2022-2023學年湖北省荊州市高二下學期期中數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年湖北省荊州市高二下學期期中數(shù)學試題

一、單選題

1.直線χ-6y+l=0的傾斜角為（）

A.30oB.45oC.120oD.150°

【答案】A

【分析】將直線的一般式改寫成斜截式，再由斜率公式A:=tanO可求得結(jié)果.

【詳解】?.?χ-Gy+l=O

3

又?.M[0,萬）

???8=30

故選：A.

2.在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度/?（單位：m）與起跳

后的時間f（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系/z（f）=-4?9∕+4.8f+ll.該運動員在US時的瞬時速度（單位：

m∕s）為（）

A.10.9B.-10.9C.5D.-5

【答案】D

【分析】先對函數(shù)求導，然后把f=l代入即可求解.

【詳解】解：因為〃⑺=-4.9產(chǎn)+4&+11,

所以“Q）=-9.8f+4.8,

令f=I,得瞬時速度為-5.

故選：D.

3.圓f+V-4x=0與圓（X-4+（y+3）2=9恰有兩條公切線.則a的取值范圍是（）

A.（-2,6）B.（—4,4）C.（-5,5）D.（—6,6）

【答案】A

【分析】首先求出兩圓的圓心坐標與半徑，依題意兩圓相交，則4-q<∣GGk^+4,即可得到不

等式組，解得即可.

【詳解】解：0√+r-4x=O,即(x—2p+y2=4,圓心C∣(2,0),半徑『2,

圓(x—4)-+(y+3廠=9的圓心C?3)，半徑4=3,

因為兩圓恰有兩條公切線，則兩圓相交，所以4r<∣CQ<4+?

即1<J(α-2y+32<5,解得一2<a<6,BRae(-2,6)；

故選：A

4.在正項等比數(shù)列｛4｝中，4=2,%+4是知生的等差中項，則由=()

A.16B.27C.32D.54

【答案】D

【分析】由題可得4+q=2(o2+4),進而可得<7=3,即得.

【詳解】設數(shù)列口｝的公比為4,4>0,則4+4=2(%+4),

.?.2+2√=2(2q+4),解得q=3,cl=-?(舍去)，

3

Λα4=2X3=54.

故選：D.

5.設函數(shù)/(X)在R上可導，其導函數(shù)為F(X),且函數(shù)y=(l-χ)∕'(χ)的圖像如題(8)圖所示，則

下列結(jié)論中一定成立的是

A.函數(shù)/(X)有極大值/(2)和極小值/⑴

B.函數(shù)/(x)有極大值八-2)和極小值f(l)

C.函數(shù)f(χ)有極大值/⑵和極小值/(-2)

D.函數(shù)/O)有極大值/(-2)和極小值/(2)

【答案】D

【詳解】M-2,1-力O,(lτ)r(x)>。則/(x)>0函數(shù)〃x)增;

-2<x。,l一x〉0,(l-x)r(x)<0貝∣Jr(x)<0函數(shù)/(x)減；

1<x<2,l—x(0,(1—X)/'(X))O貝IJr(X)<0函數(shù)/(x)減；

x>2,lr<0,(lr)r(x)<0則_f(x)>0函數(shù)/(x)增；選D.

【考點定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導函數(shù)的符號，當導函數(shù)大于0則函數(shù)遞增，當導函數(shù)小

于O則函數(shù)遞減

l

6.等差數(shù)列｛%｝、｛〃｝中的前〃項和分別為九Tn,?=?,則詈=()

1nJ〃十1%)

?2019C17

A.—Bd.—C.—

312928

【答案】B

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及其前〃項和公式可得答5,S2〃

=小()將〃=19代入廣三TT即可求解?

4O

SK=2〃

【詳解】?.?等差數(shù)列｛%｝、｛〃｝中的前"項和分別為S,.、

Tn3〃+1'

?al0^2al0Sl9z2×1919

**2bw~+九)一友-3x19+1-29.

故選：B.

【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及其前”項和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

vX<0

7.已知函數(shù)f(x)=<,e'-?g(x)=∕(x)+x+4?若g(X)存在2個零點，則4的取值范圍是

lnx,x>0,

A.[-1,O)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+8)

【答案】C

【詳解】分析：首先根據(jù)g(X)存在2個零點，得到方程/(x)+x+4=O有兩個解，將其轉(zhuǎn)化為

/(x)=T-α有兩個解，即直線y=-x-"與曲線y=f(x)有兩個交點，根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，

畫出函數(shù)/a)的圖像(將e%x>0)去掉)，再畫出直線y=-χ,并將其上下移動，從圖中可以發(fā)現(xiàn),

當-α≤ι時，滿足y=Ti與曲線y=/(X)有兩個交點，從而求得結(jié)果.

詳解：畫出函數(shù)f(x)的圖像，y=e'在y軸右側(cè)的去掉，

再畫出直線y=一χ,之后上下移動，

可以發(fā)現(xiàn)當直線過點A時，直線與函數(shù)圖像有兩個交點，

并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，

即方程/(X)=-X-α有兩個解，

也就是函數(shù)g(x)有兩個霎點，

此時滿足-4≤l,即”2-1,故選C.

點睛：該題考查的是有關(guān)已知函數(shù)零點個數(shù)求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，在求解的過程中，解題的

思路是將函數(shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)問題，將式子移項變形，轉(zhuǎn)化為兩條曲線交點的問

題，畫出函數(shù)的圖像以及相應的直線，在直線移動的過程中，利用數(shù)形結(jié)合思想，求得相應的結(jié)果.

8.已知點尸(-3,3),過點M(3,0)作直線/與拋物線V=?相交于A,8兩點，設直線∕?,PB的斜

率分別為勺，Q則仁+網(wǎng)=()

A.-IB.-2C.2D.無法確定

【答案】A

【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，得到y(tǒng)%=T2,代入兩點斜率公式即可化簡求解.

【詳解】設直線方程為X=Μy+3,聯(lián)立拋物線方程可得丁-4〃?)，-12=0,

設A停yj,B?,y2?可得%必=-12,

412

yι-3ιy2-3,4yι-12ι4y2-124jl-12ι?)~

4χ-12ITyI一尤

則K+A=

2/+3號+3i2+y`12+貨12+y：γ-12f22

ι2i2+yl12+j1

故選：A

二、多選題

9.下列求導運算正確的是()

332sinA?,2xcosx-4sinjt

A.(X4—)'=—TB.——)=

XX

32

C.L(3x÷5)r=3(3x÷5)D.(2Λ÷cosx),=2rIn2-sinX

【答案】BD

【分析】利用基本函數(shù)的導數(shù)公式，導數(shù)的運算法則逐項計算判斷作答.

33

【詳解】對于A,u÷-y=ι-4,A不正確;

2cosx?x2-2x?2sinx2xcosx-4sinx

，B正確;

對于C[(3x+5)3r=3(3x+5)2-3=9(3x+5)2,C不正確；

對于D,(2Λ+cosx)'=2'ln2-SinX,D正確.

故選：BD

22

10.已知曲線C的方程為Ar-+Hv-=l(∕eR),則下列結(jié)論正確的是()

%/,+ι1l5C-kL')

A.當％=2時，曲線C為圓

B.曲線C為橢圓的充要條件是-1<Z<5

C.若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則

D.存在實數(shù)我使得曲線C為拋物線

【答案】AC

【分析】根據(jù)圓、橢圓、雙曲線、拋物線標準方程的特征即可逐項判斷求解.

【詳解】對于A,當A=2時，曲線C的方程為Y+9=3,此時曲線C表示圓心在原點，半徑為6

的圓，所以A正確；

對于B,若曲線C為橢圓，貝必+l>0,5-Q0且氏+1x5-%,所以B錯誤；

對于C,若曲線C是焦點在），軸上的雙曲線，則人+1<0,5-?>0,解得&<-1,所以C正確；

對于D,曲線C不存在X,y的一次項，所以曲線C不可能是拋物線，所以D錯誤.

故選：AC.

11.設數(shù)列｛%｝的前"項和為S11,?1=1,Jl2S,,=3??+m,則（）

A./M=-IB.｛a,,｝是等差數(shù)列

【答案】AD

【分析】根據(jù)的關(guān)系，即可求解｛4｝是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公

式即可求解.

【詳解】當"=1時，2Sl=2αl=301+nz,因為Ol=1,所以機=-1,故A正確;

于是2S,,=3q,7,

當〃≥2時，2S“_|=3?.l-1,

所以2?=2S,,-2S?_,=3??-l-(3?,l-1)=3?,,-3%,即q=3%，即廣=3,

an-?

所以數(shù)列｛4｝是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，

故",,=3"T,S“=U，故Be錯誤，D正確?

故選：AD

12.在棱長為1的正方體ABCO-ABCA中，M為底面ABCD的中心，D1β≈ΛD1^,2e(0,l).N

為線段AQ的中點，則()

A.CN與QM共面

B.三棱錐A-DMN的體積跟2的取值無關(guān)

C.4=；時，過4,。，M三點的平面截正方體所得截面的周長為邁?姮

D.時，AMIQM

4

【答案】ABC

【分析】由M,N為AC,4Q的中點，得到MN//CQ,可判定A正確；由N到平面ABC。的距離為

定值;，且ΔAZW的面積為定值;，根據(jù)%.械=%3”，可得判定B正確，由/1=：時，得到A,Q,M

三點的正方體的截面ACEQ是等腰梯形，可判定C正確；當a=!時，根據(jù)AM2+AQ2>QΛ∕2,可

判定D不正確.

【詳解】在-ACQ中，因為M,N為ACAQ的中點，所以MN〃C。，

所以CN與QM共面，所以A正確；

由匕"MN=VVT因為N到平面ABCZ)的距離為定值：，且ΔAQM的面積為定值

24

所以三棱錐A-OMN的體積跟彳的取值無關(guān)，所以B正確;

當彳=：時，過A,Q,M三點的正方體的截面ACEQ是等腰梯形，

所以平面截正方體所得截面的周長為/=垃+乎+2X同=逑孕叵,

所以C正確；

當X=J時，PT^AM2=1A02=l+-∣=^∣,βM2=?2+?2=?,

4216162416

則4Λ∕2+AQ2>QM2,所以AA/,QW不成，所以D不正確.

故選：ABC

三、填空題

13.已知函數(shù)/(x)=∕(-l)e'-χ2,貝IJr(T)=.

【答案】?

e-1

【分析】根據(jù)導數(shù)的公式，代入x=-l求解即可.

【詳解】Q/U)=/(-Det-√,

/(x)=∕(-l)ejc-2x,

令x=—l,則/'(一1)=/'(-l)eτ+2,

./-I)=去

故答案為：---.

e-1

14.直線/：∕∞-y+l=O截圓χ2+∕+4x-6y+4=0的弦為MN,當IMNl取最小值時m的值為

【答案】1

【分析】由于直線/恒過(0,1),所以當直線MN與定點和圓心連線的直線垂直時，IMNl取得最小值,

從而可求出機的值

【詳解】直線/:〃優(yōu)-y+l=。恒過(0,1),圓/+/+4》_6)，+4=0的圓心(-2,3),半徑為3,所以

22

定點與圓心的距離為：A∕(0+2)+(1-3)=2√2,

所以則IMNl的最小值為：2后二?？?2,

此時直線MN與定點和圓心連線的直線垂直.可得機==

故答案為：1.

15.已知函數(shù)"x)=gf+2χ-2αlnx在(0,+")上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(-∞,o]

【分析】由單調(diào)性可知f'(x)20在(。,+8)上恒成立，采用分離變量法可得2α≤Y+2χ,由二次函數(shù)

的最值可求得。的范圍.

【詳解】/(χ)在(0,+句上單調(diào)遞增，???∕'(χ)=χ+2-g≥0在(0,y)上恒成立，

即2α≤V+2χ在(0,+紇)上恒成立；

又當x>0時，X2+2x>O...2a≤0,解得：a<0,

，實數(shù)”的取值范圍為(9,O].

故答案為：(τ°,θ]?

四、雙空題

16.在一次珠寶展覽會上，某商家展出一套珠寶首飾，第一件首飾是1顆珠寶，第二件首飾是由6顆

珠寶構(gòu)成如圖1所示的正六邊形，第三件首飾是由15顆珠寶構(gòu)成如圖2所示的正六邊形，第四件首飾

是由28顆珠寶構(gòu)成如圖3所示的正六邊形，第五件首飾是由45顆珠寶構(gòu)成如圖4所示的正六邊形，

以后每件首飾都在前一件上，按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶，使它構(gòu)成更大的正六邊形，依此

推斷第6件首飾上應有顆珠寶；則第〃件首飾所用珠寶總數(shù)為顆.(結(jié)果用"表示)

圖1圖2圖3圖4

【答案】662n2-n

【分析】分析數(shù)據(jù)規(guī)律可得%-%7=4〃-3,再利用累加法即可求解.

【詳解】設第〃件首飾上的珠寶顆數(shù)為?！?，則4=1,?=6,?3=15,4=28,%=45

因為出一4=4xl+l,a3-a2=4×2+l,6(4-α3=4×3+1,a5-a4=4x4+1,

所以猜想a“一?i=4(n-l)+l=4n-3,

所以推斷4-%=4x6-3=21,

即〃6=%+21=66.

由0,L%=4-3,

則4ι-a*2=4("T)-3,?..,a2-ay=4x2-3,

以上各式相力口得a“一4∣=4("+"—1++2)-3(/7-1)=l??——?-3(w-l)=In2-n-?,

所以∕=2"2-"?

故答案為：66；2n1-n.

五、解答題

17.已知函數(shù)/(x)=e'-d+α,XeR的圖象在X=O點處的切線為y=?r.

(1)求〃，〃的值；

(2)設g(x)=f(x)+x2-x,求g(x)最小值.

(a=-1

【答案】⑴一

[?=1

(2)0

【分析】(1)求導，利用切線的斜率以及經(jīng)過的點即可求解,

(2)求導得單調(diào)性，即可求解最值.

【詳解】(I)f(x)=ex-x2+a,f'(x)=ex-2x,

f(0)=l+a=0

由已知，得,l∕'(o)=1=∕,，解得

???函數(shù)/(X)的解析式為〃力=e?'-X2-I.

(2)g(x)=f(x)+χ2一χ=e*—X-1,則/(x)=e'-l,

令g[x)=O,則X=0,

當x<0時，g'(x)<O,此時g(x)單調(diào)遞減

當x>0時，g'(x)>O,此時g(x)單調(diào)遞增,

???g(x*n=g(0)=5

18.已知A(U),8(2,3),C(〃,q)三點共線，其中?！笆菙?shù)列｛α,,｝中的第〃項.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項；

(2)設么=Tan,求數(shù)列也｝的前〃項和T?.

【答案】⑴>=2"-l

(2)7；,=6+2"+'(2n-3)

【分析】(1)由三點共線可知斜率相等，即可得出答案；

(2)由題可得勿=Tan=(2n-l)?2",利用錯位相減法即可求出答案.

【詳解】(1)人(1』),8(2,3),。(〃，4,)三點共線，，&二=14

M-I2-1

.?.atl=2n-↑

(2),?=(2n-l)?2π

.-.7；,=1×2I+3×22+5×23+...+(2n-↑)×2"①

27；,=l×22+3×23+5×24++(2n-3)×2,'+(2n-1)×2,,+'②

得-1,=2+2(22+23+~+2")-(2"-1)X2"M

Q_n/J+2

=2+———(2zz-l)×2π+l

1-2

=2-8+2n+2-(2n-l)×2"+'

=-6+2π+l(2-2n+l)

=-6+2π+l(3-2n)

”,=6+2"M(2"-3)

19.如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABHCD,ZBAD=90,

PD=DC=BC=2PA=2AB=2,PDLCD.

P

(2)求直線BD與平面BPC所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)取CO的中點E,連接BE,證明出A4"LΛB,PA±AD,再利用線面垂直的判定定理

可證得結(jié)論成立；

(2)點A為坐標原點，AB.AD.”所在直線分別為X、〉、Z軸建立空間直角坐標系，利用空

間向量法可求得直線BO與平面BPC所成角的正弦值.

【詳解】(1)證明：由于AW∕CD,28Ao=90,所以CE>L4D,

由于Pf)_LCD,PDnAD=D,PD、AZ)U平面PAD,所以8_L平面P4D,

..AB/平面PAD,由P4u平面PAD,得AB_LR4.

取CD的中點E,連接

因為底面ABCD是直角梯形，DEHAB&DC=2DE=2AB=2,NBAD=90,

故四邊形A8EI>為矩形，且Ao=BE'且3E_LCD,.-,AD=BE=y∣BC2-CE2=√3>

所以在上皿)中，PA=?,PZ)=2,AD2+PA2=PD2.即A4_L43,

由于ADCAB=A,AB,4)U平面A8CD,所以R4_L平面ABeD

(2)解：平面ABa),ABA.AD,以點A為坐標原點，AB.AD.AP所在直線分別為X、

y、Z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,0)?B(LO,0)、cQ,6,θ)?40,6,0)、尸(0,0,1),

BD-(-l,√3,θ),PB=(I,O,T),BC=(1,^,0),

n?PB=x-z=O_/r

設平面BPC的法向量為"=(x,y,z),則■{r,取X=石，可得”=(6,T,

BD?n_2√3_√2?

所以，CoSVBD,n>=

阿HW-2×√7-7

所以，直線BO與平面BPe所成角的正弦值為立L

7

20.已知正項等差數(shù)列｛4｝的前”項和為S,,,$3=9,若4+1,4+1,4+3構(gòu)成等比數(shù)歹山

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式.

(2)設數(shù)列」一I的前〃項和為T“，求證：￡?!

IAa“+J3

【答案】(I)?=2/7-1；(2)證明見解析.

【分析】(1)由等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，即可求出通項公式.

(2)利用裂項相消法即可求出數(shù)列的和，進而利用不等式放縮即可證明結(jié)果.

【詳解】(1)由｛可｝為等差數(shù)列,S3=9,

得犯=9,則%=3,

又4+1,%+1嗎+3構(gòu)成等比數(shù)歹U,

所以(4+1)(6+3)H/+1):

即(4一4)(6+1)=16,

解得d=2或d=Y(舍)，

所以%=2〃-1；

11_111、

(2)因為-----=TT-----------------------z------；-C,J,

anan+i(2〃-1)(2M+1)22/t-l2n÷l

〃_1,1J

22

?v

21.已知橢圓。:=+2=1(。>〃>0)的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2f半焦距為1,以線段月蒼為直徑

的圓恰好過橢圓C的上、下頂點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若關(guān)于直線x=c對稱的射線gM與5N分別與橢圓C位于X軸上方的部分交于“，W兩點，

求證：直線MN過X軸上一定點.

【答案】(1)y+∕=l;(2)證明見解析.

【分析】(1)先求出c,6之間的等量關(guān)系，再結(jié)合。，b,C間的關(guān)系即可求出橢圓C的方程；

(2)設出直線MN的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，利用韋達定理及已知即可得出加，k的關(guān)系，進

而即可得到直線所過的定點坐標.

【詳解】(1)以線段耳行為直徑的圓恰好過橢圓C的上下頂點，.??c=b?

.c=l,b=1,.*.cι~=b~+c~=2,

橢圓C的方程為1+y2=ι.

(2)由題意知直線MN的斜率存在，設直線MN的方程為y=京+，”，

y=kx+ιn

消去y并整理得(1+2用/+4成+2-1)=0.

設點IMa,y),N(x,y),

22

-Akm2(m2-l)

則rill…=B'XlX2=--------T2

12l+2jt2

/NFE=NMgA,且由題意知kMF2和kNFi必存在,

=

,?^MF2^*"^NF20.

…八M%CAx1+tnkx^+nι?

又K(1,O),.-.-^-+??θ,即^~r+?2±^二0,

再一1%一?%一?%一?

整理得2處X,-2m=(k-m)^xl+x1),

2(m2-l)

Cz.、-4km

得2k-2m=(κ-m)----------7

1+2公1+2公

即2knr—2k—m—2k2In—hn2—Icm,解得相=—2k,

：,MN的方程為y=收-2?=?(x-2).

Δ=16*2m2-8(1+2*2)(m2-1)>O,

BPl+2*2>m2,Λ1+2*2>4*2,解得-旦<k<g.

2