2023學(xué)年完整公開課版《矩形的性質(zhì)》

1821矩形第十八章平行四邊形第1課時矩形的性質(zhì)觀察下面圖形,長方形在生活中無處不在情景引入思考長方形跟我們前面學(xué)習(xí)的平行四邊形有什么關(guān)系？矩形的性質(zhì)一活動1：這是一個活動的平行四邊形教具,現(xiàn)使平行四邊形的一個內(nèi)角變化,請同學(xué)們注意觀察矩形平行四邊形矩形有一個角是直角矩形是特殊的平行四邊形.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形也叫做長方形歸納總結(jié)平行四邊形不一定是矩形思考因為矩形是平行四邊形，所以它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，由于它有一個角為直角，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質(zhì)呢？可以從邊，角，對角線等方面來考慮猜想1矩形的四個角都是直角猜想2矩形的對角線相等你能證明嗎？證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB∴AC=DBABCDO已知：如圖,四邊形ABCD是矩形,∠ABC=90°,對角線AC與DB相交于點O求證：AC=DB矩形除了具有平行四邊形所有性質(zhì)，還具有的性質(zhì)有：矩形的四個角都是直角矩形的對角線相等歸納總結(jié)幾何語言描述：在矩形ABCD中，對角線AC與DB相交于點O∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DBABCDO例1如圖,在矩形ABCD中,兩條對角線AC,BD相交于點O,∠AOB=60°,AB=4,求矩形對角線的長解：∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD，OA=OC=AC,OB=OD=BD, ∴OA=OB又∵∠AOB=60°,∴△OAB是等邊三角形，∴OA=AB=4，∴AC=BD=2OA=8ABCDO典例精析矩形的對角線相等且互相平分例2如圖,在矩形ABCD中,E是BC上一點,AE=AD,DF⊥AE,垂足為F求證：DF=DCABCDEF證明：連接DE∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠AED又∵DF⊥AE,∴∠DFE=∠C=90°又∵DE=DE,∴△DFE≌△DCE,∴DF=DC練一練1如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，下列說法錯誤的是（）A．AB∥DCB．AC=BDC．AC⊥BDD．OA=OBABCDOC2如圖，EF過矩形ABCD對角線的交點O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形ABCD面積的_________

3如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度數(shù)．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD，∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，∴∠BAE＝225°，∠DAE＝675°∵AE⊥BD，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－225°＝675°，∴∠OAB＝∠ABE＝675°∴∠EAO＝675°－225°＝45°直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)二A

B

C

D

O

活動：如圖，一張矩形紙片，畫出兩條對角線，沿著對角線AC剪去一半BCOA問題Rt△ABC中，BO是一條怎樣的線段？它的長度與斜邊AC有什么關(guān)系？猜想：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半試給出數(shù)學(xué)證明OCBAD證明:延長BO至D,使OD=BO,連接AD、DC∵AO=OC,BO=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形∵∠ABC=90°,∴平行四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中線.求證:BO=

AC.∴BO=BD=AC.1直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半性質(zhì)證一證例4如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點．1若AB＝10，AC＝8，求四邊形AEDF的周長；解：∵AD是△ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四邊形AEDF的周長＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；典例精析2求證：EF垂直平分AD證明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F在線段AD的垂直平分線上，∴EF垂直平分AD當(dāng)已知條件含有線段的中點、直角三角形的條件時，可聯(lián)想直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)進行求解．歸納如圖，在△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜邊AC上的中線1若BD=3cm,則AC=_____cm;2若∠C=30°,AB=5cm,則AC=_____cm,BD=_____cmABCD6105練一練矩形的相關(guān)概念及性質(zhì)具有平行四邊行的一切性質(zhì)四個內(nèi)角都是直角，兩條對角線互相平分且相等軸對稱圖形有兩條對稱軸直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形當(dāng)堂練習(xí)1矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是A對角線相等B對邊相等C對角相等D對角