江西省宜春市上高二中高三上學(xué)期第一次月考試題數(shù)學(xué)

2024屆高三年級(jí)第一次月考數(shù)學(xué)試卷命題人：葉民安一、單選題（每小題5分，共40分）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．3．已知命題p：“”，命題q：“直線與直線垂直”，則命題p是命題q的（

）A．充分不必要條B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要4．已知函數(shù)的定義域是R，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．在上定義運(yùn)算：，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．6．在中，若，則為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形7．已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以為直徑的圓與橢圓E在第一象限交于點(diǎn)P，且是等邊三角形，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題（每小題5分，共20分）9．（多選）已知a，b，，且，則下列不等關(guān)系成立的是（

）A． B．C． D．10．不等式的解集可能為（

）A．R B．C． D．11．下面命題正確的是（

）A．不等式的解集為B．不等式的解集為C．不等式在時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為D．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為12．如圖，在正方體中，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．直線平面B．存在點(diǎn)，使得直線與所成角為30°C．三棱錐的體積為定值D．平面與底面的交線平行于直線三、填空題（每小題5分，共20分）13．不等式的解集為．14．已知不等式的解集為，若函數(shù)（且），則．15．已知隨機(jī)變量，，且，，則．16．雙曲線：其左、右焦點(diǎn)分別為、，傾斜角為的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，設(shè)雙曲線右頂點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為．四、解答題（共70分）17．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求角A的大小；(2)若，，求的面積．18．正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等差數(shù)列，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和.19．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)設(shè)的中點(diǎn)為，點(diǎn)在棱上（異于點(diǎn)，，且，求直線與平面所成角的正弦值.20．人工智能（AI）是一門極富挑戰(zhàn)性的科學(xué)，自誕生以來(lái)，理論和技術(shù)日益成熟.某校成立了兩個(gè)研究性小組，分別設(shè)計(jì)和開(kāi)發(fā)不同的AI軟件用于識(shí)別音樂(lè)的類別.記兩個(gè)研究性小組的軟件每次能正確識(shí)別音樂(lè)類別的概率分別為.為測(cè)試軟件的識(shí)別能力，計(jì)劃采取兩種測(cè)試方案.方案一：將100首音樂(lè)隨機(jī)分配給兩個(gè)小組識(shí)別，每首音樂(lè)只被一個(gè)軟件識(shí)別一次，并記錄結(jié)果；方案二：對(duì)同一首歌，兩組分別識(shí)別兩次，如果識(shí)別的正確次數(shù)之和不少于三次，則稱該次測(cè)試通過(guò).(1)若方案一的測(cè)試結(jié)果如下：正確識(shí)別的音樂(lè)數(shù)之和占總數(shù)的；在正確識(shí)別的音樂(lè)數(shù)中，組占；在錯(cuò)誤識(shí)別的音樂(lè)數(shù)中，組占.（i）請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，并通過(guò)獨(dú)立性檢驗(yàn)分析，是否有的把握認(rèn)為識(shí)別音樂(lè)是否正確與兩種軟件類型有關(guān)？正確識(shí)別錯(cuò)誤識(shí)別合計(jì)A組軟件B組軟件合計(jì)100（ii）利用（i）中的數(shù)據(jù)，視頻率為概率，求方案二在一次測(cè)試中獲得通過(guò)的概率；(2)研究性小組為了驗(yàn)證軟件的有效性，需多次執(zhí)行方案二，假設(shè)，問(wèn)該測(cè)試至少要進(jìn)行多少次，才能使通過(guò)次數(shù)的期望值為16？并求此時(shí)的值.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82821．對(duì)于橢圓：，我們稱雙曲線：為其伴隨雙曲線．已知橢圓（），它的離心率是其伴隨雙曲線離心率的倍．

(1)求橢圓伴隨雙曲線的方程；(2)如圖，點(diǎn)，分別為的下頂點(diǎn)和上焦點(diǎn)，過(guò)的直線與上支交于，兩點(diǎn)，設(shè)的面積為，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若的面積為，求．22．已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求m，n；(2)若在上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.2024屆高三年級(jí)第一次月考數(shù)學(xué)試卷答案BBACA CDA9．CD 10．ACD 11．ACD 12．ACD13． 14．6 15．0.2/ 16．17．(1) (2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，即可求出，從而得解；（2）利用余弦定理求出，再利用面積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)椋?；?）因?yàn)?，，，由余弦定理，即，解得或，?dāng)時(shí)，則為鈍角，不符合題意，當(dāng)時(shí)，所以為銳角，符合題意，所以面積為.18．(1) (2)【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，然后根據(jù)已知條件列方程組可求出，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，（2）由（1）得，再利用錯(cuò)位相減法可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，因?yàn)椋裕?相減得，所以，代入，得，解得或，因?yàn)?，所? 所以.（2）由已知得，，，所以，兩個(gè)等式相減得，所以.19．(1)證明見(jiàn)解析 (2)【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，則，所以由線面垂直的判定可得平面，從而可得結(jié)論；（2）以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫嫫矫?，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?（2）解：由題意可得兩兩垂直，設(shè)，如圖，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，

因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令可得，所以平面的一個(gè)法向量.，設(shè)，即，所以.又，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）.所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.20．(1)（i）表格見(jiàn)解析，沒(méi)有；（ii）(2)測(cè)試至少27次，.【分析】（1）根據(jù)條件填寫列聯(lián)表并做卡方計(jì)算，根據(jù)列聯(lián)表求出，對(duì)“一次測(cè)試通過(guò)”作分類討論求出其概率；（2）根據(jù)對(duì)“一次測(cè)試通過(guò)”的分類討論，求出其概率的最大值，再按照二項(xiàng)分布求解.【詳解】（1）（i）依題意得列聯(lián)表如下：正確識(shí)別錯(cuò)誤識(shí)別合計(jì)組軟件402060組軟件202040合計(jì)6040100因?yàn)椋?，所以沒(méi)有的把握認(rèn)為軟件類型和是否正確識(shí)別有關(guān)；（ii）由（i）得，故方案二在一次測(cè)試中通過(guò)的概率為；（2）方案二每次測(cè)試通過(guò)的概率為，所以當(dāng)時(shí)，取到到最大值，又，此時(shí)，因?yàn)槊看螠y(cè)試都是獨(dú)立事件，故次實(shí)驗(yàn)測(cè)試通過(guò)的次數(shù)，期望值，因?yàn)?，所以所以測(cè)試至少27次，此時(shí).21．(1) (2)【分析】（1）設(shè)橢圓與其伴隨雙曲線的離心率分別為，，依題意可得，，根據(jù)離心率公式得到方程，求出，即可得解；（2）設(shè)直線的斜率為，，，直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，求出，由求出，再由可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，代入韋達(dá)定理，即可得解.【詳解】（1）設(shè)橢圓與其伴隨雙曲線的離心率分別為，，依題意可得，，即，即，解得，所以橢圓，則橢圓伴隨雙曲線的方程為.（2）由（1）可知，，設(shè)直線的斜率為，，，則直線的方程，與雙曲線聯(lián)立并消去得，則，所以，，則，又，又，所以，解得或（舍去），又，所以，因?yàn)?，所?22．(1) (2)【分析】（1）求出，，與切線方程為比較可得答案；（2）求出，分、、、討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由，得．?）因?yàn)椋?，所以，?）若，則，在上為增函數(shù)，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；（2）當(dāng)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，，①若，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；②若，則，易知，，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，又在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)0，所以，當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，，，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)樵谏嫌星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)0，所以，若