6.3.1平面向量基本定理（6大題型）

平面向量基本定理1、理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義；2、掌握平面向量基本定理，會(huì)用基底表示平面向量；3、會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問(wèn)題。一、平面向量基本定理1、定義：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使2、基底：若不共線，我們把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．3、對(duì)平面向量基本定理的理解（1）基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可以作為基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．（2）基底給定時(shí)，分解形式唯一．是被唯一確定的數(shù)值．（3）是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則當(dāng)與共線時(shí)，；當(dāng)與共線時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（4）由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量．二、平面向量基本定理的應(yīng)用1、平面向量基本定理唯一性的應(yīng)用：設(shè)，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，若，則（2）重要結(jié)論設(shè)是平面內(nèi)一個(gè)基底，若，=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，與共線；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，與共線；=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，；題型一平面向量基本定理的理解【例1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下面說(shuō)法中，正確的是()①一個(gè)平面內(nèi)只有一對(duì)不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；②一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多對(duì)不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；③零向量不可作為基底中的向量；④對(duì)于平面內(nèi)的任一向量和一組基底，，使=λ+μ成立的實(shí)數(shù)對(duì)一定是唯一的.A．②④B．②③④C．①③D．①③④【答案】B【解析】因?yàn)椴还簿€的任意兩個(gè)向量均可作為平面的一組基底，故②③正確，①不正確；由平面向量基本定理知④正確．綜上可得②③④正確．故選：B．【變式11】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．一條直線上的所有向量均可以用與其共線的某個(gè)非零向量表示B．平面內(nèi)的所有向量均可以用此平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量表示C．平面上向量的基底不唯一D．平面內(nèi)的任意向量在給定基底下的分解式唯一【答案】B【解析】由共線向量的性質(zhì)可知選項(xiàng)A正確；平面內(nèi)所有向量均可以用此平面內(nèi)的任意兩個(gè)不共線的向量表示，所以B不正確；根據(jù)平面向量基本定理可知中：選項(xiàng)C、D都正確，故選：B【變式12】（2023·安徽合肥·高一合肥市第七中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）下列說(shuō)法中正確的是（）A．平面向量的一個(gè)基底中，，一定都是非零向量.B．在平面向量基本定理中，若，則.C．若單位向量?的夾角為，則在方向上的投影向量是.D．表示同一平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的.【答案】ABC【解析】選項(xiàng)A：作為基底的兩個(gè)向量一定不共線，零向量與任意向量共線，因此，一定都是非零向量，故A正確；選項(xiàng)B：，由在同一基底下向量分解的唯一性，有，故B正確；選項(xiàng)C：在方向上的投影向量為：，故C正確；選項(xiàng)D：平面內(nèi)任何兩個(gè)不共線的向量都可作為基底，因此基底不是唯一的，故D錯(cuò)誤，故選：ABC【變式13】（2022·安徽蕪湖·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）（多選）設(shè)是已知的平面向量，向量在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，下列說(shuō)法正確的是（）A．給定向量，總存在向量，使；B．給定向量和，總存在實(shí)數(shù)和，使；C．給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實(shí)數(shù)，使；D．若，存在單位向量和正實(shí)數(shù)，使，則.【答案】ABD【解析】對(duì)A，給定向量，總存在向量，使，即，顯然存在，所以A正確.對(duì)B，因?yàn)橄蛄浚?，在同一平面?nèi)且兩兩不共線，由平面向量的基本定理可得：總存在實(shí)數(shù)和，使，故B正確．對(duì)C，給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實(shí)數(shù)，使，當(dāng)分解到方向的向量長(zhǎng)度大于時(shí)，向量沒(méi)辦法按分解，所以C不正確.對(duì)D，存在單位向量、和正實(shí)數(shù)，，由于，向量、的模為1，由三角形的三邊關(guān)系可得，所以D成立.故選：ABD題型二判斷向量能否作為基底【例2】（2023·福建·高一福建師大附中?？计谥校┰O(shè)是平面向量的一組基底，以下四個(gè)選項(xiàng)中可以作為平面向量的一組基底的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】D【解析】對(duì)于A：，和共線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，和共線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，和共線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：不存在實(shí)數(shù)使，和不共線，D正確.故選：D.【變式21】（2023·吉林·高一?？茧A段練習(xí)）已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】對(duì)于A：零向量與任意向量均共線，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；對(duì)于B：因?yàn)椋?，所以，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；對(duì)于C：設(shè)，即，則，所以無(wú)解，所以此兩個(gè)向量不共線，可以作為一組基底；對(duì)于D：設(shè)，所以，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底.故選：C．【變式22】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一鎮(zhèn)江市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高一期中）設(shè)是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下面的四組向量不能作為基底的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】D【解析】由于是平面內(nèi)的一個(gè)基底，故不共線，根據(jù)向量的加減法法則可知和不共線，和不共線，和不共線，故A，B，C中向量能作為平面的基底，，故和共線，不能作為平面的基底，D錯(cuò)誤，故選：D【變式23】（2023·山東泰安·高一泰安第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若向量與是平面上的兩個(gè)不平行向量，下列向量不能作為一組基底的是（）A．與B．與C．與D．與【答案】C【解析】對(duì)于A，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，方程組無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)，使，即與不共線，A不選；對(duì)于B，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，方程組無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)，使，即與不共線，B不選；對(duì)于C，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，解得，即與共線，選C；對(duì)于D，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，方程組無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)，使，即與不共線，D不選；故選：C題型三用基底表示向量（1）【例3】（2023·江西贛州·高一尋烏中學(xué)校考期中）在中，，，若點(diǎn)滿足，以為基底，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，所以，所以，故選：D【變式31】（2023·陜西安康·高一?？计谥校┤鐖D，在梯形中，，，設(shè)，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得E為中點(diǎn)，故，故選：C【變式32】（2023·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CD，AD的中點(diǎn)（1）以，為基底，分別表示向量，；（2）以，為基底，表示向量.【答案】（1）,；（2）【解析】（1）因?yàn)闉镈C中點(diǎn)，則，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，則；（2）注意到，又為DC中點(diǎn)，則，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，則，則，，則.【變式33】（2023·河南·高三校聯(lián)考期中）已知為等邊三角形，分別以CA，CB為邊作正六邊形，如圖所示，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】選取為基底，，，，設(shè)，，，即.故選：A題型四用基底表示向量（2）【例4】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知AD，BE分別為的邊BC，AC上的中線，=，=，則（）A．+B．+C．D．+【答案】B【解析】因?yàn)镈、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，所以…①，…②①+2②得，，所以，故選：B【變式41】（2023·福建福州·高一校聯(lián)考期中）平行四邊形ABCD中，，點(diǎn)F為線段AE的中點(diǎn)，則=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，即①，，，即②，由①②得，，故選：A．【變式42】（2023·重慶·高一臨江中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，設(shè)，，則等于（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意得，，由，，三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)，滿足.由，，三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)，滿足，所以.因?yàn)?，為基底，所以，解得，所以，故選：A【變式43】（2023·河南駐馬店·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）如圖，E，H分別在線段PA，PD上，C是線段AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段EH的中點(diǎn)，，PC與EH交于點(diǎn)G，則（）A．B．C．D．【答案】CD【解析】設(shè)，，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，則有，由，可得，設(shè)，則由平面向量基本定理可得，解得，又，，三點(diǎn)共線，故可設(shè)，設(shè)，由為中點(diǎn)可知，，將代入可得，即，正確；又，，，設(shè)，則有，即，解得，，故，正確；故選：CD．題型五平面向量基本定理求參數(shù)【例5】（2023·河南焦作·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，向量，，的起點(diǎn)與終點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，若，則（）A．B．3C．1D．【答案】D【解析】根據(jù)圖象，根據(jù)平面向量基本定理，可知：，所以，，，故選：D.【變式51】（2023·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）已知中，D為的中點(diǎn)，，若，則.【答案】【解析】因?yàn)?所以,故.【變式52】（2023·湖北荊州·高三公安縣車(chē)胤中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)，，則的最小值是（）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是9，故選：D【變式53】（2023·天津·高一楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，且均為靠近的四等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則.【答案】【解析】因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線，則存在，使得，即，可得，又因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，則存在，使得，即，可得，因?yàn)椤⒉还簿€，則，解得，所以，，又因?yàn)椋瑒t，因此，.題型六平面向量基本定理的應(yīng)用【例6】（2023·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學(xué)校考期末）已知中，D，E分別為線段AB，BC上的點(diǎn)，直線AE，CD交于點(diǎn)P，且滿足，則的值為.【答案】【解析】如圖，令，，于是，而，并且不共線，因此，解得，令，，則，從而，解得，因此點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，所以.【變式61】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在圓中，若弦，弦，則的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，，所以，又，則.故選：D【變式62】（2023·河北滄州·高三校聯(lián)考期中）如圖，與的面積之比為2，點(diǎn)P是區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)（含邊界），且，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，將圖形特殊化，設(shè)垂直平分于點(diǎn)