第7講函數(shù)迭代與方程的根

第7講函數(shù)迭代與函數(shù)方程 知識(shí)方法掃描一、函數(shù)方程=1\*GB3①含有未知函數(shù)的等式叫作函數(shù)方程，使這個(gè)等式成立的未知函數(shù)就是函數(shù)方程的解．=2\*GB3②函數(shù)方程的常見(jiàn)問(wèn)題主要有：（1）已知函數(shù)方程，求函數(shù)值．（2）已知函數(shù)方程，討論函數(shù)的性質(zhì)．（3）求解函數(shù)方程．二、函數(shù)方程的一般解法=1\*GB3①觀察函數(shù)特有的性質(zhì)函數(shù)有一些特殊的性質(zhì)，比如單調(diào)性、奇偶性、周期性等，利用這些性質(zhì)對(duì)其進(jìn)行觀察判斷后可以幫助解決問(wèn)題．有時(shí)候還需要用兩邊夾的方法來(lái)確定函數(shù)值（即函數(shù)在某點(diǎn)的值既不小于某個(gè)數(shù)，又不大于該數(shù)，從而就是該數(shù)）．=2\*GB3②代換法（或換元法）把函數(shù)方程中的自變量適當(dāng)?shù)匾詣e的自變量代換（代換時(shí)應(yīng)注意使函數(shù)的定義域不會(huì)發(fā)生變化），得到一個(gè)新的函數(shù)方程，然后設(shè)法求得未知函數(shù)．由于代換后的函數(shù)未必與原函數(shù)等價(jià)，所以應(yīng)當(dāng)將所得解代人原函數(shù)方程進(jìn)行檢驗(yàn)．=3\*GB3③賦值法對(duì)于某些函數(shù)方程，特別是自變量的取值為整數(shù)的函數(shù)方程，有時(shí)要將方程中的自變量多次代換成具體的數(shù)，以便解決問(wèn)題．對(duì)于自變量取值為有理數(shù)的函數(shù)，常常要先確定自變量為整數(shù)時(shí)的函數(shù)值，然后再利用有理數(shù)為兩個(gè)整數(shù)的商來(lái)確定有理數(shù)的函數(shù)值．=4\*GB3④待定系數(shù)法當(dāng)已知函數(shù)方程的解為多項(xiàng)式函數(shù)時(shí)，可以考慮用多項(xiàng)式的條件（比較系數(shù)和次數(shù)）和多項(xiàng)式根的性質(zhì)來(lái)尋求適合方程的多項(xiàng)式函數(shù)．=5\*GB3⑤遞推法數(shù)列中使用的遞推方法經(jīng)常用來(lái)求解函數(shù)在離散點(diǎn)（比如整點(diǎn)）處的值．三、函數(shù)迭代一般地，設(shè)是一個(gè)函數(shù)，，記，，，，，，稱函數(shù)為的次迭代，并稱為的迭代指數(shù)．一些簡(jiǎn)單函數(shù)的次迭代如下：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則；（5）若，則．典型例題剖析例1已知對(duì)任意的，都有，試求函數(shù)的解析式．例2已知，，求．例3設(shè)函數(shù)滿足：，且對(duì)任意的，，有，求．例4（1）設(shè)，證明：存在，使得能被2000整除．（2）已知，求的表達(dá)式．同步訓(xùn)練一、填空題1．已知是偶函數(shù)，奇函數(shù)，并且，，則．2．設(shè)滿足等式，則的值域是．3．已知定義在上的函數(shù)滿足：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）對(duì)任意的實(shí)數(shù)，均有．則．4．已知定義在上的函數(shù)，滿足對(duì)任意，，都有成立，則．5．記，的代數(shù)式為，它滿足：（1）；（2）；（3）；（4）．則．6．設(shè)函數(shù)，滿足，且對(duì)任意，都有，則．7．已知對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)和函數(shù)滿足．若，則滿足的正整數(shù)對(duì)共有個(gè)8．已知函數(shù)，，且，則．二、解答題9．函數(shù)滿足：對(duì)任意，，，2，求．10．設(shè)函數(shù)定義于閉區(qū)間，滿足，，且對(duì)任意，，都有，其中常數(shù)滿足，求的值．11．試求所有的函數(shù)，使得對(duì)任意，，都有12．求出所有的函數(shù)，使得對(duì)于所有，，都能被整除．13．設(shè)是定義在正整數(shù)集上且取正整數(shù)值的嚴(yán)格遞增函數(shù)，，當(dāng)，互素時(shí)，有，證明：對(duì)一切正整數(shù)，．14．已知滿足條件