（江蘇專用）高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何課時(shí)跟蹤檢測(cè) 理-人教高三數(shù)學(xué)試題

第八章立體幾何第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1．簡(jiǎn)單幾何體(1)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：①圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到；②圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)得到；③圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到；④球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到．(2)簡(jiǎn)單多面體的結(jié)構(gòu)特征：①棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形；②棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共點(diǎn)的三角形；③棱臺(tái)可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形．2．直觀圖(1)畫法：常用斜二測(cè)畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半．[小題體驗(yàn)]1．關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法不正確的是________(填序號(hào))．①棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等；②四棱錐有四個(gè)頂點(diǎn)；③三棱臺(tái)的上、下底面是相似三角形；④有的棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等．解析：根據(jù)棱錐頂點(diǎn)的定義可知，四棱錐僅有一個(gè)頂點(diǎn)，故②說(shuō)法不正確，由棱柱、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)，知①③④說(shuō)法正確．答案：②2.如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)為1cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是________cm.解析：將直觀圖還原為平面圖形，如圖所示．可知周長(zhǎng)為8cm.答案：83．(2016·金陵中學(xué)檢測(cè))下列結(jié)論正確的是________(填序號(hào))．①各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐；②以三角形的一條邊所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體叫圓錐；③棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是正六棱錐；④圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線．解析：當(dāng)一個(gè)幾何體由具有相同的底面且頂點(diǎn)在底面兩側(cè)的兩個(gè)三棱錐構(gòu)成時(shí)，盡管各面都是三角形，但它不是三棱錐，故①錯(cuò)誤；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線，則所得的幾何體就不是圓錐，故②錯(cuò)誤；正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)，故③錯(cuò)誤；由圓錐母線的定義，知④正確．答案：④1．臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)．2．注意斜二測(cè)畫法中的“三變”與“三不變”：“三變”坐標(biāo)軸的夾角改變，與y軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，圖形改變．“三不變”平行性不改變，與x，z軸平行的線段的長(zhǎng)度不改變，相對(duì)位置不改變．[小題糾偏]1．下列說(shuō)法正確的是________(填序號(hào))．①有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)；②多面體至少有3個(gè)面；③各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體；④九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形．解析：①說(shuō)法錯(cuò)誤，反例如圖1；一個(gè)多面體至少有4個(gè)面，如三棱錐有4個(gè)面，不存在有3個(gè)面的多面體，所以②說(shuō)法錯(cuò)誤；③說(shuō)法錯(cuò)誤，反例如圖2，上、下底面是全等的菱形，各側(cè)面是全等的正方形，它不是正方體；根據(jù)棱柱的定義，知④說(shuō)法正確．答案：④2．下面關(guān)于利用斜二測(cè)畫法得到直觀圖的敘述正確的是________(填序號(hào))．①正三角形的直觀圖是正三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③矩形的直觀圖是矩形；④圓的直觀圖是圓．解析：直觀圖改變了原圖中角的大小及圖形的形狀，所以①③④都不正確，易知②正確．答案：②3.如圖所示的正方形ABCD用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，平行四邊形中有一條邊的邊長(zhǎng)為4，則此正方形的面積是________．解析：由題意，可知在直觀圖(圖略)中，若邊長(zhǎng)為4的邊與x′軸平行，則原正方形的邊長(zhǎng)為4，此時(shí)正方形的面積為16；若邊長(zhǎng)為4的邊與y′軸平行，則原正方形的邊長(zhǎng)為8，此時(shí)正方形的面積為64.答案：16或64eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是________．解析：截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體．答案：球體2．下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是________．①以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體不一定是圓錐；②以直角梯形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；④分別以矩形的長(zhǎng)和寬所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周得到的兩個(gè)圓柱是兩個(gè)不同的圓柱．解析：①中，若以直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，得到的是由兩個(gè)底面重合的圓錐組成的旋轉(zhuǎn)體，故①說(shuō)法正確；②中，必須以直角梯形的垂直于底邊的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸才能得到圓臺(tái)，若以其余三邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，則不能得到圓臺(tái)，故②說(shuō)法錯(cuò)誤；顯然③④說(shuō)法正確．答案：33．下列圖形經(jīng)過(guò)折疊可以圍成一個(gè)棱柱的是________(填序號(hào))．解析：①②③中底面圖形的邊數(shù)與側(cè)面的個(gè)數(shù)不一致，故不能圍成棱柱．④經(jīng)過(guò)折疊可以圍成一個(gè)棱柱．答案：④[謹(jǐn)記通法]解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問(wèn)題3個(gè)技巧(1)把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，要多觀察實(shí)物，提高空間想象能力；(2)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型；(3)通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二空間幾何體的直觀圖)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]如圖，△A′B′C′是水平放置的平面圖形用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖，將其恢復(fù)成原圖形．解：(1)畫出直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；(2)在圖①中，過(guò)B′作B′D′∥y′軸，交x′軸于D′，在x軸上取OD＝O′D′，過(guò)點(diǎn)D作DB∥y軸，并使DB＝2D′B′；(3)連結(jié)AB，BC，則△ABC即為△A′B′C′原來(lái)的圖形，如圖②所示．[由題悟法]用斜二測(cè)畫法畫直觀圖的3個(gè)步驟(1)在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與x′軸或y′軸平行．(2)原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線．(3)原圖中的曲線段可以通過(guò)取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連結(jié)而畫出．[即時(shí)應(yīng)用]用斜二測(cè)畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為2eq\r(2)cm解析：依題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長(zhǎng)與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面圖形的面積為8cm2.答案：8一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．四棱柱有________條側(cè)棱，________個(gè)頂點(diǎn)．解析：四棱柱有4條側(cè)棱，8個(gè)頂點(diǎn)(可以結(jié)合正方體觀察求得)．答案：482．給出下列幾種說(shuō)法：①圓柱的底面是圓；②經(jīng)過(guò)圓柱的任意兩條母線的截面是一個(gè)矩形；③連結(jié)圓柱上、下底面圓周上兩點(diǎn)的線段是圓柱的母線；④圓柱的任意兩條母線互相平行．其中不正確的個(gè)數(shù)是________．解析：圓柱的母線一定垂直于圓柱的兩個(gè)底面，而連結(jié)圓柱上、下底面圓周上兩點(diǎn)的線段不一定與底面垂直，所以③說(shuō)法不正確，顯然①②④說(shuō)法正確．答案：13．給出下列四個(gè)命題：①各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；②對(duì)角面是全等矩形的六面體一定是長(zhǎng)方體；③有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④長(zhǎng)方體一定是正四棱柱．其中正確的命題個(gè)數(shù)是________．解析：反例：①直平行六面體底面是菱形，滿足條件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，滿足條件但不是長(zhǎng)方體；③④顯然錯(cuò)誤．答案：04.(2016·南通調(diào)研)水平放置的正方體的六個(gè)面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖(圖中數(shù)字寫在正方體的外表面上)，若圖中“0”上方的“2”在正方體的上面，則這個(gè)正方體的下面上的數(shù)字是________．解析：由題意，將正方體的展開圖還原成正方體，1與4相對(duì)，2與2相對(duì)，0與3相對(duì)，所以正方體的下面上的數(shù)字是2.答案：25．如圖，線段OA在平面xOy中，它與x軸的夾角為45°，它的長(zhǎng)為2eq\r(2)，OA的直觀圖O′A′的長(zhǎng)為________．解析：過(guò)點(diǎn)A作AB⊥Ox于B，∵OA＝2eq\r(2)，∠AOB＝45°，∴OB＝AB＝2，線段OB的直觀圖O′B′＝2，A′B′＝1，∠O′B′A′＝135°.∴O′A′2＝22＋12－2×2×1×cos135°，∴O′A′＝eq\r(5＋2\r(2)).答案：eq\r(5＋2\r(2))二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．將等邊三角形繞它的一條中線旋轉(zhuǎn)180°，形成的幾何體是________．解析：因?yàn)榈冗吶切问且粋€(gè)對(duì)稱圖形，并且中線過(guò)其頂點(diǎn)，底邊旋轉(zhuǎn)后成為一個(gè)圓，所以形成的幾何體是一個(gè)圓錐．答案：圓錐2．把一個(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)上下底面的半徑之比為1∶4，母線長(zhǎng)為9；則圓錐的母線長(zhǎng)是________．解析：設(shè)該圓錐的軸截面如圖所示，由平面幾何知識(shí)可知，eq\f(O′B′,OB)＝eq\f(CB′,CB)，所以eq\f(1,4)＝eq\f(CB′,CB′＋9)，所以CB′＝3，所以BC＝3＋9＝12.即圓錐的母線長(zhǎng)為12.答案：123．如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐不可能是________(填序號(hào))．①三棱錐；②四棱錐；③五棱錐；④六棱錐．解析：各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，故六棱錐的底面的每一條邊長(zhǎng)都相等，底面是一個(gè)六邊都相等的六邊形．當(dāng)這個(gè)六邊形是正六邊形時(shí)，如圖可知AD＝2AB＝SA＋SD，這時(shí)不能構(gòu)成三角形；當(dāng)這個(gè)六邊形不是正六邊形時(shí)，則AD，BE，CF三條線段中必然有一條大于或等于SA＋SD，這時(shí)也不能構(gòu)成三角形，故這個(gè)棱錐不可能是六棱錐．序號(hào)①②③中都有符合條件的棱錐，故填④.答案：④4．下列關(guān)于投影的說(shuō)法正確的是________(填序號(hào))．①平行投影的投影線是互相平行的；②中心投影的投影線是互相垂直的；③線段上的點(diǎn)在中心投影下仍然在線段上；④平行的直線在中心投影下不平行．解析：①平行投影是指投影線互相平行的投影，故①是正確的；②中心投影的投影線一般是不垂直的；③線段上的點(diǎn)在中心投影下可以重合于一點(diǎn)；④平行的直線在中心投影下可以平行也可以不平行．答案：①5.如圖所示是水平放置的△ABC在直角坐標(biāo)系中的直觀圖，其中D是AC的中點(diǎn)，原△ACB中，∠ACB≠30°，則原圖形中與線段BD的長(zhǎng)相等的線段有________條．解析：先按照斜二測(cè)畫法把直觀圖還原為真正的平面圖形，然后根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì)找與線段BD長(zhǎng)度相等的線段，把△ABC還原后為直角三角形，則D為斜邊AC的中點(diǎn)，所以AD＝DC＝BD.答案：26．設(shè)有以下四個(gè)命題：①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；③直四棱柱是直平行六面體；④棱臺(tái)的相對(duì)側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)．其中真命題的序號(hào)是________．解析：命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題②是錯(cuò)誤的；因?yàn)橹彼睦庵牡酌娌灰欢ㄊ瞧叫兴倪呅?，故命題③是錯(cuò)誤的；命題④由棱臺(tái)的定義知是正確的．答案：①④7．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝2，則原圖形OABC的面積為________．解析：由題意知原圖形OABC是平行四邊形，且OA＝BC＝6，設(shè)平行四邊形OABC的高為OE，則OE×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4eq\r(2)，∴S?OABC＝6×4eq\r(2)＝24eq\r(2).答案：24eq\r(2)8．(2016·南京師大附中月考)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么用斜二測(cè)畫法得到的△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為________．解析：根據(jù)題意，建立如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系，再按照斜二測(cè)畫法畫出其直觀圖，如圖②中△A′B′C′所示．易知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a.過(guò)點(diǎn)C′作C′D′⊥A′B′于點(diǎn)D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.答案：eq\f(\r(6),16)a29.(2016·鹽城調(diào)研)如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝eq\r(2)，BB1＝2，∠ABC＝90°，E，F(xiàn)分別為AA1，C1B1的中點(diǎn)，試求沿棱柱的表面從點(diǎn)E到點(diǎn)F的最短路徑．解：若將△A1B1C1沿A1B1折起，使得E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，則此時(shí)EF＝eq\r(\f(7,2)＋\r(2)).若將側(cè)面沿B1B展成平面，則此時(shí)EF＝eq\r(\f(11,2)).若將△A1B1C1沿A1C1折起使得E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，則此時(shí)EF＝eq\f(3\r(2),2).經(jīng)比較知沿棱柱的表面從點(diǎn)E到點(diǎn)F的最短路徑為eq\f(3\r(2),2).10.如圖所示，圓臺(tái)母線AB長(zhǎng)為20cm，上、下底面半徑分別為5cm和10cm，從母線AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到B點(diǎn)，求這條繩長(zhǎng)的最小值．解：作出圓臺(tái)的軸截面與側(cè)面展開圖，如圖所示，如圖1，由其軸截面中Rt△OPA與Rt△OQB相似，得eq\f(OA,OA＋AB)＝eq\f(5,10)，可求得OA＝20cm.如圖2，設(shè)∠BOB′＝α，由于扇形弧的長(zhǎng)與底面圓Q的周長(zhǎng)相等，而底面圓Q的周長(zhǎng)為2π×10cm.扇形OBB′的半徑為OA＋AB＝20＋20＝40cm，扇形OBB′所在圓的周長(zhǎng)為2π×40＝80πcm.所以扇形弧的長(zhǎng)度20π為所在圓周長(zhǎng)的eq\f(1,4).所以O(shè)B⊥OB′.所以在Rt△B′OM中，B′M2＝402＋302，所以B′M＝50cm，即所求繩長(zhǎng)的最小值為50cm.三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)是4，∠DAB＝60°，則菱形ABCD的斜二測(cè)直觀圖的面積是________．解析：由已知得BD＝4，AC＝4eq\r(3)，且AC⊥BD，所以其斜二測(cè)直觀圖的面積為S＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×4×eq\f(1,2)×sin45°＝2eq\r(6).答案：2eq\r(6)2．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，過(guò)對(duì)角線BD1的一個(gè)平面交AA1于E，交CC1于F，得四邊形BFD1E①四邊形BFD1E有可能為梯形；②四邊形BFD1E有可能為菱形；③四邊形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；④四邊形BFD1E面積的最小值為eq\f(\r(6),2).其中正確的是________(填序號(hào))．解析：四邊形BFD1E為平行四邊形，①顯然不成立，當(dāng)E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點(diǎn)時(shí)，②③成立．當(dāng)E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點(diǎn)時(shí)，四邊形BFD1E的面積最小，最小值為eq\f(\r(6),2).答案：②③④3．(2016·南京調(diào)研)一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2.(1)求圓臺(tái)的高；(2)求截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)．解：(1)如圖，過(guò)圓臺(tái)的軸作截面，則截面為等腰梯形ABCD，作AM⊥BC于點(diǎn)M，連結(jié)O1O.由已知可得上底半徑O1A＝2cm下底半徑OB＝5cm，且腰長(zhǎng)AB＝12cm，∴AM＝eq\r(122－32)＝3eq\r(15)(cm)．即圓臺(tái)的高為3eq\(2)延長(zhǎng)BA，OO1，CD交于點(diǎn)S，設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為l.則由△SAO1∽△SBO，可得eq\f(l－12,l)＝eq\f(2,5)，∴l(xiāng)＝20(cm)，即截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為20cm.第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)l2．空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3[小題體驗(yàn)]1．(教材習(xí)題改編)圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的體積與圓柱體積之比為________，球的表面積與圓柱的側(cè)面積之比為________．答案：2∶31∶12．(教材習(xí)題改編)已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，它的表面積為________．解析：過(guò)S作SD⊥BC，∵BC＝a，∴SD＝eq\f(\r(3),2)a，∴S△SBC＝eq\f(\r(3),4)a2，∴表面積S＝4×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\r(3)a2.答案：eq\r(3)a23．已知一個(gè)母線長(zhǎng)為1的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于240°，則該圓錐的體積為________．解析：圓錐的底面圓的周長(zhǎng)為eq\f(240°,360°)×2π×1＝eq\f(4,3)π，設(shè)底面圓的半徑為r，則有2πr＝eq\f(4,3)π，所以r＝eq\f(2,3)，于是圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2)＝eq\f(\r(5),3)，故圓錐的體積V＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(\r(5),3)＝eq\f(4\r(5),81)π.答案：eq\f(4\r(5),81)π1．易混側(cè)面積與表面積的概念，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)錯(cuò)用公式，漏掉底面積的計(jì)算．2．對(duì)幾何體的結(jié)構(gòu)特征把握不準(zhǔn)，導(dǎo)致空間線面關(guān)系的推理、表面積與體積的求解出現(xiàn)錯(cuò)誤．[小題糾偏]1．正六棱臺(tái)的上、下兩底面的邊長(zhǎng)分別是1cm,2cm，高是1cm，則它的側(cè)面積為________cm2.解析：正六棱臺(tái)的側(cè)面是6個(gè)全等的等腰梯形，上底長(zhǎng)為1cm，下底長(zhǎng)為2cm，高為正六棱臺(tái)的斜高．又邊長(zhǎng)為1cm的正六邊形的中心到各邊的距離是eq\f(\r(3),2)cm，邊長(zhǎng)為2cm的正六邊形的中心到各邊的距離是eq\r(3)cm，則梯形的高為eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－\f(\r(3),2)))2)＝eq\f(\r(7),2)cm，所以正六棱臺(tái)的側(cè)面積為6×eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\f(\r(7),2)＝eq\f(9\r(7),2)cm2.答案：eq\f(9\r(7),2)2．若一個(gè)球的體積為4eq\r(3)π，則它的表面積為________．解析：設(shè)球的半徑為R，則eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π，∴R＝eq\r(3)，∴球的表面積S＝4πR2＝4π×3＝12π.答案：12π3．已知某圓柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為2a，a解析：設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，則當(dāng)l＝2a時(shí)，2πr＝a，∴r＝eq\f(a,2π)，這時(shí)V圓柱＝2a·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2π)))2＝eq\f(a3,2π)；當(dāng)l＝a時(shí)，2πr＝2a，∴r＝eq\f(a,π)，這時(shí)V圓柱＝a·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,π)))2＝eq\f(a3,π).綜上，該圓柱的體積為eq\f(a3,2π)或eq\f(a3,π).答案：eq\f(a3,2π)或eq\f(a3,π)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一空間幾何體的表面積)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．(2016·無(wú)錫一中檢測(cè))等邊圓柱(底面直徑和高相等的圓柱)的底面半徑與球的半徑相等，則等邊圓柱的表面積與球的表面積的比值為________．解析：設(shè)球的半徑為R.等邊圓柱的表面積S1＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，球的表面積S2＝4πR2，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(6πR2,4πR2)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)2.(2016·啟東中學(xué)檢測(cè))如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正六棱錐P-ABCDEF，則此正六棱錐的表面積是________．解析：顯然正六棱錐P-ABCDEF的底面的外接圓是球的一個(gè)大圓，由已知，可得大圓的半徑為2.易得其內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為2.又正六棱錐P-ABCDEF的高為2，則斜高為eq\r(22＋\r(3)2)＝eq\r(7)，所以該正六棱錐的表面積為6×eq\f(1,2)×2×eq\r(7)＋6×eq\r(3)＝6eq\r(7)＋6eq\r(3).答案：6eq\r(7)＋6eq\r(3)3．已知底面是菱形的直四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為5，它的體對(duì)角線的長(zhǎng)分別是9和15，求這個(gè)直四棱柱的側(cè)面積．解：如圖，底面是菱形的直棱柱ABCD-A′B′C′D′中，兩條對(duì)角線長(zhǎng)為A′C＝15，BD′＝9，側(cè)棱長(zhǎng)為AA′＝DD′＝5，∵△BDD′和△CAA′都是直角三角形，∴由勾股定理，得AC2＝152－52＝200，BD2＝92－52＝56，可得AC＝10eq\r(2)，BD＝2eq\r(14).∵AC，BD分別是菱形ABCD的兩條對(duì)角線，∴AC，BD互相垂直平分，且把菱形分成四個(gè)全等的直角三角形，兩條直角邊的長(zhǎng)分別為eq\f(1,2)AC＝5eq\r(2)和eq\f(1,2)BD＝eq\r(14)，由勾股定理，得AB＝eq\r(5\r(2)2＋\r(14)2)＝8.∴該直四棱柱的側(cè)面積S＝4×8×5＝160.[謹(jǐn)記通法]幾何體的表面積2種求法(1)求表面積問(wèn)題的思路是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn)．(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差求得幾何體的表面積．注意銜接部分的處理．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二空間幾何體的體積)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]1.(2016·南京一中檢測(cè))如圖所示，已知一個(gè)多面體的平面展開圖由一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和4個(gè)正三角形組成，則該多面體的體積是________．解析：由展開圖，可知該多面體是正四棱錐，底面正方形的邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)也為1，∴該正四棱錐的高h(yuǎn)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，∴其體積V＝eq\f(1,3)×12×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6).答案：eq\f(\r(2),6)2.如圖，AA1，BB1為圓柱OO1的母線，BC是底面圓O的直徑，D，E分別是AA1，CB1的中點(diǎn)，DE⊥平面CBB1.(1)證明：DE∥平面ABC；(2)求四棱錐C-ABB1A1與圓柱OO1解：(1)證明：連結(jié)EO，OA.∵E，O分別為B1C，BC∴EO∥BB1，且EO＝eq\f(1,2)BB1.又DA∥BB1，且DA＝eq\f(1,2)BB1，∴DA綊EO，∴四邊形AOED是平行四邊形，∴DE∥OA.又DE?平面ABC，AO?平面ABC，∴DE∥平面ABC.(2)由題意知DE⊥平面CBB1，且由(1)知DE∥AO，∴AO⊥平面CBB1，∴AO⊥BC，∴AC＝AB.∵BC是底面圓O的直徑，得CA⊥AB，且AA1⊥CA，∴CA⊥平面AA1B1B，即CA為四棱錐C-ABB1A1設(shè)圓柱高為h，底面半徑為r，則V＝πr2h，V＝eq\f(1,3)h(eq\r(2)r)·(eq\r(2)r)＝eq\f(2,3)r2h.∴V∶V＝eq\f(2,3π).[由題悟法]求解幾何體體積的必備策略常見類型解題策略球的體積問(wèn)題直接利用球的體積公式求解，在實(shí)際問(wèn)題中要根據(jù)題意作出圖形，構(gòu)造直角三角形確定球的半徑錐體、柱體的體積問(wèn)題根據(jù)題設(shè)條件求出所給幾何體的底面積和高，直接套用公式求解不規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題常用分割或補(bǔ)形的思想，若幾何體的底不規(guī)則，也需采用同樣的方法，將不規(guī)則的幾何體或平面圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體或平面圖形，易于求解[即時(shí)應(yīng)用]如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點(diǎn)，DE＝EC.(1)求證：平面ABE⊥平面BEF；(2)設(shè)PA＝a，若三棱錐B-PED的體積V∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),15)，\f(2\r(15),15)))，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)證明：因?yàn)锳B∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，所以四邊形ABFD為矩形，AB⊥BF.因?yàn)镈E＝EC，所以DC⊥EF.又AB∥CD，所以AB⊥EF.因?yàn)锽F∩EF＝F，所以AB⊥平面BEF.又AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面BEF.(2)因?yàn)镻D∥EF，AB⊥EF，所以AB⊥PD.又AB⊥AD，AD∩PD＝D，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA.又PA⊥AD，AB∩AD＝A，所以PA⊥平面ABCD.因?yàn)镾△BCD＝eq\f(1,2)×2×2＝2，E到平面BCD的距離h＝eq\f(a,2)，所以VB-PED＝VB-EDC＝VE-BCD＝eq\f(1,3)×2×eq\f(a,2)＝eq\f(a,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),15)，\f(2\r(15),15)))，所以a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(2\r(15),5))).故實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，\f(2\r(15),5))).eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三與球有關(guān)的切、接問(wèn)題)eq\a\vs4\al(?？汲Ｐ滦涂键c(diǎn)——多角探明)[命題分析]與球相關(guān)的切、接問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn)，也是考生的難點(diǎn)、易失分點(diǎn)，命題角度多變．常見的命題角度有：(1)正四面體的內(nèi)切球；(2)直三棱柱的外接球；(3)正方體(長(zhǎng)方體)的外接球；(4)四棱錐(三棱錐)的外接球．[題點(diǎn)全練]角度一：正四面體的內(nèi)切球1．(2016·蘇州模擬)若一個(gè)正四面體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝________.解析：設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為a，則正四面體表面積為S1＝4·eq\f(\r(3),4)·a2＝eq\r(3)a2，其內(nèi)切球半徑為正四面體高的eq\f(1,4)，即r＝eq\f(1,4)·eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(6),12)a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝eq\f(πa2,6)，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(3)a2,\f(π,6)a2)＝eq\f(6\r(3),π).答案：eq\f(6\r(3),π)角度二：直三棱柱的外接球2．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O解析：如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝eq\f(13,2).答案：eq\f(13,2)角度三：正方體(長(zhǎng)方體)的外接球3．(2016·揚(yáng)州調(diào)研一模)已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為2的球O的球面上，且AB＝3，BC＝eq\r(3)，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，則棱錐E-ABCD的體積為________．解析：如圖所示，BE過(guò)球心O，∴DE＝eq\r(42－32－\r(3)2)＝2，∴VE-ABCD＝eq\f(1,3)×3×eq\r(3)×2＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)角度四：四棱錐(三棱錐)的外接球4．(2016·鹽城模擬)體積為eq\f(16,3)的正四棱錐S-ABCD的底面中心為O，SO與側(cè)面成的角的正切值為eq\f(\r(2),2)，那么過(guò)S-ABCD的各頂點(diǎn)的球的表面積為________．解析：如圖，取AB的中點(diǎn)為F，連結(jié)SF，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥SF，則∠OSG為SO與側(cè)面所成的角，且tan∠OSG＝eq\f(OF,SO)＝eq\f(\r(2),2).設(shè)AB＝2a，則SO＝eq\r(2)a，所以eq\f(1,3)×4a2×eq\r(2)a＝eq\f(16,3)，得a＝eq\r(2).延長(zhǎng)SO交外接球于E，則EB⊥SB，由OB2＝SO·OE得4＝2·(2R－2)，所以R＝2，S＝4π×22＝16π.答案：16π5．(2016·南京四校聯(lián)考)在正三棱錐S-ABC中，M是SC的中點(diǎn)，且AM⊥SB，底面邊長(zhǎng)AB＝2eq\r(2)，則正三棱錐S-ABC的外接球的表面積為________．解析：如圖，由正三棱錐的性質(zhì)易知SB⊥AC，結(jié)合AM⊥SB知SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC.又正三棱錐的三個(gè)側(cè)面是全等的三角形，所以SA⊥SC，所以正三棱錐S-ABC為正方體的一個(gè)角，所以正三棱錐S-ABC的外接球即為正方體的外接球．由AB＝2eq\r(2)，得SA＝SB＝SC＝2，所以正方體的體對(duì)角線為2eq\r(3)，所以所求外接球的半徑R＝eq\r(3)，所求表面積為4πR2＝12π.答案：12π[方法歸納]“切”“接”問(wèn)題處理的注意事項(xiàng)(1)“切”的處理解決與球的內(nèi)切問(wèn)題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決．如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作．(2)“接”的處理把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問(wèn)題．解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑．一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．一個(gè)球的表面積是16π，那么這個(gè)球的體積為________．解析：設(shè)球的半徑為R，則表面積是16π，即4πR2＝16π，解得R＝2.所以體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3).答案：eq\f(32π,3)2．若一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)l，上、下底面半徑r1，r2滿足2l＝r1＋r2，且側(cè)面積為8π，則母線長(zhǎng)l解析：S圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l＝2πl(wèi)2＝8π，所以l＝2.答案：23．在三角形ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的側(cè)面積為________．解析：依題意知幾何體為底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5的圓錐，所得幾何體的側(cè)面積等于π×3×5＝15π.答案：15π4．棱長(zhǎng)為a的正方體有一內(nèi)切球，該球的表面積為________．解析：由題意知球的直徑2R＝a，∴R＝eq\f(a,2).∴S＝4πR2＝4π×eq\f(a2,4)＝πa2.答案：πa25．如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為3，D為CC1上一點(diǎn)，且CD＝2DC1，則三棱錐A1-BCD解析：過(guò)A1作A1H⊥B1C1，垂足為H.因?yàn)槠矫鍭1B1C1⊥平面BB1C1C，所以A1H⊥平面BB1C1C，所以VA1-BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×3×eq\f(1,2)×2×3＝eq\f(3\r(3),2).答案：eq\f(3\r(3),2)二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84π，則圓臺(tái)較小底面的半徑為________．解析：設(shè)圓臺(tái)較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.答案：72．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的體積為________．解析：因?yàn)榘雸A面的面積為eq\f(1,2)πl(wèi)2＝2π，所以l2＝4，解得l＝2，即圓錐的母線為l＝2，底面圓的周長(zhǎng)2πr＝πl(wèi)＝2π，所以圓錐的底面半徑r＝1，所以圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(3)，所以圓錐的體積為eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)×π×eq\r(3)＝eq\f(\r(3)π,3).答案：eq\f(\r(3)π,3)3．已知正六棱柱的12個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，當(dāng)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為eq\r(6)時(shí)，其高的值為________．解析：設(shè)正六棱柱的高為h，則可得(eq\r(6))2＋eq\f(h2,4)＝32，解得h＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)4．已知正六棱柱的側(cè)面積為72cm2，高為6cm，那么它的體積為________cm3.解析：設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為xcm，由題意得6x·6＝72，所以x＝2cm，于是其體積V＝eq\f(\r(3),4)×22×6×6＝36eq\r(3)cm3.答案：36eq\r(3)5．(2016·南通調(diào)研)一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上，如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1cm，那么該棱柱的表面積為________cm2.解析：作出軸截面圖，其中圓的內(nèi)接矩形為正四棱柱的對(duì)角面，易求棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(2)，所以S表＝4×1×eq\r(2)＋2×12＝2＋4eq\r(2)(cm2)．答案：2＋4eq\r(2)6．已知正三棱錐S-ABC，D，E分別是底面邊AB，AC的中點(diǎn)，則四棱錐S-BCED與三棱錐S-ABC的體積之比為________．解析：設(shè)正三棱錐S-ABC底面△ABC面積為4S.由eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2，所以，S△ADE＝S，S四邊形BCDE＝3S，因兩個(gè)棱錐的高相同，所以VS-BCED∶VS-ABC＝3∶4.答案：3∶47．已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2eq\r(3)，則棱錐O-ABCD的體積為________．解析：如圖，連結(jié)AC，BD交于H，連結(jié)OH.在矩形ABCD中，由AB＝6，BC＝2eq\r(3)可得BD＝4eq\r(3)，所以BH＝2eq\r(3)，在Rt△OBH中，由OB＝4，所以O(shè)H＝2，所以四棱錐O-ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×6×2eq\r(3)×2＝8eq\r(3).答案：8eq\r(3)8．(2016·鹽城調(diào)研)在半徑為2的球面上有不同的四點(diǎn)A，B，C，D，若AB＝AC＝AD＝2，則平面BCD被球所截得圖形的面積為________．解析：過(guò)點(diǎn)A向平面BCD作垂線，垂足為M，則M是△BCD的外心，而外接球球心O位于直線AM上，連結(jié)BM，設(shè)△BCD所在截面圓半徑為r，∵OA＝OB＝2＝AB，∴∠BAO＝60°，在Rt△ABM中，r＝2sin60°＝eq\r(3)，∴所求面積S＝πr2＝3π.答案：3π9．一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并向容器內(nèi)注水，使水面恰好與鐵球面相切．將球取出后，容器內(nèi)的水深是多少？解：如圖，作軸截面，設(shè)球未取出時(shí)，水面高PC＝h，球取出后，水面高PH＝x.根據(jù)題設(shè)條件可得AC＝eq\r(3)r，PC＝3r，則以AB為底面直徑的圓錐容積為V圓錐＝eq\f(1,3)π×AC2×PC＝eq\f(1,3)π(eq\r(3)r)2×3r＝3πr3.V球＝eq\f(4,3)πr3.球取出后，水面下降到EF，水的體積為V水＝eq\f(1,3)π×EH2×PH＝eq\f(1,3)π(PHtan30°)2PH＝eq\f(1,9)πx3.又V水＝V圓錐－V球，則eq\f(1,9)πx3＝3πr3－eq\f(4,3)πr3，解得x＝eq\r(3,15)r.故球取出后，容器內(nèi)水深為eq\r(3,15)r.10.(2016·安徽六校聯(lián)考)如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，求該多面體的體積．解：法一：如圖所示，分別過(guò)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連結(jié)DG，CH，則原幾何體分割為兩個(gè)三棱錐和一個(gè)直三棱柱，∵三棱錐高為eq\f(1,2)，直三棱柱柱高為1，AG＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)，取AD中點(diǎn)M，則MG＝eq\f(\r(2),2)，∴S△AGD＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)，∴V＝eq\f(\r(2),4)×1＋2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),3).法二：如圖所示，取EF的中點(diǎn)P，則原幾何體分割為兩個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐，易知三棱錐P-AED和三棱錐P-BCF都是棱長(zhǎng)為1的正四面體，四棱錐P-ABCD為棱長(zhǎng)為1的正四棱錐．∴V＝eq\f(1,3)×12×eq\f(\r(2),2)＋2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),3).三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．如圖，平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD，將其沿對(duì)角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′-BCD的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為________．解析：由圖示可得BD＝A′C＝eq\r(2)，BC＝eq\r(3)，△DBC與△A′BC都是以BC為斜邊的直角三角形，由此可得BC中點(diǎn)到四個(gè)點(diǎn)A′，B，C，D的距離相等，即該三棱錐的外接球的直徑為eq\r(3)，所以該外接球的表面積S＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝3π.答案：3π2．(2015·南京二模)一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點(diǎn)P為頂點(diǎn)，加工成一個(gè)如圖所示的正四棱錐形容器．當(dāng)x＝6cm時(shí)，該容器的容積為________cm3. 解析：如圖所示，由題意可知，這個(gè)正四棱錐形容器的底面是以6cm為邊長(zhǎng)的正方形，側(cè)面的斜高PM＝5cm，高PO＝eq\r(PM2－OM2)＝eq\r(52－32)＝4cm，所以所求容積為V＝eq\f(1,3)×62×4＝48(cm3)．答案：483.如圖，在三棱錐D-ABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，求三棱錐D-ABC的體積的最大值．解：由題意知，線段AB＋BD與線段AC＋CD的長(zhǎng)度是定值，因?yàn)槔釧D與棱BC相互垂直．設(shè)d為AD到BC的距離．則VD-ABC＝AD·BC×d×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝2d，當(dāng)d最大時(shí)，VD-ABC體積最大，∵AB＋BD＝AC＋CD＝10，∴當(dāng)AB＝BD＝AC＝CD＝5時(shí)，d有最大值eq\r(42－1)＝eq\r(15).此時(shí)V＝2eq\r(15).第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1．平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．(2)公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線．(3)公理3：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．2．空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間中兩直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．(4)定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．[小題體驗(yàn)]1．四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有________個(gè)．解析：首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個(gè)平面，所以最多可以確定4個(gè)平面．答案：42．(教材習(xí)題改編)設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a，b表示兩條直線，α，β表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是________．①P∈a，P∈α?a?α；②a∩b＝P，b?β?a?β；③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b.答案：③④3．(教材習(xí)題改編)給出命題①若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線互相平行．②若兩條直線都與第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行．③若兩條直線都與第三條直線平行，則這兩條直線互相平行．其中不正確的命題的個(gè)數(shù)為________．答案：21．異面直線易誤解為“分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個(gè)平面，因此異面直線既不平行，也不相交．2．直線與平面的位置關(guān)系在判斷時(shí)最易忽視“線在面內(nèi)”．3．平面幾何中的一些結(jié)論在空間中有可能不正確．[小題糾偏]1．已知a，b是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若α∥β，a?α，則a∥β；②若a，b與α所成的角相等，則a∥b；③若α⊥β，β⊥γ，則α∥γ；④若a⊥α，a⊥β，則α∥β.其中正確命題的序號(hào)是________．解析：由α∥β，a?α，結(jié)合面面平行的定義可得a∥β，所以①正確；由a，b與α所成角相等，可得a與b平行或相交或異面，所以②不正確；由α⊥β，β⊥γ，得α與γ平行或相交，所以③不正確；由垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，知④正確．答案：①④2．在下列四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為________．①a，b是異面直線，則存在分別過(guò)a，b的平面α，β，使α∥β；②a，b是異面直線，則存在分別過(guò)a，b的平面α，β，使α⊥β；③a，b是異面直線，若直線c，d分別與a，b都相交，則c，d也是異面直線；④a，b是異面直線，則存在平面α過(guò)a且與b垂直．解析：因?yàn)閍，b是異面直線，所以可以作出兩個(gè)平面α，β分別過(guò)a，b，并使α∥β，所以①正確；因?yàn)閍，b是異面直線，所以存在兩個(gè)互相垂直的平面分別過(guò)a，b，所以②正確；因?yàn)閍，b是異面直線，若直線c，d與a，b分別都相交，則c，d相交或異面，所以③不正確；因?yàn)閍，b是異面直線，若a，b垂直，則存在平面α過(guò)a且與b垂直，若a，b不垂直，則不存在平面α過(guò)a且與b垂直．④不正確．答案：2eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一共線、共面的判定)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．(2016·天一中學(xué)檢測(cè))如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)A1C∩平面ABC1D1＝E，則B，E，D解析：連結(jié)AC，A1C1，AC1，則E為A1C與AC1的交點(diǎn)，四邊形ACC1A1為平行四邊形，故E為AC1的中點(diǎn)．又四邊形ABC1D1為平行四邊形，所以B，E，D答案：共線2．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，EF分別是AB，AA1的中點(diǎn)．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA證明：(1)如圖，連結(jié)EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，∴EF∥A1B.又A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA∴P∈直線DA.∴CE，D1F，DA[謹(jǐn)記通法]1．點(diǎn)線共面問(wèn)題證明的2種方法(1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；(2)輔助平面法：先證有關(guān)點(diǎn)、線確定平面α，再證其余點(diǎn)、線確定平面β，最后證明平面α，β重合．2．證明多線共點(diǎn)問(wèn)題的2個(gè)步驟(1)先證其中兩條直線交于一點(diǎn)；(2)再證交點(diǎn)在第三條直線上．證交點(diǎn)在第三條直線上時(shí)，第三條直線應(yīng)為前兩條直線所在平面的交線，可以利用公理2證明．如“題組練透”第2題中第(2)問(wèn)．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二空間兩直線的位置關(guān)系)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)]1．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是________________．解析：依據(jù)題意，b，c分別為a在α，β內(nèi)的射影，可判斷b，c相交、平行或異面均可．答案：相交、平行或異面2．(2016·蘇州中學(xué)月考)如圖所示，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)是棱AD上互異的兩點(diǎn)，G，H是棱BC上互異的兩點(diǎn)，給出下列說(shuō)法：①AB與CD互為異面直線；②FH分別與DC，DB互為異面直線；③EG與FH互為異面直線；④EG與AB互為異面直線．其中說(shuō)法正確的有________(填序號(hào))．解析：因?yàn)橹本€DC?平面BCD，直線AB?平面BCD，點(diǎn)B?直線DC，所以由異面直線的判定定理，可知①正確；同理，②③④正確．答案：①②③④[由題悟法][即時(shí)應(yīng)用]1．已知a，b，c為三條不重合的直線，已知下列結(jié)論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c.其中正確的個(gè)數(shù)為________．解析：法一：在空間中，若a⊥b，a⊥c，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以①②錯(cuò)，③顯然成立．法二：構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體模型可快速判斷，①②錯(cuò)，③正確．答案：12．在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號(hào))解析：圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連結(jié)MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中，GH與MN異面．答案：②④一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．(2016·揚(yáng)州中學(xué)檢測(cè))下列命題中正確的是________(填序號(hào))．①空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)必共面；②三個(gè)平面兩兩相交的三條交線必共點(diǎn)；③空間兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；④平面α和平面β可能只有一個(gè)交點(diǎn)．解析：由公理及推論，可得①正確，②③④錯(cuò)誤．答案：①2．(2016·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校)已知α，β為兩個(gè)不重合的平面，A，B，M，N為相異四點(diǎn)，a為直線，則下列推理錯(cuò)誤的是________(填序號(hào))．①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN；③A∈α，A∈β?α∩β＝A.解析：由公理及推論，可得①②推理正確．因?yàn)锳∈α，A∈β，所以A∈α∩β，由公理知α∩β為經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的一條直線而不是一個(gè)點(diǎn)A，所以③推理錯(cuò)誤．答案：③3.(2016·海門中學(xué)月考)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別是棱A1A，C1C的中點(diǎn)．若∠BFC＝60°，則∠ED1解析：取BB1的中點(diǎn)G，連結(jié)C1G，EG，因?yàn)镋是棱A1A的中點(diǎn)，G是棱B1B的中點(diǎn)，所以A1B1綊EG.又A1B1綊C1DEG綊C1D1，所以四邊形EGC1D1是平行四邊形，所以D1E綊C1G.又BG綊C1F，所以四邊形BGC1F是平行四邊形，所以C1G∥FB，所以D1E∥FB.又D1D∥FC，∠ED1D與可得∠ED1D＝∠BFC＝60°.答案：60°4.如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中既與AB共面又與CC1共面的棱有________條．解析：依題意，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行有棱AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合條件的有5條．答案：55．(2016·江蘇四星級(jí)高中聯(lián)考)在正四棱錐V-ABCD中，底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則異面直線VA與BD所成角的大小為________．解析：如圖，設(shè)AC∩BD＝O，連結(jié)VO，因?yàn)樗睦忮FV-ABCD是正四棱錐，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四邊形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，又VO∩AC＝O，所以BD⊥平面VAC，所以BD⊥VA，即異面直線VA與BD所成角的大小為eq\f(π,2).答案：eq\f(π,2)二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．空間四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，順次連結(jié)四邊中點(diǎn)的四邊形一定是________(填序號(hào))．①矩形；②菱形；③正方形；④直角梯形．解析：順次連結(jié)空間四邊形四邊中點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，又因?yàn)榭臻g四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，所以平行四邊形的兩鄰邊互相垂直，故順次連結(jié)四邊中點(diǎn)的四邊形一定是矩形．答案：①2．(2016·金陵中學(xué)檢測(cè))若a，b是空間的兩條直線且a?α，b?β，α∩β＝l，則a與b的位置關(guān)系為________．解析：如圖，b1，b2?β，a1，a2?α，且a2與b2相交，b1∥a1，a2與b1異面，結(jié)合圖形(如圖所示)，可知a與b的位置關(guān)系是平行或相交或異面．答案：平行或相交或異面3．(2016·金陵中學(xué)檢測(cè))已知命題p：a，b為異面直線，命題q：直線a，b不相交，則p是q的____________條件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)解析：若直線a，b不相交，則a，b平行或異面，所以p是q的充分不必要條件．答案：充分不必要4．給出下列四個(gè)說(shuō)法，其中正確的是________(填序號(hào))．①空間中兩條不相交的直線一定平行；②梯形可以確定一個(gè)平面；③若一條直線和兩條平行直線中的一條相交，則它和另一條也相交；④空間四條直線a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.解析：在空間中不相交的兩條直線可能平行，也可能異面，①錯(cuò)誤；②正確；③錯(cuò)誤，因?yàn)樗部赡芘c另一條直線異面；由公理4，知④正確．答案：②④5．已知a，b，c為三條不同的直線，且a?平面α，b?平面β，α∩β＝c.①若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交；②若a不垂直于c，則a與b一定不垂直；③若a∥b，則必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，則必有α⊥β.其中正確的命題的個(gè)數(shù)是________．解析：①中若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交．若c與a，b都不相交，則c∥a，c∥b，則a∥b，與a，b異面矛盾，故①正確；②中平面α⊥平面β時(shí)，若b⊥c，則b⊥平面α，此時(shí)不論a，c是否垂直，均有a⊥b，故②錯(cuò)誤；③中當(dāng)a∥b時(shí)，則a∥平面β，由線面平行的性質(zhì)定理可得a∥c，故③正確；④中若b∥c，則a⊥b，a⊥c時(shí)，a與平面β不一定垂直，此時(shí)平面α與平面β也不一定垂直，故④錯(cuò)誤，所以正確命題的個(gè)數(shù)是2.答案：26．如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的對(duì)數(shù)為________對(duì)．解析：平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對(duì)位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面的直線有且只有3對(duì)．答案：37．設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個(gè)命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線．上述命題中正確的命題是________(寫出所有正確命題的序號(hào))．解析：由公理4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時(shí)，a與c可以相交、平行或異面，故②錯(cuò)；當(dāng)a與b相交，b與c相交時(shí)，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯(cuò)；a?α，b?β，并不能說(shuō)明a與b“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，故④錯(cuò)．答案：①8.(2014·淮安模擬)如圖是某個(gè)正方體的側(cè)面展開圖，l1，l2是兩條側(cè)面對(duì)角線，則在正方體中，l1與l2的夾角為________．解析：將側(cè)面展開圖還原成正方體如圖所示，則B，C兩點(diǎn)重合．故l1與l2相交，連結(jié)AD，則△ABD為正三角形，所以l1與l2的夾角為eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)9.(2016·啟東中學(xué)檢測(cè))如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，B1C1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩(1)求證：D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)作出直線A1C與平面BDEF的交點(diǎn)R解：(1)證明：法一：如圖，連結(jié)DE，BF.由于CC1和BF在同一個(gè)平面內(nèi)且不平行，故直線CC1與BF必相交，設(shè)交點(diǎn)為O，則OC1＝C1C同理，直線DE與CC1也相交，設(shè)交點(diǎn)為O′，則O′C1＝C1C故O′與O重合．由此得DE∩BF＝O，故D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面(設(shè)為α)．法二：連結(jié)B1D1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD又∵E，F(xiàn)分別為C1D1，C1B1的中點(diǎn)，∴EF∥B1D1，∴EF∥BD，即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面(設(shè)為α)．(2)連結(jié)PQ，A1C由于AA1∥CC1，所以A1，A，C，C1四點(diǎn)共面(設(shè)為β)．又P∈BD，BD?α，故P∈α.又P∈AC，AC?β，所以P∈β，所以P∈α∩β，同理可證得Q∈α∩β，所以α∩β＝PQ.又A1C?β，所以A1C與平面α的交點(diǎn)就是A1C與PQ的交點(diǎn)，則A1C與10.(2016·南京一中檢測(cè))如圖，E，F(xiàn)分別是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點(diǎn)．求證：四邊形B1證明：設(shè)Q是DD1的中點(diǎn)，連結(jié)EQ，QC1，如圖．因?yàn)镋是AA1的中點(diǎn)，Q是DD1的中點(diǎn)，所以EQ綊A1D1.又A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C所以四邊形EQC1B1為平行四邊形，所以B1E綊C1Q.又Q，F(xiàn)分別是D1D，C1C所以QD綊C1F所以四邊形DQC1F為平行四邊形，所以C1Q綊DF故B1E綊DF，所以四邊形B1EDF是平行四邊形．三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1.如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．解析：還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.答案：②③④2．設(shè)A，B，C，D是空間四個(gè)不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正確的是________．①若AC與BD共面，則AD與BC共面；②若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線；③若AB＝AC，DB＝DC，則AD＝BC；④若AB＝AC，DB＝DC，則AD⊥BC.解析：①中，若AC與BD共面，則A，B，C，D四點(diǎn)共面，則AD與BC共面；②中，若AC與BD是異面直線，則A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則AD與BC是異面直線；③中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；④中，若AB＝AC，DB＝DC，可以證明AD⊥BC.答案：③3．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C(1)AM和CN是否是異面直線？說(shuō)明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說(shuō)明理由．解：(1)不是異面直線．理由如下：連結(jié)MN，A1C1，AC因?yàn)镸，N分別是A1B1，B1C1所以MN∥A1C1又因?yàn)锳1A∥C1C，A1A＝所以A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1∥AC所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線．(2)是異面直線．證明如下：因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1所以B，C，C1，D1不共面．假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，所以D1，B，C，C1∈α，與B，C，C1，D1不共面矛盾．所以假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線．第四節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果平面外一條直線與這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與這個(gè)平面平行(線線平行?線面平行)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理如果一條直線與一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b2．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么所得的兩條交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b[小題體驗(yàn)]1．下列說(shuō)法中正確的是________(填序號(hào))．①一條直線如果和一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行；②一條直線和一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的任何直線無(wú)公共點(diǎn)；③過(guò)直線外一點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面和已知直線平行；④如果直線l和平面α平行，那么過(guò)平面α內(nèi)一點(diǎn)和直線l平行的直線在α內(nèi)．解析：由線面平行的性質(zhì)定理知①④正確；由直線與平面平行的定義知②正確；③錯(cuò)誤，因?yàn)榻?jīng)過(guò)一點(diǎn)可作一直線與已知直線平行，而經(jīng)過(guò)這條直線可作無(wú)數(shù)個(gè)平面．答案：①②④2．(教材習(xí)題改編)已知平面α∥平面β，直線a?α，有下列命題：①a與β內(nèi)的所有直線平行；②a與β內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行；③a與β內(nèi)的任意一條直線都不垂直．其中真命題的序號(hào)是________．答案：②3.(教材習(xí)題改編)如圖所示，在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．解析：連結(jié)AM并延長(zhǎng)，交CD于E，連結(jié)BN，并延長(zhǎng)交CD于F，由重心性質(zhì)可知，E，F(xiàn)重合為一點(diǎn)，且該點(diǎn)為CD的中點(diǎn)E，連結(jié)MN，由eq\f(EM,MA)＝eq\f(EN,NB)＝eq\f(1,2)，得MN∥AB.因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案：平面ABC、平面ABD1．直線與平面平行的判定中易忽視“線在面內(nèi)”這一關(guān)鍵條件．2．面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條相交線”這一條件．3．如果一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，易誤認(rèn)為這兩個(gè)平面平行，實(shí)質(zhì)上也可以相交．[小題糾偏]1．直線m，n均不在平面α，β內(nèi)，給出下列命題：①若m∥n，n∥α，則m∥α；②若m∥β，α∥β，則m∥α；③若m⊥n，n⊥α，則m∥α；④若m⊥β，α⊥β，則m∥α.其中正確命題的個(gè)數(shù)是________．解析：因?yàn)橹本€m，n均不在平面α，β內(nèi)，所以若m∥n，n∥α，則m∥α，①正確；若m∥β，α∥β，則m∥α，②正確；若m⊥n，n⊥α，則m∥α，③正確；若m⊥β，α⊥β，則m∥α，④正確．所以其中正確命題的個(gè)數(shù)是4.答案：42．已知a，b表示直線，α表示平面．下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是________．①若a∥α，b∥α，則a∥b；②若a?α，則a∥α；③若a∥α，b?α，則a∥b；④若a⊥α，b⊥α，則a∥b.解析：由a∥α，b∥α，得a與b平行、相交或異面，所以①錯(cuò)誤；由a?α，可得a與α相交或平行，所以②錯(cuò)誤；由a∥α，b?α，得a與b異面或平行，所以③錯(cuò)誤；易知④正確．答案：1eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一平行關(guān)系的基本問(wèn)題)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[題組練透]1．(易錯(cuò)題)已知直線a與直線b平行，直線a與平面α平行，則直線b與α的位置關(guān)系是________．解析：依題意，直線a必與平面α內(nèi)的某直線平行，又a∥b，因此直線b與平面α的位置關(guān)系是平行或直線b在平面α內(nèi)．答案：平行或直線b在平面α內(nèi)2．若平面外一條直線上有兩點(diǎn)到該平面的距離相等，則這條直線與平面的位置關(guān)系是________．解析：當(dāng)兩點(diǎn)在平面的同側(cè)時(shí)，這條直線與平面平行；當(dāng)兩點(diǎn)在平面的異側(cè)時(shí)，這條直線與平面相交．所以這條直線與平面的位置關(guān)系是平行或相交．答案：平行或相交3．若直線a?平面α，直線b?平面β，a，b是異面直線，則α，β的位置關(guān)系是________．解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB?平面ABCD，B1C1?平面A1B1C1D1，B1C1?平面BCC1B1，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD與平面答案：平行或相交[謹(jǐn)記通法]解決平行關(guān)系基本問(wèn)題的3個(gè)注意點(diǎn)(1)注意判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行的條件中線在面外易忽視，如“題組練透”第1題．(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷．(3)會(huì)舉反例或用反證法推斷命題是否正確．考點(diǎn)二直線與平面平行的判定與性質(zhì)eq\a\vs4\al(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——縱引橫聯(lián))[典型母題](2016·南通模擬)如圖所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C(1)證明：AD1∥平面BDC1.(2)證明：BD∥平面AB1D1.[證明](1)∵D1，D分別為A1C1與AC的中點(diǎn)，四邊形ACC1A∴C1D1綊DA，∴四邊形ADC1D1為平行四邊形，∴AD1∥C1D，又AD1?平面BDC1，C1D?平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1.(2)連結(jié)D1D，∵BB1∥平面ACC1A1，BB1?平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1∴BB1∥D1D，又D1，D分別為A1C1與AC∴BB1＝DD1，故四邊形BDD1B1為平行四邊形，∴BD∥B1D1，又BD?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1.[類題通法]證明直線與平面平行的3種方法(1)定義法：一般用反證法；(2)判定定理法：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語(yǔ)言敘述證明過(guò)程；(3)性質(zhì)判定法：即兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面．[越變?cè)矫鱙[變式1]將母題條件“D1，D分別為A1C1，AC上的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉1，D分別為A1C1，AC上的點(diǎn)”．在線段A1C1上確定點(diǎn)D1使得BC1∥平面AB解：如圖，取D1為線段A1C1的中點(diǎn)，此時(shí)eq\f(A1D1,D1C1)＝1，連結(jié)A1B交AB1于點(diǎn)O，連結(jié)OD1，由棱柱的性質(zhì)知四邊形A1ABB1為平行四邊形，∴O為A1B的中點(diǎn)．在△A1BC1中，點(diǎn)O，D1分別為A1B，A1C1∴OD1∥BC1，又OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1∴當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.[破譯玄機(jī)]在線段上探索點(diǎn)的位置確定位置關(guān)系時(shí)，一般是先猜線段的中點(diǎn)或某一個(gè)三等分點(diǎn)，然后給出證明．但要注意條件中給出的已知點(diǎn)的位置或線段的比例值的應(yīng)用．[變式2]將母題條件“D，D1分別為AC，A1C1上的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉，D1分別為AC，A1C1上的點(diǎn)且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求eq\f(AD,DC)的值．解：連結(jié)A1B交AB1于點(diǎn)O，由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得BC1∥D1O，∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB).同理得DC1∥AD1，又∵D1C1∥AD∴四邊形ADC1D1為平行四邊形，∴D1C1＝AD∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.考點(diǎn)三平面與平面平行的判定與性質(zhì)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)[典例引領(lǐng)](2016·衡水模擬)如圖所示的幾何體ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等邊三角形，且所在平面平行，四邊形BCED是邊長(zhǎng)為2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.(1)求幾何體ABCDFE的體積；(2)