大學(xué)物理練習(xí)冊(cè)含答案-真空中的靜電場(chǎng)

庫(kù)侖定律

7-1把總電荷電量為。的同一種電荷分成兩部分,一部分均勻分布在地球上，另一部分均勻分布在月球上,

使它們之間的庫(kù)侖力正好抵消萬(wàn)有引力，已知地球的質(zhì)量M=5.98χK)24kg,月球的質(zhì)量w7=7.34xl()22kg.

(1)求。的最小值；(2)如果電荷分配與質(zhì)量成正比，求Q的值。

解：(1)設(shè)。分成切、僅兩部分，根據(jù)題意有Z崢=G等，其中％=J-

r2/4至0

口r八GMm....人/八3GMm八

即。=%+以=---—+√9o求s極τ7值，令Q=O,得1-----Z—=0

q2kq2k

IGMfnGMm

l313I4

???q=5.69×10C,=5.69×10CQ=q∣+q2=1.14×10C

2q#

MmGMm?GMm

,、kλ,

(2).?———,qq?..Mq2=mq。-m--------

Q?Qikk

解得%=J+=6.32χICfC,^=5.15×10l4C,?,?Q=/+q、~5?21×10?C

<7∣

m

7-2三個(gè)電量為-q的點(diǎn)電荷各放在邊長(zhǎng)為/的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，電荷Q(Q>O)放在三角形的

重心上。為使每個(gè)負(fù)電荷受力為零，Q值應(yīng)為多大？

Q到頂點(diǎn)的距離為r?-/,Q與R的相互吸引力為6=」一挈

解:

34%r

兩個(gè)-4間的相互排斥力為F2=^-Ψ

據(jù)題意有2E,cos30°=F∣,即2×-!—?cos3001qQ八?/?

-----岑，解得：Q=~q

4宏0I4宓°r3r

電場(chǎng)強(qiáng)度

7-3如圖7-3所示，有一長(zhǎng)/的帶電細(xì)桿。(1)電荷均勻分布，線密度為+%則桿上距原點(diǎn)X處的線元dx

對(duì)P點(diǎn)的點(diǎn)電荷W的電場(chǎng)力為何？伙受的總電場(chǎng)力為何？(2)若電荷線密度4=日，％為正常數(shù)，求

P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解：(1)線元A所帶電量為dq=∕ldx,它對(duì)qo的電場(chǎng)力為°'_______________J

IV--------/----------AH-pX

圖.

df=1q0dq1q0λdx73

4宏0(/+Q—X)24您0(/+Q—X)2

外受的總電場(chǎng)力F=聾工工1?/,

4在04(/+a)

%>0時(shí)，其方向水平向右；%<0時(shí)，其方向水平向左

(2)在X處取線元CLr,其上的電量dq=；IdX=AXdX,它在P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

1d<71kxdx

dEp

4腐O(l+a-x)24?TKbQ(/+<z—x)^

rZIXdXk.l.a....r..,,r..

--Ep----------------------7---------(-+In-------)方向沿X軸正向。

J

4ΛΓ0°(l+a-x)4在°al+a

7-4一半徑為R的絕緣半圓形細(xì)棒，其上半段均勻帶電量+q,下半段均勻帶電量.，如圖7-4所示，求半圓

中心處電場(chǎng)強(qiáng)度。

解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，由對(duì)稱(chēng)性可知，+q和R在O點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度沿X軸的分量之和為零。取長(zhǎng)為d/

的線元，其上所帶電量為

dg=Xd∕=-^d∕="Rd6=4e,.,.dE=-1-?方向如圖

IDTrRπ4在OR2

-TlK

2

y方向的分量dE=-----—?-eos^

222圖7-4

>4煙OR2πε0R

：.E=-2×——N?~7「COSede7=—*~-7

22

2儲(chǔ)e0R2%πε0R

7-5一半徑為R的半球殼，均勻帶有電荷，電荷面密度為b,求球心處電場(chǎng)強(qiáng)度。

解：沿半球面的對(duì)稱(chēng)軸建立X軸，坐標(biāo)原點(diǎn)為球心0。

在球面上取半徑為人寬為出的環(huán)帶，如圖，其面積為

dS=2τrrdl=2τrr'Rdθ,所帶電荷dq=σdS=σ?2τrr?Rde

,L1xdqσRxr(?θ

dg在。處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為,ɑ卜/—_____________________________________—___________________________________

4宓O(X2+/2)%2%(X2+/)%

.?dE=-^-sinθcosθdθ

,,尸=RsinJ,X=Rcosθ

2%

π

因?yàn)榍蛎嫔纤协h(huán)帶在O處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，二巨=±FSineCOSed%=?I

2%J。4%

7-6—無(wú)限大均勻帶電薄平板，面電荷密度為b,平板中部有一半徑為R的圓孔，如圖7-6所示。求圓孔

中心軸線上的場(chǎng)強(qiáng)分布。(提示：利用無(wú)窮大板和圓盤(pán)的電場(chǎng)及場(chǎng)強(qiáng)疊加原理)

解：利用補(bǔ)償法，將圓孔看作由等量的正、負(fù)電荷重疊而成，即等效為一個(gè)

完整的帶電無(wú)窮大平板和一個(gè)電荷面密度相反的圓盤(pán)疊加而成。

-（T

無(wú)窮大平板的電場(chǎng)為E1=-

2%

圓盤(pán)激發(fā)的電場(chǎng)為后,=_￡（＞/X鳴,其中?！盀槠桨逋夥ň€的單位

2%√7TF

大￡旦里。

圓孔中心軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度為E=E1+E2=°%

電通??

7-7電場(chǎng)強(qiáng)度為后的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其方向與半徑為R的半球面的對(duì)稱(chēng)軸平行，如圖7-7所示，求通過(guò)該半球

面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。

解：作半徑為R的平面S'與半球面S構(gòu)成一個(gè)閉合曲面，由于該閉合曲面內(nèi)無(wú)電荷，由高斯定理

Φ=￡sE?dS=j^E?dS+^E?dS=O

.?.Φ=^EdS=-?E-dS=-EπR2cosπ=πR2EAI

5I

圖7-7

7-8—邊長(zhǎng)為。的立方體置于直角坐標(biāo)系中，如圖7-8所示?，F(xiàn)空間中有一非均勻電場(chǎng)E=（E+kx）7

l+E2J,

EH及為常量，求電場(chǎng)對(duì)立方體各表面及整個(gè)立方體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。

解：?.?Ez=O①OABC=①DEFG=°

2

ΦΛBCF=?sE-dS=?s[(El+kx)l+E2j]-(dSj)=E2S=E2a

cl2

①CDEo=1后?f=1[田+kx)i+E2j}?(-dSj)=-E2a

2

ΦΛOEF=\sE-dS=\s(Ei7+E2j)-(-dS7)=-E↑a

2

ΦBCDC=+kci)ι+E2j]?(dST)=(El+kd)a

整個(gè)立方體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量①=Z①,=k/

高斯定理

7-9有兩個(gè)同心的均勻帶電球面，內(nèi)外半徑分別為昭和&，己知外球面的電荷面密度為+b,其外面各處

的電場(chǎng)強(qiáng)度都是零。試求：（1）內(nèi)球面上的電荷面密度；（2）外球面以?xún)?nèi)空間的電場(chǎng)分布.

解：作一半徑為r的同心球面為高斯面。設(shè)內(nèi)球面上的電荷面密度為

（1）處：因?yàn)橥馇蛎嫱獾碾妶?chǎng)強(qiáng)度處處為零，由高斯定理有

22

,員?dS=-Zqj=—(σ?4^+σ'-4^1)=0,得σ'=-(-^-)c

JSfoT

(2)由高斯定理

r<RxE=O

R<r<R］后2?d212

17?S=-σ'?4^?.即E1-Arm-=—σ'?4^l

.4%

2

.σ1?4^l_R2R；-=一&3方向沿徑向反向

..J=------力=-(—)b----?

2

■4^0rR1%戶(hù)%廣

7-10一對(duì)無(wú)限長(zhǎng)的均勻帶電共軸直圓筒,內(nèi)外半徑分別為R和Ri,沿軸線方向單位長(zhǎng)度的電量分別為辦

和&。(1)求各區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)分布；(：2)若力=-∕?,情況如何？畫(huà)出此情形下的E?廠的關(guān)系曲線。

解：(1)作一半徑為八長(zhǎng)為〃的共軸圓柱面為高斯面，由高斯定理有

r<R∣Ei=O

f-_11一4?

RIvrVR2IE2?dS=—λxh:.E2?2τrrh=一Λ1Λ,不IE,=7-------r

JS4%2在(/

ME

r>R2fM?dS=」-(4+4)∕ι得及=4+4F

JS42加0丁

(2)4=-A2時(shí),E=O,E2=———r,E3=O

-2πε

-

0RtK7

7?11設(shè)半徑為R的球體，電荷體密度P=Q(F≤R),其中攵為常量，r為距球心的距離。求電場(chǎng)分布，并

畫(huà)出E?r的關(guān)系曲線。

解：作一半徑為r的同心球面為高斯面。根據(jù)高斯定理

2

r<RfE,■dS--\pAV-—[kr?AπrAr---7rkrA人AE

JSqJV?jo%

2,

即E1-4OT^--πkr得&=殳—京

￡。4%

r>R{E-,-AS-—kr?Aπr^(\r--πkP40Rr

JS4JoA

即E,?4πr?=L兀kN得及=出二齊

?-4%廣

7-12—厚度為d=0.5cm的無(wú)限大平板，均勻帶電，電荷體密度P=1.0×10?4C∕m3,求⑴平板內(nèi)外的電場(chǎng)

分布；（2）討論平板中央以及平板內(nèi)與其表面相距0.1Cm處的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解：（1）設(shè)中心平面為So。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，在距So處為X處對(duì)稱(chēng)地取兩面積均為AS的底面作一圓柱形高斯

面，其側(cè)面與板面垂直（如圖所示），即側(cè)面的電通量為零。

x<4時(shí)(EdS=2EΛS=--2pxAS,:.EI=旦X

2s4%

x〉g時(shí)∫E2?dS=2E2ΔS=-!-?2p?-ΔS,.?.E2=

2s22e()

(2)平板中央x=0,/.E0=0

平板內(nèi)與表面相距0.1Cm處，X=O.15Cm

E∕πl(wèi).0xl()7χl?5xl(Γ3

=1.69×IO4V/m

―%_8.85×10-12

7-13一個(gè)電荷體密度為p（常量）的球體。（1）證明球內(nèi)距球心r處一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為后=止-A（2）

3%

若在球內(nèi)挖去一個(gè)小球，如圖7-13所示，證明小球空腔內(nèi)的電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)面=上-左，式中M是

3%

球心到空腔中心的距離矢量。―

證：⑴作與球體同心的球面為高斯面，根據(jù)高斯定理

<[E?dS=LfQdV即E?4πr2=-^--πri\,

JS?Jv43yOa^（yj?

,?E=-^-r矢量式E=-^-r得證

3/3/

（2）填充法：設(shè)在空腔中填充電荷密度分別為P和-P的電荷球體，形成電荷密度分別為P和-P的

大球體和小球體。

對(duì)腔內(nèi)任一點(diǎn)P（如圖），由（1）的結(jié)果有

大球Eip=，-小小球E2p=

343%

E=E1p+E2P=P（r—尸）=Pa得證

343%

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理

7-14若電場(chǎng)中某一部分電場(chǎng)線的形狀是以O(shè)點(diǎn)為中心的同心圓弧。證明該部分上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度都應(yīng)與

該點(diǎn)離。點(diǎn)的距離成反比，即笈門(mén)二員r2。

證：作一回路必Cd,如圖。根據(jù)靜電場(chǎng)環(huán)路定理

∣E?d∕=fE1?d∕+fE2?d∕=F1/,-E√,=O

JJbCJda

即Eill=E2I2

?.?I1=rλθI2=r-2θ,.?.Exrx-E2r2得證

7-15證明：在靜電場(chǎng)中，凡電場(chǎng)線都是平行直線的地方，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小必定處處相等。（提示：利用環(huán)路

定理和高斯定理）

證：設(shè)電場(chǎng)方向水平向右。在一電場(chǎng)線上任取兩點(diǎn)I和2,作兩底面足夠小的圓柱面，如圖。由高斯定理

^?dS=j^β2dS+￡s￡,?dS=fi2?ΔS-fi1?ΔS=0」27E

.?.E2=E1即同一電場(chǎng)線上任意兩點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度相等.

作一矩形回路abed,其中ab、Cd與電場(chǎng)線垂直，be、da與電場(chǎng)線平行,

Ea=Eil,Eb=Ec

由靜電場(chǎng)環(huán)路定理

<fE?d7=fEdl+[EdT+fEdT+fSd/

JJahJhcJcdJda

=fE?d∕+fU=Ee-E(AI=Q

JbcJda

：.Eh=Ea即不同電場(chǎng)線上任意兩點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度相等。所以命題成立。

電場(chǎng)力的功和電勢(shì)能

7-16邊長(zhǎng)為"的正三角形，三個(gè)頂點(diǎn)上各放置%P和-2q的點(diǎn)電荷，求此三角形重心上的電勢(shì)。將一電

量為+Q的點(diǎn)電荷由無(wú)限遠(yuǎn)處移到重心上，外力做功多少？

解：頂點(diǎn)到重心的距離r=也。，重心的電勢(shì)為。=_2一+二二+二?L=-a?-

34在Or4加Or4您Or2πε∕

外力所做的功A外=Q（UO-UQ=QUo=-坐近

2您Oa

7-17如圖7-17所示，三個(gè)點(diǎn)電荷Q∣、Q2、Q沿一直線等距放置，且0=。3=。，其中任一點(diǎn)電荷所受合力

均為零。求0、。3固定情況下，（1）Qz在。點(diǎn)時(shí)的電勢(shì)能；（2）將。2從。點(diǎn)推到無(wú)窮遠(yuǎn)處，外力

所做的功。

COCQ。2。3

解：（I）Q和Q在。點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為UO=-?-+-?-=-?--------------3---------------

4%d4您Od2宓Od—d—>÷<—d—H

圖7-17

。Ql。

因?yàn)?所受合力為零，即Ql2I3

4您o"24您o(2d)2

解得Q,=--Q,==--Q,。2在O點(diǎn)的電勢(shì)能W=CUO=_LQUO=―-&-

4448的Od

（2）將S從。點(diǎn)推到無(wú)窮遠(yuǎn)處，外力所做的功A外=。2（。/一〃0）=-。，。0=我2

8吟。

7?18一半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)帶電棒，其內(nèi)部的電荷均勻分布，電荷體密度為夕o（1）求電場(chǎng)分布；（2）如圖

7-18所示（沿棒軸向俯視），若點(diǎn)電荷伙由。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到8點(diǎn)，則電場(chǎng)力做功為多少？

解：（1）取長(zhǎng)為/、半徑為〃且與帶電棒同軸的圓柱面為高斯面。由高斯定理

E1?d5=—￡pdV=??p2τrrldr

1

"R4%

即EI?2πrl--pπr'l得E=上-r

￡。2%

r>RE,-lπrl=-pπR2l得E,=^-T

%^

(2)半徑相同處的電勢(shì)相等

4=%］：后?d，=%fE?d7+%(后2?d『=?of?dr+q^^-(?r

°α"Z￡∩Z￡()I*

%￡(R22)+維CIn區(qū)

4￡。2%R

7-19題7-18中，若取棒的表面為零電勢(shì)，求空間的電勢(shì)分布。

解：取棒表面為零電勢(shì)，即UR=O

f8Q2

R時(shí)ER

r<a=dr=?

得

>R

7-20如圖7-20所示，電荷面密度分別為+b和的兩塊“無(wú)限大”均勻帶電平行平面，分別與X軸相交

于Xl=。和X2=兩點(diǎn)。設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)。處電勢(shì)為零，求空間的電勢(shì)分布。

,=,

解：x<-a：jg1=O；—a<x<a：β2—i;x>a：f3=Oo

εo

OO

x<-ait/,=?EdT=?E2?d∕=—a

x-a￡。

OXb

-a<x<a：U2=?E2?d/=—?E2?d/=------x

xOε0

圖7?20

OOa

x>a：t∕3=∫E?d∕=∫E2?d∕=-^-dl=--a

xaOε0ε0

7-21兩根半徑分別為R=3.0χl0-2m和R2=0?10m的長(zhǎng)直同軸圓柱面，帶有等量異號(hào)的電荷，兩者的電勢(shì)差

為450V。求圓柱面單位長(zhǎng)度上所帶電荷4o

解：由高斯定理可求得兩柱面間的電場(chǎng)強(qiáng)度E=—?-

2兀我r

?“L"H=1含?=含M半=453解得

λ=2Λ×IOfC?m

7-22如圖7-22所示的帶電細(xì)棒，電荷線密度為人其中BC。為半徑為R的半圓，AB=DE=R,求（1）半圓

上的電荷在半圓中心。處產(chǎn)生的電勢(shì)；（2）直細(xì)棒AB和QE在半圓中心。處產(chǎn)生的電勢(shì)；（3）O處

的總電勢(shì)。

解:（1）取電荷元dq=∕ld/,.?.q=f-S-=*-=U-/z^T∕?

'J4%R4磔OR44/y\

ABODE

（2）在AB上距。點(diǎn)為r處，取電荷元d√=Λd∕圖7-22

dqρ4d，λ∣.C_,.,..,._.,.λ/.

∫——=--------=-------ln2o同Il理。E在。點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)U3=--------1∏2

4宏Or%4儂Or4宏04萬(wàn)仇

2

（3）Uo=U↑+U+U=-——（乃+21n2）

234萬(wàn)比

7-23半徑分別為RI和&的兩個(gè)同心球面，分別帶有電荷印和伙。求：（1）各區(qū)域電勢(shì)分布，并畫(huà)出分布

曲線；（2）兩球面間電勢(shì)差；（3）若Rl=IOCm、?=30cr∏s?∣=108Cxq2=1.5χl（f8c,離球心20Cm和

50Cm處的電勢(shì)為多少？

解：（1）由高斯定理可得電場(chǎng)分布為

一CQi-q∣+q,

r<R：后=0；R<r<R?：E=-~~'~e?r>R-.β=-——

24不加/r2241仇廣

電勢(shì)分布為

Rl?oo

r<R：4=「方?d7=JE?d7+J盧2，d7+J瓦?d7

?rg#2

0+4」