2023年高考數(shù)學試卷附詳細解析（全國乙卷理科）

第第頁2023年高考數(shù)學試卷(全國乙卷理科）一、選擇題.設,則（）A. B. C. D.設集合,集合,,則（）A. B.C. D.如圖,網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖,網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表面積為（）A.24 B.26 C.28 D.30已知是偶函數(shù),則（）A. B. C.1D.2設O為平面坐標系的坐標原點,在區(qū)域內(nèi)隨機取一點,記該點為A.則直線OA的傾斜角不大于的概率為（）A. B. C. D.已知函數(shù)在區(qū)間單調遞增,直線和為函數(shù)的圖像的兩條對稱軸,則（）A. B. C. D.甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種,則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.30種 B.60種 C.120種 D.240種已知圓錐PO的底面半徑為,O為底面圓心,PA,PB為圓錐的母線,,若的面積等于,則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.已知為等腰直角三角形,AB為斜邊,為等邊三角形,若二面角為,則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（）A. B. C. D.已知等差數(shù)列的公差為,集合,若,則（）A.－1 B. C.0 D.設A,B為雙曲線上兩點,下列四個點中,可為線段AB中點的是（）A.B.C.D.已知的半徑為1,直線PA與相切于點A,直線PB與交于B,C兩點,D為BC的中點,若,則的最大值為（）A. B.C. D.二、填空題已知點在拋物線C：上,則A到C的準線的距離為______.若x,y滿足約束條件,則的最大值為______.已知為等比數(shù)列,,,則______.設,若函數(shù)在上單調遞增,則a的取值范圍是______.三、解答題.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應,進行10次配對試驗,每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產(chǎn)品,隨機地選其中一個用甲工藝處理,另一個用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率,甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為,（）,試驗結果如下試驗序號i12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記,記,,…,的樣本平均數(shù)為,樣本方差為,（1）求,；（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果,則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高,否則不認為有顯著提高）.在中,已知,,.（1）求；（2）若D為BC上一點,且,求的面積.如圖,在三棱錐中,,,,.BP,AP,BC的中點分別為D,E,O,,點F在AC上,.（1）證明：平面；（2）證明：平面平面BEF；（3）求二面角的正弦值.已知橢圓C：的離心率為,點在C上.（1）求C的方程；（2）過點的直線交C于點P,Q兩點,直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明：線段MN的中點為定點.已知函數(shù).（1）當時,求曲線在點處的切線方程；（2）是否存在a,b,使得曲線關于直線對稱,若存在,求a,b的值,若不存在,說明理由.（3）若在存在極值,求a的取值范圍.四、選做題.【選修4-4】（10分）在直角坐標系中,以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,曲線：（為參數(shù),）.（1）寫出的直角坐標方程；（2）若直線既與沒有公共點,也與沒有公共點,求m的取值范圍.【選修4-5】（10分）已知.（1）求不等式的解集；（2）在直角坐標系中,求不等式組所確定的平面區(qū)域的面積.

2023年高考數(shù)學試卷（全國乙卷理科）解析一、選擇題.BADD解：因為為偶函數(shù),則又因為不恒為0,可得,即則,即,解得.故選：D.C解：因為區(qū)域表示以圓心,外圓半徑,內(nèi)圓半徑的圓環(huán)則直線的傾斜角不大于的部分如陰影所示,在第一象限部分對應的圓心角結合對稱性可得所求概率.故選：C.D解：因為在區(qū)間單調遞增所以,且,則,當時,取得最小值,則,則,,不妨取,則則故選：D.C解：首先確定相同得讀物,共有種情況然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里,選出兩種進行排列,共有種根據(jù)分步乘法公式則共有種故選：C.B解：在中,,而,取中點,連接,有,如圖,,由的面積為,得解得,于是所以圓錐的體積.故選：BC解：取的中點,連接,因為是等腰直角三角形,且為斜邊,則有又是等邊三角形,則,從而為二面角的平面角,即顯然平面,于是平面,又平面因此平面平面,顯然平面平面直線平面,則直線在平面內(nèi)的射影為直線從而為直線與平面所成的角,令,則,在中,由余弦定理得：由正弦定理得,即顯然是銳角,所以直線與平面所成的角的正切為.故選：CB解：依題意,等差數(shù)列中,顯然函數(shù)的周期為3,而,即最多3個不同取值又則在中,或于是有,即有,解得所以.故選：B.D解：設,則的中點可得因為在雙曲線上,則,兩式相減得所以.對于選項A：可得,則聯(lián)立方程,消去y得此時所以直線AB與雙曲線沒有交點,故A錯誤；對于選項B：可得,則聯(lián)立方程,消去y得此時,所以直線AB與雙曲線沒有交點,故B錯誤；對于選項C：可得,則由雙曲線方程可得,則為雙曲線的漸近線所以直線AB與雙曲線沒有交點,故C錯誤；對于選項D：,則聯(lián)立方程,消去y得此時,故直線AB與雙曲線有交兩個交點,故D正確；故選：D.A解：如圖所示,,則由題意可知：由勾股定理可得當點位于直線異側時,設則：,則當時,有最大值1.當點位于直線同側時,設則：,則當時,有最大值.綜上可得,的最大值為.故選：A.二、填空題.解：由題意可得：,則,拋物線的方程為準線方程為,點到的準線的距離為.故答案為：.8解：作出可行域如下圖所示：,移項得聯(lián)立有,解得設,顯然平移直線使其經(jīng)過點,此時截距最小,則最大代入得故答案為：8.解：設的公比為,則,顯然則,即,則,因為,則則,則,則故答案為：.解：由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立則,即在區(qū)間上恒成立故,而,故故即,故結合題意可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、解答題.（1）,；（2）認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.【小問1詳解】的值分別為：故【小問2詳解】由（1）知：,,故有所以認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.（1）；（2）.【小問1詳解】由余弦定理可得：則,.【小問2詳解】由三角形面積公式可得則.（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【小問1詳解】連接,設,則則解得,則為的中點,由分別為的中點于是,即,則四邊形為平行四邊形,又平面平面所以平面.【小問2詳解】由（1）可知,則,得因此,則,有又,平面則有平面,又平面,所以平面平面.【小問3詳解】過點作交于點,設由,得,且又由（2）知,,則為二面角的平面角因為分別為的中點,因此為的重心即有,又,即有,解得,同理得于是,即有,則從而,在中,于是,所以二面角的正弦值為.（1）（2）證明見詳解【小問1詳解】由題意可得,解得所以橢圓方程為.【小問2詳解】由題意可知：直線的斜率存在,設聯(lián)立方程,消去y得：則,解得可得因為,則直線令,解得,即同理可得則所以線段的中點是定點.（1）；（2）存在滿足題意,理由見解析.（3）.【小問1詳解】當時,則據(jù)此可得函數(shù)在處的切線方程為即.【小問2詳解】由函數(shù)的解析式可得函數(shù)的定義域滿足,即函數(shù)的定義域為定義域關于直線對稱,由題意可得由對稱性可知取可得即,則,解得經(jīng)檢驗滿足題意,故.即存在滿足題意.【小問3詳解】由函數(shù)的解析式可得由在區(qū)間存在極值點,則在區(qū)間上存在變號零點;令則令在區(qū)間存在極值點,等價于在區(qū)間上存在變號零點當時,,在區(qū)間上單調遞減此時,在區(qū)間上無零點,不合題意;當,時,由于,所以在區(qū)間上單調遞增所以,在區(qū)間上單調遞增,所以在區(qū)間上無零點,不符合題意；當時,由可得當時,,單調遞減當時,,單調遞增故的最小值為令,則函數(shù)在定義域內(nèi)單調遞增,據(jù)此可得恒成立則令,則當時,單調遞增當時,單調遞減故,即(取等條件為)所以,且注意到根據(jù)零點存在性定理可知：在區(qū)間上存在唯一零點.當時,,單調減當時,,單調遞增所以.令,則則單調遞減,注意到故當時,,從而有所以令得,所以所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點,符合題意.綜合上面可知：實數(shù)得取值范圍是.四、選做題.【選修4-4】（10分）（1）（2）【小問1詳解】因為,即,可得整理得,表示以為圓心,半徑為1的圓又因為且