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文檔簡介
2023年中考數(shù)學(xué)第一次模擬考試卷數(shù)學(xué)·全解全析第Ⅰ卷12345678CBDCADAD一.選擇題(共8小題,滿分24分,每小題3分)1.(3分)-2A.-2 B.2 C.-22 【分析】根據(jù)倒數(shù)定義可知,-2的倒數(shù)是-【解答】解:-2的倒數(shù)是-故選:C.【點評】主要考查倒數(shù)的定義,解決本題的關(guān)鍵是要求熟練掌握倒數(shù)的性質(zhì):負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù),正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù),0沒有倒數(shù);倒數(shù)的定義:若兩個數(shù)的乘積是1,我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù).2.(3分)已知點A(x,x﹣2),不論x取何值,點A不會在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【分析】根據(jù)各象限的坐標特點得到四個不等式組x>0x-2>0,【解答】解:因為x>0x-2>0的解集為因為x<0x-因為x<0x-2<0的解集為因為x>0x-2<0的解集為0<故選:B.【點評】本題考查了點的坐標:在直角坐標系中,有序?qū)崝?shù)對與點一一對應(yīng).
3.(3分)為響應(yīng)“創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展”的戰(zhàn)略號召,某學(xué)校計劃成立創(chuàng)客實驗室,現(xiàn)需購買航拍無人機和編程機器人.已知購買2架航拍無人機和3個編程機器人所需費用相同,購買4架航拍無人機和7個編程機器人共需39000元.設(shè)購買1架航拍無人機需x元,購買1個編程機器人需y元,則可列方程組為()A.3x=2y7x+C.2x=3y7【分析】根據(jù)“購買2架航拍無人機和3個編程機器人所需費用相同,購買4架航拍無人機和7個編程機器人共需39000元”,即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組,解之即可得出結(jié)論.【解答】解:∵購買2架航拍無人機和3個編程機器人所需費用相同,∴2x=3y;∵購買4架航拍無人機和7個編程機器人共需39000元,∴4x+7y=39000.∴可列方程組為2x=故選:D.【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組,找準等量關(guān)系,正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.4.(3分)下列事件中,隨機事件的個數(shù)為()①連續(xù)兩次拋擲一枚骰子,兩次都出現(xiàn)2點向上;②13個人中至少有兩個人生肖相同;③某人買彩票中獎;④任意買一張電影票,座位號是2的倍數(shù).A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【分析】事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件,事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件,必然事件和不可能事件都是確定的.【解答】解:①連續(xù)兩次拋擲一枚骰子,兩次都出現(xiàn)2點向上,是隨機事件;②13個人中至少有兩個人生肖相同,是必然事件;③某人買彩票中獎,是隨機事件;④任意買一張電影票,座位號是2的倍數(shù),是隨機事件.故選:C.【點評】本題主要考查了隨機事件,在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,稱為隨機事件.
5.(3分)一個幾何體的正視圖如圖所示,則這個幾何體可能為()A. B. C. D.【分析】根據(jù)正視圖是從正面看到的直接寫出結(jié)論即可.【解答】解:∵三視圖為矩形,∴只有圓柱符合要求,故選:A.【點評】考查了由三視圖判斷幾何體的知識,解題的關(guān)鍵是了解圓柱的正視圖是矩形,比較簡單.6.(3分)一塊三角形玻璃不慎碰破,成了四片完整碎片(如圖所示),假如只帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓師傅切一塊與以前一樣的玻璃,你認為下列說法正確的是()A.帶其中的任意兩塊去都可以 B.帶1、4或2、3去就可以 C.帶1、3或3、4去就可以 D.帶1、4或2、4去就可以【分析】帶2、4雖沒有原三角形完整的邊,又沒有角,但延長可得出原三角形的形狀;帶1、4可以用“角邊角”確定三角形;帶3、4也可以用“角邊角”確定三角形.【解答】解:帶3、4可以用“角邊角”確定三角形,帶1、4可以用“角邊角”確定三角形,
帶2、4可以延長還原出原三角形,故選:D.【點評】本題考查了全等三角形判定的應(yīng)用;確定一個三角形的大小、形狀,可以用全等三角形的幾種判定方法.做題時要根據(jù)實際問題找條件.7.(3分)如圖,點P為∠MON的平分線上一點,∠APB的兩邊分別與射線OM,ON交于A,B兩點,∠APB繞點P旋轉(zhuǎn)時始終滿足OA?OB=OP2,若∠MON=54°,則∠APB的度數(shù)為()A.153° B.144° C.163° D.162°【分析】通過證明△AOP∽△POB可得∠OAP=∠OPB,即可解決問題.【解答】解:∵OP平分∠MON,∴∠AOP=∠BOP=27°,∵OA?OB=OP2,即OAOP∴△AOP∽△POB,∴∠OAP=∠OPB,∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°,∴∠OAP+∠APO=153°,∴∠OPB+∠APO=153°,即∠APB=153°,故選:A.【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),掌握相似三角形的判定方法是本題的關(guān)鍵.8.(3分)如圖,在平面直角坐標系中,∠AOB=90°,∠OAB=30°,反比例函數(shù)y1=mx的圖象經(jīng)過點A,反比例函數(shù)y2=nx的圖象經(jīng)過點B,若n=﹣
A.1 B.3 C.2 D.3【分析】根據(jù)∠AOB=90°,∠OAB=30°,可求出OA與OB的比,設(shè)出點B的坐標,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì),求出點A的坐標,進而求出m的值.【解答】解:過A、B分別作AM⊥x軸,BN⊥x軸,垂足為M、N,∵∠AOB=90°,∠OAB=30°,∴tan30°=OB∵AM⊥x軸,BN⊥x軸,垂足為M、N,∴∠ONB=∠AMO=90°,∴∠AOM+∠OAM=90°.∵∠AOB=90°,∴∠AOM+∠BON=90°,∴AOM=∠BON,∴△BON∽△OAM,∴OBOA設(shè)ON=a,BN=b,則MA=3a,OM=3∴B(﹣a,b),A(3b,3a),∵反比例函數(shù)y2=nx的圖象經(jīng)過點B,n=﹣∴反比例函數(shù)y2=nx的解析式為y2∴ab=1,
∵點A在反比例函數(shù)y1=m∴m=3a?3b=3ab=3故選:D.【點評】考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì),直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,求出反比例函數(shù)圖象上點的坐標是解答此題的關(guān)鍵.二.填空題(共10小題,滿分30分,每小題3分)9.(3分)比﹣5小6的數(shù)是﹣11.【分析】計算﹣5﹣6,即可.【解答】解:﹣5﹣6=﹣11.故答案為:﹣11.【點評】本題考查了有理數(shù)的減法,掌握有理數(shù)的減法法則是關(guān)鍵.10.(3分)已知y=3-x+2x-3+2.那么【分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)是非負數(shù)求得x=3.【解答】解:根據(jù)題意知,3﹣x≥0且x﹣3≥0.所以x=3.故答案是:3.【點評】考查了二次根式的意義和性質(zhì).概念:式子a(a≥0)叫二次根式.性質(zhì):二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù),否則二次根式無意義.11.(3分)分解因式:mx2﹣4mx+4m=m(x﹣2)2.【分析】原式提取公因式m,再利用完全平方公式分解即可.【解答】解:原式=m(x2﹣4x+4)=m(x﹣2)2.故答案為:m(x﹣2)2.
【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用,熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.12.(3分)已知關(guān)于x的方程x2=m有兩個相等的實數(shù)根,則m=0.【分析】將原方程變形為一般式,由根的判別式Δ=0可得出關(guān)于m的一元一次方程,解之即可求出m的值.【解答】解:原方程可變形為x2﹣m=0.∵該方程有兩個相等的實數(shù)根,∴Δ=02﹣4×1×(﹣m)=0,∴m=0.故答案為:0.【點評】本題考查了根的判別式,牢記“當Δ=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.13.(3分)已知:在同一個平面直角坐標系中,一次函數(shù)y1=kx+b(k≠0)和一次函數(shù)y2=﹣x+3,若y1=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過點(﹣1,2),當﹣2≤x≤0時,y1≤y2都成立,則k的取值范圍是﹣3≤k≤﹣1.【分析】求得x=﹣2時y2的函數(shù)值,然后利用待定系數(shù)法求得k的值,根據(jù)圖象即可求得當﹣2≤x≤0時,y1≤y2都成立,k的取值范圍.【解答】解:把x=﹣2代入y2=﹣x+3得,y=2+3=5,∴直線y2=﹣x+3過得(﹣2,5),∵y1=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過點(﹣1,2),∴若y1=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過點(﹣2,5)時,滿足當﹣2≤x≤0時,y1≤y2成立,∴把(﹣2,5)、(﹣1,2)代入y1=kx+b得-2k+b=5-k+b=2,解得∴當﹣2≤x≤0時,y1≤y2都成立,則k的取值范圍是﹣3≤k≤﹣1,故答案為:﹣3≤k≤﹣1.
【點評】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式,結(jié)合圖象解答此題的關(guān)鍵.14.(3分)掌握地震知識,提升防震意識.根據(jù)里氏震級的定義,地震所釋放出的能量E與震級n的關(guān)系為E=k×101.5n(其中k為大于0的常數(shù)),那么震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的1000倍.【分析】由題意列出算式:k×1【解答】解:由題意得:k×10故答案為:1000.【點評】本題考查了科學(xué)記數(shù)法,理解能量E與震級n的關(guān)系,掌握同底數(shù)冪的除法法則是解決問題的關(guān)鍵.15.(3分)已知一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…xn的方差是3,則另一組數(shù)據(jù)2x1+3,2x2+3,2x3+3,…2xn+3的方差是12.【分析】先設(shè)這組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)為x,由方差S2=3,則另一組新數(shù)據(jù)2x1+3,2x2+3,2x3+3,…2xn+3的平均數(shù)為2x+3,方差為S′2,代入公式S2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x【解答】解:設(shè)這組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…xn的平均數(shù)為x,則另一組新數(shù)據(jù)2x1+3,2x2+3,2x3+3,…2xn+3的平均數(shù)為2x+3
∵S2=15[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn=3,∴方差為S′2=15[(2x1+3﹣2x-3)2+(2x2+3﹣2x-3)2+…+(2xn+3﹣2x=15[4(x1-x)2+4(x2-x)2+…+4(xn=4×3=12,故答案為12.【點評】本題考查方差,當數(shù)據(jù)都加上一個數(shù)(或減去一個數(shù))時,平均數(shù)也加或減這個數(shù),方差不變,即數(shù)據(jù)的波動情況不變;當數(shù)據(jù)都乘以一個數(shù)(或除以一個數(shù))時,平均數(shù)也乘以或除以這個數(shù),方差變?yōu)檫@個數(shù)的平方倍.16.(3分)在△ABC中,AB=AC=4,S△ABC=43,則tan∠ACB=【分析】過點B作BD⊥AC,先利用三角形的面積求出BD,再利用直角三角形的邊角關(guān)系求出三角形頂角的正切,求出頂角的度數(shù),最后利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠ACB的度數(shù)和其正切值.【解答】解:如圖所示:過點B作BD⊥AC,垂足為D.∵AB=AC=4,∴∠B=∠C.∵S△ABC=12AC×BD,S△ABC∴BD=23.在Rt△ABD中,∵sinA=BD∴∠A=60°.
∴∠C=12(180°﹣60°)=60∴tan∠ACB=tan60°=3如圖所示:過點B作BD⊥AC,垂足為D.∵AB=AC=4,∴∠ABC=∠C.∵S△ABC=12AC×BD,S△ABC∴BD=23.在Rt△ABD中,∵sin∠DAB=BD∴∠DAB=60°.∴∠ACB=30°.∴tan∠ACB=tan30°=3故答案為:3或33【點評】本題主要考查了解直角三角形,掌握直角三角形的邊角間關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)及三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵.17.(3分)如圖,AD∥BC,∠ADC=120°,∠BAD=3∠CAD,E為AC上一點,且∠ABE=2∠CBE,在直線AC上取一點P,使∠ABP=∠DCA,則∠CBP:∠ABP的值為2或4.
【分析】分兩種情況進行解答,分別畫出圖形,結(jié)合圖形,利用三角形內(nèi)角和、平行線的性質(zhì),等量代換,得出各個角之間的倍數(shù)關(guān)系.【解答】解:如圖,①當∠ABP1=∠DCA時,即∠1=∠2,∵∠D=120°,∴∠1+∠3=180°﹣120°=60°,∵∠BAD=3∠CAD,∠ABE=2∠CBE,AD∥BC,∴3∠3+3∠EBC=180°,∴∠3+∠EBC=60°,∴∠EBC=∠1=∠2=∠P1BE,∴∠CBP1:∠ABP1的值為2,②當∠ABP2=∠DCA時,∴∠CBP2:∠ABP2的值為4,故答案為:2或4.【點評】考查三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì),以及分類討論思想的應(yīng)用等知識,畫出相應(yīng)圖形,利用等量代換得出各個角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.18.(3分)在△ABC中,∠B=60°,BC=3,D,E分別為AB,AC的中點,沿DE折疊△ABC,使點A落在直線BC上,點A的對應(yīng)點為A',若A'C=1,則AB的長為4或8.【分析】分∠C為銳角和鈍角兩種情形,分別畫出圖形,利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可解決問題.【解答】解:①如圖,當A的對稱點A'在線段BC上時,
則AA'⊥DE,∵D,E分別為AB,AC的中點,∴DE為△ABC的中位線,∴DE∥BC,∴AA'⊥BC,∵BC=3,∴BA'=BC﹣A'C=3﹣1=2,在Rt△ABA'中,∠B=60°,∴∠BAA'=30°,在Rt△ABA'中,AB=2A'B=2×2=4;②如圖,當A的對稱點A'在線段BC的延長線上時,由對稱性知AA'⊥DE,∵∵D,E分別為AB,AC的中點,∴DE為△ABC的中位線,∴DE∥BC,又∵DE⊥AA',∴AA'⊥BC,A'B=BC+CA'=3+1=4,
在Rt△AA'B中,∠B=60°,∴∠BAA'=30°,∴AB=2A'B=2×4=8,綜上,AB的長為:4或8,故答案為:4或8.【點評】本題主要考查了翻折變換,三角形中位線定理等知識,含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識,運用分類思想是解題的關(guān)鍵.三.解答題(共10小題,滿分96分)19.(8分)(1)計算:|3-(2)先化簡,再求值:(x2+4x-【分析】(1)此小題為有理數(shù)的混合運算,只需按混合運算的運算順序計算即可;(2)此小題為求代數(shù)式值的題目,不應(yīng)考慮把x的值直接代入,通常做法是先把代數(shù)式化簡,然后再代入求值.【解答】解:(1)|3=2-3+1﹣(﹣3)+3=2-3+1+3=6;(2)(x=(x-2)=x﹣2;當x=﹣1時,原式=x﹣2=﹣1﹣2=﹣3.【點評】
本題考查了有理數(shù)的混合運算及分式的化簡求值,比較基礎(chǔ),屬于中考中常見題型,同學(xué)們要牢固掌握.20.(8分)解不等式組:5x+【分析】根據(jù)解不等式組的方法可以求得原不等式組的解集,從而可以求得滿足不等式組的整數(shù)解.【解答】解:解不等式①得:x>﹣2.5,解不等式②得:x≤4,∴不等式組的解集為:﹣2.5<x≤4,∴這個不等式組的所有整數(shù)解為:﹣2,﹣1,0,1,2,3,4.【點評】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解,解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式組的方法.21.(8分)為了解學(xué)生寒假閱讀情況,某學(xué)校進行了問卷調(diào)查,對部分學(xué)生假期的閱讀總時間作了隨機抽樣分析.設(shè)被抽樣的每位同學(xué)寒假閱讀的總時間為t(小時),閱讀總時間分為四個類別:A(0<t<12),B(12≤t<24),C(24≤t<36),D(t≥36),將分類結(jié)果制成如下兩幅統(tǒng)計圖(尚不完整).根據(jù)以上信息,回答下列問題:(1)本次抽樣的樣本容量為60;(2)補全條形統(tǒng)計圖;(3)扇形統(tǒng)計圖中α的值為20,圓心角β的度數(shù)為144°;(4)若該校有2000名學(xué)生,估計寒假閱讀的總時間少于24小時的學(xué)生有多少名?【分析】(1)根據(jù)D組的人數(shù)和百分比即可求出樣本容量;(2)根據(jù)C組所占的百分比即可求出C組的人數(shù);(3)根據(jù)A組的人數(shù)即可求出A組所占的百分比,根據(jù)C組所占的百分比即可求出對應(yīng)的圓心角;(4)先算出低于24小時的學(xué)生的百分比,再估算出全校低于24小時的學(xué)生的人數(shù).【解答】解:(1)本次抽樣的人數(shù)610%∴樣本容量為60,
故答案為:60;(2)C組的人數(shù)為40%×60=24(人),補全統(tǒng)計圖如下:(3)A組所占的百分比為1260×100%=∴a的值為20,β=40%×360°=144°,故答案為:20,144°;(4)總時間少于24小時的學(xué)生的百分比為12+1860×∴估計寒假閱讀的總時間少于24小時的學(xué)生有2000×50%=1000(名),答:估計寒假閱讀的總時間少于24小時的學(xué)生有1000名.【點評】本題主要考查統(tǒng)計圖形的應(yīng)用,能看懂統(tǒng)計圖是關(guān)鍵,一般求總量所用的公式是一個已知分量除以它所占的百分比,第一問基本都是求總量,所以要記住,估算的公式是總?cè)藬?shù)乘以滿足要求的人數(shù)所占的百分比,這兩種問題中考比較愛考,記住公式,平時要多加練習(xí).22.(8分)劉芳和李琴周末相約到某植物園晨練,這個植物園有A,B,C,D四個入口,她們可隨機選擇一個入口進入植物園,假設(shè)選擇每個入口的可能性相同.(1)她們其中一人進入植物園時,從B入口處進入的概率為14(2)用樹狀圖或列表法,求她們兩人選擇不同入口進入植物園的概率.【分析】(1)直接由概率公式求解即可;(2)畫樹狀圖,共有16種等可能的結(jié)果,其中劉芳和李琴兩人選擇不同入口進入植物園的結(jié)果有12種,再由概率公式求解即可.
【解答】解:(1)從B入口處進入的概率為14故答案為:14(2)畫樹狀圖如下:共有16種等可能的結(jié)果,其中劉芳和李琴兩人選擇不同入口進入植物園的結(jié)果有12種,∴她們兩人選擇不同入口進入植物園的概率為1216【點評】本題考查的是用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.23.(10分)市政府計劃對城區(qū)道路進行改造,現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊共同完成.已知甲隊的工作效率是乙隊工作效率的1.5倍,甲隊改造240米的道路比乙隊改造同樣長的道路少用2天.(1)甲、乙兩個工程隊每天能改造道路的長度分別是多少米?(2)若甲隊工作一天的改造費用為7萬元,乙隊工作一天的改造費用為5萬元,如需改造的道路全長為1800米,求安排甲、乙兩個工程隊同時開工,并一起完成這項城區(qū)道路改造的總費用?【分析】(1)設(shè)乙工程隊每天能改造道路的長度為x米,則甲工程隊每天能改造道路的長度為1.5x米,由題意:甲隊改造240米的道路比乙隊改造同樣長的道路少用2天.列出分式方程,解方程即可;(2)設(shè)安排甲、乙兩個工程隊同時開工需要m天完成,由題意:需改造的道路全長為1800米,安排甲、乙兩個工程隊同時開工,列出一元一次方程,解得m=18,再求出總費用即可.【解答】解:(1)設(shè)乙工程隊每天能改造道路的長度為x米,則甲工程隊每天能改造道路的長度為1.5x米,根據(jù)題意得:240x-解得:x=40,經(jīng)檢驗,x=40是所列分式方程的解,且符合題意,∴1.5x=60.
答:甲工程隊每天能改造道路的長度為60米,乙工程隊每天能改造道路的長度為40米.(2)設(shè)安排甲、乙兩個工程隊同時開工需要m天完成,由題意得:60m+40m=1800,解得:m=18,則18×7+18×5=216(萬元),答:甲、乙兩個工程隊一起完成這項城區(qū)道路改造的總費用為216萬元.【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是:(1)找準等量關(guān)系,正確列出分式方程;(2)找準等量關(guān)系,正確列出一元一次方程.24.(10分)如圖,平行四邊形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,DF平分∠BAD交BC于E,DF平分∠ADC交BC于F.(1)求證:BF=EC;(2)若E為BC的三等分點(靠近C點),AE=23,DF=2,求直線AB與CD之間的距離.【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定即可得結(jié)論;(2)過點B作BG⊥AE于G,過點C作CH⊥DF于H,由AE平分∠BAD,DF平分∠ADC,可證得AE⊥DF,再證△BGE≌△FHC,根據(jù)平行四邊形的面積和三角形面積之間的關(guān)系即可得結(jié)論.【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,∴∠DAE=∠AEB,又∵AE平分∠BAD交BC于E,∴∠DAE=∠BAE,∴∠AEB=∠BAE,∴AB=BE,同理,CD=FC,∴BE=FC,BF=EC;(2)如圖,過點B作BG⊥AE于G,過點C作CH⊥DF于H,
∵AE平分∠BAD,DF平分∠ADC,∴∠EAD=12∠BAD,∠FDA∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,∴∠EAD+∠FDA=90°,∴AE⊥DF,∴CH∥AE,∴∠HCF=∠GEB,∵∠BGE=∠FHC=90°,∵BE=FC,∴△BGE≌△FHC(AAS),∴BE=DC,∵BE=FC,∴FC=DC,∵CH⊥DF,∴FH=12DF同理CH=EG=12AE∴FC=2,∴S△DFC=12×∵E為BC的三等分點,∴S△BCD=32S△DFC
∴S四邊形ABCD=2S△BCD=設(shè)直線AB與CD的距離為h,∵CD=FC=2,∴2h=3∴h=3【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),三角形的面積,解決本題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識.25.(10分)如圖,已知:以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O,∠B的平分線BE交AC于D,交⊙O于E,過E作EF∥AC交BA的延長線于F.AF=5,EF=10,(1)求證:EF是⊙O切線;(2)求⊙O的半徑長;(3)求sin∠CBE的值.【分析】(1)連接OE,證明OE⊥EF.(2)通過證明△EFA∽△BFE,得出EF2=AF?FB,求出半徑.(3)求sin∠CBE,即求sin∠ABE,由△EFA∽△BFE,得出AE:BE=EF:BF=2,在△ABE中由勾股定理求出AE,從而得出結(jié)果.【解答】(本題滿分7分)(1)證明:連接OE,∵BE是∠B的平分線,∴∠ABE=∠CBE.(1分)∴OE⊥AC.(2分)∵EF∥AC,∴OE⊥EF.∵E在⊙O上,
∴EF是⊙O的切線.(3分)(2)解:∵EF∥AC,∴∠FEA=∠EAC.∵∠EAC=∠EBC,又∵∠ABE=∠CBE,∴∠FEA=∠ABE.又∵∠F=∠F,∴△EFA∽△BFE.(5分)∴EFAF∴EF2=AF?FB=15.∴⊙O的半徑長7.5.(6分)(3)解:∵△EFA∽△BFE,∴EFAF=設(shè)AE=k,BE=2K,∵∠AEB=90°,∴AE2+BE2=AB2∴k2+4k2=152k=35.∴AE=35.∴sin∠ABE=5∴sin∠CBE=sin∠ABE=55.(
【點評】(1)連接半徑是證明切線常用的輔助線的作法.(2)求三角函數(shù)值,經(jīng)常是根據(jù)定義,放在直角三角形中去求.26.(10分)小穎復(fù)習(xí)尺規(guī)作圖時,將Rt△ABC(∠ACB=90°)進行如下操作(如圖):①以點B為圓心,適當長為半徑畫弧,交BA于點Q,交BC于點P,再分別以點P,Q為圓心,大于12PQ的長為半徑畫弧,兩弧交于點H,作射線BH②以點A為圓心,適當長為半徑畫弧,交AB于點M,交AC于點N,再分別以點M,N為圓心,大于12MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點G,作射線AG,交射線BH于點O③作射線CO交AB于點D,且∠CDA=90°,以點O為圓心,OD為半徑作⊙O,交AC于點E,交BC于點F,構(gòu)成如圖所示的陰影部分.(1)求證:Rt△ABC是等腰直角三角形;(2)若AC=2,求圖中陰影部分的面積.【分析】(1)證明CA=CB,可得結(jié)論;(2)利用面積法求出OD,可得結(jié)論.【解答】(1)證明:由作圖可知,OA,OB是∠CAB,∠CBA的角平分線,∴OC平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45∵∠CDA=90°.∴∠CAB=∠CBA=45°,∴CA=CB,∴△ABC是等腰直角三角形;
(2)解:∵AC=CB=2,∠ACB=90°,∴AB=22,由題意,點O是△ABC的內(nèi)心,∴S△ABC=12?AC?BC=12?(AC+BC+AB∴OD=2-2∴S陰=S△ABC﹣S圓O=12×2×2﹣π?(2-2)2=2﹣(6﹣4【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖,解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息,靈活運用所學(xué)知識解決問題.27.(12分)如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,BCAC(1)求ADBD(2)當n=3時,E為邊AB上一點,連接CE,F(xiàn)為CE上一點,且CFEF=12.若∠EFB=60°,AC(3)如圖,延長CA到點G,使AG=CA,連接GD,則tan∠GDA=n2【分析】(1)如圖1,利用直角三角形兩內(nèi)角互余,可以證得∠A=∠DCB,又tan∠A=BCAC=n,所以tan∠A=DCAD=n,tan∠DCB=BDDC=n,設(shè)AD=x,則DC(2)如圖2,由(1)可得,當n=3時,∠A=∠DCB=60°,由∠EFB=∠DCB=60°,可以證得∠DCE=∠FCB,過F作FN⊥BC于N,可以證得△DCE∽△NBF,由于直角△ABC中,∠A=60°
AC=4,利用勾股定理或三角函數(shù),可以解直角△ABC,直角△ADC,直角△BCD,利用CFEF=12,可以證得△CFN∽△CEQ,且相似比為1:3,從而可以用x表示出FN和BN長,利用△(3)由于AG=AC,且題目要求的是tan∠GDA,故可以構(gòu)造一個“中線倍長”模型,即過G點作AB的垂線于H,先證明△GHA≌△CDA,再利用(1)中結(jié)論CDAD=n,設(shè)AD=x,接著分別表示出GH和【解答】解:(1)如圖1,∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°,∴∠ACD+∠A=90°,又∠ACD+∠BCD=90°,∴∠A=∠BCD,同理,∠B=∠ACD,∵tan∠A=BCAC∴tan∠BCD=n,∴CDAD設(shè)AD=x,則CD=nx,BD=n2x,∴ADBD(2)如圖2,分別過E,F(xiàn)作BC的垂線,垂足分別為N,Q,
過C作CD⊥AB于D,∵tan∠BAC=BC∠A=60°,∴∠B=90°﹣∠B=30°,過C作CDAB于D,∴∠ACD=90°﹣∠A=30°,∵AC=4,∴AD=12AC=2,AB=2∴BD=AB﹣AD=6,BC=A∴CD=1設(shè)DE=x,則BE=6﹣x,∵FN⊥BC,EQ⊥BC,∴∠CNF=∠CQE=90°,∴FN∥EQ,∴△CFN∽△CEQ,∵CFEF∴CFCE在直角△EQB中,∠B=30°,BE=6﹣x,
∴EQ=1∴BQ=BE2∴CQ=BC﹣BQ=3FN=13QE=∴CN=1∴BN=BC﹣CN=11∵∠DCB=90°﹣∠B=60°,∵∠EFB=60°,∴∠DCB=∠EFB,∴∠DCE+∠ECB=∠ECB+∠NBF,∴∠DCE=∠NBF,∵∠CDE=∠BNF=90°,∴△CDE∽△BNF,∴DECD∴x2解得x=12±2∵DE=x<6,∴DE=x=12-2∴BE=6﹣x=2(3)如圖3,過G作GH⊥BA交其延長線于H,
∴∠GHA=∠CDA=90°,在△GHA與△CDA中,∠GHA=∴△GHA≌△CDA(AAS),∴AH=AD,GH=CD,由(1)可得,CDAD=∴設(shè)AD=y(tǒng),則CD=ny,∴GH=CD=ny,DH=2AD=2y,∴tan∠GDA=GH故答案為n2【點評】本題是一道三角形綜合題目,注意利用已知條件去構(gòu)造相似三角形,或者全等三角形是解決本題的關(guān)鍵,比如(2)中的線段比為1:2,可以利用此條件去構(gòu)造相似,(3)中的中點條件,構(gòu)造“中線”倍長模型,此題對學(xué)生的運算能力也有一定要求.28.(12分)如圖,拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C,頂點為D.(1)求拋物線的解析式;(2)若在線段BC上存在一點M,使得∠BMO=4
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