新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第四章數(shù)列 課時(shí)練習(xí)題含答案解析

第四章數(shù)列

4.1數(shù)列.....................................................................1

4.2等差數(shù)列................................................................13

4.3等比數(shù)列................................................................26

4.1數(shù)列

一、單選題

1.已知數(shù)歹MqJ的前〃項(xiàng)和S,,=-/+2〃+加，且對(duì)任意“w?Γ,α,M-α,,<O,則實(shí)數(shù)，"的取

值范圍是()

A.(—2,+∞)B.(-∞,-2)

C.(2,+∞)D.(→o,2)

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)列為遞減數(shù)列，結(jié)合。.與5”的關(guān)系即可求解.

【詳解】因?yàn)椤Ｏ?凡<0,所以數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，當(dāng)“22時(shí)，

an=S11-SltT=-〃?+2〃+m-[一(〃-1)2+2("-l)+∕w]=-2"+3,

故可知當(dāng)“≥2時(shí)，｛4｝單調(diào)遞減，

故｛q｝為遞減數(shù)列，只需滿足出<4，

因?yàn)?=—Lq=s∣=1+m,

所以一1V1+加、解得〃2>-2,

2.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和S"="+"，那么它的通項(xiàng)公式?=()

A.nB.2nC.2n+1D.〃+1

【答案】B

?a,=S,,n=I

【分析】根據(jù)IJ、,即可求

U=S"-ScT，”22

【詳解】?,=5,=1+1=2,

ass22

n=n~n-ι=(?+n)-[(?-l)+(?-?)]=2",(rt≥2),

當(dāng)〃=1時(shí)，2n=2=aif

*

..cιn=2n.

,、1

3.已知數(shù)列｛%｝滿足%+—=1,若須=2,則4=()

I3

A.—1B.-C.—D.2

22

【答案】B

【分析】根據(jù)遞推公式逐項(xiàng)求值發(fā)現(xiàn)周期性，結(jié)合周期性求值.

【詳解】由。“+」一=1嗎。=2得

0"+|

所以數(shù)列｛q｝的周期為3,所以4=%9=；.

」，,111

4.在數(shù)列｛?！ǎ校?=彳，----(∕2≥2,72∈N),則出023=()

a+

2n-?

A.?B.1C.-1D.2

【答案】A

[分析]利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列｛”,｝的前4項(xiàng)，推導(dǎo)出｛勺｝為周期數(shù)列，從而得到?3

的值

【詳解】a2=]--=?-2=-?,“3=l-'τ+l=2,%

4a2a322

可得數(shù)列｛”"｝是以3為周期的周期數(shù)列，???%c3=%<674M=q=1，

5.已知數(shù)列也,｝滿足q(l-4,+J=lM7=T，則的=()

A.—1B.?C.2D.一

22

【答案】C

【分析】根據(jù)題意變形為",,M=l-j,再轉(zhuǎn)化為4,,+2與。,川，?！?3與%+2的關(guān)系，

推導(dǎo)出數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，即可計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】由題意得。向=I-1，所以“*2=一工7=-1?=匚Z，

a"?

1]1]

所以""3-二一~~a",所以數(shù)列｛%｝是周期為3的周期數(shù)列，

所以為=q=-l,所以生=l-'=2.

6.已知數(shù)列｛4,,｝滿足%=∣^∣,%M則下列結(jié)論成立的是（）

a

A.%021<2()22<β2020B.出022<。2021<?)20

C.%021<%020<°2022D.%020<°2021<°2022

【答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷《<小<4<%，即可猜想數(shù)列｛qJ的奇數(shù)項(xiàng)遞增，偶數(shù)

項(xiàng)遞減，且奇數(shù)項(xiàng)小于偶數(shù)項(xiàng)，再證明即可，從而可得答案.

2022_<2022Y

【詳解】因?yàn)閝=^12023J,n∈N*,

2023

2022

2022(2022、礪

礪

所以出2022]2022UW

2023J2023J

因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)），=（黑）’單調(diào)遞減,

2(P)

所以P絲膽產(chǎn)<],

12023J12023J

2022

2022/2022而

所以(2022)幅(2022f2022Y,

12023J>12023J>[2023J

所以%>%>%,

(2022Y(2022Y3(2022

<

所以[2023J12023J<12023所以4<?2>

所以q<%<%<%，

由此可猜想數(shù)列｛對(duì)｝的奇數(shù)項(xiàng)遞增，偶數(shù)項(xiàng)遞減，且奇數(shù)項(xiàng)小于偶數(shù)項(xiàng),

(202212022[

因?yàn)?+∣一12023),當(dāng)〃N2時(shí)，an2023J

?f2022Y"0-'

所以+1=

aπ^12023J

a...、,2022

所以h1lTn=3"-4τ)m醞"N2),

因?yàn)?<%，所以InJ<0,所以“3</，

進(jìn)而可得4>為，

以此類推可得a2k>a2k-?且a2k>a2k+??

所以嗖=&2022

?-)?n(n>3)>

22023

由4>4,得In幺<0,即q<α,,

a2

由%<%，得&<4，

以此類推他J單調(diào)遞減，

所以a2O22<a2020>

所以。202]<a2022<β2(>2O>

7.已知數(shù)列｛%｝滿足q=l,%=3,α,,=α,τ+α,,+∣(/eN*,"≥2),則4022=()

A.-2B.IC.4043D.4044

【答案】A

【分析】由遞推式得到4+2=Wi，從而得到6+6=6，由此再結(jié)合％=4τ+4+,即可求得

的值.

【詳解】由4“=4,T+?÷l得%+1=+?+2，

兩式相加得%+2=-α,τ，即/+3=-%，故%+6=%，

所以a2022=a<,=~a3=Ta2)=-2.

8.已知數(shù)歹IJ｛%｝的前〃項(xiàng)和s“=-2/+1,則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為()

A.an=-4π+2B.an=-3n+2

[-1,/2=1,[-1,H=1,

C??=1??D.a

[-4a〃+2.n≥2n[3M+2,n≥2

【答案】C

f5.,n=l

【分析】已知和求通項(xiàng)公式：?=Jc、。進(jìn)行計(jì)算.

[Sn-Sn.l,n≥2

【詳解】當(dāng)”=1時(shí)，^∣=5l=-2+1=-1;

2i

當(dāng)“22時(shí)，an=S,,-S,,.l=-2n+?+2(n-?)-?=-4n+2;

二、多選題

9?已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為2-2；,〃為偶數(shù)’則下列正確的是（）

A.%=19B.a1>a6C.S5=22D.Sh>S8

【答案】BC

【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式即可作出判斷.

【詳解】對(duì)于A,6是偶數(shù)，則％=2-12=-10,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,a1=22>ab,B正確；

對(duì)于CS5=4+(-2)+10+(-6)+16=22,C正確；

對(duì)于D,S6=S5+α6=12,Ss=S6+α7+a8=12+22+(—14)=20,

$6<$8，D錯(cuò)誤.

10.下列數(shù)列｛為｝是單調(diào)遞增數(shù)列的有()

2

A.an=n-3/1+1B.U

,,2_.n

C.a=n+-D.a=In------

tlnn〃+1

【答案】BD

【分析】利用凡,「4,驗(yàn)證各選項(xiàng)即可.

【詳解】因?yàn)椤癳N*

2i

選項(xiàng)A：αn+l-an=(Λ+1)^-3(n+l)+l-n+3M-1=2n-2≥0,Pfil^a2-al=O,an=n-3>n+?

不是單調(diào)遞增數(shù)列；

選項(xiàng)B：?+l>0,所以應(yīng)是單調(diào)遞增數(shù)列:

選項(xiàng)C24="+l+合_*=（"：；），「），所以%-4=0,%="+：不是單調(diào)遞增

數(shù)列;

,T〃+1,n/1+1n+↑=In(I+?!——

選項(xiàng)D：a^-a,=1ln--?n-^n1------×------>0,所以%=In—1是

H+2n(n"+2〃/2+1

單調(diào)遞增數(shù)列;

11.意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契提出的“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,

55,89,144,233,…，在現(xiàn)代生物及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，它可以表述為數(shù)列｛〃〃｝滿足

4=OI=l,?+2=af1+l+為（"∈N+）.若此數(shù)列各項(xiàng)被3除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列出｝,記也｝

的前〃項(xiàng)和為S”，則以下結(jié)論正確的是（）

A.?+9-?+ι=OB.S〃+]o=Sn+2÷9

=

C.?20222D.S2022=2696

【答案】ABC

【分析】根據(jù)數(shù)列｛%｝可得出數(shù)列也,｝是以8為周期的周期數(shù)列，依次分析即可判斷.

【詳解】數(shù)列｛%｝為1，1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,

被3除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列也｝,

，數(shù)歹∣J｛2｝為1，L2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,

觀察可得數(shù)列他,｝是以8為周期的周期數(shù)列，故d+9-%M=0,A正確：

∣〃

R?+i>2++仇=9,故S“+io=S“+2+a+3+包+4+…+,+”>=S,,+2+9,B正確;

‰22=?252÷6=bb=2,C正確；

貝Kd｝的前2022項(xiàng)和為S2022=252X9+1+1+2+0+2+2=2276,D錯(cuò)誤.

12.已知S“是｛q｝的前〃項(xiàng)和4=2,4=1---，"≥2,"wN*,則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是()

an-?

A.“2021=2B.5202l=1012

C.+2=1D.｛a,｝是以3為周期的周期數(shù)列

【答案】AC

【分析】推導(dǎo)出4+3=4,("eN*),利用數(shù)列的周期性可判斷各選項(xiàng)的正誤.

［詳解］因?yàn)閝=2,an=1--^-("≥2),則4=1-L=:,α3=l-'=T,4=I-'=2=4,

以此類推可知，對(duì)任意的“eN”,an+i=an,D選項(xiàng)正確：

a

2O2i=?x673+2=?=pA選項(xiàng)錯(cuò)誤；

31

S,(Pl=673(α∣+cbt+%)+4+α,=673χ5+2+-=1012,B選項(xiàng)正確；

?N??Λ+1??M+2=a3a2aι=-?,C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

三、填空題

13.如下表定義函數(shù)/(x):

X12345

?(?)54312

對(duì)于數(shù)列{〃“},4=4,an=f(?.∣),n=2,3,4,則。刈9的值是.

【答案】5

【分析】先根據(jù)4,=∕(%T)求出前幾項(xiàng)，得出周期，利用周期性求解.

【詳解】根據(jù)題意見(jiàn)=1，％=5,?4=2,?5=4,

所以周期為4,而2019=4x504+3,所以4259=生=5.

故答案為：5

14.數(shù)列他“｝滿足q=l,%=誓∣5eN","≥2),則《,=____

an-?2,2-1

2/1+1

【答案】

3

【分析】利用累乘法求得正確答案.

【詳解】an-a?—?-?-

a?a2an-?

I572/?+1_2〃+1

=1?一?一(n>2),

352/7-13

4=1也符合上式,

2/7+1

所以a=

n3

15.已知數(shù)列｛〃“｝前幾項(xiàng)和5.滿足Ig(S〃-1)=%則〃“=.

_[11,H=I

【答案】19×10-,n≥2

S1,n=?

【分析】先利用對(duì)數(shù)運(yùn)算得到S,,=10"+l,進(jìn)而利用4=:?、.求出答案.

S,-S,ι,“≥2

【詳解】因?yàn)閘g(S,,-l)=〃，所以S,,=10"+l,

當(dāng)ZI=I時(shí)，=S1=10+1=11,

當(dāng)“22時(shí)，=S(I-S“=10"+l-10"T-l=9χl0"T,

因?yàn)?xl0∣τ=9≠11,

"又""=j9χlθ'i,"≥2'

16.己知S”是數(shù)列｛“〃｝的前”項(xiàng)和.若S〃=2〃，則的=

【答案】2

【分析】根據(jù)E=4邑=4+的求解即可.

【詳解】解：：Sn=2n,

al=S1=2,o1+α2=S2=4,

?,=2,

四、解答題

17.已知S"是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和,5Sπ=n(n+4)

(1)求｛4,,｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)a=卬,求數(shù)列出｝的前10項(xiàng)和，其中[x]表示不超過(guò)X的最大整數(shù)，如[0.9]=0,

[2.6]=2.

【答案】⑴見(jiàn)=宇

⑵24

【分析】(1)先求卬，利用5S,,="("+4)和4,=S“-S“T可求通項(xiàng)公式；

(2)先求〃=蕓2,根據(jù)〃的取值逐個(gè)求解么,，然后求和可得答案.

(1)

,.*5S∣=5,.?.4=1；

55〃=n(n+4),/.5Sn_x=(/?-1)(∕?+3)(∕?≥2)

兩式相減可得q=2?("≥2),又q=l,

(2)

2〃+3

由(1)知:K=

5

所以當(dāng)”=1,2,3時(shí)，i≤'-<2,此時(shí)么=1；

當(dāng)"=4,5時(shí)，2<≥y^<3,此時(shí)￡=2；

當(dāng)"=6,7,8時(shí)，3≤2y2<4,此時(shí)％=3；

當(dāng)〃=9,10時(shí)，4<^y^<5,此時(shí)〃=4,

所以數(shù)列｛〃｝的前IO項(xiàng)和為1x3+2x2+3x3+4x2=24.

18.已知數(shù)列｛4｝滿足%+2/+3%++nan=5n,求｛4｝的通項(xiàng)公式.

【答案】ɑ,,?-.

n

【分析】利用項(xiàng)與前〃項(xiàng)和的關(guān)系即得.

t詳解】對(duì)任意的AIeN*,4+24+34++nafl=5ft,

當(dāng)九=1時(shí)，則％=5,

當(dāng)〃≥2時(shí)，山6+24+3。3++nan=5n,可得“+四++(n-l)αw,1=5(n-l),

上述兩個(gè)等式作差可得=5,

5

??M二一，

n

?1=5滿足a=-,

lln

因此，對(duì)任意的"eV,

n

19.寫出下列數(shù)列的前10項(xiàng)，并作出它們的圖象.

⑴當(dāng)自變量X依次取1,2,3,…時(shí)，函數(shù)/(x)=2x+l的值構(gòu)成的數(shù)列｛α,,｝;

2,n=2k,kGN.

(2)數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式為a,,=

n+l,n=2^+l,Λ∈N+

【答案】(1)3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,圖見(jiàn)解析

(2)2,3,2,5,2,7,2,9,2,11,圖見(jiàn)解析

【分析】(1)將自變量依次取值代入函數(shù)解析式可得各項(xiàng)的值，然后描點(diǎn)作圖即可；

(2)分〃是奇數(shù)還是偶數(shù)代入相應(yīng)通項(xiàng)公式計(jì)算可得各項(xiàng)的值，然后描點(diǎn)作圖即可.

(1)

依次將元的值代入函數(shù)"x)=2x+l,可得數(shù)列的前10項(xiàng)依次為:

3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,圖象如下:

%

25-

21

20■19?

17?

15?

15-13?

Il?

IO-9?

7?

5?

5-3

O24681012)

(2)

..J2,〃=2%,%∈N*

a,

,"[/1+1,H=2?+1,?∈N+

J數(shù)列的前10項(xiàng)依次為2,3,2,5,2,7,2,9,2,II,圖象如下:

20.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“=2"-4,4=1.求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式.

【答案】αl,=2"τ

【分析】根據(jù)ɑ,,=5“-S“τ(〃≥2)求出〃≥2時(shí)的通項(xiàng)ɑ“，由此求數(shù)列｛ɑ“｝的通項(xiàng)公式.

【詳解】由S,=2"-左得：S,,.l=T-'-k(n≥2),

相減得/f,=2"T(w≥2),

當(dāng)”=1時(shí)，4=l=2∣τ也滿足上式，

?F=2"。

所以數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為%=2"T.

21.寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

1111

(1)-----，f------,----，...；

1×22×33×44x5

^22-l32-l42-l52-l

λ----，-----，-----，-----，??.;

2345

【答案】(I)(T)“?777?n(答案不唯一)

(2)("+∣)一|(答案不唯-).

n÷l

【分析】(1)(2)根據(jù)數(shù)列前兒項(xiàng)找到規(guī)律，從而得到數(shù)列的符合題意的一個(gè)通項(xiàng)公式.

【詳解】ɑ)解：由-J；，?.-J7,」，??.，可知奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，

1×22×33×44×5

分子均為1,且分母為序號(hào)與其后一個(gè)數(shù)之積，

故該數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為(T)”,"'口、(答案不唯一).

2222

/??A2I2—13—14—15—1

2345

可得該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為(”+H-1(答案不唯一).

n÷l

22.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?。，若飛€。，滿足/(玉))=%,則稱X(I為A*)的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)

[3-3x,0≤x≤1

fw=\,g(χ)=yV(X)).

[log3x,l<x≤3

(1)試判斷g(x)不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并給予證明；

(2)若“天€O,∣)g(x)-l>log3(l+x)+log3(x+Q”是真命題，求實(shí)數(shù)Z的取值范圍.

【答案】(1)3個(gè)，證明見(jiàn)解析；(2)[-∣`1)?

【分析】(1)分0"<；2、］2≤x≤Llv%≤3三種情況，利用g。)二X構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)

的單調(diào)性可得答案；

-、I-X乙

(2)解法1：轉(zhuǎn)化為≡xe0,∣Llog3^>log√Λ+x)j??,解不等式組+"，再由

3)1+x.

LZX+?>0n

2可得答案：

^2、I-X「2、?-x

解法2：轉(zhuǎn)化為*∈O,-Llog3-->l0g3(Z+x)成立，等價(jià)于h∈0,-,使=i>k+χ成

_3)1+xL3)?+χ

2

立，構(gòu)造函數(shù)丁=；——(1+X),并利用函數(shù)的單調(diào)性，由為ax>攵可得答案.

【詳解】(1)g(χ)="f(χ)),

2

若0≤x<],則l<3-3x≤3,所以g(x)=log3(3-3χ),

由g(x)=X得log?。-3x)=X,即1+Iog3(I-X)=X,

因?yàn)閥=τog3(i-X)在o,∣)是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以函數(shù)版X)=X-iog3(i-χ)-ι在Oq)是單調(diào)遞增的,

2

若*≤x41,則0≤3-3x≤l,所以g(x)=3-3(3-3x)=9x-6,

3

由g(x)=X得9x-6=X解得X=-;

4

若ICX≤3,則O<log3X≤l,所以g(x)=3-3iog3X,

由g(x)=x得3-31%工=壬因?yàn)?(X)=X+3iog3X-3在(1,3］是單調(diào)遞增的,

「4、4514

?9(3)=3>0,?9∣^-U31og,---=log364-y<0,

所以G(X)=X+3iog3X-3在(1,3］內(nèi)有唯一零點(diǎn);

綜上所述，g(x)有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

0,∣‰(x)=/(/(%))=Iog(3-3x),

(2)由(1)可知，當(dāng)XW3

若“IreO,g),g(x)-1>log3(l+x)+log3(x+A)”是真命題，

就是去€0,|),使不等式g(x)—l>log3(l+x)+log3α+%)成立,

'2、1-r

等價(jià)于*∈O5-Llog1-->log,(k+X)成立，

L3J-1+x

「2、[lz?>?+x

即支€0,-,不等式組1+χ成立，

L3)[χ+Λ>0

(1+X)2+?(1+X)-2<0

x+?>0

—k—J?2+8—k÷J[2+8

解得+<x<-l÷

2^2

x>-k

因?yàn)閄e0,|）.保證x+A>O,所以上2

>——

3

2-?+√?2+8

因?yàn)?左--1+>0,

2

k+?—2÷Jk~+8

-↑-γ^-(-k)=>0,

+2

所以M<x<T+士正踵

2

-1+7^t√^>0

2

所以,解得:--<k<?.

3

3

所以實(shí)數(shù)上的取值范圍是（-,』）.

解法2：由(1)可知，當(dāng)Xe0,∣‰(x)=f(f(x))=log,(3-3x),

若“*eO,∣j,g(x)-1>l0g3(1+x)+1嗝(x+%)”是真命題,

就是*e0彳），使不等式g（x）—1>1/3（1+尤）+1。833+2）成立,

2、l1--xr

等價(jià)于*e0,-,lo->logu÷x)^,

g31+x3

等價(jià)于*。，|，使EI-X>p成立，

l+x

且x+女>0也成立，

I-Y22

由--->%+工得------(1÷x)>?,設(shè)y=---------(1÷?),

?+xl÷xl÷x

IrW0,-1,使^>%+九成立，

L3√1+X

2「2、

只要y>%即可，函數(shù)y=；——(i+χ)在。,7上單調(diào)遞減,

maxl+χL3)

所以Znax=1，所以1＜%，

3x∈0,|),使x+Z＞0在區(qū)間0,1)成立，

22

只需要(X+R)max＞。即可，即出+；＞。得4＞一

所以實(shí)數(shù)&的取值范圍是f-￡i1

4.2等差數(shù)列

一、單選題

1.已知5“是等差數(shù)列｛為｝的前八項(xiàng)和，若S?=∣5,59=75,則臬=()

A.40B.45C.50D.55

【答案】A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列片段和性質(zhì)可得2母6-S3)=S3+(Sg-S6),解方程即可求得結(jié)果.

【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知：邑，S6-S3,品-S,,成等差數(shù)列，

所以2(S6-S3)=S3+(S「S6),即2(S6—15)=15+(75—Se),解得：S6=40.

2.一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時(shí)期的實(shí)心塔群，共分十二階梯式平

臺(tái)，自上而下一共12層，每層的塔數(shù)均不少于上一層的塔數(shù)，總計(jì)108座.已知其中10層

的塔數(shù)成公差不為零的等差數(shù)列，剩下兩層的塔數(shù)之和為8,則第11層的塔數(shù)為()

【答案】A

【分析】設(shè)成為等差數(shù)列的其中10層的塔數(shù)為：al,a2,,al0,設(shè)出公差"，根據(jù)題意得

O

40=10+]d,X?∈N,,d>0,且"eN”,故只能d=2滿足，進(jìn)而可得答案.

【詳解】設(shè)成為等差數(shù)列的其中10層的塔數(shù)為：al,a2,,q。，由已知得，該等差數(shù)列為遞

增數(shù)列，因?yàn)槭Ｏ聝蓪拥乃?shù)之和為8,故剩下兩層中的任一層，都不可能是第十二層，所

以，第十二層塔數(shù)必為?);

故IOXml+，。)=108_8=]00,q+q°=20①；

2

又由4o-4=9d②，”>0,旦deN*,所以，

9

①+②得，2αl0=20+9√,W?1=10+∣^,

由4+4O=2O知oω<20,

又因?yàn)轫歸N*,觀察答案，當(dāng)且僅當(dāng)d=2時(shí)，％。滿足條件，所以，4。=19：

組成等差數(shù)列的塔數(shù)為：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19；

剩下兩層的塔數(shù)之和為8,只能為2,6.

所以，十二層的塔數(shù)，從上到下，可以如下排列：

1,2,3,5,6,7,9,11,13,15,17,19；其中第二層的2和第五層的6不組成等差數(shù)列，

滿足題意，則第Il層的塔數(shù)為17.

3.已知等差數(shù)列｛《,｝,低｝的前〃項(xiàng)和分別為%Tn,且j=F則j=()

A.?-B.—C.-D.—

212813

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前”項(xiàng)和公式求得正確答案.

S92×9+3217

由題息可得T=F-=記=Ir

4.設(shè)應(yīng)｝是等差數(shù)列，4>0,a2θaι+a2m>O,?7??<θ-則使E,>0成立的最大自然

數(shù)〃是()

A.4013B.4014C.4015D.4016

【答案】B

【分析】由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得且α8推出$也3>。，再

α2θ07>0,200<0,?<θ.

根據(jù)?∞7+“2008=4+?014>0可得l54014>θ?

【詳解】因?yàn)槭醉?xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列/滿足：?7+‰8>θ^。2007?出008<0,

所以｛4｝為首項(xiàng)大于零的遞減的等差數(shù)列，

所以^2007>°，且。2008<θ，

所以6+?0I3=2%007>°，〃[+。4()15=2〃2008<θ，

由S=皿產(chǎn)得，?>0.54015<0,

乂因?yàn)?007+α2(>U8=4+β4(>l4>°，即^4014>°，

5.已知等差數(shù)列｛%｝,且3(4+/)+2(%+4o+%)=3O,則數(shù)列｛a,,｝的前14項(xiàng)之和為()

A.14B.28C.35D.70

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式即可求解.

【詳解】解：因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，

所以3(4+07)+2(48+《()+42)=3*2?5+2*340=645+6αK)=30,

所以見(jiàn)+即>=5,

則數(shù)列｛q｝的前14項(xiàng)之和S14=I4色產(chǎn))=7(a1+a14)=7(?5+a,0)=35.

6.記S“為等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，且q=22,Si=Sg,則S“取最大值時(shí)〃的值為()

A.12B.12或11C.11或10D.10

【答案】B

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由4=22,S7=Ski可解出4值為-2,從而可知數(shù)列｛“"｝

前11項(xiàng)為正；第12項(xiàng)為0；從第13項(xiàng)起，各項(xiàng)為負(fù)，所以S“取得最大值時(shí)，?的值可確定.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛/｝的公差為d,由4=九，得7q+2k∕=164+120d,即4+ll"=0,

又q=22,所以d=-2,所以為=22-2(〃—1)=24—2〃，令%=0,可得”=12,

所以數(shù)列｛為｝滿足：當(dāng)〃411時(shí)，?>0;當(dāng)〃=12時(shí)，??=0：當(dāng)〃213時(shí)，?<0,

所以S“取得最大值時(shí)，?的取值為11或12.

7.己知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足S"="-",則凡=（）

A.∕ι-4B.-2n-?C.3〃一6D.2n-5

【答案】D

【分析】根據(jù)通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和的關(guān)系，分〃=1與〃≥2兩種情況分別求解即可.

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，ɑ?=I2-4=-3；當(dāng)〃≥2時(shí)，

an=Sn-S11^=〃2-4〃一［（〃-1）2-4（〃-1）］=2〃-5,且當(dāng)〃=1時(shí)也滿足a”=2〃-5.

故％=2〃-5.

8.已知數(shù)列｛%｝滿足q=4，％M=-?,則?W=（）

A—!—B---C—!—D—

?IOOO?1001?1002?1003

【答案】B

【分析】構(gòu)造等差數(shù)列結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得再求結(jié)果即可.

IaJ

【詳解】根據(jù)題意可得：4,-4川=M+A,則二-一'=1,故數(shù)列］上［是首項(xiàng)為2,公差為

aa

n+ln［%J

1的等差數(shù)列，

111

則Z="1∣'a*Q'故限=面.

二、多選題

9.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為%若既=%，且（"∈N*）,則（）

A.數(shù)列｛/｝為遞增數(shù)列B.即＜0

C.存在正整數(shù)使得s*=θD.存在正整數(shù)處使得s,“=5“.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)已知條件求得q，4的關(guān)系式以及d的符號(hào)，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正

確答案.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為"，

19

S8=S12,%+4o+4∣+42=。,即）+4∣=。,2〃］+19d=0,q=——d

S,.d/c?,d19,

-2nLiL=—(〃+I)-1Iod=—nd,

n+12、)22

由2<包.得g"-κw<4"-冬d,g>O,d>O,數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，A選項(xiàng)正確.

nn+ι2222

101gd

a,=~d<0,4∣=4+10d=-]d+10d=?∣>0,B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

由上述分析可知而=而）所以當(dāng)時(shí)，

S（I=2-100,“=2052O=O,

所以存在正整數(shù)比使得&=0,C選項(xiàng)正確.

2

Sn,=gm°-10dm,S3,,,=γw-30dm,

若S”=S3",則g*iT04"2=??/-30而，加=5（M=O舍去），D選項(xiàng)正確.

10.設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為5“，公差為d?已知％=12,S14>0,幾<0,則下列結(jié)

論正確的是（）

C24,C

A.?<0B.-----<d<一3

77

C.57=84的前”項(xiàng)和為刀,，則（>0時(shí)，”的

最大值為27

【答案】BC

（分析】由已知求得?<0,%>0,解公差為d的取值范圍，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和

公式及其性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)判斷正誤即可.

14

【詳解】V514>0,S15<0,Λ(V^.L7(a7+?)>0,匕他；砧=匕肉<0,

/.?7+?>0,?<0,/.>0,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

又???%=12,即q=12-3d,

O+4=4+3d+%+4d=24+7d>0

l，解得一亍<d<-3,B選項(xiàng)正確;

4=g+4d=12+4d<0

...SI=7"初=7%=84,故C選項(xiàng)正確；

因?yàn)榈炔顢?shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，所以5“=叼+若1心即｝=4+?ld,

.?.數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)2=｝=q+?rf,

因?yàn)楫?dāng)"≤14時(shí),5?>0,當(dāng)">15時(shí)，ξ,<0,

所以當(dāng)〃414時(shí)，?,,>0,當(dāng)〃>15時(shí)，bn<O,

所以弓=1^?X27=27%>0,&=^^x28=14（24+：d）=14（24+劌，

因?yàn)?2寧4<4<-3,所以與可能為正數(shù)，也可能為負(fù)數(shù)，所以D選項(xiàng)不正確.

II.已知數(shù)列｛%｝是公差不為O的等差數(shù)列，前?項(xiàng)和為s,?若對(duì)任意的n∈N*,都有Sil≥S3,

則”的值可能為（）

%

A.2B.C.-D.一

323

【答案】ABC

【分析】由等差數(shù)數(shù)列前”項(xiàng)和公式推導(dǎo)出-dWqW-2d,由此能求出空的值不可能為上

a53

【詳解】數(shù)列｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和S,,="q+*≡Dd.

若對(duì)任意的N*,都有S,,2S3,

2q+d≥3q

$2之S3

解得—3d<qW—2d,

S4NS3,4x3-3×2J

4a,+---d>3α+------d

12-2

a,a,+5JC

；?當(dāng)點(diǎn)=許=2時(shí)，—.成立；

當(dāng)%=空我=：時(shí)，5rf成立；

%4+4d32

aa+5e∕3

當(dāng)』fl=」x一=5時(shí)，-2d.成立；

a5ax+4J2

a,a,+5d4

當(dāng)」=?j?7=W時(shí)，a=-d.不成立.

%4+4d3l

的值不可能為

?53

12.某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤上，空盤時(shí)盤芯直徑為40mm,滿盤時(shí)直徑為120mm,已知該衛(wèi)

生紙的厚度為0?lmm,為了求出滿盤時(shí)衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)度/,下列做法正確的是（）

A.從底面看，可以將繞在盤上的衛(wèi)生紙看作一組同心圓，由內(nèi)向外各圈的半徑分別是20.0,

21.1,…，59.9

B.從底面看，可以將繞在盤上的衛(wèi)生紙看作一組同心圓，由內(nèi)向外各圈的半徑分別是20.05,

20.15,59.95

C.同心圓由內(nèi)向外各圈周長(zhǎng)組成一個(gè)首項(xiàng)為40.1π,公差為0.2兀的等差數(shù)列

D.設(shè)卷筒的高度為力，由等式π(60J2。2)/=0.16/可以求出衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)/

【答案】BCD

【分析】把繞在盤上的紙近似地看作是一組同心圓，從內(nèi)到外，半徑依次組成等差數(shù)列，分

別計(jì)算出各圓的周長(zhǎng)，再由體積求總長(zhǎng)即可.

【詳解】衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm,可以把繞在盤上的衛(wèi)生紙近似地看作?組同心圓，取半徑

時(shí)從每層紙的中間開(kāi)始算,則由內(nèi)向外各圈的半徑組成首項(xiàng)為20.05,公差為0.1的等差數(shù)列，

A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；

這個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)4=20.05,公差d=θ.ι,由％=59.95,得59.95=20.05+(〃—I)XO.1,解

得“二400；

設(shè)各圈周長(zhǎng)的2,則a=2π?,?l=2πα1=40.1π,?n+l-bll=2πan+t-2πaπ=2πd=0.2π,

所以各圈的周長(zhǎng)組成一個(gè)首項(xiàng)為40.1兀，公差為Q2π,項(xiàng)數(shù)為400的等差數(shù)列，C選項(xiàng)正確；

利用體積相等，可得π(602-202)/=0.16/,D選項(xiàng)正確.

三、填空題

13.已知等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，且晶-%=5%+4,則｛q,,｝的前15項(xiàng)和幾=.

【答案】30

【分析】設(shè)出公差，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式得到4+7"=2,進(jìn)而計(jì)算出

兒=15(4+74)=30.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d,則Sg=8q+手d=8q+28d,

又〃5=4+4"必=4+24,58—α5=5a3+4,

所以8q+28d-q-44=5α∣+1Oc/+4,即q+7d=2,

15x14

S15=15Λ1+-^y-J=15(a1+7J)=30.

14.我國(guó)古代《九章算術(shù)》一書中記載關(guān)于“竹九''問(wèn)題：今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上

四節(jié)容量三升，問(wèn)五、六兩節(jié)欲均容各多少？意思是下三節(jié)容量和為4升，上四節(jié)容量和為

3升，且每一節(jié)容量變化均勻，問(wèn)第五、六兩節(jié)容量分別是多少？在這個(gè)問(wèn)題中，九節(jié)總?cè)?/p>

量是.

【答案】妥201##3*

2222

【分析】設(shè)由下到上九節(jié)容量分別記為4,“2，…，。9，則“∣,%,…，。9成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，

根據(jù)題意列方程解出基本量《、d,即可利用公式求和.

【詳解】設(shè)由下到上九節(jié)容量分別記為q，%，...，的,則4/，???，的成等差數(shù)列,設(shè)公差為d,

貝U+。3=4,。6+%+t?+々9=3,即4]+%+=3〃]+34=4,