高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識點總結(jié)

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識點總結(jié)

1.弧度與角度

在介紹三角函數(shù)之前，我們首先需要了解弧度和角度。

（1）角度：角度是常用的角度量單位，用度（°）表示。一個圓的周長被等分為360等份，每一份為1°。

（2）弧度：不同于角度的分割方式，弧度是以圓的半徑為1時所對應(yīng)的弧長來衡量角的大小。一個完整的圓的弧長是2π，所以360°對應(yīng)的弧度為2π，也就是1°=π/180弧度。

2.三角函數(shù)的基本概念

（1）正弦函數(shù)：正弦函數(shù)（sinx）是將一個角的對邊與斜邊的比值表示。對于一個任意角x，它的正弦值可以表示為sinx=對邊/斜邊。

（2）余弦函數(shù)：余弦函數(shù)（cosx）是將一個角的鄰邊與斜邊的比值表示。對于一個任意角x，它的余弦值可以表示為cosx=鄰邊/斜邊。

（3）正切函數(shù)：正切函數(shù)（tanx）是將一個角的對邊與鄰邊的比值表示。對于一個任意角x，它的正切值可以表示為tanx=對邊/鄰邊。

（4）余切函數(shù)：余切函數(shù)（cotx）是將一個角的鄰邊與對邊的比值表示。對于一個任意角x，它的余切值可以表示為cotx=鄰邊/對邊。

（5）割函數(shù)：割函數(shù)（secx）是將一個角的斜邊與鄰邊的比值表示。對于一個任意角x，它的割值可以表示為secx=斜邊/鄰邊。

（6）正割函數(shù)：正割函數(shù)（cscx）是將一個角的斜邊與對邊的比值表示。對于一個任意角x，它的正割值可以表示為cscx=斜邊/對邊。

3.三角函數(shù)的周期性和奇偶性

（1）周期性：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期都是2π，即sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)。而正切函數(shù)、余切函數(shù)、割函數(shù)和正割函數(shù)則沒有周期。

（2）奇偶性：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函數(shù)是偶函數(shù)，即cos(-x)=cos(x)。而正切函數(shù)、余切函數(shù)、割函數(shù)和正割函數(shù)則沒有奇偶性。

4.三角函數(shù)的基本性質(zhì)

（1）定義域和值域：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域都是全體實數(shù)集R；割函數(shù)和正割函數(shù)的定義域是除了函數(shù)的奇點之外的全體實數(shù)集R。

（2）正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域是[-1,1]；而正切函數(shù)、余切函數(shù)、割函數(shù)和正割函數(shù)則沒有固定的值域。

（3）關(guān)系式：

-sin2x+cos2x=1：這是三角函數(shù)最重要的關(guān)系式，被稱為“和差化積”公式。它表明正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的平方和等于1。

-1+tan2x=sec2x：這是三角函數(shù)的一個重要性質(zhì)，常用于推導(dǎo)其他三角函數(shù)的性質(zhì)。

-1+cot2x=csc2x：同樣也是三角函數(shù)的一個重要性質(zhì)，常用于推導(dǎo)其他三角函數(shù)的性質(zhì)。

5.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

（1）正弦函數(shù)的圖像：正弦函數(shù)的圖像為一條連續(xù)的波浪線，函數(shù)的最大值為1，最小值為-1，且在x=0的時候取得零值。

（2）余弦函數(shù)的圖像：余弦函數(shù)的圖像也是一條連續(xù)的波浪線，函數(shù)的最大值為1，最小值為-1，且在x=π/2的時候取得最大值。

（3）正切函數(shù)的圖像：正切函數(shù)的圖像是一條連續(xù)的曲線，函數(shù)沒有最大值和最小值，但是有無窮多個奇點，即其值趨于±∞。

（4）余切函數(shù)的圖像：余切函數(shù)的圖像也是一條連續(xù)的曲線，函數(shù)沒有最大值和最小值，但是有無窮多個奇點，即其值趨于±∞。

（5）割函數(shù)和正割函數(shù)的圖像：割函數(shù)和正割函數(shù)的圖像都是由奇點分隔開的連續(xù)拼接的線段，函數(shù)沒有最大值和最小值。

6.三角函數(shù)的恒等變形與求值

（1）和差化積公式：

-sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB

-cos(A±B)=cosAcosB?sinAsinB

-tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1?tanAtanB)

（2）倍角公式：

-sin(2A)=2sinAcosA

-cos(2A)=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A

-tan(2A)=(2tanA)/(1-tan2A)

（3）半角公式：

-sin(A/2)=±√[(1-cosA)/2]

-cos(A/2)=±√[(1+cosA)/2]

-tan(A/2)=±√[(1-cosA)/(1+cosA)]

（4）求值公式：

-sinπ/6=1/2，sinπ/4=√2/2，sinπ/3=√3/2

-cosπ/6=√3/2，cosπ/4=√2/2，cosπ/3=1/2

-tanπ/6=√3/3，tanπ/4=1，tanπ/3=√3

7.三角函數(shù)的應(yīng)用

（1）解三角形：通過已知兩邊及夾角或已知兩個角度和一邊的情況，利用三角函數(shù)可以求解三角形的未知邊長和角度。

（2）航空、航海的制導(dǎo)問題：通過測量飛行器到達(dá)目標(biāo)點的距離與角度，可以通過三角函數(shù)計算出飛行器的位置和方向。

（3）聲音和光線的傳播問題：通過測量聲波或光線從發(fā)射源到接收器的距離和角度，可以通過三角函數(shù)計算出聲源或光源的位置和傳播路徑。

（4）天文學(xué)中的星體運動：通過觀察天體在不同時間和地點的角度，可以利用三角函數(shù)計算出星體的運動軌跡和位置。