高三二輪復(fù)習(xí)專題13圓錐曲線

2024屆高三二輪復(fù)習(xí)第13講：圓錐曲線解析版2023年考情考題示例考點(diǎn)關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第5題橢圓的離心率無2023年新I卷，第16題雙曲線的離心率平面向量2023年新I卷，第22題動(dòng)點(diǎn)軌跡方程無2023年新Ⅱ卷，第10題直線與拋物線的位置關(guān)系無2023年新Ⅱ卷，第21題雙曲線的離心率，位置關(guān)系無2023年天津卷，第9題雙曲線的漸近線無2023年天津卷，第12題拋物線的定義圓的切線2023年天津卷，第18題橢圓方程離心率無2023年北京卷，第6題拋物線的定義無2023年北京卷，第12題雙曲線的離心率無2023年北京卷，第19題橢圓的離心率方程，位置關(guān)系無2023年乙卷文科，第12題雙曲線無2023年乙卷文科，第13題拋物線定義無2023年乙卷文科，第21題雙曲線的方程、位置關(guān)系無2023年乙卷理科，第11題雙曲線無2023年乙卷理科，第13題拋物線定義無2023年乙卷理科，第20題雙曲線的方程、位置關(guān)系無2023年甲卷理科，第8題雙曲線的離心率、漸近線圓的切線2023年甲卷理科，第12題橢圓的定義余弦定理2023年甲卷理科，第20題直線與拋物線位置關(guān)系向量2023年甲卷文科，第9題雙曲線的離心率、漸近線圓的切線2023年甲卷文科，第21題直線與拋物線位置關(guān)系向量題型一：橢圓【典例例題】例1.（2023春·廣東省汕頭市高三一模）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（）A.6 B.12 C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，先得到的值，再代入的余弦定理計(jì)算可得，再利用三角形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于橢圓有，設(shè)，則根據(jù)橢圓的定義得，又，解得，.故選：D.【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東省東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期校一模）已知點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，橢圓C在點(diǎn)P處的切線l與圓交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)三角形AOB的面積取最大值時(shí)，切線l的斜率等于_______【答案】【分析】根據(jù)面積公式分析可得當(dāng)是等腰三角形，面積最大，此時(shí)點(diǎn)O到切線l的距離等于.解法一：設(shè)切線l的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離和直線與橢圓相切分別可得，求解即可；解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，切線l的方程為，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)算求解.【詳解】∵圓的圓心，半徑，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，此時(shí)點(diǎn)O到切線l的距離等于.解法一：設(shè)切線l的方程為，即，則有，整理得：聯(lián)立方程，消去y得：，由相切得：整理得：由①②得：，解得.解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，切線l的方程為，即則有，整理得，∵點(diǎn)P在橢圓上，則，則，解得，所以切線l的斜率.故答案為：.2.（2023春·廣東省高三二模）已知，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N．若直線MN在y軸上的截距為3，且，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，借助幾何圖形及比例式求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再代入橢圓方程求解作答.【詳解】由對(duì)稱性不妨令點(diǎn)M在第一象限，令直線交y軸于點(diǎn)A，過N作軸于B，令，因?yàn)檩S，則，而O為的中點(diǎn)，又A為中點(diǎn)，而，于是，由知，，顯然，因此，于是，又，則，解得，而，則，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：3.（2023春·廣東省江門市高三一模）橢圓是特別重要的一類圓錐曲線，是平面解析幾何的核心，它集中地體現(xiàn)了解析幾何的基本思想.而黃金橢圓是一條優(yōu)美曲線，生活中許多橢圓形的物品，都是黃金橢圓，它完美絕倫，深受人們的喜愛.黃金橢圓具有以下性質(zhì)：①以長(zhǎng)軸與短軸的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形內(nèi)切圓經(jīng)過兩個(gè)焦點(diǎn)，②長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距依次組成等比數(shù)列.根據(jù)以上信息，黃金橢圓的離心率為___________.【答案】【解析】【分析】由①得原點(diǎn)到直線AB的距離，求得，由②得，求得，從而，兩邊同除以得，又，即可解得．【詳解】設(shè)左頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，則直線AB的方程為，以長(zhǎng)軸與短軸的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形內(nèi)切圓經(jīng)過兩個(gè)焦點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線AB的距離，即，即，即，所以，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距依次組成等比數(shù)列，則，所以，綜上，，即，兩邊同除以得，又，解得．故答案為：．4.（2023春·廣東省佛山市高三一模）如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，過作的外角平分線的垂線，垂足為點(diǎn).過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，若線段的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用橢圓定義，求得長(zhǎng)度，即可容易求得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，作圖如下：容易知點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，故可得，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故可得，不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，整理得.故答案為：.題型二：雙曲線【典例例題】例1.（2023春·廣東省高三一模）已知雙曲線，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合一元二次不等式的性質(zhì)、雙曲線離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，，由，代入不等式中，化簡(jiǎn)，得恒成立，則有，解得，而，所以故選：A【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東省高三二模）已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的兩條漸近線的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線的性質(zhì)，求出，求出雙曲線的漸近線方程，進(jìn)而得解.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，解得，由，得，所以，所以漸近線方程為，所以兩條漸近線的傾斜角分別為和，因?yàn)?，所以，兩條漸近線所夾的銳角為；即雙曲線的兩條漸近線的夾角為.故選：C.2.（2023春·廣東省梅州市高三一模）由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（，）下支的部分，且此雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知結(jié)合雙曲線兩條漸近線對(duì)稱關(guān)系可得的傾斜角為，即，則，則，即可得出雙曲線的離心率為.【詳解】雙曲線（，）的漸近線的方程為，雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為，根據(jù)雙曲線兩條漸近線對(duì)稱關(guān)系可得的傾斜角為，則，則，，則該雙曲線的離心率為，故選：D3.（2023春·廣東省佛山市高三一模）已知雙曲線C的右頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓與C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出雙曲線半焦距，由雙曲線漸近線斜率求出，再由余弦定理求出，判斷形狀即可求解作答.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為c，直線的方程為，有，如圖即有，而，解得，在中，由余弦定理得：，因此，即有，而，則，又，于是，所以雙曲線的離心率.故選：C4.（2023春·廣東省汕頭市高三一模）過雙曲線上的任意一點(diǎn)，作雙曲線漸近線的平行線，分別交漸近線于點(diǎn)，若，則雙曲線離心率的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，分別聯(lián)立兩組直線方程，求出的坐標(biāo)，然后利用向量的數(shù)量積，推出離心率的范圍即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為：，即，設(shè)點(diǎn)，可得：，聯(lián)立方程組，解得：，同理可得：，所以，因?yàn)?，所以，所以，由題意可得：，所以，故離心率，又因?yàn)殡p曲線的離心率，所以雙曲線離心率的取值范圍為，故答案為：.題型三：拋物線【典例例題】例1．（2023春·廣東省東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期校一模）已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，射線FM與y軸交于點(diǎn)，與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，，則p的值等于（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離為|MM′|，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)B.解得答案.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離為|MM′|，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)B.由拋物線的定義知，|MM′|＝|FM|.因?yàn)?，所以，即，所以，而，解得p＝2,故選：B.【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東省廣州市高三一模）已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出拋物線C及直線PQ的方程，借助垂直關(guān)系求出拋物線方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)，再用斜率坐標(biāo)公式建立函數(shù)，利用均值不等式求解作答.【詳解】依題意，拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，設(shè)的方程為：，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線PQ的方程為：，點(diǎn)，由消去x得：，則有，由得：，解得，于是拋物線：的焦點(diǎn)，弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)，顯然直線的斜率最大，必有，則直線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以直線的斜率的最大值為.故選：A2.（2023春·廣東省惠州市高三一模）（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，其中在第一象限，若，則（）A. B.C.以為直徑的圓與軸相切 D.【答案】BCD【解析】【分析】寫出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)點(diǎn)在第一象限即可求出點(diǎn)，的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可以求出的值，即可求出拋物線的方程，再對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即可．【詳解】設(shè)，，則過的直線斜率為的方程為：，代入拋物線方程消去可得：，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，，則，所以，錯(cuò)誤，，正確，由可得拋物線的方程為：，且，，，所以，正確，的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，以為直徑的圓的半徑為，所以圓心到軸的距離等于半徑，則以為直徑的圓與軸相切，正確，故選：．3.（2023春·廣東省深圳市高三一模）（多選）已知拋物線C：的準(zhǔn)線為，直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，則（）A.當(dāng)時(shí)，以AB為直徑的圓與相交B.當(dāng)時(shí)，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)OC.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M到的距離的最小值為2D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M到的距離無最小值【答案】BC【解析】【分析】將直線代入，結(jié)合韋達(dá)定理求得坐標(biāo)、點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離及．當(dāng)時(shí)，由可判斷A；當(dāng)時(shí)，由可判斷B；當(dāng)時(shí)，得的關(guān)系式，代入表達(dá)式，利用基本不等式可判斷C；當(dāng)時(shí)，得的關(guān)系式，代入表達(dá)式，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可判斷D．【詳解】拋物線，準(zhǔn)線方程是，直線代入，可得，，設(shè)，則，，，設(shè)，則，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，則以AB為直徑的圓與相切，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，則以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O，故B正確；當(dāng)時(shí)，即，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；當(dāng)時(shí)，即，得，所以，令，則，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值，故D錯(cuò)誤．故選：BC．4.（2023春·廣東省高三一模）（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)和點(diǎn)在點(diǎn)的兩側(cè)），則下列命題正確的是（）A.若為△的中線，則B.若為的角平分線，則C.存在直線，使得D.對(duì)于任意直線，都有【答案】AD【解析】【分析】設(shè)，不妨令都在第一象限，，聯(lián)立拋物線，根據(jù)已知及韋達(dá)定理得、，則，再根據(jù)各項(xiàng)描述、拋物線定義判斷它們的正誤.【詳解】由題意，設(shè)，不妨令都在第一象限，，聯(lián)立，則，且，即，所以，則，如上圖所示.A：若為△的中線，則，所以，所以，故，所以，則，故A正確；B：若為的角平分線，則，作垂直準(zhǔn)線于，則且，所以，即，則，將代入整理，得，則，所以，故B錯(cuò)誤；C：若，即，即△為等腰直角三角形，此時(shí)，即，所以，所以，所以，所以，則此時(shí)為同一點(diǎn)，不合題設(shè)，故C錯(cuò)誤；D：，而，結(jié)合，可得，即恒成立，故D正確.故選：AD.題型四：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【典例例題】例1.（2023春·廣東省高三一模）已知點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)為橢圓上不同的三個(gè)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，△ABC恰好是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若為原點(diǎn)，且滿足，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)中有兩個(gè)點(diǎn)為上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)中有兩個(gè)點(diǎn)為左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)兩種情況，求出，得到橢圓方程；（2）設(shè)出，考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，求出弦長(zhǎng)，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線距離求出面積.【小問1詳解】當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，恰好構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，①當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)中有兩個(gè)點(diǎn)為上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)為左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，點(diǎn)為右頂點(diǎn)，此時(shí)，，②當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)為上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)為左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，點(diǎn)為上頂點(diǎn)，此時(shí)，（舍去），所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，①?dāng)直線斜率不存在時(shí)，即，則，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，則有，所以，點(diǎn)到的距離為，此時(shí).②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得消去整理得，滿足，由韋達(dá)定理得，所以，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以點(diǎn)到直線的距離，所以綜上所述，的面積為.【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東省廣州市高三一模）已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切.（1）求C的方程；（2）直線：與C相交于A，B兩點(diǎn)，過C上點(diǎn)P作x軸的平行線交線段AB于點(diǎn)Q，直線OP的斜率為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），△APQ的面積為.的面積為，若，判斷是否為定值？并說明理由.【答案】（1）；（2）是定值，.【解析】【分析】（1）利用橢圓離心率及圓的切線性質(zhì)，建立關(guān)于的方程組，解方程組作答.（2）由給定的面積關(guān)系可得直線PQ平分，進(jìn)而可得直線的斜率互為相反數(shù)，再聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率坐標(biāo)公式計(jì)算判斷作答.【小問1詳解】由橢圓的離心率為得：，即有，由以C的短軸為直徑的圓與直線相切得：，聯(lián)立解得，所以C的方程是.【小問2詳解】為定值，且，因?yàn)椋瑒t，因此，而，有，于是平分，直線的斜率互為相反數(shù)，即，設(shè)，由得，，即有，而，則，即于是，化簡(jiǎn)得：，且又因?yàn)樵跈E圓上，即，即，，從而，，又因?yàn)椴辉谥本€上，則有，即，所以為定值，且.2.（2023春·廣東省東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期校一模）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上的點(diǎn)．(1)求的方程；(2)已知過坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，連接交于另一點(diǎn)，連接交于另一點(diǎn).若直線經(jīng)過點(diǎn)，求直線的斜率.解：(1)由題知，且，（2分）所以，所以.故的方程為.（4分）(2)法一：設(shè)，則，直線的方程為,直線的方程為.設(shè),聯(lián)立，得，（6分）則，得，.又，所以，則.同理可得，.（9分）因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，即，則，所以，化簡(jiǎn)得，整理得，故. (12分)法二：設(shè)，，，則，直線的方程為，直線的方程為.聯(lián)立得，則，所以，則（8分）又，所以，同理可得.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則，，(10分)即，化簡(jiǎn)得.又，解得，.故. (12分)3.（2023春·廣東省佛山市高三一模）已知雙曲線的漸近線與曲線相切.橫坐標(biāo)為的點(diǎn)在曲線上，過點(diǎn)作曲線的切線交雙曲線于不同的兩點(diǎn).（1）求雙曲線的離心率；（2）記的中垂線交軸于點(diǎn).是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）時(shí)存在；時(shí)不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）寫出漸近線并聯(lián)立曲線E，根據(jù)得，進(jìn)而求離心率；（2）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義求點(diǎn)處曲線的切線方程，并聯(lián)立曲線C，結(jié)合韋達(dá)定理求中點(diǎn)坐標(biāo)，寫出中垂線方程即可求M坐標(biāo)，結(jié)合列方程求，注意滿足切線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).【小問1詳解】由題意，與曲線相切，消得：有唯一解，所以得：，離心率.【小問2詳解】由，故點(diǎn)作曲線的切線的斜率為，則，所以方程為代入中，并整理得，設(shè)，，易得的中點(diǎn)，故中垂線，則點(diǎn).若，則，即得，此時(shí)當(dāng)，即時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得；當(dāng)，即時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，使得.4.（2023春·廣東省江門市高三一模）已知M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與直線垂直，A為垂足且位于第一象限，直線與直線垂直，B為垂足且位于第四象限，四邊形（O為原點(diǎn)）的面積為8，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.（1）求軌跡C的方程；（2）已知是軌跡C上一點(diǎn)，直線l交軌跡C于P，Q兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為1，，求的面積.【答案】（1）（）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意知，，由題意，化簡(jiǎn)可得軌跡C的方程；（2）設(shè)直線的傾斜角為，斜率為k，直線傾斜角為，則斜率為，，，由過點(diǎn)T直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)確定的范圍，由，解得，從而可得直線、的方程，與曲線C的方程聯(lián)立解得的坐標(biāo)，求出及點(diǎn)Q到直線的距離，即可求出的面積.【小問1詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意知M只能在直線與直線所夾的范圍內(nèi)活動(dòng).，，動(dòng)點(diǎn)在右側(cè)，有，同理有，∵四邊形的面積為8，∴，即，所以所求軌跡C方程為（）.【小問2詳解】如圖，設(shè)直線的傾斜角為，斜率為k，直線傾斜角為，則斜率為，，，曲線C上，過點(diǎn)T直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，則或，同時(shí)或，解得或.，解得或（舍去）.時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立，消y得：，則或，得.直線的方程為，聯(lián)立，消y得：，則或，得，，點(diǎn)Q到直線的距離，.方法二：，，，則，.1.（新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A2.（新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為________．【答案】【詳解】方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因?yàn)椋?，則，又，所以，則，又點(diǎn)在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為：.3.（新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因?yàn)橹本€與橢圓相交于點(diǎn)，則，解得，設(shè)到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.4.（新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）（多選）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【詳解】A選項(xiàng)：直線過點(diǎn)，所以拋物線的焦點(diǎn)，所以，則A選項(xiàng)正確，且拋物線的方程為.B選項(xiàng)：設(shè)，由消去并化簡(jiǎn)得，解得，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：設(shè)的中點(diǎn)為，到直線的距離分別為，因?yàn)?，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.5.（全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）(理)）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則的中點(diǎn)，可得，因?yàn)樵陔p曲線上，則，兩式相減得，所以.對(duì)于選項(xiàng)A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；故選：D.6.（全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）(理)）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為______.【答案】【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.7.（全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文））設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【詳解】方法一：因?yàn)?，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因?yàn)?，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.8.（全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）（理））已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的一條漸近線不妨取，則圓心到漸近線的距離，所以弦長(zhǎng).故選：D9.（全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理））己知橢圓，為兩個(gè)焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因?yàn)棰?，，即②，?lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因?yàn)棰伲?，即②，?lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．10.（新高考天津卷）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】如圖，因?yàn)椋环猎O(shè)漸近線方程為，即，所以，所以.設(shè),則，所以，所以.因?yàn)?所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為故選：D11.（新高考天津卷）過原點(diǎn)的一條直線與圓相切，交曲線于點(diǎn)，若，則的值為_________．【答案】【詳解】易知圓和曲線關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)切線方程為，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．當(dāng)時(shí)，同理可得．故答案為：．12.（新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）設(shè),則，兩邊同平方化簡(jiǎn)得，故.（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，則,令，同理令，且，則，設(shè)矩形周長(zhǎng)為,由對(duì)稱性不妨設(shè)，，則.，易知?jiǎng)t令,令，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，故,即.當(dāng)時(shí),,且，即時(shí)等號(hào)成立，矛盾，故,得證.法二：不妨設(shè)在上，且，依題意可設(shè)，易知直線，的斜率均存在且不為0，則設(shè),的斜率分別為和，由對(duì)稱性，不妨設(shè)，直線的方程為，則聯(lián)立得，，則則，同理，令，則，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，，但，此處取等條件為，與最終取等時(shí)不一致，故.法三：為了計(jì)算方便,我們將拋物線向下移動(dòng)個(gè)單位得拋物線,矩形變換為矩形,則問題等價(jià)于矩形的周長(zhǎng)大于.設(shè),根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè).則,由于,則.由于,且介于之間,則.令,,則,從而故①當(dāng)時(shí),②當(dāng)時(shí),由于,從而,從而又,故,由此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故矩形周長(zhǎng)大于.13.（新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).14.（新高考天津卷）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．(1)求橢圓方程及其離心率；(2)已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．【答案】(1)橢圓的方程為，離心率為.(2).【詳解】（1）如圖，由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達(dá)定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直線的方程為.15.（全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）(理)）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見詳解【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因?yàn)?，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).16.（全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）（理））已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)設(shè)C的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因?yàn)椋獾茫海?）因?yàn)?，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因?yàn)?，所以，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當(dāng)時(shí)，的面積．1.（2023春·廣東省韶關(guān)市高三二模）韶州大橋是一座獨(dú)塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點(diǎn)，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔(dān)著實(shí)現(xiàn)韶關(guān)“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段，且過橢圓的下焦點(diǎn)，米，橋塔最高點(diǎn)距橋面米，則此橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，依題意可得，即可求出離心率.【詳解】如圖按橢圓對(duì)稱軸所在直線建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，令，即，解得，依題意可得，所以，所以，所以．故選：D．2.（2023春·廣東省潮州市高三一模）7.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，，兩點(diǎn)在雙曲線上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線右支，根據(jù)對(duì)稱性知四邊形是平行四邊形，，根據(jù)雙曲線的定義可推得，，.又，可知四邊形為矩形，根據(jù)勾股定理得到的關(guān)系式，進(jìn)而得到的關(guān)系式，即可求出漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線右支，根據(jù)對(duì)稱性知四邊形是平行四邊形.由已知可得，又由雙曲線的定義知，，所以，.又，所以四邊形是矩形，所以.在中，有，即，所以，，所以，.所以，雙曲線的漸近線方程為，整理可得.故選：A.3.（2023春·廣東省佛山市高三二模）已知方程，其中．現(xiàn)有四位同學(xué)對(duì)該方程進(jìn)行了判斷，提出了四個(gè)命題：甲：可以是圓的方程；乙：可以是拋物線的方程；丙：可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；丁：可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．其中，真命題有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓，拋物線，橢圓及雙曲線的方程特點(diǎn)結(jié)合條件分析即得.【詳解】因?yàn)榉匠蹋渲?，所以?dāng)時(shí)，方程為，即是圓的方程，故方程可以是圓的方程；當(dāng)時(shí)，方程為，即是拋物線的方程，故方程可以是拋物線的方程；當(dāng)時(shí)，方程為，即是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故方程可以是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若方程為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，則有，這與矛盾，故方程不可以是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；所以真命題有3個(gè)故選：C.6.（2023春·廣東省廣州市高三二模）已知橢圓C：（），過點(diǎn)且方向向量為的光線，經(jīng)直線反射后過C的右焦點(diǎn)，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)過點(diǎn)且方向向量為的光線，經(jīng)直線的點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為C，根據(jù)方向向量的直線斜率為，結(jié)合反射的性質(zhì)可得，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)列式求解即可.【詳解】設(shè)過點(diǎn)且方向向量為的光線，經(jīng)直線的點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為C.因?yàn)榉较蛳蛄康闹本€斜率為，則，，又由反射光的性質(zhì)可得，故，所以為等腰直角三角形，且到的距離為，又，故，，則，故，離心率.故選：A5.（2023春·廣東省揭陽市高三二模）已知雙曲線（，）的離心率為，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由雙曲線離心率可得，再結(jié)合即可得，代入漸近線方程即可得出結(jié)果.【詳解】由雙曲線離心率為可得，即可得，又，即可得；由題意可得雙曲線的漸近線方程為.故選：C6.（2023春·廣東省深圳市高三二模）設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線l過點(diǎn).若點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)P恰好在橢圓C上，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知結(jié)合橢圓的定義可推得，.然后根據(jù)，可推得.最后根據(jù)余弦定理，即可得到關(guān)于的齊次方程，即可得出離心率.【詳解】設(shè)，由已知可得，，根據(jù)橢圓的定義有.又，所以.在中，由余弦定理可得，，即，整理可得，等式兩邊同時(shí)除以可得，，解得，或（舍去），所以.故選：C.7.（2023春·廣東省韶關(guān)市高三二模）（多選）曲線C的方程為，則（）A.當(dāng)時(shí)，曲線C是焦距為的雙曲線B.當(dāng)時(shí)，曲線C是焦距為的雙曲線C.曲線C不可能為圓D.當(dāng)時(shí)，曲線C是焦距為的橢圓【答案】AD【解析】【分析】變形給定的方程，利用各選項(xiàng)的條件，結(jié)合圓、橢圓、雙曲線的特征判斷作答.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，方程化為，曲線是焦距為的雙曲線，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，方程化為，曲線是焦點(diǎn)在y軸上，焦距為的橢圓，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，曲線表示圓，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，方程化為，曲線是焦點(diǎn)在x軸上，焦距為的橢圓，D正確.故選：AD8.（2023春·廣東省江門市高三一模）（多選）已知曲線，則下列說法正確的是（）A.若曲線表示兩條平行線，則B.若曲線表示雙曲線，則C.若，則曲線表示橢圓D.若，則曲線表示焦點(diǎn)在軸的橢圓【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)曲線的形狀求出參數(shù)的取值范圍，逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若曲線表示兩條平行線，則有或，且.若，則，此時(shí)曲線的方程為，可得或，合乎題意，若，則，此時(shí)曲線的方程為，可得或，合乎題意，故A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若曲線表示雙曲線，則，由于且，則，可得，則，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若曲線表示橢圓，則，解得且，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，則，曲線的方程可化為，此時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，D對(duì).故選：BD.9.（2023春·廣東省汕頭市高三二模）（多選）已知曲線，，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C可能是圓，也可能是直線B.曲線C可能是焦點(diǎn)在軸上的橢圓C.當(dāng)曲線C表示橢圓時(shí)，則越大，橢圓越圓D.當(dāng)曲線C表示雙曲線時(shí)，它的離心率有最小值，且最小值為【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)，由的符號(hào)和取值結(jié)合對(duì)應(yīng)方程的特點(diǎn)，結(jié)合條件逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】設(shè)，故曲線C的方程可表示為，對(duì)A，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，可得，此時(shí)曲線C為兩條直線；當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，此時(shí)曲線C是一個(gè)圓；故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，曲線C的方程為，此時(shí)曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故B正確；對(duì)C，當(dāng)曲線C表示橢圓時(shí)，離心率為，則越大，橢圓越扁，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，曲線C的方程為，此時(shí)曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，此時(shí)離心率為，由，可得，即它的離心率有最小值，且最小值為，故D正確.故選：ABD.10.（2023春·廣東省廣州市高三二模）（多選）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)、，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)、（、在第一象限，、在第四象限），為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若軸，則的周長(zhǎng)為B.若直線交雙曲線的左支于點(diǎn)，則C.面積的最小值為D.取值范圍為【答案】BD【解析】【分析】利用雙曲線的定義可判斷A選項(xiàng)；利用平行四邊形的幾何性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；設(shè)直線的方程為，求出、，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；由雙曲線的定義，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍，可判斷D選項(xiàng).【詳解】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，易知點(diǎn)、，雙曲線的漸近線方程為.對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)軸，直線的方程為，聯(lián)立，可得，此時(shí)，，則，此時(shí)，的周長(zhǎng)為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)殡p曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在雙曲線上，因?yàn)槿糁本€交雙曲線的左支于點(diǎn)，則點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即、的中點(diǎn)均為原點(diǎn)，故四邊形為平行四邊形，所以，，即，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，易知的方程為，的方程為，所以，，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于點(diǎn)、，則直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，則，解得，由韋達(dá)定理可得，，可得，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，聯(lián)立可得，，即點(diǎn)，所以，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，綜上所述，的取值范圍是，D對(duì).故選：BD.11.（2023春·廣東省茂名市高三二模）（多選）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P、Q都在上，且，則下列說法正確的是（）A.周長(zhǎng)的最小值為14B.四邊形可能是矩形C.直線，的斜率之積為定值D.的面積最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷：對(duì)于A：利用橢圓的對(duì)稱性，判斷出PQ為橢圓的短軸時(shí)，周長(zhǎng)最小.即可判斷；對(duì)于B：判斷出，從而四邊形不可能是矩形.即可判斷；對(duì)于C：設(shè)，直接計(jì)算出.即可判斷；對(duì)于D.由的面積為.即可判斷.【詳解】由，可知P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.對(duì)于A.根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，，當(dāng)PQ為橢圓的短軸時(shí)，有最小值6，所以周長(zhǎng)的最小值為14.故A正確；對(duì)于B.因?yàn)?，所以，則，故橢圓上不存在點(diǎn)，使得，又四邊形是平行四邊形，所以四邊形不可能是矩形.故B不正確.對(duì)于C.由題意得，設(shè)，則，所以.故C正確；對(duì)于D.設(shè)的面積為，所以當(dāng)PQ為橢圓的短軸時(shí)，最大，所以.故D正確.故選：ACD.12.（2023春·廣東省大灣區(qū)高三二模）（多選）雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，的內(nèi)切圓記為圓，圓的半徑為，過作的垂線，交的延長(zhǎng)線于，則（）A.動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為B.的取值范圍為（0，3）C.若，則D.動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為【答案】BD【解析】【分析】由雙曲線的定義和切線長(zhǎng)的性質(zhì)即可判定A的正誤；根據(jù)雙曲線漸近線的性質(zhì)，可知B的正誤，利用，可求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得C的正誤；由過內(nèi)切圓的圓心和，得為的中點(diǎn)，再根據(jù)雙曲線的定義得，從而可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)，設(shè)的內(nèi)切圓分別與邊，，切于，，三點(diǎn)，如圖所示.A選項(xiàng)：由題知，,，，設(shè)，所以，，顯然，不妨設(shè)，則，解得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：根據(jù)對(duì)稱性，不妨假設(shè)點(diǎn)在軸上方，根據(jù)A選項(xiàng)可設(shè)，雙曲線的一條漸近線為，考慮點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)時(shí)，直線的斜率趨近于，此時(shí)的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，解得，所以的取值范圍為（0，3），故B正確；C選項(xiàng)：時(shí)，，，此時(shí)，所以，，因?yàn)?，，所以，故C錯(cuò)誤；.D選項(xiàng)：分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，因?yàn)檫^內(nèi)切圓圓心，所以為角平分線，且，所以，且為的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，顯然，又考慮點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)時(shí)，此時(shí)直線趨近于漸近線，直線為，聯(lián)立方程組，解得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，動(dòng)點(diǎn)軌跡方程為.故D正確.故選：BD.13.（2023春·廣東省深圳市高三二模）（多選）設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過拋物線C上不同的兩點(diǎn)A，B分別作C的切線，兩條切線的交點(diǎn)為P，AB的中點(diǎn)為Q，則（）A.軸 B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】設(shè)切線求交點(diǎn)根據(jù)兩根之和判斷A選項(xiàng)；特殊值法判斷B,C選項(xiàng)；根據(jù)定義數(shù)形結(jié)合判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：設(shè),,,過點(diǎn)A切線為：①,過點(diǎn)B切線為:②,①②得化簡(jiǎn)可得軸,A選項(xiàng)正確.設(shè)過A點(diǎn)的切線為,過B點(diǎn)的切線為,交點(diǎn)為AB的中點(diǎn)為，所以不垂直,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；,所以,D選項(xiàng)錯(cuò)誤;作拋物線準(zhǔn)線的垂線,連接則顯然,所以

又因?yàn)橛蓲佄锞€定義,得,故知是線段的中垂線,得到則同理可證：,，所以，即,所以,即.故選:AC.14.（2023春·廣東省高州市高三二模）（多選）阿波羅尼奧斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.其中給出了拋物線一條經(jīng)典的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.此性質(zhì)可以解決線段和的最值問題，已知拋物線，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，焦點(diǎn)，，下列說法正確的是（）A.的方程為 B.的方程為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】BD【解析】【分析】由焦點(diǎn)易得拋物線的方程為，設(shè)準(zhǔn)線為，過作交于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，通過拋物線的定義結(jié)合圖象可得，即可求得答案.【詳解】由題可得，即的方程為，設(shè)準(zhǔn)線為，過作交于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，將代入可得，所以，于是，當(dāng)與重合時(shí)，取得最小值.故選：BD.15.（2023春·廣東省揭陽市高三二模）（多選）已知拋物線，其準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線和，設(shè)交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.為定值 B.延長(zhǎng)AO交準(zhǔn)線l于點(diǎn)G，則軸C. D.四邊形ADBF面積的最小值為8【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)直線，聯(lián)立方程組求得及，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算，可判定A選項(xiàng)正確；由，可判定B選項(xiàng)正確；由，，化簡(jiǎn)可判定C選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為或，結(jié)合拋物線的性質(zhì)得到，利用基本不等式，可判定D符合題意.【詳解】由拋物線可得準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，設(shè)直線，代入拋物線，得到，設(shè)，，則，，，.對(duì)于A中，由，為定值，所以A選項(xiàng)正確；對(duì)于B中，由得，則，所以B選項(xiàng)正確；對(duì)于C中，由，，可得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D中，設(shè)直線的傾斜角為，可得，即，由A選項(xiàng)可得，所以，因?yàn)椋瑒t直線的傾斜角為或，同理可得，所以，（當(dāng)且僅時(shí)，等號(hào)成立），所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD.16.（2023春·廣東省高州市高三二模）若橢圓的離心率為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則（）A.2 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形面積公式、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的定義、離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖，連接，，設(shè)到軸距離為，到軸距離為，則設(shè)△內(nèi)切圓的半徑為，則，∴不妨設(shè)，則，∴，因?yàn)闄E圓的離心率為，∴，故選：A.17.（2023春·廣東省佛山市高三二模）（多選）如圖拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為4；拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)也為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為6．和交于、兩點(diǎn)，分別過、作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過的直線與封閉曲線交于、兩點(diǎn)，則（）A. B.四邊形的面積為100C. D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義可得判斷A，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件可得拋物線的方程為，可得，進(jìn)而判斷B，利用拋物線的定義結(jié)合條件可得可判斷C，利用拋物線的性質(zhì)結(jié)合焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可判斷D.【詳解】設(shè)直線與直線分別交于，由題可知，所以，，故A正確；如圖以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，所以拋物線的方程為，連接，由拋物線的定義可知，又，所以，代入，可得，所以，又，故四邊形的面積為，故B錯(cuò)誤；連接，因?yàn)?，所以，所以，故，故C正確；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)在封閉曲線的上部分，設(shè)在直線上的射影分別為，當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，，當(dāng)與重合時(shí)，最小，最小值為，當(dāng)與重合，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，因?yàn)?，直線，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以；當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，設(shè)，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，；綜上，，故D正確.故選：ACD.18.（2023春·廣東省深圳市高三一模）若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值是最小值的2倍，則該橢圓的離心率為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為，代入條件即可求解.【詳解】依題意，由圖象的性質(zhì)可知，點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為，所以，化簡(jiǎn)得，即離心率，故答案為：.19.（2023春·廣東省茂名市高三二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，與直線交于點(diǎn)D，若且，則___________.【答案】3【解析】【分析】設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，作，垂足分別為，，利用幾何關(guān)系和拋物線的定義得到，解方程即可求得.【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，作，垂足分別為，，則.根據(jù)拋物線定義知，，設(shè)，因?yàn)?，所以，?設(shè)，所以，所以.20.（2023春·廣東省佛山市高三二模）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是過橢圓右頂點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求出的值，當(dāng)點(diǎn)不為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，設(shè)，設(shè)直線、的傾斜角分別為、，可求出關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得的最大值，可得出的最大值，即可求得的最大值.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)為，則，當(dāng)點(diǎn)不為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)點(diǎn)，在橢圓中，，，，則點(diǎn)、，設(shè)直線、的傾斜角分別為、，則，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最大值為，所以，.故答案為：21.（2023春·廣東省韶關(guān)市高三二模）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，則以線段AB為直徑的圓D的方程為______；若圓D上存在兩點(diǎn)P，Q，在圓T：上存在一點(diǎn)M，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)給定條件，聯(lián)立直線與拋物線的方程求出線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)及弦長(zhǎng)作答；按點(diǎn)M在圓D及內(nèi)部和在圓D外探討構(gòu)成條件，再結(jié)合兩圓有公共點(diǎn)求解作答.【詳解】過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為的直線為，由消去，得，設(shè)，有，于是的中點(diǎn)為，且，所以以線段為直徑的圓的半徑，方程為；對(duì)圓及內(nèi)任意一點(diǎn)，必可作互相垂直的兩直線與圓D相交，則圓上存在兩點(diǎn),，使，對(duì)圓外任意一點(diǎn)，,是圓上兩點(diǎn)，當(dāng),與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)為矩形，，從而以線段為直徑的圓上存在兩點(diǎn),，在圓上存在一點(diǎn)，使得，等價(jià)于以為圓心，以為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，因此，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：；22.（2023春·廣東省潮州市高三二模）過拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為，，點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線上.若AP是的角平分線，則點(diǎn)P到直線l的距離為______.【答案】5【解析】【分析】連，，根據(jù)拋物線的定義以及，證明，從而推出和，可得就是點(diǎn)P到直線l的距離，再根據(jù)，推出，結(jié)合，可得.【詳解】如圖，連，，由拋物線的定義可知，，又，，所以，所以，，即，所以就是點(diǎn)P到直線l的距離，因?yàn)?，，，所以，所以，所以，又，所?故點(diǎn)P到直線l的距離為.故答案為：23.（2023春·廣東省汕頭市高三二模）阿波羅尼奧斯在其著作《圓錐曲線論》中提出：過橢圓上任意一點(diǎn)的切線方程為．若已知△ABC內(nèi)接于橢圓E：，且坐標(biāo)原點(diǎn)O為△ABC的重心，過A，B，C分別作橢圓E的切線，切線分別相交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則______．【答案】4【解析】【分析】設(shè)、、，由重心的性質(zhì)有、、，寫出過切線方程并求交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而判斷△重心也為O，再由在橢圓上可得、、共線，即分別是的中點(diǎn)，即可確定面積比.【詳解】若、、，則的中點(diǎn)、、，由O為△ABC的重心，則、、，所以、、，可得，由題設(shè)，過切線分別為、、，所以，，，所以，同理，即△重心也為O，又、、，可得、、，所以，同理可得、，所以、、共線，綜上，分別是的中點(diǎn)，則24.（2023春·廣東省梅州市高三一模）函數(shù)的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】將已知式子變形為，可表示拋物線上的點(diǎn)，到兩定點(diǎn)，的距離之和，即，拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)、分別為點(diǎn)、在準(zhǔn)線上的投影，根據(jù)拋物線的定義得出，則，即可計(jì)算得出答案.【詳解】，，可表示拋物線上的點(diǎn)，到兩定點(diǎn)，的距離之和，即，而點(diǎn)在此拋物線內(nèi)，點(diǎn)是此拋物線的焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)、分別為點(diǎn)、在準(zhǔn)線上的投影，如圖，根據(jù)拋物線的定義有，則，故答案為：.25.（2023春·廣東省梅州市高三一模）已知?jiǎng)訄A經(jīng)過定點(diǎn)，且與圓：內(nèi)切.（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)軌跡與軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為軌跡上異于的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)交直線于點(diǎn)，連結(jié)交軌跡于點(diǎn).直線?的斜率分別為?.（i）求證：為定值；（ii）證明直線經(jīng)過軸上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析，定點(diǎn)【解析】【分析】（1）根據(jù)定點(diǎn)和圓心的位置關(guān)系，利用兩圓內(nèi)切即可得出半徑之和等于圓心距，再根據(jù)橢圓定義即可求得軌跡的方程；（2）（i）易知即為橢圓的左右頂點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用共線時(shí)斜率相等即可得出的表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可得出；（ii）根據(jù)（i）中的結(jié)論，寫出直線的方程，將表達(dá)式化簡(jiǎn)即可得出直線經(jīng)過定點(diǎn).【小問1詳解】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由題意得圓的圓心為，半徑；所以，，則.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.因此軌跡方程為.【小問2詳解】（i）設(shè)，，.由題可知，，如下圖所示：則，，而，于是，所以，又，則，因此為定值.（ii）設(shè)直線的方程為，，.由，得，所以.由（i）可知，，即，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），所以直線的方程為，因此直線經(jīng)過定點(diǎn).26.（2023春·廣東省深圳市高三二模）已知雙曲線：，點(diǎn)M為雙曲線C右支上一點(diǎn)，A、B為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)Q在x軸正半軸上，點(diǎn)E在y軸上.（1）若點(diǎn)，，過點(diǎn)Q作BM的垂線l交該雙曲線C于S，T兩點(diǎn)，求的面積；（2）若點(diǎn)M不與B重合，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①；②；③.注:若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先根據(jù)已知，得出的方程，然后聯(lián)立與雙曲線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理得出坐標(biāo)的關(guān)系，表示出弦長(zhǎng)，最后根據(jù)面積公式，即可得出答案；（2）①②為條件，③為結(jié)論：易得.又，.然后根據(jù)直線的斜率可得出.設(shè)點(diǎn)，則，即可得出坐標(biāo)；①③為條件，②為結(jié)論：易得，.又，即可的得出，，求解，整理即可得出證明；②③為條件，①為結(jié)論：易得，平方整理可得.根據(jù)，得.進(jìn)而根據(jù)，即可求出，平方整理，即可得出證明.【小問1詳解】由已知可得，，.因?yàn)辄c(diǎn)，直線的斜率為，所以直線的垂線的方程為，整理可得，.設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，，則，且，所以，.原點(diǎn)到直線的距離為，所以，的面積為.【小問2詳解】①②為條件，③為結(jié)論令點(diǎn)，，且，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以.又，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的斜率為.又，所以.設(shè)點(diǎn)，因?yàn)橹本€的斜率，所以，所以；①③為條件，②為結(jié)論令點(diǎn)，，且，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以.又，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，點(diǎn)Q在x軸正半軸上，所以，所以.又，所以，所以，；②③為條件，①為結(jié)論令點(diǎn)，，且，不妨設(shè).因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，且.因?yàn)?，點(diǎn)Q在x軸正半軸上，所以.因?yàn)?，所?又，所以，，且，所以，，即.27.（2023春·廣東省佛山市高三二模）雙曲線的左頂點(diǎn)為，焦距為4，過右焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的直線交于、兩點(diǎn)，且是直角三角形．（1）求雙曲線的方程；（2）、是右支上的兩動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、，若，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為的方程，即可求解；（2）首先設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示，并根據(jù)的取值范圍，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.【小問1詳解】依題意，，焦半徑，由，得，得，解得：（其中舍去），所以，故雙曲線的方程為；【小問2詳解】顯然直線不可能與軸平行，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去整理得，在條件下，設(shè)，，則，，由，得，即，整理得，代入韋達(dá)定理得，，化簡(jiǎn)可消去所有含的項(xiàng)，解得：或（舍去），則直線的方程為，得，又都在雙曲線的右支上，故有，，此時(shí)，，所以點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為.28.（2023春·廣東省惠州市高三一模）已知雙曲線的焦距為，且雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線是曲線在點(diǎn)處的切線，且分別交兩條漸近線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離公式及雙曲線定義計(jì)算即可；（2）分類討論斜率的存在情況，聯(lián)立直線與雙曲線、漸近線方程結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算面積即可.【小問1詳解】雙曲線的漸近線方程為和，所以有，由題意可得，又，則，解得則雙曲線的方程為【小問2詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易知此時(shí)，直線，不妨設(shè)，得；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立，可得，由直線與雙曲線右支相切，可得，故設(shè)直線與軸交于，則．又雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立，可得，同理可得，綜上，面積為2．29.（2023春·廣東省韶關(guān)市高三二模）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為，，經(jīng)過的圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交雙曲線的左支于，，且為正三角形.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及漸近線方程；（2）若點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，射線，分別交雙曲線于點(diǎn)，，試探究是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1），漸近線方程為．（2）為定值，且定值為【解析】【分析】（1）依題意可得，設(shè)與軸交于點(diǎn)，求出，，即可得到點(diǎn)坐標(biāo)，代入方程求出，即可得到雙曲線方程，再求出漸近線方程．（2）分軸與不垂直軸，當(dāng)不垂直軸時(shí)設(shè)，，，表示出，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，求出對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度關(guān)系，進(jìn)行化簡(jiǎn)證明即可．【小問1詳解】因?yàn)闉檎切?，由?duì)稱性知，又因?yàn)?，設(shè)與軸交于點(diǎn)，所以，，不妨設(shè)，所以，即，則，即，即，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，漸近線方程為．【小問2詳解】由（1）可得，，①當(dāng)軸時(shí)，由對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)，，所以直線，即，代入，消去得，得或（舍去），，，，則，②當(dāng)不垂直軸時(shí)，由對(duì)稱性不妨設(shè)，，，直線，代入，消去得，因?yàn)椋?，由韋達(dá)定理，所以，同理，所以，所以為定值，且定值為．30.（2023春·廣東省揭陽市高三二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，，點(diǎn)M滿足，記M的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，直線與C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A和B，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足，直線交直線于點(diǎn)R，試問面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）的面積不存在最小值，理由見解析【解析】【分析】（1）把已知條件用坐標(biāo)表示后化簡(jiǎn)即可得；（2）設(shè)，，，，，且．求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用在雙曲線上可求得點(diǎn)軌跡方程，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求出，，求出三角形面積關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式得最小值，及相應(yīng)的，檢驗(yàn)直線是否與雙曲線相交即可得．【小問1詳解】由，，，，，，，得，即．【小問2詳解】設(shè)，，，，，，且．，，，，則，得，，得．即．將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線中，得，即，，（且），則，得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為．設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，此時(shí)直線與雙曲線不存在相交于兩個(gè)不同點(diǎn)A，B，因此，的面積不存在最小值．31.（2023春·廣東省深圳市高三一模）已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．（1）當(dāng)k變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．【答案】（1），其中或（2）存在，【解析】【分析】（1）設(shè)，，，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，消去y，得，根據(jù)已知直線l與雙曲線E相交于A、B兩點(diǎn)，得且，即且，由韋達(dá)定理，得，則，，聯(lián)立消去k，得，再根據(jù)的范圍得出的范圍，即可得出答案；（2）設(shè)，，根據(jù)雙曲線E的漸近線方程與直線l的方程聯(lián)立即可得出，，則，即線段AB的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn)，若A，B為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則，結(jié)合弦長(zhǎng)公式列式得，即可化簡(jiǎn)代入得出，即可解出答案.【小問1詳解】設(shè)，，，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，得，消去y，得．由且，得且．由韋達(dá)定理，得．所以，．由消去k，得．由且，得或．所以，點(diǎn)M的軌跡方程為，其中或．【小問2詳解】雙曲線E的漸近線方程為．設(shè)，，聯(lián)立得，同理可得，因?yàn)椋?，線段AB的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn)．若A，B為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則．即，．而，．所以，，解得，所以，存在實(shí)數(shù)，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)．32.（2023春·廣東省汕頭市高三二模）如圖，、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，設(shè)與在第一象限的交點(diǎn)為，且，，為鈍角.（1）求雙曲線與拋物線的方程；（2）過作不垂直于軸的直線l，依次交的右支、于A、B、C、D四點(diǎn)，設(shè)M為AD中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，試探究是否為定值.若是，求此定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）是定值【解析】【分析】（1）由雙曲線及拋物線定義先得，，再得代入雙曲線方程解方程即可；（2）設(shè)l及A、B、C、D四點(diǎn)縱坐標(biāo)依次為，將轉(zhuǎn)化為，利用韋達(dá)定理計(jì)算即可.【小問1詳解】由雙曲線的定義可知：，設(shè)拋物線方程為：，則由題意可得，即.由拋物線定義可得：，代入拋物線方程得：，代入雙曲線方程得：，故雙曲線方程為：；拋物線方程為：【小問2詳解】由題意可設(shè)，點(diǎn)A、B、C、D的縱坐標(biāo)依次為，分別聯(lián)立直線l與雙曲線、拋物線方程可得：得：，由雙曲線性質(zhì)可得：，故有，因?yàn)镸、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，故其縱坐標(biāo)依次為：所以是定值.33.（2023春·廣東省潮州市高三二模）已知橢圓過點(diǎn)和點(diǎn)，的上頂點(diǎn)到直線的距離為2，如圖過點(diǎn)的直線與，軸的交點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且.（1）求的長(zhǎng)度；（2）求四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】先根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出，再根據(jù)橢圓所過的點(diǎn)求出，即可求出橢圓方程為，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，可得，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，分別求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可得解；（2）根據(jù)，結(jié)合（1）可得直線的方程為，聯(lián)立方程，求出，再利用弦長(zhǎng)公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，再根據(jù)四邊形面積化簡(jiǎn)整理即可得解.【小問1詳解】的上頂點(diǎn)到直線的距離，解得，又橢圓過點(diǎn)，則，解得，所以橢圓方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，由題意直線的斜率存在，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，令，則，令，則，即，由，得，所以，所以，所以；【小問2詳解】由（1）得直線的斜率，因?yàn)?，所以，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，解得，所以，所以，點(diǎn)到直線的距離，又因，所以，由橢圓的對(duì)稱性可得四邊形，所以四邊形面積，,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，，所以，即四邊形面積的最大值為.34.（2023春·廣東省梅州市高三二模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)．（1）求雙曲線的方程；（2）過點(diǎn)作動(dòng)直線，與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn)、，在線段上取異于點(diǎn)、的點(diǎn)，滿足，求證：點(diǎn)恒在一條定直線上．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出的值，利用雙曲線的定義可求得的值，再根據(jù)可求得的值，即可得出雙曲線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、、，設(shè)，可得出，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合化簡(jiǎn)可得出關(guān)于、所滿足的一元二次方程，即可證得結(jié)論.【小問1詳解】解：因?yàn)?，則，由雙曲線的定義可得，所以，，則，因此，雙曲線的方程為.【小問2詳解】證明：設(shè)點(diǎn)、、，則，可得，設(shè)，則，其中，即，整理可得，所以，，，將代入可得，將代入可得，即，所以，點(diǎn)恒在直線上.35.（2023春·廣東省茂名市高三二模）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，Р為漸近線上一點(diǎn)，且，.（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線E實(shí)軸長(zhǎng)為2，過點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線C的右支不同的A，B兩點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)且滿足，試探究是否為定值，若是，則求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）2（2）是，2【解析】【分析】（1）判斷出為直角三角形，利用邊長(zhǎng)關(guān)系得到，利用齊次式法求出離心率；（2）利用“設(shè)而不求法”表示出，，利用雙曲線的定義得到，進(jìn)而證明出為定值.【小問1詳解】由，可設(shè)，在中，因?yàn)椋?，即，所以，即為?/p>