2023-2024學年福建省福州市倉山區(qū)時代中學九年級（下）開門考數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2023-2024學年福建省福州市倉山區(qū)時代中學九年級（下）開門考數(shù)學試卷一.選擇題（共10小題，每小題4分）1．（4分）下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）習近平總書記提出精準扶貧戰(zhàn)略以來，各地積極推進精準扶貧，加大幫扶力度，全國脫貧人口數(shù)不斷增加，脫貧人口接近11000000人，將數(shù)據(jù)11000000用科學記數(shù)法表示為（）A．1.1×106 B．1.1×107 C．1.1×108 D．1.1×1093．（4分）下列各式中，計算正確的是（）A．a(chǎn)3?a2＝a6 B．a(chǎn)3+a2＝a5 C．a(chǎn)6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a64．（4分）若點A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）在反比例函數(shù)的圖象上，則a，b，c的大小關系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞c＞a5．（4分）第三屆“一帶一路”國際高峰論壇在北京成功召開，大會回顧了10年來共建“一帶一路”取得的豐碩成果．根據(jù)有關數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，2020年中歐貿(mào)易總額約為5800億歐元，2022年中歐貿(mào)易總額約為8600億歐元，設這兩年中歐貿(mào)易總額的年平均增長率為x，則可列方程為（）A．5800（1+x2）＝8600 B．5800（1+x）2＝8600 C．8600（1﹣x2）＝5800 D．8600（1﹣x）2＝58006．（4分）已知二次函數(shù)y＝﹣2（x﹣1）2﹣3，下列說法正確的是（）A．對稱軸為直線x＝﹣1 B．函數(shù)的最大值是3 C．拋物線開口向上 D．頂點坐標為（1，﹣3）7．（4分）如圖，△ODC是由△OAB繞點O順時針旋轉30°后得到的圖形，若點D恰好落在AB上，則∠A的度數(shù)為（）A．70° B．75° C．60° D．65°8．（4分）如圖，點D，E分別在△ABC的邊AB，AC上，且DE∥BC，若AD：DB＝2：3，AC＝15，則CE＝（）A．4.5 B．6 C．8 D．99．（4分）如圖所示，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，且OC⊥AB，過點C的弦CD與線段OB相交于點E，滿足∠AEC＝65°，連接AD，則∠BAD等于（）A．20° B．25° C．30° D．32.5°10．（4分）若點A（﹣1，y1）、B（5，y2）、C（m，y3）在拋物線y＝ax2﹣2ax+c上，且y2＜y3＜y1，則m的取值范圍是（）A．﹣1＜m＜1 B．m＜﹣3或m＞1 C．3＜m＜5或﹣3＜m＜﹣1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1二.填空題（共6小題，每小題4分）11．（4分）使有意義的x的取值范圍是．12．（4分）在一個不透明的袋子里裝有紅球和白球共30個，這些球除顏色外都相同，小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出白球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則袋子里白球可能是個．13．（4分）在平面直角坐標系中，將函數(shù)y＝2（x﹣1）2的圖象先向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為．14．（4分）小明同學利用如圖所示的電路探究電流I與電阻R的關系．已知電源電壓保持不變，實驗用到的電阻阻值和測得的電流如表所示：電阻R（單位：Ω）510152025電流I（單位：A）1.20.60.40.30.24實驗結束后，小明同學發(fā)現(xiàn)電流I和電阻R之間是一種數(shù)學函數(shù)模型，請寫出I和R之間函數(shù)關系式：．15．（4分）抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如圖，AC，BD分別與⊙O相切于點C，D，延長AC，BD交于點P．若∠P＝120°，⊙O的半徑為6cm，則圖中的長為cm．（結果保留π）16．（4分）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，M是邊BC上的一點．，以AM為邊作等邊△AMN，連接CN．若，則AB＝．三.解答題（共9小題）17．（8分）計算：（）﹣1﹣|﹣3|+2cos30°．18．（8分）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2+．19．（8分）將數(shù)，，分別寫在三張相同的不透明卡片上的正面，將卡片洗勻后背面朝上置于桌面，甲乙兩個同學從中隨機各抽取一張卡片（注：第一個同學抽取到的卡片不放回）．（1）甲同學抽到的卡片上數(shù)字是的概率是；（2）請用列舉法求甲乙兩個同學抽到的卡片數(shù)字都是無理數(shù)的概率．20．（8分）在抗擊新冠肺炎疫情期間，某社區(qū)購買酒精和消毒液兩種消毒物資，供居民使用．第一次購買酒精200瓶，消毒液300瓶，花費2600元；第二次購買酒精100瓶，消毒液200瓶，花費1500元．（1）求酒精和消毒液的價格．（2）若按照酒精和消毒液的原價再一次購買，根據(jù)需要，購買的酒精數(shù)量是消毒液數(shù)量的2倍，現(xiàn)有購買資金2000元，則最多能購買消毒液多少瓶？21．（8分）已知，如圖，△ABC的頂點A，C在⊙O上，⊙O與AB相交于點D，連接CD，∠A＝30°．（1）若⊙O半徑為3，求弦CD的長；（2）若∠ACB+∠ADC＝180°，求證：BC是⊙O的切線．22．（10分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中的x，y滿足如表；x…01m34…y…n1.521.50…（1）補全表格，m＝，n＝；（2）利用上表，在平面直角坐標系中畫出這條拋物線的圖象；（3）當a≤x≤4時，y的取值范圍為0≤y≤2，則a的取值范圍為．23．（10分）如圖，在△ABC中，點I是△ABC的內(nèi)心．（1）求作過點I且平行于BC的直線，與AB，AC分別相交于點D，E（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若AB＝6，AC＝8，DE＝，求BC的長．24．（12分）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，將△ABC繞點A逆時針旋轉一個角度α得到Rt△ADE，連接BD，CE．（1）如圖①，當0°＜α＜45°時，求證：△ABD∽△ACE；（2）如圖②，當α＝45°時，點E在AB的延長線上，延長DB交CE于點F，求∠DFE的度數(shù)；（3）如圖③，當45°＜α＜90°時，延長DB交CE于點F，求證：點F是線段CE的中點．25．（14分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）如圖1，若在x軸上方的拋物線上存在一點D，使得∠ACD＝45°，求點D的坐標；（3）如圖2，平面上一點E（3，2），過點E作任意一條直線交拋物線于P、Q兩點，連接AP、AQ，分別交y軸于M、N兩點，則OM與ON的積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

2023-2024學年福建省福州市倉山區(qū)時代中學九年級（下）開門考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一.選擇題（共10小題，每小題4分）1．（4分）下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；C、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意．故選：C．2．（4分）習近平總書記提出精準扶貧戰(zhàn)略以來，各地積極推進精準扶貧，加大幫扶力度，全國脫貧人口數(shù)不斷增加，脫貧人口接近11000000人，將數(shù)據(jù)11000000用科學記數(shù)法表示為（）A．1.1×106 B．1.1×107 C．1.1×108 D．1.1×109【解答】解：將11000000用科學記數(shù)法表示為1.1×107．故選：B．3．（4分）下列各式中，計算正確的是（）A．a(chǎn)3?a2＝a6 B．a(chǎn)3+a2＝a5 C．a(chǎn)6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a6【解答】解：A、a3?a2＝a5，錯誤；B、a3+a2不能合并，錯誤；C、a6÷a3＝a3，錯誤；D、（a3）2＝a6，正確；故選：D．4．（4分）若點A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）在反比例函數(shù)的圖象上，則a，b，c的大小關系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞c＞a【解答】解：在反比例函數(shù)中，k＝1＞0，圖象分布在第一三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，∵C（2，c）在第一象限，∴c＞0，∵A（﹣3，a），B（﹣1，b）在第三象限，且x＜0時，y隨x的增大而減小，﹣3＜﹣1，∴0＞a＞b，∴c＞a＞b，故選：B．5．（4分）第三屆“一帶一路”國際高峰論壇在北京成功召開，大會回顧了10年來共建“一帶一路”取得的豐碩成果．根據(jù)有關數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，2020年中歐貿(mào)易總額約為5800億歐元，2022年中歐貿(mào)易總額約為8600億歐元，設這兩年中歐貿(mào)易總額的年平均增長率為x，則可列方程為（）A．5800（1+x2）＝8600 B．5800（1+x）2＝8600 C．8600（1﹣x2）＝5800 D．8600（1﹣x）2＝5800【解答】解：由題意得，5800（1+x）2＝8600，故選：B．6．（4分）已知二次函數(shù)y＝﹣2（x﹣1）2﹣3，下列說法正確的是（）A．對稱軸為直線x＝﹣1 B．函數(shù)的最大值是3 C．拋物線開口向上 D．頂點坐標為（1，﹣3）【解答】解：由題意，∵二次函數(shù)y＝﹣2（x﹣1）2﹣3的開口向下，對稱軸是直線x＝1，∴當x＝1時，函數(shù)有最大值為﹣3；頂點坐標為（1，﹣3）．故選：D．7．（4分）如圖，△ODC是由△OAB繞點O順時針旋轉30°后得到的圖形，若點D恰好落在AB上，則∠A的度數(shù)為（）A．70° B．75° C．60° D．65°【解答】解：由題意得∠AOD＝30°、OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝＝75°，故選：B．8．（4分）如圖，點D，E分別在△ABC的邊AB，AC上，且DE∥BC，若AD：DB＝2：3，AC＝15，則CE＝（）A．4.5 B．6 C．8 D．9【解答】解：∵AD：DB＝2：3，∴BD：AB＝3：5，∵DE∥CB，∴＝＝，∵AC＝15，∴EC＝9．故選：D．9．（4分）如圖所示，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，且OC⊥AB，過點C的弦CD與線段OB相交于點E，滿足∠AEC＝65°，連接AD，則∠BAD等于（）A．20° B．25° C．30° D．32.5°【解答】解：連接OD，∵OC⊥AB，∴∠COB＝90°，∵∠AEC＝65°，∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝25°，∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°，∴由圓周角定理得：∠BAD＝∠DOB＝20°，故選：A．10．（4分）若點A（﹣1，y1）、B（5，y2）、C（m，y3）在拋物線y＝ax2﹣2ax+c上，且y2＜y3＜y1，則m的取值范圍是（）A．﹣1＜m＜1 B．m＜﹣3或m＞1 C．3＜m＜5或﹣3＜m＜﹣1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1【解答】解：拋物線y＝ax2﹣2ax+c的對稱軸為直線，∵A（﹣1，y1）、B（5，y2）、C（m，y3）在拋物線y＝ax2﹣2ax+c上，∴根據(jù)拋物線對稱性可知：點A（﹣1，y1）與點A'（3，y1）關于對稱軸直線x＝1對稱，點B（5，y2）與點B'（﹣3，y2）關于對稱軸直線x＝1對稱，∵y2＜y1，﹣3＜﹣1，3＜5，∴當x＜1時，函數(shù)值y隨著x的增大而增大；當x＞1時，函數(shù)值y隨著x的增大而減?。弧鄴佄锞€y＝ax2﹣2ax+c的圖象開口向下，作圖如下：由圖可知：要滿足y2＜y3＜y1，則m的取值范圍為：3＜m＜5或﹣3＜m＜﹣1，故選：C．二.填空題（共6小題，每小題4分）11．（4分）使有意義的x的取值范圍是x≥2．【解答】解：根據(jù)二次根式的意義，得x﹣2≥0，解得x≥2．12．（4分）在一個不透明的袋子里裝有紅球和白球共30個，這些球除顏色外都相同，小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出白球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則袋子里白球可能是9個．【解答】解：由題意可得，30×0.3＝9（個），即袋子中白球的個數(shù)最有可能是9個，故答案為：9．13．（4分）在平面直角坐標系中，將函數(shù)y＝2（x﹣1）2的圖象先向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為y＝2（x﹣2）2﹣3．【解答】解：將函數(shù)y＝2（x﹣1）2的圖象先向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為：y＝2（x﹣1﹣1）2﹣3，即y＝2（x﹣2）2﹣3．故答案為：y＝2（x﹣2）2﹣3．14．（4分）小明同學利用如圖所示的電路探究電流I與電阻R的關系．已知電源電壓保持不變，實驗用到的電阻阻值和測得的電流如表所示：電阻R（單位：Ω）510152025電流I（單位：A）1.20.60.40.30.24實驗結束后，小明同學發(fā)現(xiàn)電流I和電阻R之間是一種數(shù)學函數(shù)模型，請寫出I和R之間函數(shù)關系式：I＝．【解答】解：由表格中數(shù)據(jù)可得：U＝5×1.2＝10×0.6＝6，則I＝＝．故答案為：I＝．15．（4分）抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如圖，AC，BD分別與⊙O相切于點C，D，延長AC，BD交于點P．若∠P＝120°，⊙O的半徑為6cm，則圖中的長為2πcm．（結果保留π）【解答】解：如圖所示，連接OC，OD，∵AC，BD分別與⊙O相切于點C，D，∴∠OCP＝∠ODP＝90°，由四邊形內(nèi)角和為360°可得，∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°．∴的長＝＝2π．故答案為：2π．16．（4分）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，M是邊BC上的一點．，以AM為邊作等邊△AMN，連接CN．若，則AB＝或3．【解答】解：當N在AM右側時，如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵△AMN是等邊三角形，∴∠BAM+∠CAM＝∠CAN+∠CAM＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵AB＝AC，AM＝AN，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴，∵，∴，∴，∴；當N在AM右左側時，過N作ND⊥BC于D，同上易證△BAN≌△CAM（SAS），∴，∠ABN＝∠ACM＝∠ABC＝60°，∴∠NBD＝60°，∵ND⊥BC，∴∠BND＝30°，∴，∴，∴，∵DN2+CD2＝CN2，∵，解得：BC＝3，∴AB＝BC＝3，故答案為：或3．三.解答題（共9小題）17．（8分）計算：（）﹣1﹣|﹣3|+2cos30°．【解答】解：原式＝2﹣（3﹣）+2×＝2﹣3++＝2﹣1．18．（8分）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2+．【解答】解：（1﹣）÷＝＝＝，當a＝2+時，原式＝＝．19．（8分）將數(shù)，，分別寫在三張相同的不透明卡片上的正面，將卡片洗勻后背面朝上置于桌面，甲乙兩個同學從中隨機各抽取一張卡片（注：第一個同學抽取到的卡片不放回）．（1）甲同學抽到的卡片上數(shù)字是的概率是；（2）請用列舉法求甲乙兩個同學抽到的卡片數(shù)字都是無理數(shù)的概率．【解答】解：（1）∵有3張卡片，其中只有一張卡片上的數(shù)字是，∴P（甲同學抽到的卡片上數(shù)字是）＝，故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：∵一共有6種等可能的結果，其中甲乙兩個同學抽到的卡片數(shù)字都是無理數(shù)有2種可能，∴P（甲乙兩個同學抽到的卡片數(shù)字都是無理數(shù)）＝．20．（8分）在抗擊新冠肺炎疫情期間，某社區(qū)購買酒精和消毒液兩種消毒物資，供居民使用．第一次購買酒精200瓶，消毒液300瓶，花費2600元；第二次購買酒精100瓶，消毒液200瓶，花費1500元．（1）求酒精和消毒液的價格．（2）若按照酒精和消毒液的原價再一次購買，根據(jù)需要，購買的酒精數(shù)量是消毒液數(shù)量的2倍，現(xiàn)有購買資金2000元，則最多能購買消毒液多少瓶？【解答】解：（1）設酒精x元/瓶，消毒液y元/瓶，依題意得：，解得：．答：酒精7元/瓶，消毒液4元/瓶．（2）設購買消毒液m瓶，則購買酒精2m瓶，依題意得：7×2m+4m≤2000，解得：m≤．又∵m為正整數(shù)，∴m可以取的最大值111．答：最多能購買消毒液111瓶．21．（8分）已知，如圖，△ABC的頂點A，C在⊙O上，⊙O與AB相交于點D，連接CD，∠A＝30°．（1）若⊙O半徑為3，求弦CD的長；（2）若∠ACB+∠ADC＝180°，求證：BC是⊙O的切線．【解答】（1）解：連接OC、OD，如圖1所示：則OC＝OD＝3，∵∠A＝30°，∴∠DOC＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴CD＝3；（2）證明：解法一：連接CO并延長交⊙O于點M，連AM，如圖2所示：則∠MAC＝90°，∠M+∠ADC＝180°，∴∠M+∠ACM＝90°，∵∠ACB+∠ADC＝180°，∴∠M＝∠ACB，∴∠ACB+∠ACM＝90°，即∠BCM＝90°，且CM是⊙O的直徑，∴BC是⊙O的切線；解法二：如圖1，∵∠ACB+∠ADC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠ACB＝∠BDC，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠ACB＝∠ACD+∠BCD，∴∠BCD＝∠A＝30°，∵△OCD是等邊三角形，∴∠OCD＝60°，∴∠OCB＝∠OCD+∠BCD＝60°+30°＝90°，且OC是⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線．22．（10分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中的x，y滿足如表；x…01m34…y…n1.521.50…（1）補全表格，m＝2，n＝0；（2）利用上表，在平面直角坐標系中畫出這條拋物線的圖象；（3）當a≤x≤4時，y的取值范圍為0≤y≤2，則a的取值范圍為0≤a≤2．【解答】解：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)和函數(shù)的對稱性可知，函數(shù)的對稱軸是直線x＝2，點（0，0）和點（4，0）關于對稱軸對稱，∴n＝0，設二次函數(shù)y＝ax（x﹣4），代入（1，1.5）得1.5＝﹣3a，∴a＝﹣，∴y＝﹣x（x﹣4），當y＝2時，2＝﹣，解得x＝2，∴m＝2，故答案為：2，0；（2）畫出這條拋物線的圖象如圖：；（3）觀察圖象，當x＝2時，函數(shù)y＝2，當x＝0或x＝4時，y＝0，∵當a≤x≤4時，y的取值范圍為0≤y≤2，∴0≤a≤2，故答案為：0≤a≤2．23．（10分）如圖，在△ABC中，點I是△ABC的內(nèi)心．（1）求作過點I且平行于BC的直線，與AB，AC分別相交于點D，E（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若AB＝6，AC＝8，DE＝，求BC的長．【解答】解：（1）如圖，連接BI，作∠DIB＝∠IBC，直線ID交AC于E點，則直線DE為所作；（2）連接CI，如圖，∵點I是△ABC的內(nèi)心，∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，∴∠DBI＝∠CBI，∠ECI＝∠BCI，∵DE∥BC，∴∠DIB＝∠CBI，∠EIC＝∠BCI，∴∠DIB＝∠DBI，∠EIC＝∠ECI，∴DB＝DI，EI＝EC，設BD＝x，則DI＝x，CE＝EI＝﹣﹣x，∵DE∥BC，∴BD：BA＝CE：CA，即x：6＝（﹣x）：8，解得x＝2，∴AD＝AB﹣BD＝4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝AD：AB，即：BC＝4：6，解得BC＝7，即BC的長為7．24．（12分）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，將△ABC繞點A逆時針旋轉一個角度α得到Rt△ADE，連接BD，CE．（1）如圖①，當0°＜α＜45°時，求證：△ABD∽△ACE；（2）如圖②，當α＝45°時，點E在AB的延長線上，延長DB交CE于點F，求∠DFE的度數(shù)；（3）如圖③，當45°＜α＜90°時，延長DB交CE于點F，求證：點F是線段CE的中點．【解答】（1）證明：∵將△ABC繞點A逆時針旋一個角度α得到Rt△ADE，∴AD＝AB，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE，∴，∴△ABD∽△ACE；（2）解：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，由旋轉的性質(zhì)可知：AD＝AB，AE＝AC，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠1＝∠2＝67.5°，∠3＝∠ACE＝67.5°，∴∠2＝∠4＝67.5°，∴∠BFE＝180°﹣∠3﹣∠4＝45°；（3）證明：如圖，過點E作EM⊥DF于點M，過點C作CN⊥DF，交DF的延長線于點N，∴∠DME＝∠EMF＝∠BNC＝90