廣東省學業(yè)水平考試數(shù)學模擬題一

學業(yè)水平考試模擬測試卷（一）（時間：90分鐘滿分100分）選擇題：本大題共15小題，每小題4分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)z=1﹣2i，是z的共軛復數(shù)，則復平面內(nèi)復數(shù)z?﹣i對應的點所在象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵z=1﹣2i，∴z?﹣i=|z|2﹣i=5﹣i，則復平面內(nèi)復數(shù)z?﹣i對應的點為（5，﹣1），所在象限為第四象限角．故選：D．2.數(shù)軸上到A（1），B（2）兩點距離之和等于1的點的集合為（）A．{0，3} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．{x|1≤x≤2}【解答】解：如圖所示：∵|AB|=1∴到A（1），B（2）兩點距離之和等于1的點的集合為線段AB∴點的集合為{x|1≤x≤2}故選D．3.函數(shù)f（x）=的單調(diào)增區(qū)間是（）A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1），（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）【解答】解：；∴f（x）的圖象是由y=的圖象沿x軸向右平移1個單位，然后沿y軸向下平移一個單位得到；而y=的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，0），（0，+∞）；∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（﹣∞，1），（1，+∞）．故選C．4如果圓C：（x﹣a）2+（y﹣3）2=5的一條切線的方程為y=2x，那么a的值為（）A．4或1 B．﹣1或4 C．1或﹣4 D．﹣1或﹣4【解答】解：由題意，圓心到直線的距離d==，∴a=﹣1或4，故選B．5下列函數(shù)中在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（）A．y=sinx B．y=﹣x2 C．y=log3x D．y=（）x【解答】解：y=sinx為周期是2π的周期函數(shù)，在（0，+∞）上不單調(diào)，故排除A；y=﹣x2在（0，+∞）上單調(diào)遞減，故排除B；在（0，+∞）上單調(diào)遞減，故排除D；y=log3x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故選C．6設(shè)向量=（x﹣1，1），=（3，x+1），則與一定不是（）A．平行向量 B．垂直向量 C．相等向量 D．相反向量【解答】解：由向量=（x﹣1，1），=（3，x+1），假設(shè)=，則，無解，∴．故選：C．7若a、b是任意實數(shù)，且a＞b，則下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B． C．lg（a﹣b）＞0 D．【解答】解：由題意a、b是任意實數(shù)，且a＞b，由于0＞a＞b時，有a2＜b2成立，故A不對；由于當a=0時，無意義，故B不對；由于0＜a﹣b＜1是存在的，故lg（a﹣b）＞0不一定成立，所以C不對；由于函數(shù)y=是一個減函數(shù)，當a＞b時一定有成立，故D正確．綜上，D選項是正確選項。故選D8已知sin（x﹣）=，則sin2x的值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵sin（x﹣）=（sinx﹣cosx）=，∴sinx﹣cosx=，兩邊平方得：（sinx﹣cosx）2=sin2x﹣2sinxcosx+cos2x=1﹣sin2x=，則sin2x=．故選B9若實數(shù)x、y滿足則的取值范圍是（）A．（0，2） B．（0，2） C．（2，+∞） D．[，+∞）【解答】解：不等式組，當取得點（2，3）時，取得最小值為，所以答案為[，+∞），故選D．反)共8個，而出現(xiàn)均為正面的事件為(正，正，正)．故其概率為eq\f(1,8).答案A14已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是()A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝3解析a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2＜3.答案A15設(shè)實數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5>0，,2x＋y－7>0，,x≥0，y≥0.))若x，y為整數(shù)，則3x＋4y的最小值是()．A．14 B．16 C．17 D．19解析線性區(qū)域邊界上的整點為(3,1)，因此最符合條件的整點可能為(4,1)或(3,2)，對于點(4,1)，3x＋4y＝3×4＋4×1＝16；對于點(3,2)，3x＋4y＝3×3＋4×2＝17，因此3x＋4y的最小值為16.答案B二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，滿分16分.16課題組進行城市空氣質(zhì)量調(diào)查，按地域把24個城市分成甲、乙、丙三組，對應的城市數(shù)分別為4,12,8，若用分層抽樣抽取6個城市，則丙組中應抽取的城市數(shù)為________．解析由已知得抽樣比為eq\f(6,24)＝eq\f(1,4)，∴丙組中應抽取的城市數(shù)為8×eq\f(1,4)＝2.答案217某中學為了解學生數(shù)學課程的學習情況，在3000名學生中隨機抽取200名，并統(tǒng)計這200名學生的某次數(shù)學考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖)．根據(jù)頻率分布直方圖推測，這3000名學生在該次數(shù)學考試中成績小于60分的學生數(shù)是________．解析根據(jù)樣本的頻率分布直方圖，成績小于60分的學生的頻率為(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.20，所以可推測3000名學生中成績小于60分的人數(shù)為600名．答案60018若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的焦點在x軸上，過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))作圓x2＋y2＝1的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是________．解析由題可設(shè)斜率存在的切線的方程為y－eq\f(1,2)＝k(x－1)(k為切線的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由eq\f(|－2k＋1|,\r(4k2＋4))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，所以圓x2＋y2＝1的一條切線方程為3x＋4y－5＝0，求得切點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))，易知另一切點B(1,0)，則直線AB的方程為y＝－2x＋2.令y＝0得右焦點為(1,0)，令x＝0得上頂點為(0,2)．∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求橢圓方程為eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1.答案eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝119已知向量m＝(cosωx＋sinωx，eq\r(3)cosωx)，n＝(cosωx－sinωx，2sinωx)，其中ω＞0.設(shè)函數(shù)f(x)＝m·n，且函數(shù)f(x)的最小正周期為π，則ω的值為________．解析∵m＝(cosωx＋sinωx,eq\r(3)cosωx)，n＝(cosωx－sinωx，2sinωx)，∴f(x)＝m·n＝cos2ωx－sin2ωx＋2eq\r(3)cosωxsinωx＝cos2ωx＋eq\r(3)sin2ωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6))).∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6))).∵函數(shù)f(x)的最小正周期為π，∴T＝eq\f(2π,2ω)＝π，ω＝1.答案1三、解答題：本大題共2小題.每小題12分，滿分24分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.20．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，asinA＋csinC－eq\r(2)asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.解(1)由正弦定理得a2＋c2－eq\r(2)ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.故cosB＝eq\f(\r(2),2)，又0°＜B＜180°，因此B＝45°.(2)sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4).故a＝b·eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),\r(2))＝1＋eq\r(3)，c＝b·eq\f(sinC,sinB)＝2·eq\f(sin60°,sin45°)＝eq\r(6).21．如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.證明(1)如圖，連結(jié)AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N為PC中點，∴AN＝eq\f(1,2)PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，從而在Rt△PBC中，BN為斜邊PC上的中線，∴BN＝eq\f(1,