數(shù)學(xué)-專題5 二次根式最熱考點(diǎn)-閱讀材料題（原版）

專題5二次根式最熱考點(diǎn)——閱讀材料題（原卷版）典例精析+變式訓(xùn)練類型一分母有理化典例1（2022秋?萬柏林區(qū)校級月考）閱讀材料：材料一：兩個(gè)含有二次根式而非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如：3×3=3，（6?2）（6+2）＝6﹣2＝4，我們稱3材料二：如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根號，這種變形叫做分母有理化．例如13=1×33×3請你仿照材料中的方法探索并解決下列問題：（1）13的有理化因式為，7+5的有理化因式為（2）將下列各式分母有理化：①315；②11變式訓(xùn)練1．（2022秋?修水縣期中）閱讀下面的材料，解答后面所給出的問題：兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如：a與a，2+1與2（1）請你寫出兩個(gè)二次根式，使它們互為有理化因式：．化簡一個(gè)分母含有二次根式的式子時(shí)，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：23（2）請仿照上述方法化簡：35（3）比較13?1與

類型二二重根式的化簡典例2（2022秋?鄲城縣期中）請閱讀下列材料：形如m±2n的式子的化簡，我們只要找到兩個(gè)正數(shù)a，b，使a+b＝m，ab＝n，即(a)2+(b)例如：化簡7+43解：首先把7+43化為7+212，這里m＝7，由于4+3＝7，4×3＝12，即(4所以7+43請根據(jù)材料解答下列問題：（1）填空：5?26=．（2）化簡：變式訓(xùn)練1．（2022秋?沙縣期中）閱讀材料：我們已經(jīng)知道，形如ca例如：32?問題提出：7+43建立模型：形如m+2n的化簡，只要我們找到兩個(gè)數(shù)a，b，使a+b＝m，ab＝n，這樣(a)2那么便有：m±2n=(a±問題解決：化簡：7+43解：首先把7+43化為7+212，這里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即(4)2+(模型應(yīng)用1：利用上述解決問題的方法化簡下列各式：（1）6+25；（2）13?4模型應(yīng)用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4?3，AC=3，那么

類型三運(yùn)用整體思想運(yùn)算典例3（2022秋?皇姑區(qū)校級期中）閱讀理解：已知x=2+1，求代數(shù)式x2﹣2x﹣5的值．王紅的做法是：根據(jù)x=2+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作為整體代入：得x請你用上述方法解決下面問題：（1）已知x=3?2，求代數(shù)式x2+4（2）已知x=5?12，求代數(shù)式x3+針對訓(xùn)練1．（2022春?江都區(qū)期末）請閱讀下列材料：問題：已知x=5+2，求代數(shù)式x2﹣4小明的做法是：根據(jù)x=5+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作為整體代入，得：x2﹣4仿照上述方法解決問題：（1）已知x=10?3，求代數(shù)式x2+6（2）已知x=5?12，求代數(shù)式x3+2類型四基本不等式求最值典例4（2021春?新泰市期中）觀察，計(jì)算，判斷：（只填寫符號：＞，＜，＝或≥，≤）（1）①當(dāng)a＝2，b＝2時(shí)，a+b2ab；②當(dāng)a＝3，b＝3時(shí)，a+b2③當(dāng)a＝4，b＝4時(shí)，a+b2ab；④當(dāng)a＝3，b＝5時(shí)，a+b2（2）觀察以上式子，猜想寫出關(guān)于a+b2與ab（a＞0，b＞0）之間的數(shù)量關(guān)系：并進(jìn)行探究證明；（提示：(（3）實(shí)踐應(yīng)用：要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，寫出鏡框周長的最小值為．

變式訓(xùn)練1．（2022春?海淀區(qū)校級期中）閱讀下面材料：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)：（a?b）2＝a﹣2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a請利用上述結(jié)論解決以下問題：（1）請直接寫出答案：當(dāng)x＞0時(shí)，x+1x的最小值為．當(dāng)x＜0時(shí)，x+1x的最大值為（2）若y=x2+2x+10x+1（（3）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△AOB、△COD的面積分別為4和10，求四邊形ABCD面積的最小值．類型五的化簡典例5（2022秋?仁壽縣校級月考）在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們一般先仔細(xì)閱讀題干，找出有用信息作為已知條件，然后利用這些信息解決問題，但是有的題目信息比較明顯，我們把這樣的信息稱為顯性條件；而有的信息不太明顯，需要結(jié)合圖形、特殊式子成立的條件、實(shí)際問題等發(fā)現(xiàn)隱含信息作為條件，我們把這樣的條件稱為隱含條件；所以我們在做題時(shí)，要注意發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件．閱讀下面的解題過程，體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題．化簡：（1?3x）2﹣|1﹣x|．解：隱含條件1﹣3x≥0，解得x≤13，∴1﹣x＞0，∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2（1）試化簡：(x?3)（2）已知a，b，c為△ABC的三邊長，化簡：(a+b+c)（3）已知a、b滿足(2?a)2=a+3，

變式訓(xùn)練1．（2022秋?唐河縣月考）閱讀下列解題過程：例：若代數(shù)式(a?1)2+(a?3)解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，當(dāng)a＜1時(shí)，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）．當(dāng)1≤a≤3時(shí)，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合條件．當(dāng)a＞3時(shí)，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）．綜上所述，a的取值范圍是1≤a≤3．上述解題過程主要運(yùn)用了分類討論的方法，請你根據(jù)上述理解，解答下列問題．（1）當(dāng)2≤a≤5時(shí)，化簡：(a?2)2+(a?5)2（2）若等式(3?a)2+(a?7)類型六糾正解題過程中的錯(cuò)誤典例6（2022秋?金水區(qū)校級期中）計(jì)算：下面是李明同學(xué)在解答某個(gè)題目時(shí)的計(jì)算過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．（6+5）2﹣（6＝（6）2+（5）2﹣（6）2+（5）2……第一步＝6+5﹣6+5……第二步＝10……第三步任務(wù)一：填空：以上步驟中，從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是；任務(wù)二：請寫出正確的計(jì)算過程；任務(wù)三：除糾正上述錯(cuò)誤外，請你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就二次根式運(yùn)算時(shí)還需注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議．針對訓(xùn)練1．（2022春?大同期末）下面是小明同學(xué)計(jì)算43解：43=2=2=4=?17任務(wù)一：小明同學(xué)的解答過程從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是．任務(wù)二：請你寫出正確的計(jì)算過程．

類型7分子有理化求最值和比較大小典例7（2020秋?梁平區(qū)期末）閱讀下述材料：我們在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，熟悉了分母有理化及其應(yīng)用．其實(shí)，有一個(gè)類似的方法叫做“分子有理化”：與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式．比如：7?分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：比較7?6和6?5的大?。梢韵葘⑺鼈兎肿佑欣砘缦拢阂?yàn)?+6＞再例如：求y=x+2解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2當(dāng)x＝2時(shí)，分母x+2+x?2有最小值2，所以解決下述問題：（1）比較32?4和23（2）求y=1+x針對訓(xùn)練1．（2021秋?即墨區(qū)期中）我們在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，了解了分母有理化及其應(yīng)用．其實(shí)，還有一個(gè)類似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消除分子中的根式．比如：7?分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題．例如：比較：7?6和6?5的大小可以先將它們分子有理化如下：因?yàn)?+6＞再例如，求y=x+2解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2當(dāng)x＝2時(shí)，分母x+2+x?2有最小值2．所以利用上面的方法，完成下面問題：（1）比較19?18和（2）求y=x+1

專題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2022秋?蕭縣期中）先閱讀下面提供的材料，再解答相應(yīng)的問題：若x?1和1?x都有意義，x的值是多少？解：∵x?1和2?x都有意義，∴x﹣1≥0且1﹣x≥0．又∵x﹣1和1﹣x互為相反數(shù)，∴x﹣1＝0，且1﹣x＝0，∴x＝1．問題：若y=2x?1+1?2x+2．（2022秋?駐馬店期中）閱讀材料：（一）如果我們能找到兩個(gè)正整數(shù)x，y使x+y＝a且xy＝b，這樣a+2b=(例如：3+22（二）在進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)還會碰上如23+1樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：（1）化簡“和諧二次根式”：①11+228=；②7?4（2）已知m=15+26，n=3．（2021秋?廣平縣期末）閱讀下列解題過程：15+（1）觀察上面的解答過程，請寫出1n+1+n=（2）利用上面的解法，請化簡：12

4．（2022秋?南召縣月考）閱讀下面的材料，解答后面提出的問題：在二次根式計(jì)算中我們常常遇到這樣的情況：(2+3(513=1×像這樣通過分子、分母同乘一個(gè)式子把分母中的根號化去的方法，叫做分母有理化．解決問題：（1）4+7的一個(gè)有理化因式是（2）已知x=3+23?2（3）利用上面所提供的解法，請化簡11+5．（2022秋?嶧城區(qū)校級月考）閱讀下列材料，然后回答問題：再進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會碰上如53，25323以上這種化簡的過程叫做分母有理化．（1）請根據(jù)以上方法化簡：①42；②45?1（2）直接寫出：2?3的倒數(shù)是（3）計(jì)算：（12+6．（2022春?昭化區(qū)期末）【閱讀材料】像a?a=a（a≥0），（b+1）（b?1）＝b﹣1（b≥0）這樣的兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如，5與5，3【解決問題】（1）填空：7?3的有理化因式為（2）已知正整數(shù)a，b滿足a2?1?b2

7．（2022春?新余期末）閱讀下列解題過程：例：若代數(shù)式(2?a)2+(a?4)解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|，當(dāng)a＜2時(shí)，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）；當(dāng)2≤a＜4時(shí)，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立；當(dāng)a≥4時(shí)，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4；所以，a的取值范圍是2≤a≤4．上述解題過程主要運(yùn)用了分類討論的方法，請你根據(jù)上述理解，解答下列問題：（1）當(dāng)3≤a≤7時(shí)，化簡：(3?a)2（2）若(a+1)2+(a?3)（3）請直接寫出滿足(a?1)2+(a?6)2=5的8．（2022秋?輝縣市期中）【閱讀學(xué)習(xí)】小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+22=（1+2）設(shè)a+b2=（m+n2）2（其中a，b，m，n均為整數(shù)），則有a+b2=m2+2n2+22∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把a(bǔ)+b2的式子化為平方式的方法．【解決問題】（1）當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b3=（m+n3）2，用含m，n的式子分別表示a，b，得：a＝，b＝（2）利用（1）的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n（m≠n），使得a+b3=（m+n3）2成立，且a+b+m+n的值最?。堉苯訉懗鯽，b，m，n（3）若a+65=（m+n5）2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a9．（2022春?邗江區(qū)期末）閱讀下列材料，并回答問題：把形如a+bm與a﹣bm(a、b為有理數(shù)且b＞0，m（1）請你舉出一對共軛實(shí)數(shù)：3+2和3?2（2）﹣25和25是共軛實(shí)數(shù)嗎？若是請指出a、b的值；（3）若兩個(gè)共軛實(shí)數(shù)的和是10，差的絕對值是43，請求出這兩個(gè)共軛實(shí)數(shù)．

10．（2022春?武江區(qū)校級期末）請閱讀下列材料：問題：已知x=5+2，求代數(shù)式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根據(jù)x=5+2得（x﹣2）2＝5，∴xx2﹣4x＝1．把x2﹣4x作為整體代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問題．請你用上述方法解決下面問題：（1）已知x=5?2，求代數(shù)式x2+4（2）已知x=5?12，求代數(shù)式x3+11．（2021秋?寬城縣期末）（1）計(jì)算：(5（2）計(jì)算：125+9（3）下面是王鑫同學(xué)進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算的過程，認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的問題：92=9=3=3=9①以上化簡步驟中第一步化簡的依據(jù)是：；②第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，請寫出錯(cuò)誤的原因，該運(yùn)算正確結(jié)果應(yīng)是．

12．（2021秋?岳陽期末）王老師讓同學(xué)們根據(jù)二次根式的相關(guān)內(nèi)容編寫一道題，以下是王老師選出的兩道題和她自己編寫的一道題．先閱讀，再回答問題．（1）小青編的題，觀察下列等式：2325直接寫出以下算式的結(jié)果：27+5=；22n+1+（2）小明編的題，由二次根式的乘法可知：（3+1）2＝4+23，（5+3）2＝8+215，（a+b）2＝a+b+2ab再根據(jù)平方根的定義可得：4+23=3+1，8+215=5直接寫出以下算式的結(jié)果：6+25=，4?23=（3）王老師編的題，根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成以下計(jì)算：（23+1+13．（嘉祥縣期中）閱讀理解：對于任意正整數(shù)a，b，∵（a?b）2≥0，∴a﹣2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，只有當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立；結(jié)論：在a+b≥2ab（a、b均為正實(shí)數(shù)）中，只有當(dāng)a＝b時(shí)，a+b根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：（1）若a+b