【數學】黑龍江省齊齊哈爾市2024屆高三第一次模擬考試試題（解析版）

黑龍江省齊齊哈爾市2024屆高三第一次模擬考試數學試題一?選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，解得，所以，所以.故選：B.2.已知，若為純虛數，則（）A. B.2 C.1 D.【答案】B【解析】，若為純虛數，則，即.故選：B.3.已知為奇函數，則（）A. B.2 C.1 D.【答案】A【解析】當時，，所以，通過對比系數得.故選：A.4.某飲料廠生產兩種型號的飲料，已知這兩種飲料的生產比例分別為，且這兩種飲料中的碳酸飲料的比例分別為，若從該廠生產的飲料中任選一瓶，則選到非碳酸飲料的概率約為（）A.0.12 B.0.20 C.0.44 D.0.32【答案】C【解析】由題意，選到非碳酸飲料的概率為.故選：C.5.已知數列等比數列，均為正整數，設甲：；乙：，則（）A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件【答案】B【解析】設數列的公比為，首項為，若，則，即，滿足必要性；當時，對任意正整數均有，不滿足充分性，所以甲是乙的必要不充分條件，故選：B.6.若函數單調遞增，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，即對任意恒成立，即恒成立，因（當且僅當時取“=”），所以.故選：D7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設，則.故選：A8.已知為雙曲線的右頂點，為坐標原點，為雙曲線上兩點，且，直線的斜率分別為和，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】，設，則，則，，.故選：C.二?多選題9.已知圓，則下列結論正確的有（）A.若圓和圓外離，則B.若圓和圓外切，則C.當時，圓和圓有且僅有一條公切線D.當時，圓和圓相交【答案】BCD【解析】.若和外離，則，解得或，故A錯誤；若和外切，，解得，故B正確；當時，和內切，故C正確；當時，和相交，故D正確.故選：BCD.10.已知函數，則下列說法正確的有（）A.當時，的最小正周期為B.當時，的最小值為C.當時，在區(qū)間上有4個零點D.若在上單調遞減，則【答案】AB【解析】當時，，所以的最小正周期為，A選項正確；當時，，所以的最小值為，B選項正確；當時，，令，解得或，此時或或，在區(qū)間上有3個零點，C選項錯誤；，設，在上單調遞減，則，根據復合函數的單調性，在上單調遞增，所以，解得，D選項錯誤.故選：AB.11.已知四面體的各個面均為全等的等腰三角形，且.設為空間內任一點，且五點在同一個球面上，則（）A.B.四面體的體積為C.當時，點的軌跡長度為D.當三棱錐的體積為時，點的軌跡長度為【答案】AC【解析】對于A，依題意，可知，設F為的中點，連接，則，而平面，故平面，平面，故，A正確；對于B，將四面體放入長方體中，設長方體的相鄰三條棱長分別為，則，解得，由于，即異面直線和的距離為，且平面，，所以四面體的體積為，B錯誤；對于C，由以上分析可知，四面體的外接球半徑為，由，知點的軌跡為一個圓，設軌跡圓的半徑為，則，解得，所以的軌跡長度為，C正確；對于D，由題意可得,故的外接圓半徑為，所以球心到所在平面的距離為，設三棱錐的高為h，由三棱錐的體積為時，可得，故，又由，故E點軌跡為外接球上平行于平面且到平面的距離為的兩個截面圓，其中一個圓為外接球的大圓，所以點的軌跡長度大于，D錯誤，故選：AC.三?填空題12.第33屆奧運會于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，某高校需要選派4名大學生去當志愿者，已知該?，F有9名候選人，其中4名男生，5名女生，則志愿者中至少有2名女生的選法有__________種（用數字作答）.【答案】105【解析】由題意可得恰有兩名女生人選的選法有種，恰有3名女生人選的選法有種，恰有4名女生人選的選法有種，所以至少有兩名女生人選的選法有（種），故答案為：105.13.已知為橢圓上的一個動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為__________.【答案】【解析】設，由已知，由對稱性可得,所以，則，，且，因為，因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，又，所以，所以.所以的最小值為.故答案：.14.若直線為曲線的一條切線，則的最大值為__________.【答案】【解析】設，則，設切點為，則，則切線方程為，整理可得，所以，解得，所以，所以，設，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，取得最大值，所以的最大值為.四?解答題15.睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而許多人被睡眠時長過短?質量不高等問題所困擾.2023年3月21日是第23個世界睡眠日，這一天某研究小組隨機調查了某高校100名學生在某一天內的睡眠情況，將所得數據按照分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求的值，并由頻率分布直方圖估計該校所有學生每一天的平均睡眠時長（同一組的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）每一天睡眠時長不低于7.75小時認定為睡眠充足，以頻率代替概率，樣本估計總體，在該高校學生中隨機抽查3人，求至少有兩人每一天睡眠時長充足的概率.解：（1），解得，依題意，該校學生每一天的平均睡眠時長為：（小時）；（2）100名學生的睡眠充足的頻率為，以頻率代替概率，樣本估計總體，該校學生睡眠充足的概率為0.2，所以至少有兩人睡眠時長充足的概率為.16.記的內角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若的面積為，求邊上的中線長.解：（1）由正弦定理可得，所以，即，又，所以，整理得，解得；（2）依題意，，解得，又，所以為鈍角，所以由,解得，由正弦定理可得，又，所以，設的中點為，則，所以，所以邊上的中線長為.17.如圖1，在平面四邊形中，，.點是線段上靠近端的三等分點，將沿折成四棱錐，且，連接，如圖2.（1）在圖2中，證明：平面；（2）求圖2中，直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接交于點，連接，，平面平面平面，（2）解：在圖1中，，在圖2中，，平面，平面，平面，所以，而，由此以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，則，可取，又，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.在平面直角坐標系中，點為動點，以為直徑的圓與軸相切，記的軌跡為.（1）求的方程；（2）設為直線上的動點，過的直線與相切于點，過作直線的垂線交于點，求面積的最小值.解：（1）設，則線段的中點坐標為，因為以為直徑的圓與軸相切，所以，化簡得，所以的方程為；（2）設，由，則點處切線斜率為，所以直線方程為，整理為，令，則，所以，易知直線斜率為，所以直線，整理為，與聯立可得，有，解得，即的橫坐標為，所以，，所以面積為，又，當且僅當時，等號成立，所以的面積最小值為.19.已知函數.（1）設函數，討論的單調性；（2）設分別為的極大值點和極小