（江蘇專用）高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 板塊命題點(diǎn)專練（八）數(shù)列、推理與證明 理-人教高三數(shù)學(xué)試題

板塊命題點(diǎn)專練(八)數(shù)列、推理與證明1．(2015·江蘇高考)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))前10項(xiàng)的和為_(kāi)_______．解析：由題意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝eq\f(n－12＋n,2)＝eq\f(n2＋n－2,2).又∵a1＝1，∴an＝eq\f(n2＋n,2)(n≥2)．∵當(dāng)n＝1時(shí)也滿足此式，∴an＝eq\f(n2＋n,2)(n∈N*)．∴eq\f(1,an)＝eq\f(2,n2＋n)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))).∴S10＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,10)－\f(1,11)))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,11)))＝eq\f(20,11).答案：eq\f(20,11)2．(2014·全國(guó)卷Ⅱ)數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(1,1－an)，a8＝2，則a1＝________.解析：將a8＝2代入an＋1＝eq\f(1,1－an)，可求得a7＝eq\f(1,2)；再將a7＝eq\f(1,2)代入an＋1＝eq\f(1,1－an)，可求得a6＝－1；再將a6＝－1代入an＋1＝eq\f(1,1－an)，可求得a5＝2；由此可以推出數(shù)列{an}是一個(gè)周期數(shù)列，且周期為3，所以a1＝a7＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)3.(2014·安徽高考)如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝2eq\r(2).過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為A1；過(guò)點(diǎn)A1作AC的垂線，垂足為A2；過(guò)點(diǎn)A2作A1C的垂線，垂足為A3；…，依此類推．設(shè)BA＝a1，AA1＝a2,A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，則a7＝________.解析：法一：直接遞推歸納：等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝2eq\r(2)，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝eq\r(2)，A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))6＝eq\f(1,4).法二：求通項(xiàng)：等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝2eq\r(2)，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝eq\r(2)，…，An－1An＝an＋1＝sineq\f(π,4)·an＝eq\f(\r(2),2)an＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))n，故a7＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))6＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)命題點(diǎn)二等差數(shù)列與等比數(shù)列難度：中、低命題指數(shù)：☆☆☆☆☆1．(2015·全國(guó)卷Ⅱ改編)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝________.解析：法一：∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a∴a3＝1，∴S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝5a3＝5.法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d∴S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)d＝5(a1＋2d)＝5.答案：52．(2015·陜西高考)中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為_(kāi)_______．解析：設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為a1，則eq\f(a1＋2015,2)＝1010，故a1＝5.答案：53．(2015·廣東高考)若三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，其中a＝5＋2eq\r(6)，c＝5－2eq\r(6)，則b＝________.解析：∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝a·c＝(5＋2eq\r(6))(5－2eq\r(6))＝1.又b＞0，∴b＝1.答案：14．(2015·浙江高考)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零．若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1＋a2＝1，則a1＝________，d解析：∵a2，a3，a7成等比數(shù)列，∴aeq\o\al(2,3)＝a2a7，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d由①②解得a1＝eq\f(2,3)，d＝－1.答案：eq\f(2,3)－15．(2015·北京高考)已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2＝a3，b3＝a7，問(wèn)：b6與數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)相等？解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍4－a3＝2，所以d＝2.又因?yàn)閍1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n∈N*)．(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.因?yàn)閎2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4.所以b6＝4×26－1＝128.由128＝2n＋2得n＝63，所以b6與數(shù)列{an}的第63項(xiàng)相等．6．(2015·天津高考)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝anbn，n∈N*，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，數(shù)列{bn}的公差為d，由題意知q>0.由已知，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2q2－3d＝2，,q4－3d＝10，))消去d，整理得q4－2q2－8＝0，解得q2＝4.又因?yàn)閝>0，所以q＝2，所以d＝2.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1，n∈N*；數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)有cn＝(2n－1)·2n－1，設(shè){cn}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，上述兩式相減，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)·2n＝－(2n－3)·2n－3，所以Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*.命題點(diǎn)三數(shù)列的綜合應(yīng)用難度：高、中命題指數(shù)：☆☆☆1．(2015·湖南高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N*.(1)證明：an＋2＝3an；(2)求Sn.解：(1)證明：由條件，對(duì)任意n∈N*，有an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，因而對(duì)任意n∈N*，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.兩式相減，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an，n≥2.又a1＝1，a2＝2，所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a故對(duì)一切n∈N*，an＋2＝3an.(2)由(1)知，an≠0，所以eq\f(an＋2,an)＝3.于是數(shù)列{a2n－1}是首項(xiàng)a1＝1，公比為3的等比數(shù)列；數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)a2＝2，公比為3的等比數(shù)列．因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝eq\f(33n－1,2)，從而S2n－1＝S2n－a2n＝eq\f(33n－1,2)－2×3n－1＝eq\f(3,2)(5×3n－2－1)．綜上所述，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)5×3－1，n是奇數(shù)，,\f(3,2)3－1，n是偶數(shù).))2．(2015·江蘇高考)設(shè)a1，a2，a3，a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d(d≠0)的等差數(shù)列．(1)證明：2a1，2a2，2a3，(2)是否存在a1，d，使得a1，aeq\o\al(2,2)，aeq\o\al(3,3)，aeq\o\al(4,4)依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由．解：(1)證明：因?yàn)閑q\f(2an＋1,2an)＝2an＋1－an＝2d(n＝1,2,3)是同一個(gè)常數(shù)，所以2a1，2a2，2a3，2a4(2)不存在，理由如下：令a1＋d＝a，則a1，a2，a3，a4分別為a－d，a，a＋d，a＋2d(a＞d，a＞－2d，d≠0)．假設(shè)存在a1，d，使得a1，aeq\o\al(2,2)，aeq\o\al(3,3)，aeq\o\al(4,4)依次構(gòu)成等比數(shù)列，則a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4.令t＝eq\f(d,a)，則1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜t＜1，t≠0))，化簡(jiǎn)得t3＋2t2－2＝0(*)，且t2＝t＋1.將t2＝t＋1代入(*)式，得t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，則t＝－eq\f(1,4).顯然t＝－eq\f(1,4)不是上面方程的解，矛盾，所以假設(shè)不成立，因此不存在a1，d，使得a1，aeq\o\al(2,2)，aeq\o\al(3,3)，aeq\o\al(4,4)依次構(gòu)成等比數(shù)列.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(命題點(diǎn)四合情推理與演繹推理,難度：中、低命題指數(shù)：☆☆☆))1．(2015·山東高考)觀察下列各式：Ceq\o\al(0,1)＝40；Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,3)＝41；Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＝42；Ceq\o\al(0,7)＋Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,7)＝43；……照此規(guī)律，當(dāng)n∈N*時(shí)，Ceq\o\al(0,2n－1)＋Ceq\o\al(1,2n－1)＋Ceq\o\al(2,2n－1)＋…＋Ceq\o\al(n－1,2n－1)＝________.解析：觀察每行等式的特點(diǎn)，每行等式的右端都是冪的形式，底數(shù)均為4，指數(shù)與等式左端最后一個(gè)組合數(shù)的上標(biāo)相等，故有Ceq\o\al(0,2n－1)＋Ceq\o\al(1,2n－1)＋Ceq\o\al(2,2n－1)＋…＋Ceq\o\al(n－1,2n－1)＝4n－1.答案：4n－12．(2015·陜西高考)觀察下列等式：1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)，…，據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(kāi)_________________________________________________．解析：等式的左邊的通項(xiàng)為eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)，前n項(xiàng)和為1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)；右邊的每個(gè)式子的第一項(xiàng)為eq\f(1,n＋1)，共有n項(xiàng)，故為eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n).答案：1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(命題點(diǎn)五直接證明與間接證明,難度：高、中))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(,命題指數(shù)：☆☆☆☆☆))1．(2015·北京高考節(jié)選)已知數(shù)列{an}滿足：a1∈N*，a1≤36，且an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an，an≤18，,2an－36，an＞18))(n＝1,2，…)．記集合M＝{an|n∈N*}．(1)若a1＝6，寫(xiě)出集合M的所有元素；(2)若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)．解：(1)