2023學(xué)年完整公開(kāi)課版正弦函數(shù)

281銳角三角形函數(shù)——正弦函數(shù)問(wèn)題:為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌．現(xiàn)測(cè)得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30°，為使出水口的高度為35m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？這個(gè)問(wèn)題可以歸結(jié)為，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”，即可得AB＝2BC＝70m，也就是說(shuō)，需要準(zhǔn)備70m長(zhǎng)的水管．ABC分析：情境探究在上面的問(wèn)題中，如果使出水口的高度為50m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？結(jié)論：在一個(gè)直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么不管三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值都等于?思考ABC50m30mB'C'AB'＝2B'C'＝2×50＝100在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得因此即在直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角等于45°時(shí)，不管這個(gè)直角三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于如圖，任意畫(huà)一個(gè)Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊比，你能得出什么結(jié)論？?思考ABC綜上可知，在一個(gè)Rt△ABC中，∠C＝90°，當(dāng)∠A＝30°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于是一個(gè)固定值；當(dāng)∠A＝45°時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，也是一個(gè)固定值一般地，當(dāng)∠A取其他一定度數(shù)的銳角時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值？結(jié)論問(wèn)題在圖中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'這就是說(shuō)，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值．任意畫(huà)Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么與有什么關(guān)系．你能解釋一下嗎？探究ABCA'B'C'如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine），記住sinA即例如，當(dāng)∠A＝30°時(shí)，我們有當(dāng)∠A＝45°時(shí)，我們有ABCcab對(duì)邊斜邊在圖中∠A的對(duì)邊記作a∠B的對(duì)邊記作b∠C的對(duì)邊記作c正弦定義練一練1判斷對(duì)錯(cuò):A10m6mBC1)

如圖(1)sinA=（）

(2)sinB=（）

(3)sinA=0.6m（）

(4)SinB=0.8（）√√××sinA是一個(gè)比值（注意比的順序），無(wú)單位；2)如圖，sinA=（）

×△ABC中，銳角A的對(duì)邊和斜邊同時(shí)擴(kuò)大100倍，sinA的值（）A擴(kuò)大100倍B縮小C不變D不能確定C練一練3如圖ACB37300則sinA=______12例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=13，由勾股定理得因此

求sinA就是要確定∠A的對(duì)邊與斜邊的比；求sinB就是要確定∠B的對(duì)邊與斜邊的比ABC135經(jīng)典例題根據(jù)下圖，求sinA和sinB的值．ABC35

求sinA就是要確定∠A的對(duì)邊與斜邊的比；求sinB就是要確定∠B的對(duì)邊與斜邊的比解：（1）在Rt△ABC中，因此練一練例2

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面積.ABC提示：已知sinA及∠A的對(duì)邊BC的長(zhǎng)度，可以求出斜邊AB的長(zhǎng)然后再利用勾股定理，求出BC的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出sinB及Rt△ABC的面積經(jīng)典例題解：∵∴∴AB=3BC=3×3=9∴∴∴△ABC中，∠C＝90°，sinB=，BC=2，求AC,AB的長(zhǎng)。練一練在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，sinB=h，AB=c，則BC=c，AC=ch在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，sinB=h，BC=a，則AB=AC=歸納：例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P3，4，連接OP，求OP與軸正方向所夾銳角α的正弦值解：如圖，設(shè)點(diǎn)A3，0，連接PAA0，3在Rt△APO中，由勾股定理得因此α方法總結(jié)：結(jié)合平面直角坐標(biāo)系求某角的正弦函數(shù)值，一般過(guò)已知點(diǎn)向軸或y軸作垂線，構(gòu)造直角三角形，再結(jié)合勾股定理求解如圖，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是a，b，則sinα等于OxyP(a，b)αABCDD練一練1在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，則AB的長(zhǎng)為DA4B6C8D102在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC=___2練一練如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB1sinB可以由哪兩條線段之比表示ACBD解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC，∴∠ACD=∠B，∴2若AC=5，CD=3，求sinB的值解：由題1知拓展提升小結(jié)1銳角三角函數(shù)定義:是∠A的函數(shù)ABC∠A的對(duì)邊┌斜邊斜邊∠A的對(duì)邊sinA=sin300=sin45°=sin600=例4在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．解：設(shè)BC=7，則AB=25，在Rt△ABC中，由勾股定理得即24=24cm，解得=1cm故BC=7=7cm，AB=25=25cm所以△ABC的周長(zhǎng)為ABBCAC=72425=56cm方法總結(jié)：已知一邊及其鄰角的正弦函數(shù)值時(shí)，一般需結(jié)合方程思想和勾股定理，解決問(wèn)題已知銳角A,B,并且A>B,試探討SinA,SinB的關(guān)系？拓展當(dāng)堂練習(xí)1在直角三角形ABC中，若三邊長(zhǎng)都擴(kuò)大2倍，則銳角A的正弦值A(chǔ)擴(kuò)大2倍B不變C縮小D無(wú)法確定B2如圖，sinA的值為7ACB330°ABCDC3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，則∠A=

，∠B=

.45°45°4如圖，在正方形網(wǎng)格中有△ABC，則sin∠ABC的值為解析：∵AB＝，BC＝，AC＝，∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝5如圖，點(diǎn)D