行條件的點(diǎn)是否存在如圖，在正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，分別為棱，的中點(diǎn)，若平面，求．如圖1所示，在矩形中，，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，現(xiàn)將沿折起，將點(diǎn)折到點(diǎn)位置，使得點(diǎn)在平面上的射影在線段上，得到如圖2所示的四棱錐．在圖2中，線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.如圖，在四棱柱中，四邊形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的菱形，，側(cè)棱⊥平面ABCD，．

(1)求平面與平面的夾角的余弦值．(2)設(shè)E是的中點(diǎn)，在線段上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PDB？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型18】驗(yàn)證滿足垂直條件的點(diǎn)是否存在如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是的中點(diǎn)，在對(duì)角線上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在線段上，，，，是的中點(diǎn)，四面體的體積為．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）棱上是否存在一點(diǎn)，使，若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．三棱柱被平面截去一部分后得到如圖所示幾何體，平面，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），平面交于點(diǎn)，試問是否存在點(diǎn)，使得平面平面？并說(shuō)明理由．斜三棱柱的各棱長(zhǎng)都為2，，點(diǎn)在下底面ABC的投影為AB的中點(diǎn)O．在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)D使？若存在，求出BD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；斜三棱柱的各棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)在下底面的投影為的中點(diǎn).在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)使？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如圖1，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，于點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2.

(1)求證：平面；(2)判斷在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【題型19】驗(yàn)證滿足角度條件的點(diǎn)是否存在已知矩形中，，，是的中點(diǎn)，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面.(1)證明：；(2)若是否存在，使得與平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．(1)若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；(2)在棱上是